Étude de la Réfraction et de la Transmission

Contexte : L'Optique GéométriqueBranche de l'optique qui étudie la propagation de la lumière sous forme de rayons lumineux..

Un rayon laser, se propageant dans l'air, frappe une plaque de verre (un dioptreSurface séparant deux milieux transparents d'indices de réfraction différents. plan) avec un certain angle. À l'interface, une partie de la lumière est réfléchie et l'autre est transmise (réfractée) dans le verre en changeant de direction. Comprendre ce phénomène est fondamental pour la conception de lentilles, de fibres optiques et de nombreux instruments.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la Loi de Snell-DescartesLoi fondamentale de la réfraction : \(n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)\). pour déterminer le trajet de la lumière et à identifier les conditions de la réflexion totale interne.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la loi de Snell-Descartes pour un dioptre.
Calculer un angle de réfraction.
Comprendre le principe du retour inverse de la lumière sur une plaque à faces parallèles.
Calculer un angle critiqueAngle d'incidence au-delà duquel la lumière est totalement réfléchie à l'intérieur du milieu le plus réfringent. de réflexion totale interne.

Données de l'étude

On étudie un rayon lumineux passant d'un milieu 1 (Air) vers un milieu 2 (Verre). L'interface entre les deux milieux est plane. On néglige l'absorption de la lumière par les milieux.

Propriétés des Milieux

Caractéristique	Valeur
Milieu 1	Air
Milieu 2	Verre (type BK7)
Angle d'incidence initial	\(\theta_1 = 30^\circ\)

Schéma du Dioptre Air-Verre

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Indice de réfraction (Air)	\(n_1\)	1.00	(sans unité)
Indice de réfraction (Verre)	\(n_2\)	1.52	(sans unité)
Angle d'incidence	\(\theta_1\)	30	degrés

Questions à traiter

Calculer l'angle de réfraction \(\theta_2\) dans le verre.
Quel est l'angle de réflexion \(\theta_r\) ?
Le rayon atteint la seconde interface (verre-air) d'une plaque à faces parallèles. Quel est son angle d'incidence \(\theta_3\) sur cette nouvelle interface ?
Calculer l'angle de sortie final \(\theta_4\) lorsque le rayon émerge du verre vers l'air.
Calculer l'angle critique \(\theta_c\) pour la réflexion totale interne à l'interface verre-air.

Les bases sur la Réfraction

Lorsqu'un rayon lumineux passe d'un milieu transparent à un autre, il change de direction : c'est la réfraction. Ce phénomène est décrit par les lois de Snell-Descartes.

1. Loi de Snell-Descartes (Réfraction)
La relation entre les angles d'incidence (\(\theta_1\)) et de réfraction (\(\theta_2\)) est donnée par la loi de Snell-Descartes : \[ n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) \] Où \(n_1\) et \(n_2\) sont les indices de réfraction des milieux 1 et 2, et les angles sont mesurés par rapport à la normale (la perpendiculaire à l'interface).

2. Loi de Snell-Descartes (Réflexion)
Une partie de la lumière est toujours réfléchie. L'angle de réflexion \(\theta_r\) est toujours égal à l'angle d'incidence \(\theta_1\). \[ \theta_r = \theta_1 \]

Correction : Étude de la Réfraction et de la Transmission

Question 1 : Calculer l'angle de réfraction \(\theta_2\) dans le verre.

Principe

Pour trouver l'angle de réfraction, nous devons utiliser la loi de Snell-Descartes pour la réfraction. Nous connaissons les deux indices de réfraction et l'angle d'incidence.

Mini-Cours

La loi de réfraction stipule que le produit de l'indice de réfraction et du sinus de l'angle (par rapport à la normale) est conservé à travers l'interface. On cherche \(\theta_2\).

Remarque Pédagogique

Puisque le rayon passe d'un milieu moins réfringent (Air, \(n_1=1.00\)) à un milieu plus réfringent (Verre, \(n_2=1.52\)), on s'attend à ce que le rayon "se rapproche" de la normale. L'angle \(\theta_2\) devrait donc être plus petit que \(\theta_1\).

Lois

La résolution s'appuie sur la première loi de Snell-Descartes, celle de la réfraction. C'est cette loi physique qui décrit quantitativement comment un rayon lumineux change de direction (est "réfracté") lorsqu'il passe d'un milieu à un autre.

