Diffraction par une Ouverture Circulaire

Exercice : Diffraction par une Ouverture Circulaire

Diffraction par une Ouverture Circulaire

Contexte : La Diffraction de FraunhoferPhénomène d'étalement de la lumière lorsqu'elle rencontre un obstacle de dimension comparable à sa longueur d'onde, observé à l'infini (champ lointain). par une ouverture circulaire.

En optique, la diffraction impose une limite fondamentale à la résolution des instruments (télescopes, microscopes, yeux). Lorsqu'une onde lumineuse traverse une ouverture circulaire, elle ne forme pas un point géométrique sur un écran, mais une figure complexe constituée d'un disque central brillant (la tache d'Airy) entouré d'anneaux concentriques moins lumineux.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre comment la taille de l'ouverture et la couleur (longueur d'onde) de la lumière influencent la taille de la tache centrale, limitant ainsi le pouvoir de résolution des instruments optiques.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de rayon angulaire de la tache d'Airy.
Calculer le diamètre de la tache centrale sur un écran donné.
Analyser l'influence de la longueur d'onde et du diamètre de l'ouverture sur la diffraction.
Résoudre un problème inverse (dimensionner l'expérience).

Données de l'étude

On considère un laser monochromatique éclairant une fine ouverture circulaire percée dans une plaque opaque. La figure de diffraction est observée sur un écran placé à grande distance.

Fiche Technique

Composant	Spécification
Source Lumineuse	Laser Rouge (Hélium-Néon)
Ouverture	Trou circulaire calibré
Milieu	Air (indice \( n \approx 1 \))

Dispositif Expérimental de Diffraction

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(\lambda\)	Longueur d'onde du laser	633	nm (nanomètres)
\(a\)	Diamètre de l'ouverture	0.2	mm (millimètres)
\(D\)	Distance ouverture-écran	2.0	m (mètres)

Questions à traiter

Calculer le demi-angle d'ouverture angulaire \(\theta\) de la tache centrale de diffraction.
En déduire le rayon \(R\) de la tache centrale sur l'écran.
Calculer le diamètre \(L\) de cette tache centrale.
On remplace l'ouverture par un trou deux fois plus petit de diamètre \(a' = 0.1\) mm. Quel est le nouveau diamètre \(L'\) de la tache ?
Problème inverse : On conserve le trou initial (\(a = 0.2\) mm) mais on souhaite obtenir une tache centrale de diamètre \(L_{\text{cible}} = 20\) mm. À quelle distance \(D'\) doit-on placer l'écran ?

Les bases sur la Diffraction

Pour une ouverture circulaire de diamètre \(a\), la lumière ne se propage pas en ligne droite mais s'étale. La tache centrale (disque d'Airy) concentre environ 84% de l'énergie lumineuse.

1. Angle de diffraction
La position angulaire du premier minimum d'intensité (bord sombre de la tache centrale) est donnée par la formule : \[ \sin(\theta) \approx \theta = 1.22 \frac{\lambda}{a} \] (Valable dans l'approximation des petits angles, \(\theta\) en radians).

2. Rayon de la tache
Sur un écran placé à une distance \(D\), le rayon \(R\) de la tache centrale est relié à l'angle \(\theta\) par : \[ R = D \cdot \tan(\theta) \approx D \cdot \theta \]

Correction : Diffraction par une Ouverture Circulaire

Question 1 : Calcul de l'écart angulaire \(\theta\)

Principe

L'angle \(\theta\) délimite la zone où les ondes interfèrent de manière constructive pour former le pic principal. Cet angle dépend directement du rapport entre la taille de l'onde (\(\lambda\)) et la taille de l'obstacle (\(a\)). Plus le trou est petit, plus la lumière s'étale.

Mini-Cours

La formule de la diffraction \(\theta = 1.22 \lambda / a\) provient de la résolution de l'intégrale de diffraction pour une ouverture circulaire, faisant intervenir les fonctions de Bessel. Le facteur 1.22 correspond au premier zéro de la fonction de Bessel \(J_1(x)\).

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas diffraction et réfraction. Ici, la lumière change de direction non pas parce qu'elle change de milieu, mais parce qu'elle est contrainte par une ouverture. C'est une propriété purement ondulatoire.

