Étude d’une Fonction d’Onde Gaussienne
Contexte : Le "Paquet d'Onde" et l'Incertitude Quantique.
En mécanique quantique, une particule n'a pas de position précise avant d'être mesurée. Son état est décrit par une fonction d'ondeObjet mathématique qui contient toute l'information sur un système quantique. Son carré de module, |ψ|², représente la densité de probabilité de trouver la particule en un point donné., \(\psi(x)\), qui représente une "onde de probabilité". Le paquet d'onde gaussien est un modèle mathématique fondamental qui décrit une particule relativement bien localisée dans l'espace. Son étude permet de quantifier l'une des idées les plus contre-intuitives de la physique : le principe d'incertitude de Heisenberg, qui lie l'imprécision sur la position d'une particule à celle sur sa quantité de mouvement. Cet exercice se concentre sur l'analyse de la partie spatiale de cette fonction d'onde.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fera manipuler les outils mathématiques de base de la mécanique quantique. Nous partirons d'une fonction d'onde, nous la rendrons physiquement acceptable (normalisation), puis nous en extrairons des informations mesurables comme la position moyenne et, surtout, l'incertitude sur cette position. C'est une démarche fondamentale pour comprendre comment la description probabiliste du monde quantique mène à des prédictions quantitatives concrètes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la condition de normalisation d'une fonction d'onde.
- Calculer la densité de probabilité de présence d'une particule.
- Déterminer la valeur moyenne de la position \(\langle x \rangle\) et de son carré \(\langle x^2 \rangle\).
- Calculer l'écart-type (incertitude) sur la position, \(\Delta x\), et comprendre son lien avec la largeur du paquet d'onde.
Données de l'étude
Représentation du paquet d'onde gaussien
| Paramètre / Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur caractéristique | \(a\) | \(1.0 \times 10^{-10}\) | \(\text{m}\) |
| Intégrale de Gauss (1) | \( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \) | (sans unité) | |
| Intégrale de Gauss (2) | \( \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-\alpha x^2} dx = \frac{1}{2\alpha} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \) | (sans unité) | |
Questions à traiter
- Déterminer la constante de normalisation \(A\) pour que la fonction d'onde soit physiquement acceptable.
- Calculer la valeur moyenne (ou espérance) de la position, \(\langle x \rangle\).
- Calculer la valeur moyenne du carré de la position, \(\langle x^2 \rangle\).
- En déduire l'écart-type \(\Delta x\), qui représente l'incertitude sur la position de la particule.
Les bases de la Fonction d'Onde
Avant de commencer, rappelons les postulats qui régissent l'interprétation de la fonction d'onde.
1. L'Interprétation de Born (Densité de Probabilité) :
La fonction d'onde \(\psi(x)\) elle-même n'a pas de sens physique direct. C'est son module au carré, \(|\psi(x)|^2 = \psi^*(x)\psi(x)\), qui est interprété comme la densité de probabilité de trouver la particule à la position \(x\). La probabilité de trouver la particule entre \(x\) et \(x+dx\) est donc \(P(x)dx = |\psi(x)|^2 dx\).
2. La Condition de Normalisation :
Puisque la particule doit se trouver quelque part dans l'univers, la somme de toutes les probabilités doit être égale à 1. Mathématiquement, cela se traduit par l'intégrale de la densité de probabilité sur tout l'espace, qui doit valoir 1 :
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1 \]
Cette condition permet de fixer la valeur de la constante \(A\).
3. Les Valeurs Moyennes (Espérances) :
Pour trouver la valeur moyenne d'une grandeur physique \(O\) (comme la position \(x\)), on "pondère" chaque valeur possible de \(O\) par la probabilité de la trouver. En mécanique quantique, cela se traduit par l'intégrale :
\[ \langle O \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x) \, \hat{O} \, \psi(x) \, dx \]
où \(\hat{O}\) est l'opérateur associé à la grandeur \(O\). Pour la position, \(\hat{x} = x\), et pour son carré, \(\hat{x^2} = x^2\).
