Effet Tunnel à travers une Barrière de Potentiel

Contexte : Franchir l'infranchissable, au cœur du monde quantique.

En physique classique, une particule ne peut jamais franchir une barrière de potentiel si son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière. C'est comme une bille qui n'aurait pas assez d'élan pour monter une côte. Cependant, le monde quantique défie cette intuition. L'effet tunnelPhénomène purement quantique où une particule peut traverser une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière. La probabilité de traversée est non nulle mais décroît exponentiellement avec l'épaisseur et la hauteur de la barrière. est un phénomène où une particule, décrite par sa fonction d'onde, a une probabilité non nulle de "traverser" une telle barrière. Ce concept, bien que contre-intuitif, est fondamental et explique de nombreux phénomènes, de la radioactivité alpha des noyaux atomiques au fonctionnement des microscopes à effet tunnel et des mémoires flash de nos ordinateurs.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de l'équation de Schrödinger à un problème de diffusion. Nous allons analyser le comportement d'une onde de matière face à un obstacle pour calculer une probabilité de transmission. C'est une démarche fondamentale pour comprendre comment les particules interagissent et se propagent dans le monde quantique.

Objectifs Pédagogiques

Écrire l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour les différentes régions du potentiel.
Déterminer la forme des fonctions d'onde dans chaque région (oscillante ou évanescente).
Appliquer les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée aux frontières.
Calculer le coefficient de transmission et comprendre sa signification physique.
Analyser l'influence de l'énergie de la particule et des dimensions de la barrière sur la probabilité de l'effet tunnel.

Données de l'étude

Un électron est envoyé sur une barrière de potentiel rectangulaire. Son énergie cinétique est inférieure à la hauteur de la barrière. Nous souhaitons calculer la probabilité pour que cet électron traverse la barrière par effet tunnel.

Schéma de la barrière de potentiel

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de l'électron	\(m_{\text{e}}\)	\(9.11 \times 10^{-31}\)	\(\text{kg}\)
Énergie de l'électron	\(E\)	5	\(\text{eV}\)
Hauteur de la barrière	\(V_0\)	10	\(\text{eV}\)
Largeur de la barrière	\(L\)	0.1	\(\text{nm}\)
Constante de Planck réduite	\(\hbar\)	\(1.054 \times 10^{-34}\)	\(\text{J} \cdot \text{s}\)
Charge élémentaire	\(e\)	\(1.602 \times 10^{-19}\)	\(\text{C}\)

Questions à traiter

Convertir toutes les énergies en Joules (J) et les longueurs en mètres (m).
Calculer les nombres d'onde \(k_1\) (régions I et III) et le coefficient d'atténuation \(\kappa_2\) (région II).
Calculer le coefficient de transmission \(T\) à travers la barrière.
Interpréter le résultat : quel est le pourcentage de chance pour l'électron de traverser la barrière ?

Les bases de l'Effet Tunnel

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.

1. L'équation de Schrödinger et les solutions :
L'état d'une particule est décrit par une fonction d'onde \(\psi(x)\) qui est solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps : \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \] - Si \(E > V(x)\) (régions I et III), la solution est une onde oscillante de la forme \(A e^{ikx} + B e^{-ikx}\). - Si \(E < V(x)\) (région II, classiquement interdite), la solution est une onde évanescente (atténuée) de la forme \(C e^{\kappa x} + D e^{-\kappa x}\).

2. Conditions de Continuité :
Pour que la solution soit physiquement acceptable, la fonction d'onde \(\psi(x)\) et sa dérivée première \(\psi'(x)\) doivent être continues partout, y compris aux frontières de la barrière (en \(x=0\) et \(x=L\)). Ces conditions permettent de relier les constantes (A, B, C, D...) entre les différentes régions.

3. Le Coefficient de Transmission (T) :
Il représente la probabilité qu'une particule incidente traverse la barrière. Il est défini comme le rapport du module au carré de l'amplitude de l'onde transmise sur celui de l'onde incidente. Pour \(E < V_0\), une bonne approximation est donnée par : \[ T \approx 16 \frac{E}{V_0} \left(1 - \frac{E}{V_0}\right) e^{-2\kappa_2 L} \] où \(\kappa_2 = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}\).