Normes

Dans l'enseignement supérieur, on travaille presque exclusivement avec l'approximation de Gauss pour les petits angles, où \(\sin(\theta) \approx \tan(\theta) \approx \theta\) (en radians).

Formule(s)

Position du premier minimum (Airy)

\theta = 1.22 \frac{\lambda}{a}

Hypothèses

On suppose que l'on est dans les conditions de Fraunhofer (observation à l'infini ou à grande distance) et que l'angle \(\theta\) est très petit.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur d'onde	\(\lambda\)	633	nm
Diamètre trou	\(a\)	0.2	mm

Astuces

Pour les conversions : \(1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}\) et \(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\). Écrivez toujours vos données en puissances de 10 pour éviter les erreurs de zéro.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'angle d'ouverture

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion en mètres (Système International)

Avant tout calcul, on convertit les unités pour être homogène. Les nanomètres et millimètres doivent être exprimés en mètres.

\begin{aligned} \lambda &= 633 \text{ nm} = 633 \times 10^{-9} \text{ m} \\ a &= 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \times 10^{-4} \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Application numérique détaillée

On applique maintenant la formule en remplaçant par les valeurs converties.

\begin{aligned} \theta &= 1.22 \times \frac{\lambda}{a} \\ &= 1.22 \times \frac{633 \times 10^{-9} \text{ m}}{2 \times 10^{-4} \text{ m}} \\ &= 1.22 \times \left( \frac{633}{2} \right) \times \frac{10^{-9}}{10^{-4}} \\ &= 1.22 \times 316.5 \times 10^{-5} \\ &= 386.13 \times 10^{-5} \text{ rad} \\ &\approx 3.86 \times 10^{-3} \text{ rad} = 3.86 \text{ mrad} \end{aligned}

Le résultat est obtenu en radians. Pour faciliter la lecture, on le convertit souvent en milliradians (mrad) en multipliant par 1000.

Schéma (Après les calculs)

Résultat Angulaire

Réflexions

Un angle de 3.86 mrad est très faible (environ 0.22 degrés). Cela justifie parfaitement l'utilisation de l'approximation des petits angles que nous avons faite au début.

Points de vigilance

Attention à bien convertir toutes les longueurs en mètres avant de faire le rapport ! Diviser des nanomètres par des millimètres sans conversion donnerait un résultat faux.

Points à retenir

L'angle de diffraction est proportionnel à la longueur d'onde \(\lambda\) et inversement proportionnel à la taille de l'ouverture \(a\).

Le saviez-vous ?

C'est Sir George Biddell Airy qui a calculé pour la première fois la distribution d'intensité de cette figure de diffraction en 1835, pour expliquer l'apparence des étoiles vues à travers un télescope.

FAQ

Résultat Final

L'angle de diffraction est \(\theta \approx 3.86\) mrad.

A vous de jouer

Si on remplace le laser rouge par un laser vert (\(\lambda = 532 \text{ nm}\)), calculez le nouvel angle \(\theta\) (en mrad).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Formule : \(\theta = 1.22 \lambda / a\).
Unités : \(\lambda\) et \(a\) en mètres, \(\theta\) en radians.

Question 2 : Calcul du rayon \(R\) de la tache centrale

Principe

Maintenant que nous connaissons l'angle d'ouverture du cône de lumière, nous pouvons utiliser la géométrie élémentaire pour déterminer la taille de la tache projetée sur l'écran situé à une distance connue.

Mini-Cours

Dans un triangle rectangle formé par l'axe optique, le rayon de la tache et la distance à l'écran, la relation trigonométrique est \(\tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \frac{R}{D}\).

Remarque Pédagogique

Cette étape permet de passer d'une grandeur angulaire (abstraite) à une grandeur linéaire (mesurable avec une règle sur l'écran). C'est l'application concrète de la théorie.

Normes

L'approximation des petits angles est standard en optique ondulatoire pour les calculs de diffraction à grande distance.

Formule(s)

R = D \cdot \tan(\theta) \approx D \cdot \theta

Hypothèses

L'écran est perpendiculaire à l'axe optique. L'approximation \(\tan(\theta) \approx \theta\) est valide car \(\theta\) est très petit.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance écran	\(D\)	2.0	m
Angle (calculé)	\(\theta\)	3.86e-3	rad

Astuces

Si vous utilisez la valeur exacte de \(\theta\) en mémoire de votre calculatrice, vous éviterez les erreurs d'arrondi intermédiaires.

