ÉTUDE DE PHYSIQUE

Étude d’une Fonction d’Onde Gaussienne

Étude d’une Fonction d’Onde Gaussienne en Physique Quantique

Étude d’une Fonction d’Onde Gaussienne

Comprendre les Fonctions d'Onde Gaussiennes

En mécanique quantique, la fonction d'onde \(\psi(x,t)\) décrit l'état d'une particule. Le carré de son module, \(|\psi(x,t)|^2\), représente la densité de probabilité de trouver la particule à la position \(x\) au temps \(t\). Les paquets d'ondes gaussiens sont particulièrement importants car ils représentent des particules relativement bien localisées en position et en impulsion, et ils sont les états qui minimisent le produit des incertitudes de Heisenberg (\(\Delta x \Delta p = \hbar/2\)). En optique, les faisceaux laser ont souvent un profil d'intensité transverse gaussien. L'étude des propriétés d'une fonction d'onde gaussienne, comme sa normalisation, les valeurs moyennes de la position et de l'impulsion, et les incertitudes associées, est fondamentale pour comprendre le comportement quantique des particules et les propriétés des faisceaux lumineux cohérents.

Données du Problème

On considère une particule de masse \(m\) décrite à l'instant \(t=0\) par la fonction d'onde unidimensionnelle gaussienne suivante :

\[ \psi(x, 0) = A e^{-x^2/(4\sigma^2)} \]

où \(A\) est une constante de normalisation et \(\sigma\) est un paramètre réel positif qui caractérise la largeur du paquet d'ondes.

  • Largeur du paquet d'ondes (\(\sigma\)) : \(1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\) (comparable à la taille d'un atome)
  • Masse de la particule (par exemple, un électron, \(m_e\)) : \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)

Constantes et intégrales utiles :

  • Constante de Planck réduite (\(\hbar\)) : \(1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Intégrale gaussienne : \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\) pour \(\alpha > 0\)
  • Autre intégrale utile : \(\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\alpha x^2} dx = \frac{1}{2\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\) pour \(\alpha > 0\)
Schéma : Fonction d'Onde Gaussienne et Densité de Probabilité
x ψ(x), |ψ(x)|² 0 ψ(x) |ψ(x)|² σ (largeur)

Représentation d'une fonction d'onde gaussienne \(\psi(x)\) et de sa densité de probabilité \(|\psi(x)|^2\).

Questions à traiter

  1. Déterminer la constante de normalisation \(A\) pour que la fonction d'onde \(\psi(x, 0)\) soit normalisée (c'est-à-dire \(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx = 1\)).
  2. Calculer la valeur moyenne de la position \(\langle x \rangle\) pour cette particule.
  3. Calculer la valeur moyenne du carré de la position \(\langle x^2 \rangle\).
  4. Calculer l'incertitude sur la position \(\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}\).
  5. Calculer la valeur moyenne de l'impulsion \(\langle p \rangle\). (Rappel : l'opérateur impulsion \(\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}\)).
  6. Calculer la valeur moyenne du carré de l'impulsion \(\langle p^2 \rangle\).
  7. Calculer l'incertitude sur l'impulsion \(\Delta p = \sqrt{\langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2}\).
  8. Vérifier le principe d'incertitude de Heisenberg en calculant le produit \(\Delta x \Delta p\).

Correction : Étude d’une Fonction d’Onde Gaussienne

Question 1 : Constante de normalisation \(A\)

Principe :

La condition de normalisation stipule que la probabilité totale de trouver la particule dans tout l'espace est égale à 1.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx = 1 \]

Ici, \(|\psi(x,0)|^2 = (A e^{-x^2/(4\sigma^2)})^* (A e^{-x^2/(4\sigma^2)}) = A^2 e^{-x^2/(2\sigma^2)}\) car \(A\) et \(\sigma\) sont réels.

Calcul :
\[ \int_{-\infty}^{\infty} A^2 e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx = A^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx = 1 \]

On utilise l'intégrale gaussienne donnée \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\) avec \(\alpha = \frac{1}{2\sigma^2}\).

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx = \sqrt{\frac{\pi}{1/(2\sigma^2)}} = \sqrt{2\pi\sigma^2} = \sigma\sqrt{2\pi} \]
\[ A^2 \cdot \sigma\sqrt{2\pi} = 1 \Rightarrow A^2 = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \Rightarrow A = \frac{1}{(\sigma\sqrt{2\pi})^{1/2}} = \frac{1}{\sigma^{1/2}(2\pi)^{1/4}} \]

La fonction d'onde normalisée est donc \(\psi(x,0) = \frac{1}{\sigma^{1/2}(2\pi)^{1/4}} e^{-x^2/(4\sigma^2)}\).

Résultat Question 1 : La constante de normalisation est \(A = \frac{1}{\sigma^{1/2}(2\pi)^{1/4}}\).

Question 2 : Valeur moyenne de la position \(\langle x \rangle\)

Principe :

La valeur moyenne (ou espérance mathématique) de la position est donnée par \(\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,0) x \psi(x,0) dx = \int_{-\infty}^{\infty} x |\psi(x,0)|^2 dx\).