Correction : Effet Tunnel à travers une Barrière de Potentiel

Question 1 : Conversion des unités

Principe (le concept physique)

En physique, il est crucial de travailler dans un système d'unités cohérent pour que les calculs soient justes. Le Système International (SI) est la norme : mètres (m) pour la longueur, kilogrammes (kg) pour la masse, secondes (s) pour le temps, et Joules (J) pour l'énergie. L'électron-volt (eV) et le nanomètre (nm) sont des unités pratiques à l'échelle atomique, mais doivent être converties pour les calculs fondamentaux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les équations fondamentales de la physique, comme celle de Schrödinger, sont établies avec des constantes (telle que \(\hbar\)) dont la valeur numérique est définie dans le système SI. Utiliser des unités mixtes sans conversion appropriée briserait l'homogénéité dimensionnelle de l'équation, menant à des résultats physiquement incorrects.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez l'habitude de toujours commencer un problème de physique par une section "Données et Unités". Listez toutes vos variables, convertissez-les immédiatement en SI, et ne travaillez qu'avec ces valeurs converties. Cela vous évitera 90% des erreurs de calcul les plus courantes.

Normes (la référence réglementaire)

Le Système International d'unités (SI) est la convention mondiale pour la science et la technologie. Il est maintenu par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). L'utilisation du SI garantit que les résultats expérimentaux et théoriques sont universellement comparables et reproductibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les facteurs de conversion à utiliser sont :

1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}

1 \, \text{nm} = 1 \times 10^{-9} \, \text{m}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les valeurs des constantes fondamentales (e) et des préfixes (nano) sont exactes et connues dans le système SI.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Énergie de l'électron, \(E = 5 \, \text{eV}\)
Hauteur de la barrière, \(V_0 = 10 \, \text{eV}\)
Largeur de la barrière, \(L = 0.1 \, \text{nm}\)
Charge élémentaire, \(e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Retenez qu'1 eV est l'énergie acquise par un électron accéléré par une tension de 1 Volt. Sa valeur en Joules est donc numériquement égale à la valeur de la charge de l'électron en Coulombs.

Schéma (Avant les calculs)

Processus de Conversion d'Unités

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des énergies de \(\text{eV}\) en \(\text{J}\) : \(E_{\text{J}} = E_{\text{eV}} \times e\)

\begin{aligned} E &= 5 \, \text{eV} \times (1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}) \\ &= 8.01 \times 10^{-19} \, \text{J} \end{aligned}

\begin{aligned} V_0 &= 10 \, \text{eV} \times (1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}) \\ &= 1.602 \times 10^{-18} \, \text{J} \end{aligned}

2. Conversion de la longueur de \(\text{nm}\) en \(\text{m}\) : \(L_{\text{m}} = L_{\text{nm}} \times 10^{-9}\)

\begin{aligned} L &= 0.1 \, \text{nm} \times 10^{-9} \, \text{m/nm} \\ &= 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultats de la Conversion

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'énergie d'un seul électron en Joules est une valeur extrêmement faible. Cela justifie l'utilisation d'unités plus pratiques comme l'électron-volt dans les discussions à l'échelle atomique. Cependant, pour les calculs impliquant des constantes fondamentales comme \(\hbar\), le retour au Joule est indispensable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier la conversion, ce qui conduit à des résultats erronés de 19 ordres de grandeur pour les énergies ! Une autre erreur est de mal utiliser les préfixes : ne pas confondre nano (\(10^{-9}\)), micro (\(10^{-6}\)), milli (\(10^{-3}\)), etc.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Toujours travailler en unités SI pour les calculs fondamentaux.
Énergie : électron-volt (eV) \(\Rightarrow\) Joule (J).
Longueur : nanomètre (nm) \(\Rightarrow\) mètre (m).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Jusqu'en 2019, la définition du kilogramme (l'unité de masse du SI) était basée sur un cylindre physique en platine-iridium conservé en France, le "Grand K". Aujourd'hui, toutes les unités SI sont définies à partir de constantes fondamentales de la nature (comme la constante de Planck), les rendant universelles et immuables.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les valeurs en unités SI sont : \(E = 8.01 \times 10^{-19} \, \text{J}\), \(V_0 = 1.602 \times 10^{-18} \, \text{J}\), et \(L = 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

L'énergie de masse d'un électron est d'environ 511 keV (kilo-électron-volts). Convertissez cette valeur en Joules.