Schéma (Avant les calculs)

Géométrie de projection

Calcul(s)

Application numérique

L'approximation des petits angles nous permet d'utiliser une relation linéaire simple :

\begin{aligned} R &\approx D \times \theta \\ &= 2.0 \text{ m} \times (3.86 \times 10^{-3} \text{ rad}) \\ &= 7.72 \times 10^{-3} \text{ m} \end{aligned}

Conversion en mm :

\begin{aligned} &= 7.72 \text{ mm} \end{aligned}

On obtient directement le rayon en mètres, puis on convertit en millimètres pour avoir une valeur plus parlante à l'échelle humaine.

Schéma (Après les calculs)

Rayon calculé sur l'écran

Réflexions

Un rayon de près de 8mm est facilement visible à l'œil nu. Cela montre que la diffraction n'est pas un effet négligeable à cette échelle.

Points de vigilance

Assurez-vous que \(D\) est en mètres. Le résultat sera alors directement en mètres. Pensez à convertir en mm à la fin si demandé.

Points à retenir

La taille de la tache augmente linéairement avec la distance \(D\).

Le saviez-vous ?

En photographie, ce rayon R détermine le "cercle de confusion" minimal dû à la diffraction, limitant la netteté à petite ouverture.

FAQ

Résultat Final

Le rayon de la tache centrale est \(R \approx 7.72\) mm.

A vous de jouer

Quel serait le rayon de la tache si l'écran était placé à \(D = 5.0\) m ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Formule : \(R = D \cdot \theta\).
Relation : \(R\) est proportionnel à la distance \(D\).

Question 3 : Calcul du diamètre \(L\) de la tache centrale

Principe

La tache centrale est symétrique. Pour obtenir sa dimension totale (ce qu'on mesurerait avec un pied à coulisse en travers de la tache), il faut doubler le rayon.

Mini-Cours

Le diamètre \(L\) (ou \(\Phi\)) correspond à la largeur totale du pic central entre les deux premiers minimums d'intensité de part et d'autre du centre.

Remarque Pédagogique

C'est souvent cette valeur qui est mesurée expérimentalement car il est plus facile de repérer les deux bords sombres que le centre exact de la tache lumineuse.

Normes

Pas de norme spécifique ici, c'est de la géométrie euclidienne de base.

Formule(s)

L = 2 \times R

Hypothèses

On suppose une tache parfaitement circulaire et symétrique.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon (calculé)	\(R\)	7.72	mm

Astuces

Mentalement, doublez simplement le chiffre avant de l'écrire pour vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation Diamètre vs Rayon

Calcul(s)

Le diamètre est simplement deux fois le rayon calculé précédemment :

\begin{aligned} L &= 2 \times R \\ &= 2 \times 7.72 \text{ mm} \\ &= 15.44 \text{ mm} \end{aligned}

Le résultat donne directement la largeur totale de la tache centrale.

Schéma (Après les calculs)

Diamètre final de la tache

Réflexions

Comparons ce diamètre (\(L \approx 15.4\) mm) au diamètre du trou initial (\(a = 0.2\) mm). La tache lumineuse est environ 77 fois plus large que le trou par lequel la lumière est passée ! C'est la manifestation spectaculaire de l'étalement par diffraction.

Points de vigilance

Ne confondez pas le rayon et le diamètre. Lisez bien la question pour savoir laquelle des deux grandeurs est demandée.

Points à retenir

Plus le trou est petit, plus le diamètre de la tache sur l'écran est grand.

Le saviez-vous ?

Ce principe explique pourquoi les objectifs d'appareil photo ont une résolution optimale à une ouverture moyenne (f/8 par exemple). Si on ferme trop le diaphragme (trou très petit), la diffraction brouille l'image !

FAQ

Résultat Final

Le diamètre de la tache centrale est \(L \approx 15.44\) mm.

A vous de jouer

Si le rayon calculé était de 12 mm, quel serait le diamètre ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept : Le diamètre est la largeur totale de la tache.
Ordre de grandeur : Souvent beaucoup plus grand que l'ouverture elle-même.

