ÉTUDE DE PHYSIQUE

Étude Dynamique d’une Comète

Étude Dynamique d’une Comète

Étude Dynamique d’une Comète

Comprendre l'Étude Dynamique d’une Comète

L'étude dynamique des comètes est un domaine fascinant de l'astrophysique qui nous permet de comprendre leur origine, leur évolution et leur interaction avec le système solaire. Les comètes sont des petits corps célestes principalement composés de glace, de roche et de poussière, qui orbitent autour du Soleil. Leurs orbites sont souvent très elliptiques. L'analyse de ces orbites repose sur les lois de Kepler et la loi de la gravitation universelle de Newton. En connaissant certains paramètres orbitaux, comme le périhélie (point le plus proche du Soleil) et l'aphélie (point le plus éloigné), on peut déterminer d'autres caractéristiques importantes telles que le demi-grand axe, l'excentricité, la période orbitale et les vitesses à différents points de l'orbite. Ces informations sont cruciales pour prédire le retour des comètes périodiques et pour comprendre la distribution de la matière dans le système solaire.

Données de l'étude

On étudie la comète "NovaSpark" qui orbite autour du Soleil.

Caractéristiques orbitales et constantes :

  • Distance au périhélie (\(q\)) : \(0.8 \, \text{UA}\) (Unités Astronomiques)
  • Distance à l'aphélie (\(Q\)) : \(30 \, \text{UA}\)
  • Masse du Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) : \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • Unité Astronomique (\(1 \, \text{UA}\)) : \(1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
  • Masse de la comète : négligeable par rapport à la masse du Soleil.
Schéma : Orbite Elliptique d'une Comète
Soleil Périhélie (q) Aphélie (Q) 2a (Grand axe) c = ae q Q Orbite d'une comète autour du Soleil

Schéma de l'orbite elliptique d'une comète, montrant le Soleil à un foyer, le périhélie (q) et l'aphélie (Q).

Questions à traiter

  1. Calculer le demi-grand axe (\(a\)) de l'orbite de la comète en UA, puis en mètres.
  2. Calculer l'excentricité (\(e\)) de l'orbite de la comète.
  3. Calculer la période orbitale (\(P\)) de la comète en années, en utilisant la troisième loi de Kepler (\(P^2 = a^3\), où \(P\) est en années et \(a\) en UA pour le système solaire).
  4. Convertir la période orbitale (\(P\)) en secondes.
  5. Calculer la vitesse de la comète à son périhélie (\(v_p\)) en m/s. (Formule : \(v_p = \sqrt{\frac{GM_{\text{Soleil}}}{a} \frac{1+e}{1-e}}\) ).
  6. Calculer la vitesse de la comète à son aphélie (\(v_a\)) en m/s. (Formule : \(v_a = \sqrt{\frac{GM_{\text{Soleil}}}{a} \frac{1-e}{1+e}}\) ).
  7. Vérifier la conservation du moment cinétique spécifique : \(q \cdot v_p = Q \cdot v_a\). (Calculer les deux termes et les comparer).

Correction : Étude Dynamique d’une Comète

Question 1 : Demi-grand axe (\(a\))

Principe :

Pour une orbite elliptique, la somme des distances au périhélie (\(q\)) et à l'aphélie (\(Q\)) est égale au grand axe (\(2a\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[2a = q + Q \Rightarrow a = \frac{q+Q}{2}\]
Données spécifiques :
  • Distance au périhélie (\(q\)) : \(0.8 \, \text{UA}\)
  • Distance à l'aphélie (\(Q\)) : \(30 \, \text{UA}\)
  • \(1 \, \text{UA} = 1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a_{\text{UA}} &= \frac{0.8 \, \text{UA} + 30 \, \text{UA}}{2} \\ &= \frac{30.8 \, \text{UA}}{2} \\ &= 15.4 \, \text{UA} \\ a_{\text{m}} &= 15.4 \, \text{UA} \times (1.496 \times 10^{11} \, \text{m/UA}) \\ &= 2.30384 \times 10^{12} \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le demi-grand axe est \(a = 15.4 \, \text{UA} \approx 2.304 \times 10^{12} \, \text{m}\).