Formule(s)

Loi de base

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)

Formule isolée pour \(\theta_2\)

\theta_2 = \arcsin\left( \frac{n_1}{n_2} \sin(\theta_1) \right)

Hypothèses

Les milieux sont homogènes et isotropes. L'interface est parfaitement plane.

L'indice de l'air est \(n_1 = 1.00\).
L'indice du verre est \(n_2 = 1.52\).

Donnée(s)

La seule donnée variable pour ce calcul est l'angle d'incidence.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Angle d'incidence	\(\theta_1\)	30	degrés

Astuces

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" (DEG) et non en "radians" (RAD) pour ce calcul, car l'angle d'entrée est donné en degrés.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre le rayon incident \(\theta_1\) et le rayon réfracté \(\theta_2\). Nous devons calculer la valeur de \(\theta_2\).

Visualisation des angles

Calcul(s)

Nous allons maintenant appliquer la formule étape par étape, en remplaçant les symboles par leurs valeurs numériques.

Étape 1 : Reprendre la formule

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)

C'est notre équation de base, la loi de Snell-Descartes pour la réfraction.

Étape 2 : Remplacer les valeurs connues

On insère \(n_1 = 1.00\), \(n_2 = 1.52\), et \(\theta_1 = 30^\circ\).

1.00 \times \sin(30^\circ) = 1.52 \times \sin(\theta_2)

L'équation a maintenant nos valeurs numériques, l'inconnue est \(\sin(\theta_2)\).

Étape 3 : Isoler \(\sin(\theta_2)\)

On divise les deux côtés par \(1.52\) pour isoler le terme \(\sin(\theta_2)\).

\sin(\theta_2) = \frac{1.00 \times \sin(30^\circ)}{1.52}

La formule est maintenant prête pour le calcul final.

Étape 4 : Calculer la valeur de \(\sin(\theta_2)\)

On sait que \(\sin(30^\circ) = 0.5\). On remplace cette valeur.

\begin{aligned} \sin(\theta_2) &= \frac{1.00 \times 0.5}{1.52} \\ &= \frac{0.5}{1.52} \\ &\approx 0.3289 \end{aligned}

Nous avons la valeur du sinus. Ce n'est pas l'angle final, mais une étape intermédiaire.

Étape 5 : Calculer l'angle \(\theta_2\)

Pour trouver \(\theta_2\), on utilise la fonction inverse du sinus, appelée "arcsinus" (ou \(\sin^{-1}\) sur les calculatrices).

\begin{aligned} \theta_2 &= \arcsin(0.3289) \\ \Rightarrow \theta_2 &\approx 19.2^\circ \end{aligned}

C'est notre résultat final pour la Question 1.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que \(\theta_2 \approx 19.2^\circ\), ce qui est bien inférieur à \(\theta_1 = 30^\circ\). Le rayon s'est rapproché de la normale.

Résultat de la Réfraction

Réflexions

Le résultat est cohérent avec notre intuition physique. Le passage vers un milieu d'indice plus élevé "ralentit" la lumière (plus précisément, sa vitesse de phase) et la fait dévier vers la normale. C'est pourquoi un objet dans l'eau semble être à une profondeur différente de sa profondeur réelle.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser \(n_1\) et \(n_2\) dans la fraction. Rappelez-vous toujours : (indice de départ) x sin(angle de départ) = (indice d'arrivée) x sin(angle d'arrivée).

Points à retenir

Le point clé est la formule de Snell-Descartes et le fait que la lumière se rapproche de la normale en entrant dans un milieu plus dense (plus réfringent).

Loi : \(n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)\)
Si \(n_2 > n_1\), alors \(\theta_2 < \theta_1\).

Le saviez-vous ?

L'indice de réfraction n'est pas constant, il dépend de la longueur d'onde (couleur) de la lumière. C'est ce qu'on appelle la dispersion. C'est pourquoi un prisme peut décomposer la lumière blanche en un arc-en-ciel : le bleu (longueur d'onde plus courte) est plus dévié que le rouge.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'angle de réfraction dans le verre est \(\theta_2 \approx 19.2^\circ\).

