Émission Spectrale d’un Corps Noir
Contexte : L'aube de la révolution quantique.
À la fin du XIXe siècle, la physique classique était incapable d'expliquer le spectre de la lumière émise par un objet chauffé, un corps noirUn objet théorique idéal qui absorbe tout le rayonnement électromagnétique qu'il reçoit, sans le réfléchir ni le transmettre. En équilibre thermique, il réémet un rayonnement dont le spectre ne dépend que de sa température.. Ce problème, connu sous le nom de "catastrophe ultraviolette", a conduit Max Planck à proposer en 1900 une idée révolutionnaire : l'énergie n'est pas émise de manière continue, mais par paquets discrets, les "quanta". Cette hypothèse a non seulement résolu le problème du corps noir mais a aussi marqué la naissance de la mécanique quantique. Cet exercice explore les lois qui décrivent ce rayonnement et leur application à un exemple astrophysique concret : notre Soleil.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est un pont entre la thermodynamique classique et la physique quantique. Nous allons utiliser des lois semi-classiques (Wien, Stefan-Boltzmann) et la loi entièrement quantique de Planck pour caractériser le rayonnement d'une étoile. C'est une démarche fondamentale en astrophysique pour déterminer les propriétés des étoiles (température, taille, puissance) à partir de la lumière que nous recevons.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi de déplacement de WienRelie la température d'un corps noir à la longueur d'onde où son émission est maximale. Plus le corps est chaud, plus le pic se déplace vers le bleu (courtes longueurs d'onde). pour déterminer la couleur apparente d'un corps chaud.
- Utiliser la loi de Stefan-BoltzmannStipule que la puissance totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue. pour calculer la puissance totale rayonnée.
- Calculer la luminance spectraleAussi appelée radiance spectrale, c'est la puissance rayonnée par un corps noir par unité de surface, par unité d'angle solide et par unité de longueur d'onde. C'est la quantité décrite par la loi de Planck. à une longueur d'onde donnée à l'aide de la loi de Planck.
- Comprendre l'échec de la loi de Rayleigh-Jeans et la "catastrophe ultraviolette".
Données de l'étude
Spectre d'Émission du Corps Noir
| Constante | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante de Wien | \(b\) | \(2.898 \times 10^{-3}\) | \(\text{m} \cdot \text{K}\) |
| Constante de Stefan-Boltzmann | \(\sigma\) | \(5.67 \times 10^{-8}\) | \(\text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\) |
| Constante de Planck | \(h\) | \(6.626 \times 10^{-34}\) | \(\text{J} \cdot \text{s}\) |
| Vitesse de la lumière | \(c\) | \(3.0 \times 10^{8}\) | \(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\) |
| Constante de Boltzmann | \(k_B\) | \(1.38 \times 10^{-23}\) | \(\text{J} \cdot \text{K}^{-1}\) |
Questions à traiter
- Calculer la longueur d'onde \(\lambda_{\text{max}}\) à laquelle le Soleil émet le plus d'énergie. Dans quelle partie du spectre électromagnétique se situe-t-elle ?
- Calculer la puissance totale rayonnée par unité de surface (exitance) par le Soleil.
- Calculer la luminance spectrale du Soleil à \(\lambda = 500 \, \text{nm}\) en utilisant la loi de Planck.
- Comparer ce résultat à la prédiction de la loi classique de Rayleigh-Jeans pour la même longueur d'onde.
Les bases du Rayonnement du Corps Noir
Avant la correction, revoyons les lois fondamentales.
1. Loi de Déplacement de Wien :
Cette loi empirique relie la température \(T\) d'un corps noir à la longueur d'onde \(\lambda_{\text{max}}\) de son pic d'émission. Elle montre que les objets plus chauds émettent une lumière de plus courte longueur d'onde (plus "bleue").
\[ \lambda_{\text{max}} \cdot T = b \]
Où \(b\) est la constante de Wien.
