ÉTUDE DE PHYSIQUE

Diffraction par une Ouverture Circulaire

Diffraction par une Ouverture Circulaire

Diffraction par une Ouverture Circulaire

Comprendre la Diffraction par une Ouverture Circulaire

Lorsqu'une onde lumineuse rencontre un obstacle ou une ouverture dont les dimensions sont comparables à sa longueur d'onde, elle subit le phénomène de diffraction. Ce phénomène se manifeste par l'étalement des ondes lumineuses au-delà des limites géométriques de l'ouverture. Dans le cas d'une ouverture circulaire, la figure de diffraction observée sur un écran lointain (diffraction de Fraunhofer) est constituée d'une tache centrale brillante, appelée tache d'Airy, entourée d'anneaux concentriques alternativement sombres et brillants de plus faible intensité. La taille de la tache d'Airy est un facteur limitant fondamental pour la résolution des instruments d'optique tels que les télescopes, les microscopes ou même l'œil humain.

Données de l'étude

Une onde lumineuse monochromatique plane traverse une petite ouverture circulaire et la figure de diffraction est observée sur un écran situé à une grande distance.

Caractéristiques de l'installation et de la lumière :

  • Longueur d'onde de la lumière (\(\lambda\)) : \(550 \text{ nm}\) (lumière verte)
  • Diamètre de l'ouverture circulaire (\(D\)) : \(0,50 \text{ mm}\)
  • Distance entre l'ouverture et l'écran d'observation (\(L\)) : \(2,0 \text{ m}\)
  • Le milieu entre l'ouverture et l'écran est l'air (\(n \approx 1,00\)).
Schéma de la Diffraction par une Ouverture Circulaire
Diffraction de Fraunhofer par une Ouverture Circulaire Onde Plane Ouverture (Diamètre D) Écran θ r₁ Distance L

Figure de diffraction de Fraunhofer produite par une ouverture circulaire, montrant la tache d'Airy centrale.

Questions à traiter

  1. Calculer le demi-angle \(\theta_1\) sous lequel est vu le premier minimum de diffraction (en radians et en degrés). On utilisera l'approximation des petits angles si applicable.
  2. Calculer le rayon \(r_1\) de la première tache sombre (tache d'Airy) sur l'écran.
  3. Si cette ouverture est celle d'une lentille d'objectif d'un instrument d'optique, quelle est sa limite de résolution angulaire \(\theta_{\text{min}}\) selon le critère de Rayleigh (en radians et en degrés) ?
  4. Si cet instrument est un télescope observant deux étoiles, quelle est la séparation angulaire minimale (en secondes d'arc) pour qu'elles soient tout juste résolues ? (\(1 \text{ degré} = 3600 \text{ secondes d'arc}\))
  5. Discuter brièvement de l'influence du diamètre de l'ouverture (\(D\)) et de la longueur d'onde (\(\lambda\)) sur la taille de la tache de diffraction et sur le pouvoir de résolution.

Correction : Diffraction par une Ouverture Circulaire

Question 1 : Demi-angle du premier minimum de diffraction (\(\theta_1\))

Principe :

Pour une ouverture circulaire de diamètre \(D\), le premier minimum de la figure de diffraction de Fraunhofer se produit à un angle \(\theta_1\) tel que \(\sin(\theta_1) = 1,22 \frac{\lambda}{D}\). Pour de petits angles (souvent le cas en pratique), \(\sin(\theta_1) \approx \theta_1\) (si \(\theta_1\) est exprimé en radians).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sin(\theta_1) = 1,22 \frac{\lambda}{D} \] \[ \text{Pour de petits angles : } \theta_1 \approx 1,22 \frac{\lambda}{D} \quad (\text{en radians}) \]
Données spécifiques (convertir les unités en mètres) :
  • Longueur d'onde (\(\lambda\)) : \(550 \text{ nm} = 550 \times 10^{-9} \text{ m}\)
  • Diamètre de l'ouverture (\(D\)) : \(0,50 \text{ mm} = 0,50 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta_1 &\approx 1,22 \times \frac{550 \times 10^{-9} \text{ m}}{0,50 \times 10^{-3} \text{ m}} \\ &= 1,22 \times \frac{550}{0,50} \times 10^{-6} \\ &= 1,22 \times 1100 \times 10^{-6} \\ &= 1342 \times 10^{-6} \text{ rad} \\ &= 1,342 \times 10^{-3} \text{ rad} \end{aligned} \]