Calcul :
\[ \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x A^2 e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx = A^2 \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx \]

L'intégrande \(f(x) = x e^{-x^2/(2\sigma^2)}\) est une fonction impaire (\(f(-x) = -f(x)\)). L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à l'origine (ici, de \(-\infty\) à \(+\infty\)) est nulle.

\[ \langle x \rangle = 0 \]
Résultat Question 2 : La valeur moyenne de la position est \(\langle x \rangle = 0\).

Question 3 : Valeur moyenne du carré de la position \(\langle x^2 \rangle\)

Principe :

\(\langle x^2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 |\psi(x,0)|^2 dx = A^2 \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx\).

Calcul :

On utilise l'intégrale donnée \(\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\alpha x^2} dx = \frac{1}{2\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\) avec \(\alpha = \frac{1}{2\sigma^2}\).

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx = \frac{1}{2(1/(2\sigma^2))}\sqrt{\frac{\pi}{1/(2\sigma^2)}} = \sigma^2 \sqrt{2\pi\sigma^2} = \sigma^3\sqrt{2\pi} \]
\[ \begin{aligned} \langle x^2 \rangle &= A^2 \cdot \sigma^3\sqrt{2\pi} \\ &= \left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right) \cdot \sigma^3\sqrt{2\pi} \\ &= \sigma^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La valeur moyenne du carré de la position est \(\langle x^2 \rangle = \sigma^2\).

Question 4 : Incertitude sur la position \(\Delta x\)

Principe :

L'incertitude (écart-type) sur la position est \(\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}\).

Données spécifiques :
  • \(\langle x^2 \rangle = \sigma^2\)
  • \(\langle x \rangle = 0\)
  • \(\sigma = 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta x &= \sqrt{\sigma^2 - (0)^2} \\ &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sigma \end{aligned} \]
\[ \Delta x = 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m} \]
Résultat Question 4 : L'incertitude sur la position est \(\Delta x = \sigma = 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\).

Question 5 : Valeur moyenne de l'impulsion \(\langle p \rangle\)

Principe :

\(\langle p \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,0) (-i\hbar \frac{d}{dx}) \psi(x,0) dx\). Puisque \(\psi(x,0)\) est réelle, \(\psi^* = \psi\).

Calcul :
\[ \frac{d\psi}{dx} = A \frac{d}{dx} e^{-x^2/(4\sigma^2)} = A \left(-\frac{2x}{4\sigma^2}\right) e^{-x^2/(4\sigma^2)} = -A \frac{x}{2\sigma^2} e^{-x^2/(4\sigma^2)} \]
\[ \begin{aligned} \langle p \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} A e^{-x^2/(4\sigma^2)} (-i\hbar) \left(-A \frac{x}{2\sigma^2} e^{-x^2/(4\sigma^2)}\right) dx \\ &= i\hbar \frac{A^2}{2\sigma^2} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx \end{aligned} \]

L'intégrale \(\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx\) est l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique, donc elle est nulle.

\[ \langle p \rangle = 0 \]
Résultat Question 5 : La valeur moyenne de l'impulsion est \(\langle p \rangle = 0\).

Question 6 : Valeur moyenne du carré de l'impulsion \(\langle p^2 \rangle\)

Principe :

\(\langle p^2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,0) (-\hbar^2 \frac{d^2}{dx^2}) \psi(x,0) dx\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{d^2\psi}{dx^2} &= \frac{d}{dx} \left(-A \frac{x}{2\sigma^2} e^{-x^2/(4\sigma^2)}\right) \\ &= -A \frac{1}{2\sigma^2} \left( e^{-x^2/(4\sigma^2)} + x \left(-\frac{x}{2\sigma^2}\right) e^{-x^2/(4\sigma^2)} \right) \\ &= -A \frac{1}{2\sigma^2} e^{-x^2/(4\sigma^2)} \left( 1 - \frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \langle p^2 \rangle &= -\hbar^2 A^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/(4\sigma^2)} \left[-\frac{1}{2\sigma^2} e^{-x^2/(4\sigma^2)} \left(1 - \frac{x^2}{2\sigma^2}\right) \right] dx \\ &= \frac{\hbar^2 A^2}{2\sigma^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/(2\sigma^2)} \left(1 - \frac{x^2}{2\sigma^2}\right) dx \\ &= \frac{\hbar^2 A^2}{2\sigma^2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx - \frac{1}{2\sigma^2} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx \right) \end{aligned} \]

En utilisant les intégrales calculées précédemment : \(\int e^{-\alpha x^2} dx = \sigma\sqrt{2\pi}\) et \(\int x^2 e^{-\alpha x^2} dx = \sigma^3\sqrt{2\pi}\), avec \(A^2 = 1/(\sigma\sqrt{2\pi})\).

\[ \begin{aligned} \langle p^2 \rangle &= \frac{\hbar^2}{2\sigma^2 (\sigma\sqrt{2\pi})} \left( \sigma\sqrt{2\pi} - \frac{1}{2\sigma^2} (\sigma^3\sqrt{2\pi}) \right) \\ &= \frac{\hbar^2}{2\sigma^2} \left( 1 - \frac{\sigma}{2\sigma} \right) = \frac{\hbar^2}{2\sigma^2} \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{\hbar^2}{2\sigma^2} \times \frac{1}{2} = \frac{\hbar^2}{4\sigma^2} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La valeur moyenne du carré de l'impulsion est \(\langle p^2 \rangle = \frac{\hbar^2}{4\sigma^2}\).