Correction : Étude d’une Fonction d’Onde Gaussienne
Question 1 : Déterminer la constante de normalisation (A)
Principe (le concept physique)
La normalisation est une étape fondamentale pour qu'une fonction d'onde soit physiquement valide. Elle garantit que la probabilité totale de trouver la particule n'importe où dans l'espace est exactement de 100% (soit 1). Sans cela, nos calculs de probabilité n'auraient pas de sens. Nous allons donc imposer cette condition pour trouver la valeur de la constante d'amplitude \(A\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'espace des fonctions d'onde est un espace de Hilbert. Plus précisément, les fonctions d'onde doivent être de "carré sommable", ce qui signifie que l'intégrale de leur module au carré doit être finie. La normalisation consiste à prendre une fonction de carré sommable et à la multiplier par une constante pour que cette intégrale vaille exactement 1.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à la normalisation comme à la conversion d'une "distribution de popularité" en une "distribution de probabilité". Si un sondage vous dit que le candidat A a 600 voix et le B en a 400, vous normalisez en divisant par le total (1000) pour dire que A a 60% de chances de gagner et B 40%. C'est exactement ce que nous faisons ici avec la "popularité" de chaque position \(x\), donnée par \(|\psi(x)|^2\).
Normes (la référence réglementaire)
La condition de normalisation est l'un des postulats fondamentaux de la mécanique quantique (l'interprétation de Copenhague). Elle n'est pas une norme technique mais une règle de base du formalisme mathématique de la théorie.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition de normalisation :
Intégrale de Gauss utile :
Hypothèses (le cadre du calcul)
La fonction d'onde est réelle, donc \(\psi^*(x) = \psi(x)\) et \(|\psi(x)|^2 = (\psi(x))^2\). La constante \(A\) est également supposée réelle et positive par convention.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fonction d'onde : \(\psi(x) = A e^{-x^2 / (2a^2)}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de calculer, identifiez le paramètre \(\alpha\) de l'intégrale de Gauss. Ici, \(|\psi(x)|^2 = A^2 e^{-x^2/a^2}\). En comparant avec \(e^{-\alpha x^2}\), on voit immédiatement que \(\alpha = 1/a^2\). Cela simplifie la substitution dans la formule de l'intégrale.
Schéma (Avant les calculs)
Aire sous la Densité de Probabilité
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la condition de normalisation :
On utilise l'intégrale de Gauss avec \(\alpha = 1/a^2\) :
Schéma (Après les calculs)
Fonction d'Onde Normalisée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La constante de normalisation \(A\) n'est pas juste un nombre ; elle dépend du paramètre de largeur \(a\). C'est logique : si le paquet d'onde est plus étroit (petit \(a\)), il doit être plus haut pour que l'aire totale sous son carré reste égale à 1. Inversement, un paquet d'onde large (grand \(a\)) sera plus aplati.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre au carré la fonction d'onde \(\psi(x)\) à l'intérieur de l'intégrale. On normalise la probabilité, qui est \(|\psi|^2\), pas l'amplitude \(\psi\). Oublier le carré mène à un facteur 2 erroné dans l'exponentielle.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La normalisation assure que la probabilité totale est 1.
- On intègre \(|\psi(x)|^2\) sur tout l'espace et on égale le résultat à 1.
- La constante de normalisation dépend souvent des paramètres de la fonction d'onde.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La fonction gaussienne est omniprésente en sciences et en ingénierie, bien au-delà de la physique quantique. Elle décrit la distribution de nombreuses erreurs de mesure (la "courbe en cloche"), le profil d'un faisceau laser, et est fondamentale en traitement du signal et en statistiques.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la fonction d'onde était \(\psi(x) = A e^{-x^2 / (8a^2)}\), quelle serait la nouvelle constante \(A^2\) ?