Question 2 : Calculer les nombres d'onde (k₁, κ₂)

Principe (le concept physique)

Les termes \(k_1\) et \(\kappa_2\) caractérisent la forme de la fonction d'onde. Dans les régions où l'électron se propage librement (\(E > V=0\)), \(k_1\) est le nombre d'onde, lié à la longueur d'onde de De Broglie (\(\lambda = 2\pi/k_1\)). Il décrit l'oscillation spatiale de l'onde. Dans la barrière où l'électron est "classiquement interdit" (\(E < V_0\)), \(\kappa_2\) n'est pas une pulsation spatiale mais un coefficient d'atténuation : il décrit à quelle vitesse l'amplitude de la fonction d'onde décroît exponentiellement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En réarrangeant l'équation de Schrödinger, on obtient \( \frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}\psi \). - Si \(E>V\), le terme de droite est négatif. On pose \(k^2 = \frac{2m(E-V)}{\hbar^2}\), ce qui donne \(\psi'' = -k^2\psi\), l'équation d'un oscillateur harmonique dont les solutions sont des sinus et cosinus (ou des exponentielles complexes \(e^{\pm ikx}\)). - Si \(E

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez \(1/k_1\) comme une mesure de la "taille" d'une oscillation de l'onde de l'électron. Visualisez \(1/\kappa_2\) comme la "distance de pénétration" de l'onde dans la barrière. Si la barrière est beaucoup plus large que cette distance, l'onde sera presque entièrement amortie avant d'atteindre l'autre côté, et l'effet tunnel sera très faible.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de "norme" au sens industriel, mais la définition de \(k\) et \(\kappa\) est une convention universellement acceptée dans tous les manuels et publications de physique quantique. C'est le langage standard pour décrire la propagation et l'atténuation des ondes de matière.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les expressions sont issues de la réécriture de l'équation de Schrödinger :

k_1 = \frac{\sqrt{2m_{\text{e}} E}}{\hbar} \quad (\text{pour les régions I et III})

\kappa_2 = \frac{\sqrt{2m_{\text{e}} (V_0 - E)}}{\hbar} \quad (\text{pour la région II})

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le potentiel est parfaitement rectangulaire (les transitions en x=0 et x=L sont instantanées) et que la masse de l'électron est constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Toutes les valeurs en unités SI de la question précédente.
\(m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
\(\hbar = 1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Les termes sous la racine carrée, \(2m_{\text{e}}E\) et \(2m_{\text{e}}(V_0-E)\), représentent le carré de la quantité de mouvement (classique ou "imaginaire"). Le calcul de ces termes est la principale étape arithmétique. Une fois que vous les avez, le reste n'est qu'une division par \(\hbar\).

Schéma (Avant les calculs)

Signification de k et κ

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(k_1\) :

\begin{aligned} k_1 &= \frac{\sqrt{2 \cdot (9.11 \times 10^{-31}) \cdot (8.01 \times 10^{-19})}}{1.054 \times 10^{-34}} \\ &\approx 1.14 \times 10^{10} \, \text{m}^{-1} \end{aligned}

2. Calcul de \(\kappa_2\) :

\begin{aligned} \kappa_2 &= \frac{\sqrt{2 \cdot (9.11 \times 10^{-31}) \cdot (1.602 \times 10^{-18} - 8.01 \times 10^{-19})}}{1.054 \times 10^{-34}} \\ &\approx 1.14 \times 10^{10} \, \text{m}^{-1} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeurs Calculées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous obtenons \(k_1 \approx \kappa_2\). C'est une coïncidence due au choix des paramètres (\(E = V_0/2\)). La valeur de \(\kappa_2\) est grande, ce qui signifie que l'onde sera fortement atténuée. L'inverse de \(\kappa_2\) donne une "longueur de pénétration" caractéristique d'environ \(0.088\) nm. Comme la barrière fait 0.1 nm de large, on s'attend à une atténuation significative mais pas totale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas inverser les termes dans la racine carrée. Pour \(k\), c'est \(E-V\). Pour \(\kappa\), c'est \(V-E\). Une inversion rendrait le terme sous la racine négatif et le calcul impossible. Assurez-vous aussi que toutes les valeurs sont en SI avant de commencer.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

