Fibres Optiques à Saut d’Indice

Exercice : Fibre Optique à Saut d'Indice

Étude d'une Fibre Optique à Saut d'Indice

Contexte : Le guidage de la lumière par Réflexion Totale InternePhénomène optique où la lumière est entièrement réfléchie à l'interface de deux milieux, sans aucune réfraction vers l'extérieur..

Les fibres optiques constituent l'épine dorsale des télécommunications modernes. Dans cet exercice, nous allons dimensionner une fibre optique dite "à saut d'indice" (step-index). Vous allez analyser comment la différence d'indice de réfraction entre le cœur et la gaine permet de confiner la lumière et de la transporter sur de longues distances.

Remarque Pédagogique : Cet exercice utilise les lois de l'optique géométrique (Lois de Snell-Descartes). Nous négligerons ici les effets de diffraction et d'atténuation pour nous concentrer sur les conditions de guidage.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de la réflexion totale interne.
Calculer l'angle critique à l'interface cœur-gaine.
Déterminer l'Ouverture Numérique (ON) d'une fibre.
Calculer le cône d'acceptance pour l'injection de la lumière.

Données de l'étude

On considère une fibre optique à saut d'indice placée dans l'air. La lumière doit être injectée dans le cœur pour y être guidée.

Paramètres Optiques

Milieu	Indice de réfraction	Symbole
Cœur (Core)	1.480	\(n_1\)
Gaine (Cladding)	1.460	\(n_2\)
Milieu extérieur (Air)	1.000	\(n_0\)

Schéma de principe : Fibre à Saut d'Indice

Questions à traiter

Calculer l'angle critique \(\theta_{\text{c}}\) à l'interface Cœur/Gaine.
Calculer l'Ouverture Numérique (\(\text{ON}\)) de la fibre.
Déterminer l'angle d'acceptance \(\theta_{\text{a}}\) à l'entrée de la fibre.
Vérifier la condition de propagation pour un angle d'injection de 10°.

Les bases de l'Optique Guidée

Pour qu'une fibre guide la lumière, celle-ci doit rester confinée dans le cœur par réflexion totale. Cela impose des conditions strictes sur les indices de réfraction.

1. Loi de Snell-Descartes (Réfraction)
À l'interface entre deux milieux d'indices \(n_{\text{a}}\) et \(n_{\text{b}}\) : \[ n_{\text{a}} \sin(i_{\text{a}}) = n_{\text{b}} \sin(i_{\text{b}}) \]

2. Condition de Réflexion Totale
La lumière passant d'un milieu plus réfringent (\(n_1\)) vers un milieu moins réfringent (\(n_2\)) est totalement réfléchie si l'angle d'incidence dépasse l'angle critique \(\theta_{\text{c}}\) défini par : \[ \sin(\theta_{\text{c}}) = \frac{n_2}{n_1} \]

Correction : Étude d'une Fibre Optique à Saut d'Indice

Question 1 : Calcul de l'angle critique \(\theta_{\text{c}}\)

Principe

L'angle critique est la limite au-delà de laquelle la lumière ne peut plus sortir du cœur pour aller dans la gaine. Si le rayon frappe l'interface cœur/gaine avec un angle plus rasant que cet angle critique (mesuré par rapport à la normale), il rebondira parfaitement à l'intérieur.

Mini-Cours

Lorsque la lumière passe d'un milieu plus dense vers un milieu moins dense (\(n_1 > n_2\)), il existe un angle d'incidence limite pour lequel l'angle réfracté vaut 90°. Au-delà de cet angle limite, il n'y a plus de rayon réfracté : toute l'énergie est réfléchie. C'est le principe du miroir parfait utilisé dans les fibres.

Remarque Pédagogique

Visualisez cela comme un ricochet sur l'eau : si vous lancez la pierre trop verticalement, elle coule (réfraction). Si vous la lancez avec un angle très rasant, elle rebondit (réflexion totale).

Normes

La définition de l'indice de réfraction et des lois de l'optique géométrique est standardisée dans les manuels de physique et les normes ISO 80000-7.

Formule(s)

Angle critique

\theta_{\text{c}} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)

Hypothèses

Nous supposons que les milieux (cœur et gaine) sont homogènes, isotropes et non absorbants. L'interface est considérée comme parfaitement lisse.

Milieu 1 (incident) : Cœur, \(n_1 > n_2\)
Milieu 2 (émergent) : Gaine

Donnée(s)

Les indices sont donnés sans unité.