Question 2 : Calculer la valeur moyenne de la position (\(\langle x \rangle\))
Principe (le concept physique)
La valeur moyenne de la position, notée \(\langle x \rangle\), représente la position moyenne que l'on obtiendrait si l'on mesurait la position d'un très grand nombre de particules se trouvant toutes dans le même état \(\psi(x)\). Pour une distribution de probabilité symétrique par rapport à l'origine, l'intuition suggère que la position moyenne devrait être nulle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Mathématiquement, le calcul de \(\langle x \rangle\) implique l'intégrale de \(x |\psi(x)|^2\). La fonction \(|\psi(x)|^2 = A^2 e^{-x^2/a^2}\) est une fonction paire (symétrique par rapport à l'axe y, \(f(-x)=f(x)\)). La fonction \(x\) est une fonction impaire (\(g(-x)=-g(x)\)). Le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire est une fonction impaire. L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique (comme de \(-\infty\) à \(+\infty\)) est toujours nulle.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Reconnaître les symétries est une compétence extrêmement puissante en physique. Avant de vous lancer dans un calcul d'intégrale complexe, prenez toujours un instant pour vérifier si la fonction à intégrer n'est pas impaire sur un domaine symétrique. Cela peut vous faire gagner un temps précieux et éviter des erreurs de calcul.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des valeurs moyennes (ou espérances mathématiques) est un concept standard de la théorie des probabilités, qui trouve ici une application directe dans le formalisme de la mécanique quantique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise la fonction d'onde normalisée trouvée à la question 1. Aucune autre hypothèse n'est nécessaire.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Densité de probabilité : \(|\psi(x)|^2 = \frac{1}{a\sqrt{\pi}} e^{-x^2/a^2}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Comme mentionné dans le mini-cours, l'intégrande \(x \cdot e^{-x^2/a^2}\) est une fonction impaire. L'intégrale sur \(\mathbb{R}\) est donc nulle par symétrie, sans même avoir besoin de la calculer explicitement.
Schéma (Avant les calculs)
Symétrie de la Densité de Probabilité
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Position Moyenne
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat \(\langle x \rangle = 0\) confirme notre intuition. La particule a autant de chances d'être trouvée à une position \(+x_0\) qu'à \(-x_0\). En moyenne, sa position est donc bien le centre du paquet d'onde, qui est ici l'origine.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne concluez pas trop vite que \(\langle x \rangle = 0\) pour n'importe quelle fonction d'onde. Ce résultat n'est vrai que si la densité de probabilité \(|\psi(x)|^2\) est une fonction paire. Si le paquet d'onde était centré en \(x_0\), la valeur moyenne serait \(x_0\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La valeur moyenne de la position est calculée par \(\langle x \rangle = \int x |\psi(x)|^2 dx\).
- Pour une densité de probabilité paire, la position moyenne est nulle.
- L'argument de symétrie est un outil de calcul très efficace.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En traitement du signal, la valeur moyenne d'un signal est appelée sa "composante continue" ou "DC offset". Pour de nombreux signaux alternatifs (comme le son), cette composante est nulle, ce qui signifie que le signal oscille symétriquement autour de zéro.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour une fonction d'onde \(\psi(x) = A e^{-(x-x_0)^2 / (2a^2)}\), quelle serait la valeur de \(\langle x \rangle\) ?
Question 3 : Calculer la valeur moyenne de x² (\(\langle x^2 \rangle\))
Principe (le concept physique)
La valeur \(\langle x^2 \rangle\) représente la moyenne du carré de la position. Ce n'est pas une quantité aussi intuitive que \(\langle x \rangle\), mais elle est cruciale car elle mesure l'écart quadratique moyen par rapport à l'origine. C'est une étape indispensable pour calculer l'incertitude sur la position, qui est l'écart-type de la distribution.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Contrairement à l'intégrale pour \(\langle x \rangle\), l'intégrande pour \(\langle x^2 \rangle\), qui est \(x^2 |\psi(x)|^2\), est une fonction paire. C'est le produit de deux fonctions paires (\(x^2\) et \(|\psi(x)|^2\)). Par conséquent, son intégrale sur un intervalle symétrique n'est pas nulle et doit être calculée explicitement en utilisant la deuxième formule d'intégrale de Gauss fournie dans l'énoncé.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne confondez pas \(\langle x^2 \rangle\) et \(\langle x \rangle^2\). Le premier est la moyenne du carré, tandis que le second est le carré de la moyenne. Sauf si la particule a une position parfaitement définie (une fonction delta de Dirac, \(\Delta x = 0\)), on a toujours \(\langle x^2 \rangle > \langle x \rangle^2\). La différence entre les deux est justement ce qui définit la variance, ou le "carré de l'incertitude".