2. Loi de Stefan-Boltzmann :
Cette loi donne la puissance totale \(M\) rayonnée par unité de surface (l'exitance) sur toutes les longueurs d'onde. Elle montre que la puissance rayonnée augmente très rapidement avec la température.
\[ M = \sigma T^4 \]
Où \(\sigma\) est la constante de Stefan-Boltzmann.
3. Loi de Planck (Quantique) :
C'est la loi fondamentale qui décrit la distribution complète de la luminance spectrale \(L_\lambda\) en fonction de la longueur d'onde \(\lambda\) et de la température \(T\). Elle a résolu la catastrophe ultraviolette en introduisant la quantification de l'énergie.
\[ L_\lambda(T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1} \]
Correction : Émission Spectrale d’un Corps Noir
Question 1 : Calculer la longueur d'onde du pic d'émission \(\lambda_{\text{max}}\)
Principe (le concept physique)
Tout objet ayant une température supérieure au zéro absolu émet un rayonnement thermique. La loi de Wien nous dit que la "couleur" dominante de ce rayonnement, c'est-à-dire la longueur d'onde où l'intensité est maximale, est inversement proportionnelle à la température. C'est pourquoi un tisonnier chauffé passe du rouge (longueur d'onde plus longue) au blanc-bleu (longueur d'onde plus courte) à mesure que sa température augmente.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi de Wien peut être dérivée mathématiquement en cherchant le maximum de la fonction de Planck. On calcule la dérivée de la luminance spectrale \(L_\lambda(T)\) par rapport à \(\lambda\) et on cherche la valeur de \(\lambda\) qui annule cette dérivée. Ce calcul mène à une équation transcendante dont la solution est approximativement \(\lambda_{\text{max}} T = hc / (4.965 k_B)\), ce qui permet de retrouver la valeur de la constante de Wien \(b\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La loi de Wien est un outil extraordinairement puissant en astrophysique. En mesurant simplement le spectre d'une étoile lointaine et en identifiant la longueur d'onde de son pic d'émission, nous pouvons déterminer sa température de surface avec une bonne précision, même si elle se trouve à des millions d'années-lumière.
Normes (la référence réglementaire)
La loi de Wien est une loi fondamentale de la physique, pas une norme. Elle est universellement appliquée en thermodynamique, en astrophysique et dans tout domaine impliquant le rayonnement thermique, comme la conception de capteurs infrarouges ou de fours industriels.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La loi de déplacement de Wien s'écrit :
On isole la longueur d'onde maximale :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le Soleil se comporte comme un corps noir parfait, ce qui est une très bonne approximation pour son rayonnement visible.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Constante de Wien, \(b = 2.898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}\)
- Température de surface du Soleil, \(T = 5778 \, \text{K}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour obtenir un résultat plus parlant, il est souvent pratique de convertir le résultat final en nanomètres (nm), car le spectre visible s'étend d'environ 400 nm (violet) à 750 nm (rouge). Rappelez-vous que \(1 \, \text{nm} = 10^{-9} \, \text{m}\).
Schéma (Avant les calculs)
Relation Température-Couleur
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule :
Conversion en nanomètres :
Schéma (Après les calculs)
Pic d'Émission du Soleil
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le pic d'émission du Soleil se situe à environ 502 nm, ce qui correspond à la couleur verte dans le spectre visible. Cela peut paraître surprenant, car nous voyons le Soleil comme jaune-blanc. C'est parce que le Soleil émet très fortement dans toutes les couleurs du visible, et la combinaison de ces couleurs, perçue par nos yeux et filtrée par l'atmosphère, nous apparaît comme du blanc-jaune.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que la température est bien en Kelvin (K), l'unité absolue de température. Utiliser des degrés Celsius ou Fahrenheit conduirait à un résultat complètement erroné. La loi de Wien, comme la plupart des lois de la thermodynamique, ne fonctionne qu'avec des températures absolues.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La loi de Wien relie la température d'un corps à sa couleur dominante.
