Étude du Paradoxe des Jumeaux en Relativité Restreinte
Comprendre le Paradoxe des Jumeaux
Le "paradoxe des jumeaux" est une expérience de pensée en relativité restreinte qui met en évidence l'un de ses effets les plus contre-intuitifs : la dilatation du temps. Selon ce principe, le temps s'écoule différemment pour des observateurs en mouvement relatif. Si un jumeau voyage à une vitesse proche de celle de la lumière vers une étoile lointaine puis revient sur Terre, il constatera à son retour qu'il a moins vieilli que son jumeau resté sur Terre. Le "paradoxe" apparent vient du fait que, du point de vue du jumeau voyageur, c'est la Terre qui s'éloigne puis se rapproche, suggérant que le jumeau terrestre devrait être plus jeune. La résolution de ce paradoxe réside dans le fait que le jumeau voyageur subit des phases d'accélération et de décélération (pour faire demi-tour), ce qui brise la symétrie des référentiels inertiels.
Données de l'étude : Le Voyage Spatial
- Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (bien que pour cet exercice, nous travaillerons souvent avec \(c\) comme unité).
- Une année-lumière (al) est la distance parcourue par la lumière en une année.
Schéma : Voyage Spatial du Jumeau Ben
Alex reste sur Terre tandis que Ben voyage vers une étoile et revient.
Questions à traiter
- Calculer le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) pour la vitesse du vaisseau spatial.
- Du point de vue d'Alex (resté sur Terre), combien de temps (\(\Delta t_{\text{Alex, aller}}\)) dure le voyage aller de Ben vers l'étoile ?
- Du point de vue de Ben (dans le vaisseau), combien de temps propre (\(\Delta \tau_{\text{Ben, aller}}\)) s'est écoulé pour lui pendant son voyage aller vers l'étoile ?
- Calculer la durée totale du voyage aller-retour du point de vue d'Alex (\(\Delta t_{\text{Alex, total}}\)).
- Calculer la durée totale du voyage (temps propre total écoulé pour Ben, \(\Delta \tau_{\text{Ben, total}}\)) du point de vue de Ben.
- Quel âge auront Alex et Ben lorsqu'ils se retrouveront sur Terre ? Quelle est la différence d'âge ?
- Expliquer brièvement pourquoi il n'y a pas de symétrie parfaite entre les deux jumeaux et pourquoi le jumeau voyageur est effectivement plus jeune.
Correction : Étude du Paradoxe des Jumeaux
Question 1 : Calcul du facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Principe :
Le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) est défini par \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\), où \(v\) est la vitesse relative entre les référentiels et \(c\) est la vitesse de la lumière.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v = 0.800c \Rightarrow v/c = 0.800\)
Calcul :
Question 2 : Temps du voyage aller pour Alex (\(\Delta t_{\text{Alex, aller}}\))
Principe :
Du point de vue d'Alex (référentiel terrestre), la distance à l'étoile est \(D\) et le vaisseau se déplace à la vitesse \(v\). Le temps est simplement \( \text{distance} / \text{vitesse}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(D = 4.00 \, \text{années-lumière (al)}\)
- \(v = 0.800c\)
Calcul :
Question 3 : Temps propre écoulé pour Ben pendant l'aller (\(\Delta \tau_{\text{Ben, aller}}\))
Principe :
Le temps propre (\(\Delta \tau\)) mesuré par Ben dans son vaisseau est affecté par la dilatation du temps. La relation est \(\Delta t = \gamma \Delta \tau\), où \(\Delta t\) est le temps mesuré dans le référentiel où l'objet est en mouvement (ici, le temps d'Alex) et \(\Delta \tau\) est le temps propre.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(\Delta t_{\text{Alex, aller}} = 5.00 \, \text{ans}\)
- \(\gamma = 5/3 \approx 1.6667\)
Calcul :
Question 4 : Durée totale du voyage pour Alex (\(\Delta t_{\text{Alex, total}}\))
Principe :
Le voyage retour se fait à la même vitesse et sur la même distance (dans le référentiel terrestre). Donc, le temps du retour pour Alex est identique au temps de l'aller.