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des moments d'une distribution de probabilité (\(\langle x \rangle\) est le premier moment, \(\langle x^2 \rangle\) est lié au second moment) est une procédure standard en statistique et en théorie des probabilités, utilisée dans d'innombrables domaines scientifiques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Intégrale de Gauss utile :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise la fonction d'onde normalisée. Le calcul est direct.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Densité de probabilité : \(|\psi(x)|^2 = \frac{1}{a\sqrt{\pi}} e^{-x^2/a^2}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Encore une fois, identifiez \(\alpha = 1/a^2\). L'intégrale \(\int x^2 e^{-x^2/a^2} dx\) devient alors facile à évaluer en utilisant la formule fournie. Notez que la partie \(\sqrt{\pi/\alpha}\) est exactement l'inverse de la constante de normalisation au carré (sans le \(A^2\)), ce qui simplifie le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Signification de l'Écart Quadratique
Calcul(s) (l'application numérique)
On utilise l'intégrale de Gauss (2) avec \(\alpha = 1/a^2\) :
On substitue ce résultat dans l'expression de \(\langle x^2 \rangle\) :
Schéma (Après les calculs)
Écart Quadratique Moyen
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat \(\langle x^2 \rangle = a^2/2\) est très important. Il montre que l'écart quadratique moyen est directement lié au carré du paramètre de largeur \(a\). Plus le paquet d'onde est large (grand \(a\)), plus la moyenne des positions au carré sera grande, ce qui est tout à fait logique.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus courante ici est de mal utiliser la formule de l'intégrale. Faites bien attention à la substitution de \(\alpha\) et aux simplifications qui s'ensuivent. Une erreur sur un facteur 2 ou sur une puissance de \(a\) est vite arrivée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(\langle x^2 \rangle\) mesure l'écart quadratique moyen par rapport à l'origine.
- Son calcul nécessite souvent des intégrales standards qu'il faut savoir identifier et utiliser.
- Pour une gaussienne centrée, \(\langle x^2 \rangle = a^2/2\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En finance, la "volatilité" d'une action est mesurée par l'écart-type (la racine carrée de la variance) de ses rendements. Le calcul est conceptuellement identique : on calcule la moyenne des rendements au carré pour quantifier le "risque" ou la "dispersion" de l'action.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le paramètre de largeur était \(a' = 2a\), quelle serait la nouvelle valeur de \(\langle x^2 \rangle\) en fonction de \(a\) ?
Question 4 : Calculer l'incertitude sur la position (\(\Delta x\))
Principe (le concept physique)
L'incertitude quantique, ou écart-type \(\Delta x\), est la mesure la plus importante de la "largeur" ou de "l'étalement" de la fonction d'onde. Elle quantifie notre méconnaissance de la position de la particule avant la mesure. Elle est définie comme la racine carrée de la variance, qui est la différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'écart-type \(\Delta x\) est une notion centrale du principe d'incertitude de Heisenberg. Ce principe stipule que le produit de l'incertitude sur la position \(\Delta x\) et de l'incertitude sur la quantité de mouvement \(\Delta p\) ne peut être inférieur à une certaine valeur fondamentale : \(\Delta x \Delta p \ge \hbar/2\). Un paquet d'onde gaussien est un "paquet d'onde à incertitude minimale", c'est-à-dire qu'il satisfait exactement cette égalité : \(\Delta x \Delta p = \hbar/2\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne voyez pas \(\Delta x\) comme une erreur de mesure, mais comme une propriété intrinsèque de la particule. La particule n'a pas une position précise que nous ignorons ; sa position est fondamentalement "floue", et \(\Delta x\) est la mesure de ce flou. C'est l'un des changements de paradigme les plus profonds de la physique quantique.
Normes (la référence réglementaire)
Le principe d'incertitude de Heisenberg est une loi fondamentale de la nature. Il a des conséquences technologiques directes, par exemple en limitant la précision avec laquelle on peut concevoir certains capteurs ou en expliquant la stabilité des atomes (si l'électron avait une position et une vitesse nulles, il violerait le principe).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul est une simple application de la définition de l'écart-type en utilisant les résultats des questions précédentes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Valeur moyenne de la position, \(\langle x \rangle = 0\) (de Q2)
- Valeur moyenne du carré de la position, \(\langle x^2 \rangle = a^2/2\) (de Q3)
- Valeur numérique de \(a = 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Puisque \(\langle x \rangle = 0\), le calcul se simplifie énormément : \(\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle}\). Il suffit donc de prendre la racine carrée du résultat de la question 3.