\(k\) est le nombre d'onde dans les régions classiquement permises (\(E>V\)).
\(\kappa\) est le coefficient d'atténuation dans la région classiquement interdite (\(E
\(1/\kappa\) représente la distance de pénétration caractéristique de l'onde dans la barrière.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les ondes évanescentes ne sont pas exclusives à la mécanique quantique. En optique, lorsqu'un rayon lumineux subit une réflexion totale interne à l'interface entre deux milieux, une onde électromagnétique "évanescente" pénètre sur une très courte distance dans le second milieu. C'est ce phénomène qui est exploité en microscopie à champ proche (SNOM).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les coefficients sont : \(k_1 \approx 1.14 \times 10^{10} \, \text{m}^{-1}\) et \(\kappa_2 \approx 1.14 \times 10^{10} \, \text{m}^{-1}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'énergie de l'électron était de 9 eV (plus proche de V₀), est-ce que \(\kappa_2\) serait plus grand ou plus petit ? Calculez sa nouvelle valeur en \(m^{-1}\).

Question 3 : Calculer le coefficient de transmission (T)

Principe (le concept physique)

Le coefficient de transmission \(T\) quantifie la probabilité de l'effet tunnel. Il dépend de deux facteurs principaux : un pré-facteur lié à la "douceur" de la transition aux interfaces (qui dépend du rapport \(E/V_0\)), et un facteur exponentiel dominant qui traduit l'atténuation de l'onde à travers la barrière. C'est ce terme exponentiel, \(e^{-2\kappa_2 L}\), qui est le cœur de l'effet tunnel et montre sa sensibilité extrême à la largeur \(L\) et à la hauteur (\(V_0 - E\)) de la barrière.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul exact de \(T\) implique de résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues provenant des conditions de continuité en \(x=0\) et \(x=L\). Le résultat final est \(T = \left[1 + \frac{V_0^2}{4E(V_0-E)}\sinh^2(\kappa_2 L)\right]^{-1}\). Lorsque \(\kappa_2 L \gg 1\), on a \(\sinh(\kappa_2 L) \approx \frac{1}{2}e^{\kappa_2 L}\), et la formule se simplifie pour donner l'approximation utilisée dans cet exercice, qui est beaucoup plus facile à manipuler.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'important n'est pas de mémoriser la formule complexe, mais de comprendre la physique qu'elle contient. Le pré-facteur \(16 \frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})\) est maximal quand \(E=V_0/2\). Le terme exponentiel, lui, domine complètement le comportement. Une petite augmentation de L ou de \((V_0-E)\) fait chuter T de manière drastique.

Normes (la référence réglementaire)

Cette formule est un résultat standard de la mécanique quantique non-relativiste. Elle est dérivée directement de l'équation de Schrödinger et constitue un des piliers de la théorie de la diffusion quantique, applicable à de nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une barrière assez opaque (\(\kappa_2 L \ge 1\)), on utilise l'approximation :

T \approx 16 \frac{E}{V_0} \left(1 - \frac{E}{V_0}\right) e^{-2\kappa_2 L}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'approximation pour barrière opaque est valide. On peut le vérifier : \(\kappa_2 L \approx (1.14 \times 10^{10}) \cdot (1.0 \times 10^{-10}) = 1.14\), ce qui est supérieur à 1. L'approximation est donc raisonnable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Rapport d'énergie : \(E/V_0 = 5 \, \text{eV} / 10 \, \text{eV} = 0.5\)
Coefficient d'atténuation : \(\kappa_2 \approx 1.14 \times 10^{10} \, \text{m}^{-1}\)
Largeur de la barrière : \(L = 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez toujours l'argument de l'exponentielle, \(2\kappa_2 L\), en premier. C'est le terme le plus important. Si ce terme est grand (disons > 5), le pré-facteur a peu d'importance et \(T \approx e^{-2\kappa_2 L}\). S'il est petit (< 1), l'approximation n'est plus très bonne et il faudrait utiliser la formule complète avec le sinus hyperbolique.