Question 2 : Excentricité (\(e\))

Principe :

L'excentricité d'une ellipse peut être calculée à partir du demi-grand axe (\(a\)) et de la distance au périhélie (\(q\)) ou à l'aphélie (\(Q\)). On a \(q = a(1-e)\) et \(Q = a(1+e)\). On peut utiliser l'une ou l'autre, ou \(e = (Q-q)/(Q+q)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[e = \frac{Q-q}{Q+q} \quad \text{ou} \quad e = 1 - \frac{q}{a} \quad \text{ou} \quad e = \frac{Q}{a} - 1\]
Données spécifiques :
  • \(q = 0.8 \, \text{UA}\)
  • \(Q = 30 \, \text{UA}\)
  • \(a = 15.4 \, \text{UA}\)
Calcul (utilisant \(q = a(1-e)\)) :
\[ \begin{aligned} q &= a(1-e) \\ 0.8 \, \text{UA} &= 15.4 \, \text{UA} \times (1-e) \\ \frac{0.8}{15.4} &= 1-e \\ 0.051948 &\approx 1-e \\ e &\approx 1 - 0.051948 \\ e &\approx 0.948052 \end{aligned} \]

Alternative avec \(e = (Q-q)/(Q+q)\) :

\[ \begin{aligned} e &= \frac{30 \, \text{UA} - 0.8 \, \text{UA}}{30 \, \text{UA} + 0.8 \, \text{UA}} \\ &= \frac{29.2}{30.8} \\ &\approx 0.948052 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'excentricité de l'orbite est \(e \approx 0.948\).

Question 3 : Période orbitale (\(P\)) en années

Principe :

La troisième loi de Kepler pour le système solaire stipule que le carré de la période orbitale (\(P\), en années terrestres) est proportionnel au cube du demi-grand axe (\(a\), en Unités Astronomiques). Pour le système solaire, la constante de proportionnalité est 1 si \(P\) est en années et \(a\) en UA.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P^2 = a^3 \Rightarrow P = \sqrt{a^3}\]
Données spécifiques :
  • Demi-grand axe (\(a\)) : \(15.4 \, \text{UA}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= \sqrt{(15.4)^3} \\ &= \sqrt{3652.264} \\ &\approx 60.434 \, \text{années} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La période orbitale de la comète est \(P \approx 60.43 \, \text{années}\).

Question 4 : Période orbitale (\(P\)) en secondes

Principe :

Conversion d'années en secondes, en considérant une année julienne moyenne.

Formule(s) utilisée(s) :

\(1 \, \text{année} \approx 365.25 \, \text{jours}\)
\(1 \, \text{jour} = 24 \, \text{heures}\)
\(1 \, \text{heure} = 3600 \, \text{secondes}\)

Données spécifiques :
  • Période (\(P\)) : \(\approx 60.434 \, \text{années}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{secondes}} &\approx 60.434 \times 365.25 \times 24 \times 3600 \, \text{s} \\ &\approx 60.434 \times 31557600 \, \text{s} \\ &\approx 1.9069 \times 10^9 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La période orbitale en secondes est \(P \approx 1.907 \times 10^9 \, \text{s}\).

Question 5 : Vitesse au périhélie (\(v_p\))

Principe :

La vitesse d'un corps en orbite elliptique autour d'un corps central massif (comme le Soleil) varie. Au périhélie, la vitesse est maximale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_p = \sqrt{\frac{GM_{\text{Soleil}}}{a} \frac{1+e}{1-e}}\]
Données spécifiques (en unités SI) :
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_{\text{Soleil}} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • \(a \approx 2.30384 \times 10^{12} \, \text{m}\)
  • \(e \approx 0.948052\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{1+e}{1-e} &= \frac{1+0.948052}{1-0.948052} = \frac{1.948052}{0.051948} \approx 37.500 \\ GM_{\text{Soleil}} &\approx (6.674 \times 10^{-11}) \times (1.989 \times 10^{30}) \approx 1.327 \times 10^{20} \, \text{m}^3/\text{s}^2 \\ v_p &= \sqrt{\frac{1.327 \times 10^{20} \, \text{m}^3/\text{s}^2}{2.30384 \times 10^{12} \, \text{m}} \times 37.500} \\ &= \sqrt{(5.760 \times 10^7 \, \text{m}^2/\text{s}^2) \times 37.500} \\ &= \sqrt{2.160 \times 10^9 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &\approx 46475.8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Soit environ \(46.48 \, \text{km/s}\).

Résultat Question 5 : La vitesse de la comète au périhélie est \(v_p \approx 46\,476 \, \text{m/s}\) (ou \(46.48 \, \text{km/s}\)).

Question 6 : Vitesse à l'aphélie (\(v_a\))

Principe :

À l'aphélie, la vitesse de la comète est minimale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_a = \sqrt{\frac{GM_{\text{Soleil}}}{a} \frac{1-e}{1+e}}\]

Notez que \(\frac{1-e}{1+e} = \frac{1}{((1+e)/(1-e))}\).