- \(\lambda_{\text{max}} = b/T\).
- Les objets chauds sont "bleus", les objets froids sont "rouges".
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les thermomètres infrarouges sans contact fonctionnent sur ce principe. Ils mesurent le spectre du rayonnement thermique émis par un objet, trouvent le pic \(\lambda_{\text{max}}\), et en déduisent la température via la loi de Wien, le tout en une fraction de seconde.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Une ampoule à incandescence a un filament à 2500 K. Quelle est sa longueur d'onde de pic d'émission en nm ?
Question 2 : Calculer la puissance totale rayonnée par unité de surface
Principe (le concept physique)
La loi de Stefan-Boltzmann quantifie l'intensité totale du rayonnement thermique. Elle stipule que la quantité totale d'énergie émise par un corps noir par seconde et par mètre carré de sa surface (appelée exitance) dépend très fortement de sa température, spécifiquement de la température à la puissance quatre. C'est pourquoi un objet légèrement plus chaud peut rayonner beaucoup plus d'énergie.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi de Stefan-Boltzmann peut être dérivée en intégrant la loi de Planck sur toutes les longueurs d'onde, de 0 à l'infini. L'intégrale \( \int_0^\infty L_\lambda(T) d\lambda \) est un calcul classique en physique statistique qui donne comme résultat \( M = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15c^2h^3} T^4 \). Le regroupement de toutes les constantes fondamentales devant \(T^4\) donne la constante de Stefan-Boltzmann \(\sigma\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La dépendance en \(T^4\) est spectaculaire. Si vous doublez la température d'un objet (en Kelvin), vous multipliez sa puissance rayonnée par \(2^4 = 16\). C'est la raison pour laquelle les étoiles les plus chaudes, même si elles sont petites, peuvent être des centaines de fois plus lumineuses que des étoiles plus grandes mais plus froides.
Normes (la référence réglementaire)
Cette loi est un principe de base en transfert de chaleur et en thermodynamique. Elle est utilisée dans les normes de construction (calcul des pertes de chaleur par rayonnement), en ingénierie (conception de systèmes de refroidissement) et en climatologie (bilan énergétique de la Terre).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La loi de Stefan-Boltzmann s'écrit :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On continue de modéliser le Soleil comme un corps noir parfait (émissivité \(\epsilon=1\)).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Constante de Stefan-Boltzmann, \(\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}\)
- Température de surface du Soleil, \(T = 5778 \, \text{K}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul de \(T^4\) peut donner de très grands nombres. N'hésitez pas à utiliser la notation scientifique sur votre calculatrice pour éviter les erreurs. \(5778^4 = (5.778 \times 10^3)^4 = (5.778)^4 \times 10^{12} \approx 1118 \times 10^{12}\).
Schéma (Avant les calculs)
Rayonnement d'une Surface Chaude
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la loi de Stefan-Boltzmann :
Schéma (Après les calculs)
Puissance Émise par le Soleil
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Chaque mètre carré de la surface du Soleil émet une puissance colossale de 63.3 Mégawatts. C'est plus que la puissance de plusieurs dizaines de moteurs de voiture de course, émise en continu par une surface de la taille d'une table. Multiplié par la surface totale du Soleil, cela donne sa luminosité totale, une quantité d'énergie inimaginable.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier la puissance 4. Une autre erreur est de confondre la puissance par unité de surface (\(M\), en W/m²) avec la puissance totale (\(L\), en W), qui s'obtient en multipliant \(M\) par la surface totale de l'objet (\(L = M \times 4\pi R^2\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La loi de Stefan-Boltzmann donne la puissance totale rayonnée par unité de surface.
- La puissance est extrêmement sensible à la température (\(M \propto T^4\)).