Schéma (Avant les calculs)

Décomposition du Calcul de T

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'exposant :

\begin{aligned} 2 \kappa_2 L &= 2 \cdot (1.14 \times 10^{10} \, \text{m}^{-1}) \cdot (1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}) \\ &= 2.28 \end{aligned}

2. Calcul du coefficient de transmission T :

\begin{aligned} T &\approx 16 \cdot (0.5) \cdot (1 - 0.5) \cdot e^{-2.28} \\ &\approx 16 \cdot 0.25 \cdot e^{-2.28} \\ &\approx 4 \cdot (0.1022) \\ &\approx 0.409 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat du Calcul de T

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(T \approx 0.409\) est significatif. Il indique qu'une particule quantique a une chance surprenante de franchir un obstacle qui serait une muraille infranchissable en physique classique. L'atténuation exponentielle est réelle (le facteur \(e^{-2.28}\) a réduit la probabilité d'un facteur 10), mais le phénomène reste tout à fait possible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier le facteur 2 dans l'exponentielle. Une autre erreur est d'utiliser la mauvaise formule ; la formule exacte est plus complexe et fait intervenir des fonctions hyperboliques. L'approximation utilisée ici est très bonne lorsque l'exposant \(2\kappa_2 L\) est supérieur à 2 ou 3.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le coefficient de transmission \(T\) est le produit d'un pré-facteur et d'un terme d'atténuation exponentiel.
Le terme \(e^{-2\kappa_2 L}\) est le plus important et caractérise la décroissance rapide de T avec la largeur et la hauteur de la barrière.
L'approximation est valable pour des barrières "opaques" où \(\kappa_2 L > 1\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le microscope à effet tunnel (STM), qui a valu le prix Nobel à ses inventeurs en 1986, utilise ce principe. Une pointe métallique extrêmement fine est approchée à quelques nanomètres d'une surface. Un très faible courant "tunnel" s'établit entre la pointe et la surface. Ce courant est exponentiellement sensible à la distance, ce qui permet de cartographier la topographie de la surface avec une résolution atomique !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le coefficient de transmission est d'environ \(T \approx 0.409\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant les mêmes données, calculez le coefficient de transmission T pour un proton (\(m_{\text{p}} \approx 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)) au lieu d'un électron.

Question 4 : Interprétation du résultat

Principe (le concept physique)

En mécanique quantique, les probabilités sont reines. Le coefficient de transmission \(T\) n'est pas une certitude, mais une probabilité. Si on envoie un grand nombre N d'électrons identiques sur la barrière, en moyenne, \(N \times T\) électrons la traverseront et \(N \times R\) (où R=1-T est le coefficient de réflexion) seront réfléchis. Pour un seul électron, on ne peut pas prédire son sort ; on peut seulement dire qu'il a une probabilité \(T\) de passer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'interprétation probabiliste est au cœur de la mécanique quantique (interprétation de Copenhague). La fonction d'onde \(\psi\) n'est pas la particule elle-même, mais contient toute l'information sur la probabilité de ses observables (position, impulsion, etc.). Le module au carré de l'amplitude de l'onde transmise, \(|A_{\text{trans}}|^2\), est proportionnel à la probabilité de trouver la particule après la barrière. Le coefficient \(T\) normalise cette probabilité par rapport à l'onde incidente.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne soyez pas troublé par l'aspect probabiliste. C'est l'une des caractéristiques les plus étranges et les plus fondamentales du monde quantique. Il faut abandonner l'idée classique qu'une particule a une trajectoire bien définie. Pensez plutôt en termes d'ondes de probabilité qui peuvent se diviser, interférer et traverser des obstacles.

Normes (la référence réglementaire)

L'interprétation probabiliste de la fonction d'onde, proposée par Max Born en 1926, est un postulat fondamental de la mécanique quantique. C'est le cadre conceptuel standard utilisé par la quasi-totalité de la communauté scientifique pour donner un sens physique aux solutions de l'équation de Schrödinger.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La probabilité de passage en pourcentage est simplement :

P(\%) = T \times 100\%

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'interprétation de Born est correcte et que le coefficient de transmission \(T\) représente fidèlement la probabilité de trouver la particule de l'autre côté de la barrière après une interaction.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Coefficient de transmission, \(T \approx 0.409\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour passer d'une fraction à un pourcentage, il suffit de décaler la virgule de deux rangs vers la droite. C'est une simple conversion d'écriture pour rendre le résultat plus intuitif.