Question 7 : Incertitude sur l'impulsion \(\Delta p\)

Principe :

\(\Delta p = \sqrt{\langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2}\).

Données spécifiques :
  • \(\langle p^2 \rangle = \frac{\hbar^2}{4\sigma^2}\)
  • \(\langle p \rangle = 0\)
  • \(\hbar = 1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(\sigma = 1.0 \times 10^{-10} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta p &= \sqrt{\frac{\hbar^2}{4\sigma^2} - (0)^2} = \sqrt{\frac{\hbar^2}{4\sigma^2}} \\ &= \frac{\hbar}{2\sigma} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta p &= \frac{1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}}{2 \times (1.0 \times 10^{-10} \, \text{m})} \\ &= \frac{1.05457 \times 10^{-34}}{2.0 \times 10^{-10}} \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \\ &\approx 0.527285 \times 10^{-24} \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \\ &\approx 5.27 \times 10^{-25} \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'incertitude sur l'impulsion est \(\Delta p = \frac{\hbar}{2\sigma} \approx 5.27 \times 10^{-25} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\).

Question 8 : Vérification du principe d'incertitude de Heisenberg

Principe :

Le principe d'incertitude de Heisenberg stipule que \(\Delta x \Delta p \ge \hbar/2\).

Données spécifiques :
  • \(\Delta x = \sigma\)
  • \(\Delta p = \frac{\hbar}{2\sigma}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta x \Delta p &= \sigma \times \frac{\hbar}{2\sigma} \\ &= \frac{\hbar}{2} \end{aligned} \]

La fonction d'onde gaussienne est un paquet d'ondes à incertitude minimale, pour lequel l'égalité dans le principe d'incertitude de Heisenberg est satisfaite.

Résultat Question 8 : Le produit \(\Delta x \Delta p = \hbar/2\), ce qui est conforme au principe d'incertitude de Heisenberg (et représente le cas d'égalité).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La normalisation d'une fonction d'onde \(\psi(x)\) signifie que :

2. Pour une fonction d'onde gaussienne centrée à l'origine, la valeur moyenne de la position \(\langle x \rangle\) est :

3. Le principe d'incertitude de Heisenberg relie :

4. Si la largeur \(\sigma\) d'un paquet d'ondes gaussien diminue (la particule est mieux localisée en position), l'incertitude sur son impulsion \(\Delta p\) :

Glossaire

Fonction d'Onde (\(\psi(x,t)\))
En mécanique quantique, fonction mathématique complexe qui décrit l'état quantique d'une particule. Son module au carré donne la densité de probabilité de présence.
Fonction d'Onde Gaussienne
Type spécifique de fonction d'onde ayant la forme d'une courbe de Gauss. Elle décrit un paquet d'ondes localisé.
Normalisation
Condition imposant que l'intégrale du module au carré de la fonction d'onde sur tout l'espace soit égale à 1, signifiant que la probabilité de trouver la particule quelque part est de 100%.
Densité de Probabilité (\(|\psi(x)|^2\))
Probabilité par unité de longueur (ou de volume en 3D) de trouver la particule à une position donnée.
Valeur Moyenne (Espérance Mathématique, \(\langle \hat{O} \rangle\))
Valeur moyenne d'une observable physique \(\hat{O}\) pour une particule dans un état \(\psi\), calculée par \(\int \psi^* \hat{O} \psi dx\).
Opérateur Position (\(\hat{x}\))
En mécanique quantique, l'opérateur associé à la mesure de la position est simplement la multiplication par \(x\).
Opérateur Impulsion (\(\hat{p}\))
En mécanique quantique (en représentation position), l'opérateur associé à la mesure de l'impulsion est \(\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}\).
Incertitude (\(\Delta O\))
Mesure de la dispersion statistique des résultats de mesure d'une observable \(\hat{O}\). Définie comme l'écart-type : \(\Delta O = \sqrt{\langle \hat{O}^2 \rangle - \langle \hat{O} \rangle^2}\).
Principe d'Incertitude de Heisenberg
Principe fondamental de la mécanique quantique stipulant qu'il existe des paires d'observables physiques (comme la position et l'impulsion) dont les valeurs ne peuvent pas être connues simultanément avec une précision arbitraire. Pour la position et l'impulsion, \(\Delta x \Delta p \ge \hbar/2\).
Constante de Planck Réduite (\(\hbar\))
\(\hbar = h / (2\pi)\), où \(h\) est la constante de Planck.
Paquet d'Ondes
Superposition d'ondes planes qui interfèrent pour créer une onde localisée dans l'espace.
Étude d’une Fonction d’Onde Gaussienne - Exercice d'Application

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