- Elle s'obtient en intégrant la loi de Planck sur toutes les longueurs d'onde.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'effet de serre est directement lié à cette loi. La Terre reçoit l'énergie du Soleil et, pour maintenir son équilibre thermique, doit rayonner une quantité égale d'énergie vers l'espace. Elle le fait comme un corps noir à sa propre température (~288 K). Les gaz à effet de serre absorbent une partie de ce rayonnement sortant (infrarouge) et le réémettent vers la surface, ce qui augmente la température de la Terre jusqu'à ce qu'un nouvel équilibre soit atteint.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
La température de la peau humaine est d'environ 305 K. Quelle est son exitance en W/m² (en supposant \(\epsilon=1\)) ?
Question 3 : Calculer la luminance spectrale avec la loi de Planck
Principe (le concept physique)
La loi de Planck est le résultat central de la théorie du corps noir. Elle ne donne pas seulement le pic ou la puissance totale, mais la distribution complète de l'énergie en fonction de la longueur d'onde. Elle a été la première théorie à introduire l'idée que l'énergie des oscillateurs dans la matière est quantifiée (\(E=nh\nu\)), une rupture radicale avec la physique classique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule de Planck combine deux éléments : la densité d'états des modes électromagnétiques dans une cavité (un calcul classique) et la nouvelle idée de Planck sur l'énergie moyenne d'un oscillateur à une température T. Selon la statistique de Boltzmann avec des niveaux d'énergie quantifiés, cette énergie moyenne n'est pas \(k_B T\) (comme en classique) mais \(\frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1}\). Le produit de ces deux termes donne la loi de Planck.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le terme exponentiel au dénominateur est la signature de la mécanique quantique. Pour les grandes longueurs d'onde (petites énergies), l'exponentielle peut être approximée (\(e^x \approx 1+x\)), et on retrouve la loi classique de Rayleigh-Jeans. Pour les courtes longueurs d'onde (grandes énergies), l'exponentielle domine et "tue" la divergence, résolvant ainsi la catastrophe ultraviolette.
Normes (la référence réglementaire)
La loi de Planck est une loi fondamentale de la physique quantique et de la thermodynamique statistique. Elle est la base de la métrologie moderne pour la définition des étalons de température et d'intensité lumineuse.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La loi de Planck pour la luminance spectrale \(L_\lambda(T)\) (en \(\text{W} \cdot \text{sr}^{-1} \cdot \text{m}^{-3}\)) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise le modèle du corps noir et les valeurs des constantes fondamentales fournies.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Toutes les constantes du tableau
- Température \(T = 5778 \, \text{K}\)
- Longueur d'onde \(\lambda = 500 \, \text{nm} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul de l'exposant \(\frac{hc}{\lambda k_B T}\) est la partie la plus délicate. Il est judicieux de le calculer en premier. Assurez-vous que toutes les unités sont dans le système international (mètres, Joules, Kelvin) pour que l'exposant soit sans dimension.
Schéma (Avant les calculs)
Point sur la Courbe de Planck
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de l'exposant :
2. Calcul du terme exponentiel :
3. Calcul du préfacteur :
4. Calcul final de la luminance :
Schéma (Après les calculs)
Point sur la Courbe de Planck (Calculé)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur obtenue est la densité de puissance émise par le Soleil à 500 nm. C'est une valeur très élevée, ce qui est attendu pour un objet aussi chaud. En effectuant ce calcul pour différentes longueurs d'onde, on peut tracer l'ensemble du spectre d'émission, qui correspond à la courbe montrée dans les schémas.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La gestion des unités et des puissances de dix est critique ici. Une petite erreur sur une constante ou une conversion peut changer le résultat de plusieurs ordres de grandeur. Utilisez systématiquement les unités du Système International pour toutes les constantes avant de commencer le calcul.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La loi de Planck décrit le spectre complet du rayonnement du corps noir.
- Elle dépend de \(\lambda\) et \(T\).