Schéma (Avant les calculs)

De la Fraction au Pourcentage

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} P(\%) &= 0.409 \times 100\% \\ &= 40.9\% \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Probabilités de Transmission et de Réflexion

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient de transmission de 0.409 signifie que l'électron a une probabilité de 40.9% de traverser la barrière de potentiel. C'est une probabilité remarquablement élevée pour un phénomène "classiquement impossible". Cela montre que pour des barrières très fines à l'échelle nanométrique, l'effet tunnel n'est pas un phénomène rare mais un processus dominant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre probabilité et certitude. Un T de 0.41 ne signifie pas que 41% de l'électron passe et 59% est réfléchi. L'électron est une particule indivisible. Cela signifie que si vous répétez l'expérience 1000 fois, vous détecterez l'électron après la barrière environ 409 fois.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

T est la probabilité de transmission pour une seule particule.
R = 1 - T est la probabilité de réflexion.
L'issue pour une seule particule est probabiliste, pas déterministe.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les mémoires Flash (clés USB, SSD), l'écriture et l'effacement des données se font en forçant des électrons à traverser une fine couche d'oxyde par effet tunnel pour être piégés ou libérés d'une "grille flottante". L'épaisseur de cette barrière est contrôlée à l'atome près pour garantir la fiabilité du stockage pendant des années !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'électron a environ 40.9% de chance de traverser la barrière par effet tunnel.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la barrière était deux fois plus large (0.2 nm), quelle serait approximativement la nouvelle probabilité de transmission (en %) ? (Indice : le terme exponentiel domine !)

Outil Interactif : Paramètres de l'Effet Tunnel

Modifiez les paramètres de l'électron et de la barrière pour voir leur influence sur la probabilité de transmission.

Paramètres d'Entrée

Énergie de l'électron (E) (eV) 5.0 eV

Largeur de la barrière (L) (nm) 0.10 nm

Hauteur de la barrière (V₀) (eV) 10.0 eV

Résultats Clés

Argument exponentiel (2κL) -

Coefficient de Transmission (T) -

Probabilité de passage -

Le Saviez-Vous ?

Le physicien George Gamow a utilisé l'effet tunnel en 1928 pour expliquer la radioactivité alpha, un type de désintégration nucléaire. Il a compris que la particule alpha, bien que piégée dans le noyau par une énorme barrière de potentiel, avait une faible probabilité de "s'échapper" par effet tunnel, expliquant ainsi pourquoi certains noyaux sont instables. Cette application a été l'un des premiers grands succès de la toute nouvelle théorie quantique.

Foire Aux Questions (FAQ)

L'effet tunnel viole-t-il la conservation de l'énergie ?

Non, absolument pas. L'énergie de la particule reste constante tout au long du processus. L'effet tunnel ne "crée" pas d'énergie pour franchir la barrière. Il décrit simplement une probabilité de se trouver de l'autre côté avec la même énergie. C'est la nature ondulatoire de la particule qui permet à sa présence (la fonction d'onde) de ne pas être nulle dans la zone classiquement interdite.

La particule va-t-elle plus vite que la lumière en traversant la barrière ?

C'est une question complexe qui a fait l'objet de nombreux débats (l'effet Hartman). Les calculs de "temps de traversée" peuvent donner des résultats qui semblent impliquer une vitesse supraluminique. Cependant, la plupart des physiciens s'accordent à dire que cela ne viole pas la causalité car il est impossible de transmettre une information (comme un signal structuré) plus vite que la lumière de cette manière.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la largeur (L) d'une barrière de potentiel, le coefficient de transmission...

est divisé par 2.
est divisé par 4.
diminue de façon exponentielle.

2. L'effet tunnel est plus probable lorsque...

la masse de la particule est grande.
l'énergie E de la particule est proche de la hauteur V₀.
la barrière est très haute et très large.

Effet Tunnel: Phénomène quantique permettant à une particule de franchir une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière.
Fonction d'onde (\(\psi\)): Objet mathématique qui décrit l'état d'un système quantique. Le carré de son module, \(|\psi|^2\), représente la densité de probabilité de présence de la particule.
Barrière de Potentiel: Région de l'espace où l'énergie potentielle V(x) est supérieure à l'énergie totale E de la particule, créant un obstacle classiquement infranchissable.