Données spécifiques (en unités SI) :
  • \(GM_{\text{Soleil}} \approx 1.327 \times 10^{20} \, \text{m}^3/\text{s}^2\)
  • \(a \approx 2.30384 \times 10^{12} \, \text{m}\)
  • \(\frac{1-e}{1+e} = \frac{1}{37.500} \approx 0.026667\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_a &= \sqrt{\frac{1.327 \times 10^{20} \, \text{m}^3/\text{s}^2}{2.30384 \times 10^{12} \, \text{m}} \times 0.026667} \\ &= \sqrt{(5.760 \times 10^7 \, \text{m}^2/\text{s}^2) \times 0.026667} \\ &= \sqrt{1.536 \times 10^6 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &\approx 1239.35 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Soit environ \(1.24 \, \text{km/s}\).

Résultat Question 6 : La vitesse de la comète à l'aphélie est \(v_a \approx 1239 \, \text{m/s}\) (ou \(1.24 \, \text{km/s}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : La vitesse d'une comète est-elle plus grande au périhélie ou à l'aphélie ?

Question 7 : Vérification de la conservation du moment cinétique spécifique

Principe :

Pour un corps en orbite sous l'effet d'une force centrale (comme la gravité du Soleil), le moment cinétique est conservé. Pour une masse \(m\), le moment cinétique est \(L = mvr\sin\phi\), où \(r\) est la distance au centre de force et \(\phi\) est l'angle entre \(\vec{r}\) et \(\vec{v}\). Au périhélie et à l'aphélie, \(\phi=90^\circ\), donc \(\sin\phi=1\). Le moment cinétique spécifique (par unité de masse) est \(h = rv\). Donc, \(q \cdot v_p\) doit être égal à \(Q \cdot v_a\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[q \cdot v_p = Q \cdot v_a\]
Données spécifiques (en unités SI) :
  • \(q = 0.8 \, \text{UA} = 0.8 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{m} = 1.1968 \times 10^{11} \, \text{m}\)
  • \(v_p \approx 46475.8 \, \text{m/s}\)
  • \(Q = 30 \, \text{UA} = 30 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{m} = 4.488 \times 10^{12} \, \text{m}\)
  • \(v_a \approx 1239.35 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q \cdot v_p &\approx (1.1968 \times 10^{11} \, \text{m}) \times (46475.8 \, \text{m/s}) \\ &\approx 5.5622 \times 10^{15} \, \text{m}^2/\text{s} \\ Q \cdot v_a &\approx (4.488 \times 10^{12} \, \text{m}) \times (1239.35 \, \text{m/s}) \\ &\approx 5.5623 \times 10^{15} \, \text{m}^2/\text{s} \end{aligned} \]

Les deux valeurs sont très proches, les petites différences étant dues aux arrondis dans les calculs intermédiaires.

Résultat Question 7 : La conservation du moment cinétique spécifique est vérifiée : \(q \cdot v_p \approx Q \cdot v_a \approx 5.562 \times 10^{15} \, \text{m}^2/\text{s}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le demi-grand axe d'une orbite elliptique est :

2. Une excentricité orbitale \(e\) proche de 1 indique :

3. Selon la troisième loi de Kepler (pour le système solaire, \(P^2=a^3\)), si le demi-grand axe \(a\) d'une comète double, sa période orbitale \(P\) :

Glossaire

Comète
Petit corps du système solaire composé principalement de glace, de roche et de poussière, qui développe une queue visible lorsqu'il s'approche du Soleil.
Orbite Elliptique
Trajectoire d'un corps céleste autour d'un autre, en forme d'ellipse, avec le corps central (ex: Soleil) à l'un des foyers de l'ellipse.
Périhélie (\(q\))
Point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) où il est le plus proche du Soleil.
Aphélie (\(Q\))
Point de l'orbite d'un corps céleste où il est le plus éloigné du Soleil.
Demi-grand Axe (\(a\))
La moitié du plus grand diamètre d'une ellipse. C'est une mesure caractéristique de la taille de l'orbite.
Excentricité (\(e\))
Paramètre qui décrit la forme d'une orbite elliptique. \(e=0\) pour un cercle, \(0 < e < 1\) pour une ellipse, \(e=1\) pour une parabole, \(e > 1\) pour une hyperbole.
Période Orbitale (\(P\))
Temps nécessaire à un corps céleste pour effectuer une orbite complète autour d'un autre corps.
Lois de Kepler
Trois lois décrivant le mouvement des planètes autour du Soleil (applicables aussi aux comètes et autres corps en orbite).
Unité Astronomique (UA)
Unité de distance approximativement égale à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil (environ 149.6 millions de kilomètres).
Constante Gravitationnelle Universelle (\(G\))
Constante physique fondamentale qui apparaît dans la loi de la gravitation de Newton.
Moment Cinétique (Angulaire)
Mesure de la quantité de rotation d'un objet. Pour un corps en orbite sous l'effet d'une force centrale, il est conservé.
Étude Dynamique d’une Comète - Exercice d'Application

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