A vous de jouer

En gardant les mêmes milieux, que deviendrait \(\theta_2\) si l'angle d'incidence \(\theta_1\) était de 45° ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Réfraction (Loi de Snell-Descartes).
Formule Essentielle : \(\theta_2 = \arcsin\left( (n_1/n_2) \sin(\theta_1) \right)\).
Comportement : Air \(\rightarrow\) Verre (\(n_1 < n_2\)), donc \(\theta_2 < \theta_1\).

Question 2 : Quel est l'angle de réflexion \(\theta_r\) ?

Principe

Cette question concerne la réflexion, qui se produit en même temps que la réfraction. La loi de la réflexion est distincte de celle de la réfraction.

Mini-Cours

L'une des lois de Snell-Descartes (la deuxième) stipule que le rayon réfléchi se trouve dans le même plan que le rayon incident et la normale, et que l'angle de réflexion \(\theta_r\) est égal à l'angle d'incidence \(\theta_1\).

Remarque Pédagogique

C'est une question simple mais qui vérifie une connaissance fondamentale. L'angle de réflexion ne dépend pas des indices de réfraction des milieux, contrairement à l'angle de réfraction.

Lois

Nous utilisons la deuxième loi de Snell-Descartes, celle de la réflexion. Elle stipule que le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence et que l'angle de réflexion (\(\theta_r\)) est égal à l'angle d'incidence (\(\theta_1\)). C'est une loi de symétrie simple.

Formule(s)

Loi de la Réflexion

\theta_r = \theta_1

Hypothèses

L'interface est plane et réfléchissante (ce qui est toujours le cas pour un dioptre).

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est \(\theta_1\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Angle d'incidence	\(\theta_1\)	30	degrés

Astuces

C'est la loi la plus simple de l'optique géométrique, ne cherchez pas plus compliqué ! L'angle de réflexion est toujours égal à l'angle d'incidence.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre cet angle. Il est symétrique à \(\theta_1\) par rapport à la normale.

Visualisation de la Réflexion

Calcul(s)

Le calcul est une simple substitution directe. Il n'y a pas de manipulation de formule nécessaire.

Étape 1 : Reprendre la loi de la réflexion

\theta_r = \theta_1

Cette loi est une simple égalité.

Étape 2 : Remplacer par la valeur donnée

L'énoncé nous donne \(\theta_1 = 30^\circ\).

\theta_r = 30^\circ

Le résultat est immédiat.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma confirme le résultat. Les angles \(\theta_1\) et \(\theta_r\) sont identiques.

Résultat de la Réflexion

Réflexions

Le rayon réfléchi repart dans l'air (milieu 1) avec un angle de 30° par rapport à la normale, symétriquement au rayon incident.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\theta_r\) (réflexion) avec \(\theta_2\) (réfraction). L'angle de réflexion ne dépend pas des indices \(n_1\) ou \(n_2\), il ne dépend que de \(\theta_1\).

Points à retenir

La loi de la réflexion est une simple égalité : \(\theta_r = \theta_1\). C'est la base de tous les miroirs.

Le saviez-vous ?

Cette loi s'applique à la "réflexion spéculaire" (sur une surface lisse comme un miroir). Une surface rugueuse (comme un mur) crée une "réflexion diffuse" : chaque micro-surface suit la loi \(\theta_r = \theta_1\), mais comme les normales partent dans tous les sens, la lumière est diffusée partout.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'angle de réflexion est \(\theta_r = 30^\circ\).

A vous de jouer

Et si l'angle d'incidence \(\theta_1\) était de 45° ? Quel serait \(\theta_r\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Réflexion.
Formule Essentielle : \(\theta_r = \theta_1\).
Comportement : Toujours vrai, peu importe les milieux.

Question 3 : ...angle d'incidence \(\theta_3\) sur la seconde interface ?

Principe

Une "plaque à faces parallèles" signifie que la deuxième interface (verre-air) est parallèle à la première (air-verre). Les "normales" (les lignes perpendiculaires) à ces deux interfaces sont donc parallèles entre elles.

Mini-Cours

En géométrie, lorsque deux lignes parallèles (les deux normales) sont coupées par une ligne sécante (le rayon réfracté \(\theta_2\)), les angles "alternes-internes" sont égaux. L'angle de réfraction \(\theta_2\) à la première interface devient l'angle d'incidence \(\theta_3\) à la seconde interface.