Paramètre	Symbole	Valeur
Indice Cœur	\(n_1\)	1.480
Indice Gaine	\(n_2\)	1.460

Astuces

Le rapport \(n_2/n_1\) doit toujours être inférieur à 1, sinon la fonction arcsin n'est pas définie (et physiquement, la réflexion totale est impossible).

Schéma (Avant les calculs)

Situation à l'interface cœur/gaine : on cherche l'angle limite.

Zoom Interface Cœur / Gaine

Calcul(s)

Nous partons de la condition limite de la réflexion totale interne :

\begin{aligned} \sin(\theta_{\text{c}}) &= \frac{n_2}{n_1} \\ &= \frac{1.460}{1.480} \\ &\approx 0.9865 \end{aligned}

Nous avons obtenu le sinus de l'angle. Pour trouver l'angle lui-même, il faut utiliser la fonction inverse du sinus (arcsin ou asin) sur la calculatrice :

\begin{aligned} \theta_{\text{c}} &= \arcsin(0.9865) \\ &\approx 80.57^{\circ} \end{aligned}

L'angle critique est donc de 80.57°. Tout rayon incident avec un angle supérieur à cette valeur sera totalement réfléchi.

Schéma (Après les calculs)

Le rayon limite rase l'interface.

Réflexion Totale Limite (θc = 80.57°)

Réflexions

Un angle critique de 80.57° est très élevé (proche de 90°). Cela signifie que la lumière doit arriver de manière très "rasante" sur la paroi pour être guidée. Si elle arrive trop "verticalement", elle sort.

Points de vigilance

Attention : cet angle est mesuré par rapport à la normale (la perpendiculaire à la surface), et non par rapport à la surface elle-même. C'est une source d'erreur fréquente.

Points à retenir

Condition guidage : \(\theta_{\text{incidence}} > \theta_{\text{c}}\).
Dépend uniquement du couple de matériaux (\(n_1, n_2\)).

Le saviez-vous ?

Ce principe a été démontré de façon spectaculaire par Jean-Daniel Colladon en 1841 avec un jet d'eau : il a montré que la lumière pouvait suivre la courbure d'un jet d'eau s'écoulant d'un réservoir !

FAQ

Questions fréquentes sur l'angle critique.

Résultat Final

L'angle critique est de 80.57°.

A vous de jouer

Si l'indice de la gaine \(n_2\) augmentait à 1.470 (se rapprochant de \(n_1\)), l'angle critique serait-il plus grand ou plus petit ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 1 :

La lumière est piégée si l'angle d'incidence > \(\theta_{\text{c}}\).
\(\theta_{\text{c}}\) dépend du rapport \(n_2/n_1\).

Question 2 : Ouverture Numérique (\(\text{ON}\))

Principe

L'Ouverture Numérique est une mesure de la capacité de la fibre à collecter la lumière. Plus l'ON est grande, plus la fibre accepte de lumière provenant d'angles variés. C'est un paramètre adimensionnel fondamental qui combine les propriétés des deux milieux.

Mini-Cours

L'ON dérive directement de l'application de la loi de Snell à l'entrée de la fibre combinée à la condition limite de réflexion totale interne. C'est une "constante" de la fibre, indépendante de ses dimensions géométriques (diamètre).

Remarque Pédagogique

Imaginez l'ON comme l'ouverture d'un entonnoir : plus elle est grande, plus il est facile de verser de la lumière dedans.

Normes

Les fibres commerciales standard (type G.652) ont généralement une ON faible (0.12 - 0.14) pour le monomode, et plus élevée (0.20 - 0.275) pour le multimode (norme IEC 60793).

Formule(s)

Ouverture Numérique

\text{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

Hypothèses

On suppose que la face d'entrée est plane et perpendiculaire à l'axe optique de la fibre.

Indices constants.

Donnée(s)

On réutilise \(n_1 = 1.480\) et \(n_2 = 1.460\).

Paramètre	Symbole	Valeur
Indice Cœur	\(n_1\)	1.480
Indice Gaine	\(n_2\)	1.460

Astuces

L'ON ne peut jamais dépasser l'indice du milieu dans lequel la fibre baigne (souvent l'air, \(n_0 \approx 1\)). Si le calcul donne > 1, c'est souvent le signe d'une erreur ou d'un cas très particulier.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche à quantifier la "puissance" de guidage.