Conversion en degrés : \(\theta_1 \text{ (degrés)} = \theta_1 \text{ (rad)} \times \frac{180^\circ}{\pi}\)

\[ \begin{aligned} \theta_1 \text{ (degrés)} &\approx 1,342 \times 10^{-3} \times \frac{180}{\pi} \\ &\approx 1,342 \times 10^{-3} \times 57,2958 \\ &\approx 0,0769^\circ \end{aligned} \]

Vérification de l'approximation des petits angles : \(\sin(0,0769^\circ) \approx 0,001342\), ce qui est très proche de \(\theta_1\) en radians. L'approximation est donc valide.

Résultat Question 1 : Le demi-angle du premier minimum est \(\theta_1 \approx 1,342 \times 10^{-3} \text{ rad} \approx 0,0769^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diamètre de l'ouverture est doublé, l'angle \(\theta_1\) :

Question 2 : Rayon (\(r_1\)) de la première tache sombre (tache d'Airy)

Principe :

Le rayon de la première tache sombre sur un écran situé à une distance \(L\) est donné par \(r_1 = L \tan(\theta_1)\). Pour de petits angles, \(\tan(\theta_1) \approx \theta_1\) (en radians).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ r_1 = L \tan(\theta_1) \approx L \theta_1 \quad (\text{pour } \theta_1 \text{ petit et en radians}) \]
Données spécifiques :
  • Distance à l'écran (\(L\)) : \(2,0 \text{ m}\)
  • Demi-angle \(\theta_1 \approx 1,342 \times 10^{-3} \text{ rad}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} r_1 &\approx 2,0 \, \text{m} \times 1,342 \times 10^{-3} \\ &\approx 2,684 \times 10^{-3} \text{ m} \\ &= 2,684 \text{ mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le rayon de la première tache sombre (tache d'Airy) sur l'écran est d'environ \(2,68 \text{ mm}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la distance \(L\) à l'écran est doublée, le rayon \(r_1\) de la tache d'Airy :

Question 3 : Limite de résolution angulaire (\(\theta_{\text{min}}\))

Principe :

Le critère de Rayleigh stipule que deux sources ponctuelles sont tout juste résolues si le maximum central de la figure de diffraction de l'une coïncide avec le premier minimum de la figure de diffraction de l'autre. Pour une ouverture circulaire, cet angle minimal de résolution est égal à l'angle \(\theta_1\) du premier minimum.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \theta_{\text{min}} = 1,22 \frac{\lambda}{D} \quad (\text{en radians}) \]
Données spécifiques :
  • Ce calcul est identique à celui de la Question 1.
Calcul :
\[ \theta_{\text{min}} \approx 1,342 \times 10^{-3} \text{ rad} \approx 0,0769^\circ \]
Résultat Question 3 : La limite de résolution angulaire de l'instrument est \(\theta_{\text{min}} \approx 1,342 \times 10^{-3} \text{ rad} \approx 0,0769^\circ\).

Quiz Intermédiaire 3 : Un instrument avec une plus petite limite de résolution angulaire a un pouvoir de résolution :

Question 4 : Séparation angulaire minimale pour résoudre deux étoiles

Principe :

La séparation angulaire minimale pour résoudre deux étoiles est directement donnée par la limite de résolution angulaire \(\theta_{\text{min}}\). Il faut convertir cette valeur en secondes d'arc.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Séparation angulaire (secondes d'arc)} = \theta_{\text{min}} \text{ (degrés)} \times 3600 \text{ secondes d'arc/degré} \]
Données spécifiques :
  • \(\theta_{\text{min}} \approx 0,0769^\circ\) (de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Séparation angulaire} &\approx 0,0769 \times 3600 \text{ secondes d'arc} \\ &\approx 276,84 \text{ secondes d'arc} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La séparation angulaire minimale pour que les deux étoiles soient tout juste résolues est d'environ \(276,8 \text{ secondes d'arc}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Pour améliorer la résolution d'un télescope (diminuer \(\theta_{\text{min}}\)), on peut :

Question 5 : Influence de \(D\) et \(\lambda\) sur la diffraction et la résolution

Principe :

La taille de la tache de diffraction (et donc la limite de résolution angulaire \(\theta_{\text{min}} = 1,22 \lambda/D\)) est directement proportionnelle à la longueur d'onde \(\lambda\) et inversement proportionnelle au diamètre de l'ouverture \(D\).