Remarque Pédagogique

Cette question ne nécessite aucun calcul d'optique, c'est un pur problème de géométrie. Le rayon se propage en ligne droite à l'intérieur du verre.

Lois

Cette question ne repose pas sur une loi de l'optique, mais sur un principe de géométrie euclidienne. Spécifiquement, nous utilisons la propriété des angles alternes-internes formés lorsque deux lignes parallèles (les normales aux deux faces de la plaque) sont coupées par une ligne sécante (le rayon lumineux dans le verre).

Formule(s)

Relation géométrique

\theta_3 = \theta_2

Hypothèses

Les deux faces de la plaque de verre sont parfaitement parallèles.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Angle de réfraction (Q1)	\(\theta_2\)	\(\approx 19.2\)	degrés

Astuces

Faites toujours un schéma pour les problèmes de plaques. Le parallélisme des normales est la clé. L'angle de sortie (calculé à la Q4) est aussi un bon moyen de vérifier ce calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation d'une plaque à faces parallèles. On cherche \(\theta_3\).

Schéma de la plaque à faces parallèles

Calcul(s)

Ce calcul est une application d'un résultat géométrique et d'un résultat de calcul précédent.

Étape 1 : Poser la relation géométrique

Comme expliqué dans le mini-cours, les deux normales sont parallèles. Le rayon lumineux qui les coupe forme donc des angles alternes-internes égaux.

\theta_3 = \theta_2

Cette égalité vient de la géométrie des faces parallèles de la plaque.

Étape 2 : Remplacer par la valeur de la Question 1

Dans la Question 1, nous avons calculé que \(\theta_2 \approx 19.2^\circ\).

\theta_3 \approx 19.2^\circ

L'angle d'incidence \(\theta_3\) sur la deuxième face est donc égal à l'angle de réfraction \(\theta_2\) de la première.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma confirme le résultat. Les deux angles \(\theta_2\) et \(\theta_3\) sont égaux.

Résultat de la Géométrie

Réflexions

Le rayon se propage en ligne droite dans le verre. L'angle qu'il formait avec la première normale (\(\theta_2\)) est le même que celui qu'il forme avec la seconde normale (\(\theta_3\)).

Points de vigilance

Assurez-vous de ne pas confondre l'angle avec l'interface et l'angle avec la normale. Tous les angles de Snell-Descartes (\(\theta\)) sont toujours mesurés par rapport à la normale.

Points à retenir

Pour une plaque à faces parallèles, les normales sont parallèles. L'angle de sortie d'une interface est l'angle d'entrée de la suivante (en termes d'angles alternes-internes).

Le saviez-vous ?

C'est à cause de ce phénomène qu'une vitre ne déforme pas la vision (les rayons sortent parallèles à leur direction d'entrée). Ils sont justes "décalés" latéralement, un décalage qui dépend de l'épaisseur de la vitre et de l'angle d'incidence.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'angle d'incidence sur la deuxième interface est \(\theta_3 \approx 19.2^\circ\).

A vous de jouer

Si l'angle d'incidence initial \(\theta_1\) avait été de 45°, quel aurait été \(\theta_3\) ? (Réutilisez votre calcul de la Q1 "A vous de jouer").

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Géométrie des plaques à faces parallèles.
Formule Essentielle : \(\theta_3 = \theta_2\).

Question 4 : Calculer l'angle de sortie final \(\theta_4\) lorsque le rayon émerge...

Principe

Nous appliquons à nouveau la loi de Snell-Descartes à la seconde interface (verre-air). Cette fois, le milieu de départ est le verre (indice \(n_2\)) et le milieu d'arrivée est l'air (indice \(n_1\)).

Mini-Cours

Le "principe du retour inverse de la lumière" stipule que si on inversait le sens du rayon (en partant de l'air avec \(\theta_4\)), il suivrait exactement le même chemin en sens inverse et ressortirait dans l'air avec l'angle \(\theta_1\). Cela implique que \(\theta_4\) doit être égal à \(\theta_1\). Vérifions-le par le calcul.