Calcul :
Question 5 : Durée totale du voyage pour Ben (\(\Delta \tau_{\text{Ben, total}}\))
Principe :
De même, le temps propre écoulé pour Ben pendant le voyage retour est identique au temps propre écoulé pendant l'aller.
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : La dilatation du temps signifie que le temps mesuré par un observateur en mouvement par rapport à un événement :
Note: La question est formulée du point de vue de l'observateur qui voit l'horloge de l'autre bouger. Le temps propre est le temps le plus court.
Question 6 : Âges des jumeaux à leur réunion
Principe :
On ajoute le temps écoulé pour chacun à leur âge initial.
Données spécifiques :
- Âge initial : \(30 \, \text{ans}\)
- \(\Delta t_{\text{Alex, total}} = 10.00 \, \text{ans}\)
- \(\Delta \tau_{\text{Ben, total}} = 6.00 \, \text{ans}\)
Calcul :
Âge d'Alex au retour de Ben :
Âge de Ben à son retour :
Différence d'âge :
Question 7 : Résolution du "paradoxe"
Explication :
Le "paradoxe" apparent vient d'une application incorrecte du principe de relativité. Bien que le mouvement soit relatif, les situations des deux jumeaux ne sont pas symétriques. Alex, resté sur Terre, peut être considéré comme étant dans un référentiel inertiel (ou approximativement inertiel) pendant toute la durée. Ben, le jumeau voyageur, doit nécessairement changer de référentiel inertiel : il accélère au départ, décélère pour atteindre l'étoile, fait demi-tour (ce qui implique une forte accélération/décélération), accélère pour revenir, et décélère pour atterrir sur Terre. Ces phases d'accélération (et donc le changement de référentiel inertiel) brisent la symétrie. La relativité restreinte s'applique aux référentiels inertiels. Pour analyser correctement la situation de Ben, il faudrait utiliser la relativité générale ou considérer les changements de référentiels inertiels. Cependant, même en simplifiant et en considérant des changements instantanés de direction, le fait que Ben change de direction signifie qu'il n'est pas resté dans un unique référentiel inertiel. C'est pourquoi son temps propre écoulé est différent (et plus court) que celui d'Alex.
Quiz Intermédiaire 2 : Lequel des postulats suivants N'EST PAS un postulat de la relativité restreinte d'Einstein ?
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) est toujours :
2. La dilatation du temps prédit que :
3. Dans le paradoxe des jumeaux, le jumeau qui voyage :
Glossaire
- Relativité Restreinte
- Théorie physique publiée par Albert Einstein en 1905, qui décrit la physique du mouvement en l'absence de gravité. Elle repose sur deux postulats : le principe de relativité et l'invariance de la vitesse de la lumière.
- Dilatation du Temps
- Phénomène prédit par la relativité restreinte où le temps mesuré entre deux événements par un observateur en mouvement par rapport à ces événements est plus long que le temps propre mesuré par un observateur pour lequel les événements se produisent au même endroit.
- Temps Propre (\(\Delta \tau\))
- Intervalle de temps mesuré par une horloge qui est au repos par rapport aux événements qu'elle mesure (ou par un observateur dans son propre référentiel inertiel).
- Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
- Facteur par lequel le temps, la longueur et la masse relativiste d'un objet en mouvement sont modifiés. \(\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}\).
- Référentiel Inertiel
- Système de coordonnées dans lequel la première loi de Newton (principe d'inertie) est valable. Un référentiel se déplaçant à vitesse constante par rapport à un référentiel inertiel est aussi inertiel.
- Année-Lumière (al)
- Unité de distance égale à la distance que la lumière parcourt dans le vide en une année julienne (environ \(9.461 \times 10^{15}\) mètres).
- Paradoxe des Jumeaux
- Expérience de pensée en relativité restreinte illustrant la dilatation du temps, où un jumeau voyageant à une vitesse relativiste vieillit moins que son jumeau resté sur Terre. La "paradoxe" est résolu en considérant l'asymétrie des référentiels (le voyageur subit des accélérations).
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