Concept de l'ON

Calcul(s)

La formule de l'Ouverture Numérique fait intervenir les carrés des indices. Commençons par les calculer séparément pour éviter les erreurs :

\begin{aligned} n_1^2 &= 1.480^2 = 2.1904 \\ n_2^2 &= 1.460^2 = 2.1316 \end{aligned}

Ensuite, nous calculons la différence entre ces deux carrés, qui représente le terme sous la racine :

\begin{aligned} n_1^2 - n_2^2 &= 2.1904 - 2.1316 \\ &= 0.0588 \end{aligned}

Enfin, nous prenons la racine carrée de ce résultat pour obtenir la valeur finale de l'ON :

\begin{aligned} \text{ON} &= \sqrt{0.0588} \\ &\approx 0.242 \end{aligned}

L'Ouverture Numérique est de 0.242. C'est une grandeur sans unité.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'Ouverture Numérique

Réflexions

Une ON de 0.242 est une valeur typique pour une fibre multimode. Pour une fibre monomode (très performante), l'ON est souvent plus faible (autour de 0.1 - 0.14).

Points de vigilance

N'oubliez pas le carré sur les indices ! \(\sqrt{n_1 - n_2}\) est faux. C'est \(\sqrt{n_1^2 - n_2^2}\).

Points à retenir

Plus \(\Delta n\) est grand, plus l'ON est grande.
Une grande ON facilite l'injection mais augmente la dispersion (élargissement des impulsions).

Le saviez-vous ?

Dans les microscopes, l'Ouverture Numérique des objectifs est aussi un paramètre clé qui définit la résolution de l'image.

FAQ

Questions sur l'ON.

Résultat Final

L'Ouverture Numérique est de 0.242.

A vous de jouer

Calculez l'ON si \(n_1=1.5\) et \(n_2=1.45\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 2 :

ON représente le "puits de lumière" de la fibre.
Elle ne dépend que des indices du cœur et de la gaine.

Question 3 : Angle d'acceptance \(\theta_{\text{a}}\)

Principe

C'est l'angle maximal par rapport à l'axe optique sous lequel on peut injecter de la lumière dans la fibre depuis l'air. Au-delà de cet angle, la lumière rentrera dans le cœur mais frappera la gaine avec un angle trop fort (inférieur à l'angle critique par rapport à la normale) pour être réfléchie : elle sera perdue (réfractée dans la gaine).

Mini-Cours

L'angle d'acceptance définit un cône de révolution à l'entrée de la fibre. Tout rayon entrant dans ce cône sera guidé. Tout rayon hors de ce cône sera perdu.

Remarque Pédagogique

C'est la "fenêtre de tir" pour le laser ou la LED qui envoie le signal.

Normes

La mesure de l'ouverture numérique et de l'angle d'acceptance se fait selon des méthodes standardisées (par exemple, mesure du champ lointain).

Formule(s)

Angle d'acceptance

\sin(\theta_{\text{a}}) = \frac{\text{ON}}{n_0}

Comme \(n_0 = 1\) (air), alors \(\sin(\theta_{\text{a}}) = \text{ON}\).

Hypothèses

Fibre dans l'air (\(n_0 = 1\)).

Interface d'entrée plane.

Donnée(s)

ON = 0.242 (calculé précédemment).

Paramètre	Valeur
ON	0.242
Milieu ext.	1.0

Astuces

Si la fibre est plongée dans l'eau, l'angle d'acceptance diminue car \(n_0\) augmente (1.33).

Schéma (Avant les calculs)

Géométrie d'injection

Calcul(s)

Nous utilisons la relation fondamentale liant l'angle d'acceptance à l'Ouverture Numérique et à l'indice du milieu extérieur :

\begin{aligned} \sin(\theta_{\text{a}}) &= \frac{\text{ON}}{n_0} \end{aligned}

Comme la fibre est dans l'air (\(n_0 \approx 1\)), l'expression se simplifie. Nous substituons alors la valeur de l'ON trouvée précédemment :

\begin{aligned} \sin(\theta_{\text{a}}) &= \frac{0.242}{1} \\ &= 0.242 \end{aligned}

Pour obtenir l'angle \(\theta_{\text{a}}\), nous appliquons la fonction arc-sinus :

\begin{aligned} \theta_{\text{a}} &= \arcsin(0.242) \\ &\approx 14.004^{\circ} \\ &\approx 14.0^{\circ} \end{aligned}

L'angle d'acceptance est donc de 14.0°. C'est le demi-angle au sommet du cône d'injection.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Cône d'Acceptance (14°)

Réflexions

Un angle de 14° est relativement ouvert. Cela permet d'injecter la lumière assez facilement sans optique de focalisation ultra-précise.

Points de vigilance

Ne confondez pas l'angle d'acceptance \(\theta_{\text{a}}\) (dans l'air) avec l'angle critique \(\theta_{\text{c}}\) (dans le cœur).