Discussion :

Influence du diamètre de l'ouverture (\(D\)) :

  • Si \(D\) augmente, \(\lambda/D\) diminue. Par conséquent, \(\theta_{\text{min}}\) diminue.
  • Une ouverture plus grande conduit à une tache de diffraction plus petite.
  • Un \(\theta_{\text{min}}\) plus petit signifie une meilleure résolution angulaire (le pouvoir de résolution augmente), car l'instrument peut distinguer des objets angulairement plus proches. C'est pourquoi les télescopes astronomiques ont de grands miroirs ou lentilles.

Influence de la longueur d'onde (\(\lambda\)) :

  • Si \(\lambda\) augmente, \(\lambda/D\) augmente. Par conséquent, \(\theta_{\text{min}}\) augmente.
  • Une longueur d'onde plus grande conduit à une tache de diffraction plus grande pour une même ouverture.
  • Un \(\theta_{\text{min}}\) plus grand signifie une moins bonne résolution angulaire (le pouvoir de résolution diminue). C'est pourquoi, par exemple, les microscopes optiques ont une meilleure résolution avec la lumière bleue (plus courte longueur d'onde) qu'avec la lumière rouge.
Résultat Question 5 : Augmenter le diamètre de l'ouverture (\(D\)) ou diminuer la longueur d'onde (\(\lambda\)) réduit la taille de la tache de diffraction et améliore le pouvoir de résolution de l'instrument.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La figure de diffraction formée par une ouverture circulaire en champ lointain est appelée :

2. Le critère de Rayleigh est utilisé pour définir :

3. Pour une longueur d'onde donnée, si on diminue le diamètre d'une ouverture circulaire, la taille de la tache d'Airy sur un écran distant :

4. La diffraction est un phénomène qui illustre :

Glossaire

Diffraction
Phénomène par lequel une onde (lumineuse, sonore, etc.) est déviée et étalée lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture dont les dimensions sont de l'ordre de grandeur de sa longueur d'onde.
Ouverture Circulaire
Trou de forme circulaire à travers lequel une onde peut passer.
Figure de Diffraction
Motif d'intensité lumineuse (ou d'amplitude d'onde) observé sur un écran après qu'une onde a traversé une ouverture ou contourné un obstacle.
Tache d'Airy (ou Disque d'Airy)
Tache centrale brillante de la figure de diffraction produite par une ouverture circulaire. Elle contient environ 84% de l'énergie lumineuse totale.
Anneaux d'Airy
Anneaux concentriques sombres et brillants qui entourent la tache d'Airy dans la figure de diffraction d'une ouverture circulaire.
Diffraction de Fraunhofer (Champ Lointain)
Type de diffraction observé lorsque l'écran d'observation est situé à une grande distance de l'ouverture (ou équivalent par l'utilisation d'une lentille), de sorte que les ondes incidentes et diffractées peuvent être considérées comme planes.
Critère de Rayleigh
Critère utilisé pour déterminer la limite de résolution angulaire d'un instrument d'optique. Deux sources ponctuelles sont considérées comme tout juste résolues si le maximum central de la figure de diffraction de l'une coïncide avec le premier minimum de la figure de diffraction de l'autre.
Limite de Résolution Angulaire (\(\theta_{\text{min}}\))
Plus petit angle entre deux objets ponctuels pour lequel ils peuvent être distingués comme séparés par un instrument d'optique.
Pouvoir de Résolution
Capacité d'un instrument d'optique à distinguer des détails fins ou des objets très proches. Il est inversement proportionnel à la limite de résolution angulaire.
Longueur d'Onde (\(\lambda\))
Distance sur laquelle la forme d'onde d'une onde périodique (comme la lumière) se répète. En optique, elle détermine la couleur de la lumière visible et ses propriétés de propagation.
Diffraction par une Ouverture Circulaire

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