Remarque Pédagogique

On s'attend à ce que le rayon s'éloigne de la normale, car il passe d'un milieu plus réfringent (\(n_2=1.52\)) à un milieu moins réfringent (\(n_1=1.00\)). On s'attend donc à ce que \(\theta_4 > \theta_3\).

Lois

Nous utilisons à nouveau la loi de Snell-Descartes pour la réfraction, appliquée cette fois à la deuxième interface (la sortie du verre vers l'air). La loi fondamentale est la même, mais les rôles des milieux (départ et arrivée) sont inversés par rapport à la Question 1.

Formule(s)

Loi de base (Interface 2)

n_2 \sin(\theta_3) = n_1 \sin(\theta_4)

Formule isolée pour \(\theta_4\)

\theta_4 = \arcsin\left( \frac{n_2}{n_1} \sin(\theta_3) \right)

Hypothèses

On utilise les résultats précédents : \(\theta_3 = \theta_2\). Le milieu de sortie est l'air, identique au milieu d'entrée.

Donnée(s)

Nous utilisons les données connues et le résultat de la Q3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Indice Verre (départ)	\(n_2\)	1.52	-
Indice Air (arrivée)	\(n_1\)	1.00	-
Angle incidence (dans verre)	\(\theta_3\)	\(\approx 19.2\)	degrés

Astuces

Puisque \(n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)\) (Q1) et \(\theta_3 = \theta_2\) (Q3), on peut remplacer \(n_2 \sin(\theta_3)\) par \(n_1 \sin(\theta_1)\) dans la formule de cette question. On obtient \(n_1 \sin(\theta_1) = n_1 \sin(\theta_4)\), ce qui se simplifie directement en \(\theta_1 = \theta_4\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous reprenons le schéma de la Q3. Nous cherchons l'angle \(\theta_4\) du rayon qui sort de la plaque de verre.

Schéma de la sortie

Calcul(s)

Nous appliquons la loi de Snell-Descartes à la deuxième interface (Verre \(\rightarrow\) Air).

Étape 1 : Reprendre la formule

Le milieu de départ est le Verre (\(n_2\)) et le milieu d'arrivée est l'Air (\(n_1\)).

n_2 \sin(\theta_3) = n_1 \sin(\theta_4)

Notez que les indices \(n_1\) et \(n_2\) sont inversés par rapport à la Q1, car la lumière passe du verre à l'air.

Étape 2 : Remplacer les valeurs connues

On sait que \(n_2 = 1.52\), \(n_1 = 1.00\), et (d'après Q3) que \(\theta_3 = \theta_2 \approx 19.2^\circ\).

1.52 \times \sin(19.2^\circ) = 1.00 \times \sin(\theta_4)

L'équation est posée avec les valeurs numériques.

Étape 3 : Isoler et calculer \(\sin(\theta_4)\)

On calcule d'abord \(\sin(19.2^\circ)\), qui vaut environ \(0.3289\).

\begin{aligned} \sin(\theta_4) &= \frac{1.52 \times \sin(19.2^\circ)}{1.00} \\ &= 1.52 \times 0.3289 \\ &\approx 0.500 \end{aligned}

Nous obtenons la valeur 0.5 pour le sinus. C'est une valeur remarquable.

Étape 4 : Calculer l'angle \(\theta_4\)

On cherche l'angle dont le sinus est 0.5. C'est un angle remarquable.

\begin{aligned} \theta_4 &= \arcsin(0.5) \\ \Rightarrow \theta_4 &= 30^\circ \end{aligned}

Nous trouvons que l'angle de sortie \(\theta_4\) est de 30°, ce qui est exactement égal à l'angle d'entrée \(\theta_1\).

Méthode alternative (Astuce)

On peut résoudre ce problème sans aucun calcul numérique en combinant les équations précédentes. C'est une méthode plus élégante qui montre une propriété fondamentale des plaques à faces parallèles.

Étape A : Reprendre les équations connues

Nous avons trois relations clés établies dans les questions précédentes :

1. La loi de Snell-Descartes à la première interface (Air \(\rightarrow\) Verre), issue de la Q1 :

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)

2. La relation géométrique due aux faces parallèles, issue de la Q3 :

\theta_3 = \theta_2

3. La loi de Snell-Descartes pour la deuxième interface (Verre \(\rightarrow\) Air), que nous posons pour la Q4 :

n_2 \sin(\theta_3) = n_1 \sin(\theta_4)

Notre objectif est de trouver un lien entre \(\theta_4\) et \(\theta_1\) en combinant ces trois équations.