Points à retenir

\(\theta_{\text{a}}\) est l'angle maximal d'entrée.
Il est directement lié à l'ON.

Le saviez-vous ?

Dans les systèmes télécoms longue distance, on utilise des lasers couplés à des fibres monomodes où la notion d'angle géométrique est moins pertinente (on parle de diamètre de mode), mais pour les fibres multimodes (réseaux locaux), ce calcul est roi.

FAQ

Questions.

Résultat Final

L'angle d'acceptance est de 14.0°.

A vous de jouer

Si l'ON était de 0.5 (fibre plastique), quel serait l'angle d'acceptance dans l'air ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 3 :

Cône d'admission défini par \(\theta_{\text{a}}\).

Question 4 : Condition de propagation

Principe

Il s'agit d'une simple vérification binaire : le rayon est-il dans le cône d'acceptance ou non ?

Mini-Cours

Le critère de guidage est une inégalité stricte. Dans la pratique, on préfère injecter bien en deçà de l'angle limite pour éviter d'exciter des modes d'ordre élevé qui sont plus atténués.

Remarque Pédagogique

C'est comme tirer un ballon de basket : si vous êtes dans l'angle du panier, ça rentre. Sinon, ça tape le bord.

Normes

En pratique, on définit souvent une condition de lancement (Launch Condition) pour assurer des mesures reproductibles (ex: Encircled Flux).

Formule(s)

Condition de guidage :

i \le \theta_{\text{a}}

Hypothèses

Rayon méridien (qui passe par l'axe central).

Pas de défaut d'alignement.

Donnée(s)

On injecte la lumière avec un angle d'incidence \(i = 10^{\circ}\). Nous avons calculé \(\theta_{\text{a}} = 14.0^{\circ}\).

Angle incident \(i\)	Angle limite \(\theta_{\text{a}}\)
10°	14.0°

Astuces

Faites un dessin rapide pour vérifier visuellement si l'angle est plus petit ou plus grand.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des Angles

Calcul(s)

Pour vérifier si la lumière est guidée, nous devons comparer l'angle d'injection \(i\) avec l'angle d'acceptance calculé \(\theta_{\text{a}}\).

\begin{aligned} i &= 10^{\circ} \\ \theta_{\text{a}} &= 14.0^{\circ} \end{aligned}

Nous posons l'inégalité de la condition de guidage :

10^{\circ} < 14.0^{\circ}

L'angle d'injection est bien inférieur à l'angle limite. Le rayon entre donc dans le "cône de capture" de la fibre.

Schéma (Après les calculs)

Le rayon est "dedans".

Réflexions

Le rayon est guidé. Il se propagera en zigzaguant dans le cœur.

Points de vigilance

Si l'angle était exactement 14°, le guidage serait instable.

Points à retenir

Condition respectée = Lumière transmise.

Le saviez-vous ?

Si vous courbez trop fort une fibre optique, l'angle d'incidence des rayons sur l'interface cœur/gaine change et peut devenir inférieur à l'angle critique. La lumière s'échappe alors par la gaine : c'est ce qu'on appelle les pertes par courbure (macrocourbures).

FAQ

Questions.

Résultat Final

Oui, la lumière sera guidée car 10° < 14°.

A vous de jouer

Si l'angle d'injection était de 20°, la lumière serait-elle guidée ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 4 :

Vérifier toujours \(i < \theta_{\text{a}}\).

Outil Interactif : Simulateur de Fibre

Visualisez l'impact des indices de réfraction sur la capacité de guidage de la fibre.

Paramètres de la Fibre

Indice de Cœur (\(n_1\)) 1.480

Indice de Gaine (\(n_2\)) 1.460

Performances Calculées

Ouverture Numérique (ON) -

Angle Critique (\(\theta_{\text{c}}\)) -

Angle d'Acceptance (\(\theta_{\text{a}}\)) -

Glossaire

Cœur (Core): La partie centrale de la fibre optique où circule la lumière. Elle a un indice de réfraction plus élevé que la gaine.
Gaine (Cladding): L'enveloppe optique qui entoure le cœur. Son indice de réfraction plus faible permet le confinement de la lumière.
Réflexion Totale Interne: Phénomène physique permettant à la lumière de se réfléchir à 100% sur une interface, sans perte par transmission.
Ouverture Numérique (ON): Nombre sans dimension caractérisant la capacité de la fibre à capter la lumière. \( \text{ON} = \sin(\theta_{\text{a}}) \).

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