Schéma (Avant les calculs)
De la Variance à l'Incertitude
Calcul(s) (l'application numérique)
Application numérique avec \(a = 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\) :
Schéma (Après les calculs)
Incertitude sur la Position
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'incertitude sur la position, \(\Delta x\), est directement proportionnelle au paramètre de largeur \(a\). Cela confirme le rôle de \(a\) : il contrôle directement l'étalement spatial de la particule. Un petit \(a\) signifie une particule bien localisée (faible \(\Delta x\)), tandis qu'un grand \(a\) correspond à une particule délocalisée (grande incertitude \(\Delta x\)).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier de prendre la racine carrée à la fin ! La variance \((\Delta x)^2\) est une étape de calcul, mais l'incertitude physique est l'écart-type \(\Delta x\), qui a la même unité qu'une position (mètres).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'incertitude \(\Delta x\) est l'écart-type de la distribution de position.
- Elle est définie par \(\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}\).
- Pour un paquet d'onde gaussien, \(\Delta x\) est directement proportionnel à sa largeur \(a\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le principe d'incertitude a une analogie directe en traitement du signal. Il est impossible de créer un signal qui soit à la fois très court dans le temps (position bien définie) et qui ait une bande de fréquence très étroite (quantité de mouvement bien définie). C'est le "compromis temps-fréquence", une limitation fondamentale dans la conception de systèmes de communication comme la 5G.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le paramètre de largeur était \(a' = 2a\), quelle serait la nouvelle incertitude \(\Delta x'\) en fonction de \(a\) ?
Outil Interactif : Paramètres du Paquet d'Onde
Modifiez le paramètre de largeur \(a\) pour voir son influence sur la forme du paquet d'onde et sur l'incertitude.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le paquet d'onde gaussien n'est pas statique. Avec le temps, un paquet d'onde initialement localisé va naturellement s'étaler, ce qui signifie que l'incertitude sur la position \(\Delta x\) augmente. C'est ce qu'on appelle la "dispersion du paquet d'onde". C'est une conséquence directe du fait que la particule est une superposition d'ondes de différentes longueurs d'onde, qui se déphasent au cours du temps.
Foire Aux Questions (FAQ)
Existe-t-il d'autres formes de fonctions d'onde ?
Oui, une infinité ! La fonction d'onde peut prendre de nombreuses formes mathématiques, qui dépendent du système physique étudié (par exemple, un électron dans un atome aura une fonction d'onde très différente de celle d'un électron libre). La gaussienne est simplement l'un des modèles les plus simples et les plus utiles pour une particule libre.
Que représente la constante "a" physiquement ?
Le paramètre \(a\) représente directement la largeur spatiale du paquet d'onde. Comme nous l'avons calculé, l'incertitude sur la position \(\Delta x\) est proportionnelle à \(a\). Donc, si vous préparez une particule dans un état avec un grand \(a\), vous acceptez une grande incertitude sur sa position initiale.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on divise le paramètre de largeur \(a\) par 2, l'incertitude sur la position \(\Delta x\) est...
2. Pour un paquet d'onde gaussien, la position la plus probable de la particule se trouve...
- Fonction d'Onde (\(\psi\))
- Objet mathématique complexe qui décrit l'état d'un système quantique. Son module au carré \(|\psi|^2\) donne la densité de probabilité de présence de la particule.
- Normalisation
- Procédure mathématique consistant à s'assurer que l'intégrale de la densité de probabilité sur tout l'espace est égale à 1, garantissant que la probabilité totale de trouver la particule est de 100%.
- Valeur Moyenne (\(\langle O \rangle\))
- Aussi appelée "valeur d'espérance", c'est la valeur moyenne d'une grandeur physique \(O\) que l'on obtiendrait après un grand nombre de mesures sur des systèmes identiques.
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