Étape B : Substituer \(\theta_3\) dans l'équation 3

Commençons par l'équation de la deuxième interface (éq. 3). Nous pouvons y remplacer \(\theta_3\) par \(\theta_2\) en utilisant notre relation géométrique (éq. 2).

n_2 \sin(\theta_2) = n_1 \sin(\theta_4)

Nous avons maintenant une nouvelle équation (que l'on peut appeler éq. 4) qui relie \(\theta_2\) et \(\theta_4\).

Étape C : Substituer le terme \(n_2 \sin(\theta_2)\)

Regardons notre nouvelle équation (éq. 4) et l'équation de la Q1 (éq. 1). Elles ont toutes les deux le terme \(n_2 \sin(\theta_2)\). L'équation 1 nous dit que \(n_2 \sin(\theta_2)\) est égal à \(n_1 \sin(\theta_1)\).

Nous pouvons donc remplacer le terme \(n_2 \sin(\theta_2)\) de l'éq. 4 par \(n_1 \sin(\theta_1)\).

n_1 \sin(\theta_1) = n_1 \sin(\theta_4)

Cette équation est très simplifiée et ne contient plus que les angles d'entrée (\(\theta_1\)) et de sortie (\(\theta_4\)), ainsi que l'indice de l'air (\(n_1\)).

Étape D : Simplifier

Puisque l'indice de l'air \(n_1\) (qui vaut 1.00) n'est pas nul, nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation par \(n_1\).

\sin(\theta_1) = \sin(\theta_4)

Cette égalité des sinus implique que les angles eux-mêmes sont égaux (car ils sont tous les deux des angles physiques aigus, entre 0° et 90°).

\theta_1 = \theta_4

Nous avons démontré que l'angle de sortie est mathématiquement égal à l'angle d'entrée.

Étape E : Résultat

Ayant démontré que \(\theta_4 = \theta_1\), et sachant que l'angle d'incidence initial \(\theta_1\) était de 30°, nous pouvons conclure sans calcul numérique :

\theta_4 = 30^\circ

Ceci confirme le résultat de la première méthode et prouve une propriété générale des plaques à faces parallèles.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que le rayon sortant est parallèle au rayon entrant, car \(\theta_4 = \theta_1 = 30^\circ\).

Résultat de la Sortie

Réflexions

Nous trouvons \(\theta_4 = 30^\circ\), ce qui est exactement l'angle d'incidence initial \(\theta_1\). C'est un résultat fondamental : pour une plaque à faces parallèles, le rayon de sortie est toujours parallèle au rayon d'entrée, il est juste "décalé" latéralement.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser les bons indices de "départ" et d'"arrivée". Ici, on part de \(n_2\) et on arrive à \(n_1\). La formule est \(n_2 \sin(\theta_3) = n_1 \sin(\theta_4)\). L'astuce mentionnée ci-dessus est le moyen le plus rapide et le plus sûr de résoudre ce problème.

Points à retenir

Pour une plaque à faces parallèles, le rayon émergent est parallèle au rayon incident. L'angle de sortie est égal à l'angle d'entrée initial. La plaque ne fait que décaler le rayon.

Le saviez-vous ?

Si l'angle \(\theta_1\) avait été de 0° (rayon perpendiculaire à la plaque), \(\theta_2\) et \(\theta_3\) auraient aussi été de 0°. Le rayon n'aurait pas été dévié du tout, il aurait juste été ralenti dans le verre avant de ressortir.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'angle de sortie final est \(\theta_4 = 30^\circ\).

A vous de jouer

Sans calcul, si l'angle d'incidence initial \(\theta_1\) était de 45°, quel serait l'angle de sortie \(\theta_4\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Principe du retour inverse de la lumière.
Résultat : Pour une plaque à faces parallèles, \(\theta_{\text{sortie}} = \theta_{\text{entrée}}\).

Question 5 : Calculer l'angle critique \(\theta_c\) à l'interface verre-air.