Question 4 : Influence de la réduction de l'ouverture

Principe

Nous analysons ici l'effet de la modification d'un paramètre clé : le diamètre du trou \(a\). C'est une question de "sens physique" pour comprendre comment la diffraction évolue. Intuitivement, on pourrait croire qu'un trou plus petit donne une tache plus petite, mais la diffraction fonctionne à l'inverse !

Mini-Cours

La relation \(\theta \propto \frac{1}{a}\) indique une proportionnalité inverse. Si le dénominateur (taille du trou) diminue, le résultat (angle de diffraction) augmente. C'est une propriété fondamentale des ondes (Transformée de Fourier).

Remarque Pédagogique

C'est le piège classique de la diffraction : pour focaliser la lumière très précisément, on ne doit pas trop restreindre le faisceau.

Normes

Raisonnement par proportionnalité standard.

Formule(s)

L' = \frac{a}{a'} \times L

Hypothèses

On suppose que la longueur d'onde et la distance à l'écran restent inchangées.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur Initiale	Nouvelle Valeur
Diamètre trou	\(a = 0.2\) mm	\(a' = 0.1\) mm
Diamètre tache	\(L \approx 15.44\) mm	\(L' = ?\)

Astuces

Ne refaites pas tout le calcul depuis le début ! Utilisez le rapport de proportionnalité. Si \(a\) est divisé par 2, \(L\) est multiplié par 2.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison Visuelle (Principe)

Trou: a

⬇

Tache: L

VS

Trou: a/2

⬇

Tache: 2L

Calcul(s)

Raisonnement par proportionnalité détaillé

Analysons d'abord comment les variables sont liées. Le diamètre \(L\) est proportionnel à l'inverse de \(a\). On sait que :

\begin{aligned} L &= \frac{2.44 \cdot \lambda \cdot D}{a} \end{aligned}

Avec a':\( = \frac{a}{2} \)

\begin{aligned} L' & = \frac{2.44 \cdot \lambda \cdot D}{a'} \\ L' & = \frac{2.44 \cdot \lambda \cdot D}{(a/2)} \\ &= 2 \times \underbrace{\left( \frac{2.44 \cdot \lambda \cdot D}{a} \right)}_{L} \\ &= 2 \times L \end{aligned}

Application numérique

Puisque nous avons établi que le nouveau diamètre est le double de l'ancien, le calcul est immédiat :

L' = 2 \times 15.44 \text{ mm} = 30.88 \text{ mm}

On confirme ainsi mathématiquement l'intuition physique : un trou deux fois plus petit produit une tache deux fois plus grande.

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Étalement accru

Réflexions

En divisant la taille du trou par 2, on a multiplié la taille de la tache par 2. Cela confirme que plus on confine la lumière spatialement (trou petit), plus elle s'étale angulairement (tache large). C'est une manifestation du principe d'incertitude d'Heisenberg appliqué aux photons.

Points de vigilance

Attention au sens de variation. Si vous trouvez une tache plus petite avec un trou plus petit, vous avez fait une erreur de logique.

Points à retenir

\(a \searrow \Rightarrow L \nearrow\). La diffraction est d'autant plus marquée que l'obstacle est petit.

Le saviez-vous ?

C'est pour cette raison que les radiotélescopes doivent être gigantesques : les ondes radio sont grandes, donc pour éviter une énorme diffraction (flou), il faut un "trou" (antenne) immense.

FAQ

Résultat Final

Le nouveau diamètre est \(L' \approx 30.9\) mm.

A vous de jouer

Et si on avait doublé la taille du trou initial (\(a'' = 0.4\) mm), quel serait le diamètre de la tache ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Relation : Proportionnalité Inverse.
Règle : Trou 2x plus petit = Tache 2x plus grande.

Question 5 : Problème Inverse (Dimensionnement)

Principe

C'est un problème typique d'ingénierie : on part du résultat souhaité (une tache de 20 mm) et on cherche à dimensionner le système (la distance \(D\)) pour l'obtenir.

Mini-Cours

Résoudre une équation physique consiste souvent à isoler la variable inconnue. Ici, on connait tout sauf \(D\).

Remarque Pédagogique

Savoir inverser une formule est aussi important que de savoir l'appliquer. C'est le quotidien de l'ingénieur qui doit concevoir un système.

