Étude d’une Transformation Isochore d’un Gaz Idéal
Comprendre la Transformation Isochore d'un Gaz Idéal
En thermodynamique, une transformation isochore (ou isovolumique) est un processus au cours duquel le volume (\(V\)) du système reste constant (\(\Delta V = 0\)). Lorsqu'un gaz idéal subit une transformation isochore, aucun travail des forces de pression n'est effectué (\(W = -\int P dV = 0\)), car il n'y a pas de variation de volume. Selon le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = Q + W\)), si \(W = 0\), alors la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz est égale à la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée avec l'environnement (\(\Delta U = Q\)). Pour un gaz idéal, l'énergie interne est uniquement fonction de la température, et sa variation est donnée par \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\), où \(n\) est le nombre de moles, \(C_{v,m}\) la capacité thermique molaire à volume constant, et \(\Delta T\) la variation de température.
Données de l'étude
- Nombre de moles de gaz (\(n\)) : \(3.00 \, \text{mol}\)
- Température initiale (\(T_1\)) : \(27 \, \text{°C}\)
- Température finale (\(T_2\)) : \(127 \, \text{°C}\)
- Capacité thermique molaire à volume constant pour un gaz idéal monoatomique (\(C_{v,m}\)) : \(\frac{3}{2}R\)
- Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
Schéma d'une Transformation Isochore (Chauffage)
Un gaz idéal est chauffé à volume constant.
Questions à traiter
- Convertir les températures initiale (\(T_1\)) et finale (\(T_2\)) en Kelvin (K).
- Calculer la variation de température (\(\Delta T\)) du gaz.
- Calculer la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz.
- Calculer le travail (\(W\)) reçu par le gaz lors de cette transformation.
- Calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée par le gaz avec l'environnement. La chaleur est-elle absorbée ou libérée par le gaz ?
Correction : Transformation Isochore d'un Gaz Idéal
Question 1 : Conversion des Températures en Kelvin
Principe :
La température en thermodynamique doit être exprimée en Kelvin (K). La conversion de degrés Celsius (°C) en Kelvin se fait en ajoutant 273.15 (ou 273 pour simplifier si les données initiales ne sont pas plus précises).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Température initiale (\(T_1\)) : \(27 \, \text{°C}\)
- Température finale (\(T_2\)) : \(127 \, \text{°C}\)
Calcul :
(Pour simplifier les calculs suivants, on peut utiliser \(T_1 = 300 \, \text{K}\) et \(T_2 = 400 \, \text{K}\) si la précision des températures initiales le permet. Ici, nous garderons la précision.)
\(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
\(T_2 = 400.15 \, \text{K}\)
Question 2 : Calcul de la Variation de Température (\(\Delta T\))
Principe :
La variation de température est la différence entre la température finale et la température initiale.
Formule(s) utilisée(s) :
Données calculées :
- \(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
- \(T_2 = 400.15 \, \text{K}\)
Calcul :
Question 3 : Calcul de la Variation de l'Énergie Interne (\(\Delta U\))
Principe :
Pour un gaz idéal, la variation d'énergie interne lors d'une transformation à volume constant (isochore) est donnée par \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\).
Formule(s) utilisée(s) :
Avec \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\) pour un gaz idéal monoatomique.
Données spécifiques et calculées :
- \(n = 3.00 \, \text{mol}\)
- \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
- \(C_{v,m} = \frac{3}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)} = 12.471 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
- \(\Delta T = 100.00 \, \text{K}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : Pour un gaz idéal, l'énergie interne dépend uniquement de :
Question 4 : Travail (\(W\)) Reçu par le Gaz
Principe :
Le travail des forces de pression reçu par un système lors d'une transformation est donné par \(W = -\int P_{\text{ext}} dV\). Pour une transformation isochore, la variation de volume \(dV\) est nulle.
Formule(s) utilisée(s) :
Puisque \(V_1 = V_2\), alors \(dV = 0\).
Calcul :
Aucun travail n'est effectué car le volume ne change pas.
Question 5 : Quantité de Chaleur (\(Q\)) Échangée
Principe :
Selon le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est égale à la somme de la chaleur \(Q\) échangée et du travail \(W\) reçu par le système : \(\Delta U = Q + W\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données calculées :
- \(\Delta U \approx 3741.3 \, \text{J}\)
- \(W = 0 \, \text{J}\)
Calcul :
Puisque \(Q > 0\), la chaleur est absorbée par le gaz depuis l'environnement.
Quiz Intermédiaire 2 : Lors d'un refroidissement isochore d'un gaz idéal, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Une transformation isochore se déroule à :
2. Le travail des forces de pression lors d'une transformation isochore d'un gaz idéal est :
3. Pour un gaz idéal subissant un chauffage isochore (augmentation de température) :
Glossaire
- Transformation Isochore (ou Isovolumique)
- Processus thermodynamique qui se déroule à volume constant (\(\Delta V = 0\)).
- Gaz Idéal (ou Parfait)
- Modèle théorique d'un gaz dont les particules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à la loi \(PV = nRT\).
- Énergie Interne (\(U\))
- Somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules constituant un système. Pour un gaz idéal, elle ne dépend que de la température.
- Travail Thermodynamique (\(W\))
- Énergie transférée entre un système et son environnement due à une variation de volume du système contre une pression extérieure. Lors d'une transformation isochore, \(W=0\).
- Chaleur (\(Q\))
- Énergie transférée entre un système et son environnement due à une différence de température. Par convention, \(Q > 0\) si la chaleur est absorbée par le système, \(Q < 0\) si la chaleur est libérée par le système.
- Premier Principe de la Thermodynamique
- Principe de conservation de l'énergie appliqué aux systèmes thermodynamiques : \(\Delta U = Q + W\).
- Capacité Thermique Molaire à Volume Constant (\(C_{v,m}\))
- Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance d'un Kelvin (ou d'un degré Celsius) à volume constant. Pour un gaz idéal monoatomique, \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\).
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