Principe

La réflexion totale internePhénomène où 100% de la lumière est réfléchie à l'interface, aucune lumière n'est réfractée. ne peut se produire que lorsque la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent (ici, Verre \(\rightarrow\) Air).

L'angle critique \(\theta_c\) est l'angle d'incidence (dans le verre) pour lequel l'angle de réfraction (dans l'air) est exactement de 90° (rayon rasant).

Mini-Cours

Si l'angle d'incidence dans le verre (\(\theta_3\)) est supérieur à cet angle critique \(\theta_c\), il n'y a plus de rayon réfracté (\(\theta_4\) n'existe pas). Toute la lumière est réfléchie à 100% à l'intérieur du verre. C'est le principe de fonctionnement des fibres optiques.

Remarque Pédagogique

Ce calcul détermine la limite à partir de laquelle la lumière ne peut plus "sortir" du verre. Notez que notre \(\theta_3 \approx 19.2^\circ\) est (probablement) bien inférieur à cet angle critique, c'est pourquoi la lumière sortait bien à la Q4.

Lois

Nous appliquons la loi de Snell-Descartes pour la réfraction (Verre \(\rightarrow\) Air) dans un cas très particulier : la condition limite. Nous cherchons l'angle d'incidence \(\theta_c\) qui correspond à l'angle de réfraction maximal possible, soit \(\theta_4 = 90^\circ\). C'est la définition même de l'angle critique.

Formule(s)

Équation de départ (Verre \(\rightarrow\) Air)

n_2 \sin(\theta_c) = n_1 \sin(90^\circ)

Formule finale (\(\sin(90^\circ)=1\))

\theta_c = \arcsin\left( \frac{n_1}{n_2} \right)

Hypothèses

On cherche la limite pour la réflexion totale. L'angle de sortie est \(\theta_4 = 90^\circ\). La lumière va du milieu \(n_2\) vers le milieu \(n_1\).

Donnée(s)

On a besoin des deux indices. Le milieu de départ est le verre (\(n_2\)), le milieu d'arrivée est l'air (\(n_1\)).

Paramètre	Symbole	Valeur
Indice d'arrivée (Air)	\(n_1\)	1.00
Indice de départ (Verre)	\(n_2\)	1.52

Astuces

Ce calcul n'est possible que si \(n_1 < n_2\). Si \(n_1 > n_2\) (par ex. Air \(\rightarrow\) Verre), la fraction \(n_1/n_2\) serait > 1, et son arcsinus n'existe pas. Cela confirme qu'il n'y a pas d'angle critique dans ce sens (de l'air vers le verre).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma du cas limite : le rayon sortant est "rasant", parallèle à l'interface.

Schéma de l'Angle Critique

Calcul(s)

Nous posons l'équation de Snell-Descartes pour le cas limite où l'angle de sortie est 90°.

Étape 1 : Poser l'équation de départ

Le rayon part du Verre (\(n_2\)) avec l'angle \(\theta_c\) et arrive dans l'Air (\(n_1\)) avec l'angle 90°.

n_2 \sin(\theta_c) = n_1 \sin(90^\circ)

C'est la loi de Snell-Descartes appliquée au cas limite où l'angle de sortie est 90°.

Étape 2 : Simplifier l'équation

On sait que \(\sin(90^\circ) = 1\).

n_2 \sin(\theta_c) = n_1 \times 1

L'équation est maintenant simplifiée.

Étape 3 : Isoler \(\sin(\theta_c)\)

\sin(\theta_c) = \frac{n_1}{n_2}

C'est la formule générale de l'angle critique. C'est toujours \(\arcsin(n_{\text{petit}} / n_{\text{grand}})\).

Étape 4 : Application numérique

On remplace \(n_1 = 1.00\) (milieu d'arrivée, "petit n") et \(n_2 = 1.52\) (milieu de départ, "grand n").

\begin{aligned} \sin(\theta_c) &= \frac{1.00}{1.52} \\ &\approx 0.6579 \end{aligned}

Nous avons la valeur numérique du sinus de l'angle critique.

Étape 5 : Calculer l'angle \(\theta_c\)

On utilise la fonction arcsinus pour trouver l'angle.

\begin{aligned} \theta_c &= \arcsin(0.6579) \\ \Rightarrow \theta_c &\approx 41.14^\circ \end{aligned}

C'est notre angle critique final.