Normes

Manipulation algébrique standard.

Formule(s)

On inverse la formule \(L = 2 D \theta\) pour isoler \(D\).

D' = \frac{L_{\text{cible}}}{2 \theta}

Hypothèses

On garde le même laser et la même ouverture, donc \(\theta\) ne change pas.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité
Diamètre cible (\(L_{\text{cible}}\))	20	mm = \(20 \times 10^{-3}\) m
Angle (\(\theta\))	3.86e-3	rad (inchangé)

Astuces

Vérifiez la cohérence physique : on veut une tache plus grande (20mm vs 15mm), donc on s'attend logiquement à devoir reculer l'écran (augmenter D).

Schéma (Avant les calculs)

Problème : Trouver D'

Calcul(s)

Commençons par exprimer \(D'\) en fonction des autres variables :

\begin{aligned} \text{On part de } L &= 2 \cdot D' \cdot \theta \\ \text{On isole } D' : D' &= \frac{L}{2 \cdot \theta} \end{aligned}

Passons à l'application numérique en remplaçant \(L\) par 20 mm et \(\theta\) par 3.86 mrad :

\begin{aligned} D' &= \frac{20 \text{ mm}}{2 \times 3.86 \text{ mrad}} \end{aligned}

En unités SI :

\begin{aligned} D' &= \frac{20 \times 10^{-3} \text{ m}}{2 \times (3.86 \times 10^{-3} \text{ rad})} \\ &= \frac{20 \times 10^{-3}}{7.72 \times 10^{-3}} \\ &= \frac{20}{7.72} \\ &\approx 2.59 \text{ m} \end{aligned}

Le résultat final indique la distance nécessaire en mètres.

Schéma (Après les calculs)

Configuration Dimensionnée

Réflexions

Pour grossir la tache de 15 mm à 20 mm (augmentation d'environ 30%), il faut reculer l'écran de 2.0 m à 2.59 m (augmentation proportionnelle de la distance). La relation linéaire entre \(L\) et \(D\) facilite les ajustements expérimentaux.

Points de vigilance

N'oubliez pas de convertir \(L_{\text{cible}}\) en mètres avant de diviser, sinon votre distance sera fausse d'un facteur 1000 !

Points à retenir

La distance \(D\) agit comme un facteur d'échelle (zoom) sur la figure de diffraction.

Le saviez-vous ?

Dans les salles de cinéma, c'est exactement ce calcul qui détermine où placer le projecteur pour remplir l'écran exactement.

FAQ

Résultat Final

Il faut placer l'écran à une distance \(D' \approx 2.59\) m.

A vous de jouer

Si on voulait une tache de 10 mm (plus petite), à quelle distance faudrait-il mettre l'écran ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Méthode : Isoler l'inconnue dans la formule de base.
Concept : \(D = L / (2\theta)\).

Outil Interactif : Simulateur de Diffraction

Observez comment la taille de la tache centrale et le profil d'intensité varient en fonction des paramètres.

Paramètres d'Entrée

Longueur d'onde λ (nm) 633 nm (Rouge)

Diamètre ouverture a (mm) 0.2 mm

Distance Écran D (m) 2.0 m

Résultats Clés

Angle θ (mrad) -

Rayon Tache R (mm) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le diamètre de l'ouverture (\(a\)), comment varie la taille de la tache centrale ?

Elle double.
Elle est divisée par 2.
Elle reste inchangée.

2. Quelle couleur de lumière produit la tache de diffraction la plus large (pour un même trou) ?

Le Rouge (\(\lambda \approx 700\) nm).
Le Bleu (\(\lambda \approx 450\) nm).
Cela ne dépend pas de la couleur.

Glossaire

Diffraction de Fraunhofer: Modèle de diffraction valable lorsque la source et l'écran sont à l'infini (ou très loin) de l'ouverture diffractante.
Tache d'Airy: Nom donné au disque central brillant de la figure de diffraction produite par une ouverture circulaire.
Monochromatique: Qualifie une lumière composée d'une seule fréquence (ou longueur d'onde), c'est-à-dire une seule "couleur" pure.
Radiant (rad): Unité d'angle standard en physique. \(1 \text{ rad} \approx 57.3^\circ\).

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