ÉTUDE DE PHYSIQUE

Émission Spectrale d’un Corps Noir

Émission Spectrale d’un Corps Noir en Physique Quantique

Émission Spectrale d’un Corps Noir en Physique Quantique

Comprendre l'Émission Spectrale d'un Corps Noir

Un corps noir est un objet théorique idéal qui absorbe tout rayonnement électromagnétique incident, quelle que soit la fréquence ou l'angle d'incidence. Lorsqu'il est chauffé, un corps noir émet un rayonnement thermique dont le spectre (la distribution de l'intensité lumineuse en fonction de la longueur d'onde) ne dépend que de sa température. L'étude du rayonnement du corps noir a été fondamentale dans le développement de la physique quantique. La loi de Planck décrit ce spectre d'émission, la loi de déplacement de Wien relie la longueur d'onde du pic d'émission à la température, et la loi de Stefan-Boltzmann donne la puissance totale rayonnée par unité de surface.

Données de l'étude : Rayonnement d'une Étoile assimilée à un Corps Noir

On considère une étoile dont la surface se comporte approximativement comme un corps noir. La température de surface de cette étoile est estimée à \(T = 5800 \, \text{K}\) (similaire à notre Soleil).

Constantes physiques :

  • Constante de Wien (\(b\)) : \(2.898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}\)
  • Constante de Stefan-Boltzmann (\(\sigma\)) : \(5.670 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\)
  • Constante de Planck (\(h\)) : \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{nm} = 10^{-9} \, \text{m}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Schéma : Émission d'un Corps Noir et Spectre
Corps Noir (T) Rayonnement λ (nm) Intensité λmax Spectre d'émission d'un corps noir.

Un corps noir à température T émet un spectre continu de rayonnement.

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur d'onde (\(\lambda_{\text{max}}\)) à laquelle l'intensité du rayonnement émis par l'étoile est maximale. Exprimer le résultat en nanomètres (nm).
  2. Dans quel domaine du spectre électromagnétique (par exemple, visible, ultraviolet, infrarouge) se situe cette longueur d'onde \(\lambda_{\text{max}}\) ?
  3. Calculer la puissance totale rayonnée par unité de surface (exitance énergétique, \(M_e\)) par la surface de l'étoile.
  4. Calculer l'énergie (\(E_{\text{photon}}\)) d'un photon ayant la longueur d'onde \(\lambda_{\text{max}}\), en Joules (J) puis en électron-volts (eV).
  5. Si le rayon de l'étoile est \(R_{\text{étoile}} = 7.0 \times 10^8 \, \text{m}\), quelle est la puissance lumineuse totale (luminosité) émise par l'étoile ? (Surface d'une sphère : \(A = 4\pi R^2\)).

Correction : Émission Spectrale d’un Corps Noir

Question 1 : Longueur d'onde du maximum d'émission (\(\lambda_{\text{max}}\))

Principe :

La loi de déplacement de Wien relie la longueur d'onde \(\lambda_{\text{max}}\) à laquelle l'intensité du rayonnement d'un corps noir est maximale à sa température absolue \(T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} \]
Données spécifiques :
  • Constante de Wien (\(b\)) : \(2.898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}\)
  • Température (\(T\)) : \(5800 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{max}} &= \frac{2.898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}}{5800 \, \text{K}} \\ &\approx 0.000000499655 \, \text{m} \\ &\approx 4.99655 \times 10^{-7} \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en nanomètres (\(1 \, \text{nm} = 10^{-9} \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{max}} &\approx 4.99655 \times 10^{-7} \, \text{m} \times \frac{10^9 \, \text{nm}}{1 \, \text{m}} \\ &\approx 499.655 \, \text{nm} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur d'onde du maximum d'émission est \(\lambda_{\text{max}} \approx 499.7 \, \text{nm}\).

Question 2 : Domaine du spectre électromagnétique pour \(\lambda_{\text{max}}\)

Principe :

On compare la valeur de \(\lambda_{\text{max}}\) aux plages typiques des différents domaines du spectre électromagnétique.

Rappel des domaines (approximatifs) :

  • Ultraviolet (UV) : \(10 \, \text{nm} - 400 \, \text{nm}\)
  • Visible : \(400 \, \text{nm} \text{ (violet)} - 700 \, \text{nm} \text{ (rouge)}\)
  • Infrarouge (IR) : \(700 \, \text{nm} - 1 \, \text{mm}\)

Analyse :

La longueur d'onde \(\lambda_{\text{max}} \approx 499.7 \, \text{nm}\) se situe entre \(400 \, \text{nm}\) et \(700 \, \text{nm}\).

Résultat Question 2 : Cette longueur d'onde se situe dans le domaine de la lumière visible (correspondant approximativement à une couleur bleu-vert/cyan).