- Le terme exponentiel \(e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}\) est la clé de la résolution de la catastrophe ultraviolette.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La loi de Planck a des applications très modernes. Par exemple, les caméras thermiques utilisées pour l'imagerie médicale ou l'inspection des bâtiments ne mesurent pas la température directement. Elles mesurent la luminance spectrale dans une bande de l'infrarouge et utilisent une version inversée de la loi de Planck pour calculer la température de chaque pixel de l'image.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
L'exposant pour \(\lambda = 250 \, \text{nm}\) (UV) est \(x \approx 10\). Que devient le terme \(e^x - 1\) ? (Entrez la valeur approximative)
Question 4 : Comparer avec la loi de Rayleigh-Jeans
Principe (le concept physique)
Avant Planck, les physiciens Rayleigh and Jeans ont tenté de décrire le rayonnement du corps noir en utilisant la physique classique. Leur loi fonctionnait bien pour les grandes longueurs d'onde (infrarouge) mais prédisait que l'énergie émise devait tendre vers l'infini pour les courtes longueurs d'onde (ultraviolet). Ce désaccord flagrant avec l'expérience fut baptisé la "catastrophe ultraviolette" et a montré les limites de la physique classique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi de Rayleigh-Jeans est l'approximation de la loi de Planck dans la limite où l'énergie des quanta est très petite devant l'énergie thermique (\(h\nu \ll k_B T\)). Dans ce cas, on peut approximer l'exponentielle \(e^x \approx 1+x\), ce qui donne \(e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1 \approx \frac{hc}{\lambda k_B T}\). En substituant cela dans la loi de Planck, les termes en \(h\) et \(c\) s'annulent et on obtient la formule classique.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Comparer la prédiction de Planck à celle de Rayleigh-Jeans est un exercice historique fondamental. Il permet de toucher du doigt pourquoi la quantification de l'énergie était une nécessité absolue. Sans elle, un simple four chauffé aurait dû émettre une quantité infinie d'énergie sous forme de rayons X et gamma, ce qui est manifestement absurde.
Normes (la référence réglementaire)
La loi de Rayleigh-Jeans n'est plus utilisée comme une loi prédictive en soi, mais elle reste une approximation valide et utile dans le domaine des ondes radio et des micro-ondes, où les longueurs d'onde sont très grandes et l'approximation classique est excellente.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La loi de Rayleigh-Jeans pour la luminance spectrale est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On applique le modèle classique où l'énergie est supposée être continue.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Toutes les constantes du tableau
- Température \(T = 5778 \, \text{K}\)
- Longueur d'onde \(\lambda = 500 \, \text{nm} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul est beaucoup plus simple que celui de Planck car il n'y a pas d'exponentielle. Concentrez-vous sur la gestion des puissances de dix pour la longueur d'onde à la puissance 4.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Courbes Théoriques
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la loi de Rayleigh-Jeans :
Comparaison avec le résultat de Planck (\(L_\lambda^{\text{Planck}} \approx 2.59 \times 10^{13}\)) :
Schéma (Après les calculs)
Divergence entre Classique et Quantique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Même à 500 nm, qui est proche du pic, la loi de Rayleigh-Jeans surestime déjà l'énergie émise par un facteur de près de 30. Pour des longueurs d'onde plus courtes (dans l'UV), cet écart devient astronomique, la prédiction classique tendant vers l'infini alors que la prédiction de Planck (et la réalité) tend vers zéro. C'est la démonstration éclatante de la nécessité d'une nouvelle physique pour décrire le monde à l'échelle atomique.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas utiliser la loi de Rayleigh-Jeans dans le domaine visible ou ultraviolet, sauf à des fins de comparaison historique. C'est une approximation qui n'est valable que pour de très grandes longueurs d'onde (\(\lambda \gg hc/k_B T\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La loi de Rayleigh-Jeans est l'approximation classique de la loi de Planck.
- Elle échoue pour les courtes longueurs d'onde (catastrophe ultraviolette).
