Étude du Condensat dans Piège Harmonique

Principe :

La longueur caractéristique de l'oscillateur harmonique, \(a_{ho}\), est une échelle de longueur naturelle pour un particule quantique dans un potentiel harmonique. Elle est définie par les propriétés de la particule (masse \(m\)) et du piège (fréquence \(\omega\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\hbar = 1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
• \(m = 1.443 \times 10^{-25} \, \text{kg}\)
• \(\omega = 2\pi \times 100 \, \text{rad/s} \approx 628.3185 \, \text{rad/s}\)

Calcul :

En micromètres (\(1 \, \text{µm} = 10^{-6} \, \text{m}\)) : \(a_{ho} \approx 1.078 \, \text{µm}\).

Principe :

Le paramètre d'interaction \(g\) (souvent noté \(U_0\) dans certains contextes) caractérise la force des interactions à deux corps entre les atomes du condensat. Il dépend de la longueur de diffusion s-wave \(a_s\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\hbar = 1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\) \(\Rightarrow \hbar^2 \approx 1.11212 \times 10^{-68} \, \text{J}^2 \cdot \text{s}^2\)
• \(a_s = 5.2 \, \text{nm} = 5.2 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
• \(m = 1.443 \times 10^{-25} \, \text{kg}\)

Calcul :

Sachant que \(\text{J} = \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2\), l'unité de \(g\) sera \(\text{J} \cdot \text{m}^3\).

Principe :

Dans l'approximation de Thomas-Fermi pour un condensat dans un piège harmonique isotrope, le potentiel chimique \(\mu\) est relié au nombre d'atomes \(N\), à la fréquence de piégeage \(\omega\), à la longueur de diffusion \(a_s\), et à la longueur caractéristique de l'oscillateur \(a_{ho}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\hbar\omega = (1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (2\pi \times 100 \, \text{s}^{-1}) \approx 6.626 \times 10^{-32} \, \text{J}\)
• \(N = 1.0 \times 10^5\)
• \(a_s = 5.2 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
• \(a_{ho} \approx 1.0784 \times 10^{-6} \, \text{m}\)

Calcul :

Calcul du terme \(15 N \frac{a_s}{a_{ho}}\) :

Calcul de \((15 N \frac{a_s}{a_{ho}})^{2/5}\) :

Calcul de \(\mu\) :

Principe :

Le rayon de Thomas-Fermi est la taille caractéristique du condensat dans l'approximation de Thomas-Fermi, où le potentiel de piégeage est égal au potentiel chimique.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\mu \approx 7.2886 \times 10^{-31} \, \text{J}\)
• \(m = 1.443 \times 10^{-25} \, \text{kg}\)
• \(\omega = 2\pi \times 100 \, \text{rad/s} \approx 628.3185 \, \text{rad/s}\) \(\Rightarrow \omega^2 \approx 394784 \, \text{rad}^2/\text{s}^2\)

Calcul :

En micromètres : \(R_{TF} \approx 5.06 \, \text{µm}\).

Principe :

Dans l'approximation de Thomas-Fermi, la densité de particules au centre du piège (\(r=0\)) est donnée par le rapport du potentiel chimique au paramètre d'interaction.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(\mu \approx 7.2886 \times 10^{-31} \, \text{J}\)
• \(g \approx 5.0346 \times 10^{-51} \, \text{J} \cdot \text{m}^3\)

Calcul :

Principe :

Nous analysons l'influence de \(\omega\) sur \(a_{ho}\), puis sur \(\mu\), et enfin sur \(R_{TF}\) et \(n(0)\).

\(a_{ho} = \sqrt{\hbar/(m\omega)}\). Si \(\omega\) double, \(a_{ho}\) est divisé par \(\sqrt{2}\).

\(\mu \propto \omega (N a_s / a_{ho})^{2/5} \propto \omega (a_{ho})^{-2/5} \propto \omega (\omega^{-1/2})^{-2/5} \propto \omega \cdot \omega^{1/5} = \omega^{6/5}\). Si \(\omega\) double, \(\mu\) est multiplié par \(2^{6/5} \approx 2.297\).

\(R_{TF} = \sqrt{2\mu/(m\omega^2)} \propto \sqrt{\mu/\omega^2} \propto \sqrt{\omega^{6/5}/\omega^2} = \sqrt{\omega^{6/5 - 10/5}} = \sqrt{\omega^{-4/5}} = \omega^{-2/5}\). Si \(\omega\) double, \(R_{TF}\) est divisé par \(2^{2/5} \approx 1.32\).

\(n(0) = \mu/g\). \(g\) ne dépend pas de \(\omega\). Donc \(n(0) \propto \mu \propto \omega^{6/5}\). Si \(\omega\) double, \(n(0)\) est multiplié par \(2^{6/5} \approx 2.297\).

Analyse qualitative :

• Taille du condensat (\(R_{TF}\)) : Si \(\omega\) double, le piège devient plus "serré". La longueur caractéristique \(a_{ho}\) diminue. Le rayon de Thomas-Fermi \(R_{TF}\) diminuera (\(\propto \omega^{-2/5}\)). Le condensat deviendra plus petit et plus confiné.
• Densité centrale (\(n(0)\)) : Puisque le même nombre d'atomes est confiné dans un volume plus petit, la densité centrale \(n(0)\) augmentera (\(\propto \omega^{6/5}\)).