Schéma (Après les calculs)

On a trouvé la valeur de \(\theta_c\). Si \(\theta_3\) (l'angle dans le verre) était supérieur à 41.14°, le rayon bleu à 90° n'existerait pas et serait remplacé par un rayon réfléchi (non montré).

Résultat de l'Angle Critique

Réflexions

Cela signifie que si le rayon lumineux à l'intérieur du verre frappe l'interface verre-air avec un angle supérieur à 41.14°, il ne sortira pas de la plaque et sera entièrement réfléchi vers l'intérieur. Notre angle \(\theta_3\) de 19.2° est bien en dessous de cette limite, la lumière sort donc sans problème.

Points de vigilance

Ne pas inverser les indices ! C'est toujours \(\arcsin(n_{\text{petit}} / n_{\text{grand}})\). Si vous calculez \(\arcsin(1.52 / 1.00)\), votre calculatrice vous donnera une erreur, ce qui est un bon indice que vous avez inversé les rôles.

Points à retenir

La réflexion totale interne est un concept clé en photonique, essentiel pour guider la lumière dans les fibres optiques.

Condition : De \(n_{\text{élevé}}\) vers \(n_{\text{faible}}\).
Formule : \(\theta_c = \arcsin(n_{\text{faible}} / n_{\text{élevé}})\).

Le saviez-vous ?

C'est la réflexion totale interne qui fait "briller" les diamants. La lumière entre, mais elle est taillée de telle sorte que la lumière subit de multiples réflexions totales internes avant de sortir par le dessus, concentrant la brillance vers l'observateur.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'angle critique pour l'interface verre-air est \(\theta_c \approx 41.14^\circ\).

A vous de jouer

Quel serait l'angle critique pour une interface Eau (\(n=1.33\)) vers Air (\(n=1.00\)) ? (La lumière part de l'eau).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Angle Critique & Réflexion Totale Interne.
Condition : De \(n_{\text{élevé}}\) vers \(n_{\text{faible}}\) (ex: Verre \(\rightarrow\) Air).
Formule : \(\theta_c = \arcsin(n_{\text{faible}} / n_{\text{élevé}})\).

Outil Interactif : Simulateur de Réfraction

Utilisez les curseurs pour voir comment l'angle de réfraction \(\theta_2\) et l'angle critique \(\theta_c\) changent en fonction de l'angle d'incidence \(\theta_1\) et de l'indice de réfraction du second milieu \(n_2\). (On garde \(n_1 = 1.00\) (Air)).

Paramètres d'Entrée

Angle d'incidence \(\theta_1\) (degrés) 30 degrés

Indice du milieu 2, \(n_2\) 1.52

Résultats Clés

Angle de réfraction \(\theta_2\) (degrés) -

Angle critique \(\theta_c\) (Verre \(\rightarrow\) Air) -

Glossaire

Indice de réfraction (\(n\)): Une propriété d'un matériau transparent qui décrit comment la lumière s'y propage. Il est défini comme le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) à la vitesse de la lumière dans le milieu (\(v\)). \(n = c/v\). Un indice élevé signifie que la lumière se propage plus lentement.
Loi de Snell-Descartes: La loi fondamentale qui régit la réfraction. Elle stipule qu'à l'interface entre deux milieux, la relation \(n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)\) est respectée, où \(n_1, n_2\) sont les indices des milieux et \(\theta_1, \theta_2\) sont les angles par rapport à la normale.
Dioptre: Surface (plane ou courbe) qui sépare deux milieux transparents avec des indices de réfraction différents.
Angle critique (\(\theta_c\)): En passant d'un milieu plus réfringent \(n_2\) à un milieu moins réfringent \(n_1\), c'est l'angle d'incidence \(\theta_c\) pour lequel l'angle de réfraction est de 90°. Formule : \(\theta_c = \arcsin(n_1 / n_2)\).
Réflexion totale interne: Phénomène qui se produit lorsqu'on est à une interface \(n_2 \rightarrow n_1\) (avec \(n_2 > n_1\)) et que l'angle d'incidence est supérieur à l'angle critique (\(\theta > \theta_c\)). 100% de la lumière est alors réfléchie, aucune n'est réfractée. C'est le principe des fibres optiques.