- L'échec de cette loi a été un moteur majeur de la révolution quantique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La loi de Planck a des applications très modernes. Par exemple, les caméras thermiques utilisées pour l'imagerie médicale ou l'inspection des bâtiments ne mesurent pas la température directement. Elles mesurent la luminance spectrale dans une bande de l'infrarouge et utilisent une version inversée de la loi de Planck pour calculer la température de chaque pixel de l'image.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour une longueur d'onde de 5000 nm (infrarouge), l'exposant \(x\) vaut environ 0.5. Le rapport \(L^{\text{RJ}}/L^{\text{Planck}}\) sera-t-il plus grand ou plus petit que 29.5 ?
Outil Interactif : Spectre du Corps Noir
Modifiez la température pour voir comment le spectre du rayonnement thermique change.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Max Planck a lui-même qualifié son introduction du quantum d'énergie d'"acte de désespoir". Il n'était pas convaincu par la réalité physique de ces "paquets" d'énergie et a passé des années à essayer de dériver sa loi à partir de principes purement classiques, sans succès. C'est Albert Einstein, en 1905, qui a pris l'idée au sérieux pour expliquer l'effet photoélectrique, montrant que la lumière elle-même est composée de ces quanta, que nous appelons aujourd'hui photons.
Foire Aux Questions (FAQ)
Si le pic du Soleil est vert, pourquoi le ciel est-il bleu et les couchers de soleil rouges ?
Cela est dû à la diffusion de Rayleigh par l'atmosphère terrestre. Les molécules de l'air diffusent plus efficacement les courtes longueurs d'onde (le bleu et le violet) que les longues (le rouge). En pleine journée, cette lumière bleue diffusée dans toutes les directions nous parvient de tout le ciel. Au lever et au coucher du soleil, la lumière traverse une plus grande épaisseur d'atmosphère ; la quasi-totalité du bleu est diffusée hors de notre ligne de vue, et il ne nous reste que les teintes rouges et oranges qui passent au travers.
Cette loi s'applique-t-elle aux objets qui ne sont pas des corps noirs parfaits ?
Oui, mais avec une correction. Pour un corps réel, on introduit un facteur appelé "émissivité" (\(\epsilon\)), un nombre entre 0 et 1 qui représente l'efficacité de l'objet à émettre un rayonnement par rapport à un corps noir parfait. La formule de Stefan-Boltzmann devient alors \(M = \epsilon \sigma T^4\). Un miroir parfait a \(\epsilon \approx 0\), tandis qu'un corps noir a \(\epsilon = 1\).
Pourquoi la physique classique échoue-t-elle à décrire le corps noir ?
La physique classique suppose que les "oscillateurs" dans les parois du corps noir peuvent avoir n'importe quelle énergie (principe d'équipartition de l'énergie). Cela alloue une énergie égale (\(k_B T\)) à chaque mode de vibration. Comme il y a une infinité de modes possibles à haute fréquence (courte longueur d'onde), la puissance totale prédite est infinie. En quantifiant l'énergie, Planck a rendu très "coûteux" d'exciter ces modes de haute fréquence. L'énergie thermique \(k_B T\) n'est alors plus suffisante pour les exciter, ce qui supprime l'émission dans l'ultraviolet et résout la "catastrophe".
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la température d'une étoile double, sa longueur d'onde de pic d'émission...
2. Si la température d'une étoile double, la puissance totale qu'elle rayonne...
- Corps Noir
- Un objet théorique idéal qui absorbe tout le rayonnement électromagnétique qu'il reçoit. En équilibre thermique, il réémet un rayonnement dont le spectre ne dépend que de sa température.
- Loi de Planck
- Loi fondamentale de la physique quantique qui décrit la luminance spectrale du rayonnement émis par un corps noir en fonction de sa température et de la longueur d'onde.
- Loi de Wien
- Loi qui relie la température d'un corps noir à la longueur d'onde où son émission d'énergie est maximale.
- Loi de Stefan-Boltzmann
- Loi qui stipule que la puissance totale rayonnée par unité de surface d'un corps noir est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue.
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