Question 3 : Puissance totale rayonnée par unité de surface (\(M_e\))

Principe :

La loi de Stefan-Boltzmann stipule que l'exitance énergétique (\(M_e\)), ou puissance totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir, est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue \(T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_e = \sigma T^4 \]
Données spécifiques :
  • Constante de Stefan-Boltzmann (\(\sigma\)) : \(5.670 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\)
  • Température (\(T\)) : \(5800 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_e &= (5.670 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}) \times (5800 \, \text{K})^4 \\ &= (5.670 \times 10^{-8}) \times (5800^4) \, \text{W/m}^2 \\ &= (5.670 \times 10^{-8}) \times (1.1316496 \times 10^{15}) \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 6.4164 \times 10^7 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La puissance totale rayonnée par unité de surface est \(M_e \approx 6.42 \times 10^7 \, \text{W/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la température d'un corps noir double, sa puissance totale rayonnée par unité de surface est multipliée par :

Question 4 : Énergie (\(E_{\text{photon}}\)) d'un photon à \(\lambda_{\text{max}}\)

Principe :

L'énergie d'un photon est donnée par la relation de Planck-Einstein : \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda_{\text{max}}} \]
Données spécifiques :
  • \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(\lambda_{\text{max}} \approx 4.99655 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
  • \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Calcul en Joules (J) :
\[ \begin{aligned} E_{\text{photon}} &= \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (3.00 \times 10^8 \, \text{m/s})}{4.99655 \times 10^{-7} \, \text{m}} \\ &= \frac{19.878 \times 10^{-26} \, \text{J} \cdot \text{m}}{4.99655 \times 10^{-7} \, \text{m}} \\ &\approx 3.9783 \times 10^{-19} \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul en électron-volts (eV) :
\[ \begin{aligned} E_{\text{photon}} (\text{eV}) &= \frac{3.9783 \times 10^{-19} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 2.483 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie d'un photon à \(\lambda_{\text{max}}\) est :
  • \(E_{\text{photon}} \approx 3.98 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
  • \(E_{\text{photon}} \approx 2.48 \, \text{eV}\)

Question 5 : Puissance lumineuse totale (luminosité) de l'étoile

Principe :

La puissance totale rayonnée (luminosité, \(L\)) par l'étoile est le produit de l'exitance énergétique (\(M_e\)) par la surface totale de l'étoile (\(A_{\text{étoile}}\)). L'étoile est supposée sphérique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{\text{étoile}} = 4\pi R_{\text{étoile}}^2 \] \[ L = M_e \times A_{\text{étoile}} \]
Données spécifiques :
  • \(M_e \approx 6.4164 \times 10^7 \, \text{W/m}^2\) (de la Question 3)
  • \(R_{\text{étoile}} = 7.0 \times 10^8 \, \text{m}\)
Calcul :

Surface de l'étoile :

\[ \begin{aligned} A_{\text{étoile}} &= 4\pi (7.0 \times 10^8 \, \text{m})^2 \\ &= 4\pi (49 \times 10^{16} \, \text{m}^2) \\ &= 196\pi \times 10^{16} \, \text{m}^2 \\ &\approx 615.75 \times 10^{16} \, \text{m}^2 \\ &\approx 6.158 \times 10^{18} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Luminosité totale :

\[ \begin{aligned} L &= (6.4164 \times 10^7 \, \text{W/m}^2) \times (6.1575 \times 10^{18} \, \text{m}^2) \\ &\approx 39.510 \times 10^{25} \, \text{W} \\ &\approx 3.95 \times 10^{26} \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La puissance lumineuse totale émise par l'étoile est \(L \approx 3.95 \times 10^{26} \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La loi de déplacement de Wien indique que si la température d'un corps noir augmente, la longueur d'onde du maximum d'émission :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un corps noir parfait est un objet qui :

2. La loi de Stefan-Boltzmann relie :

3. La "catastrophe ultraviolette" était un problème de la physique classique qui prédisait :

Glossaire

Corps Noir
Objet théorique idéal qui absorbe tout rayonnement électromagnétique incident et émet un rayonnement thermique dont le spectre ne dépend que de sa température.
Rayonnement Thermique
Rayonnement électromagnétique émis par un corps en raison de sa température.
Loi de Planck
Formule qui décrit la distribution spectrale de l'intensité du rayonnement émis par un corps noir en fonction de la longueur d'onde et de la température.
Loi de Déplacement de Wien
Loi qui stipule que la longueur d'onde à laquelle l'intensité du rayonnement d'un corps noir est maximale est inversement proportionnelle à sa température absolue (\(\lambda_{\text{max}} T = b\)).
Loi de Stefan-Boltzmann
Loi qui stipule que la puissance totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir (exitance énergétique) est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue (\(M_e = \sigma T^4\)).
Constante de Wien (\(b\))
Constante de proportionnalité dans la loi de déplacement de Wien, \(b \approx 2.898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}\).
Constante de Stefan-Boltzmann (\(\sigma\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Stefan-Boltzmann, \(\sigma \approx 5.670 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\).
Photon
Quantum de rayonnement électromagnétique, porteur d'une énergie \(E = h\nu\), où \(h\) est la constante de Planck et \(\nu\) la fréquence.
Exitance Énergétique (\(M_e\))
Puissance totale rayonnée par unité de surface d'une source. Unité : \(\text{W/m}^2\).
Émission Spectrale d’un Corps Noir - Exercice d'Application

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