Formation d’image par une lentille mince

Contexte : L'Optique GéométriqueBranche de l'optique qui décrit la propagation de la lumière sous forme de rayons lumineux..

Cet exercice porte sur l'un des fondements de l'optique : la formation d'images par une lentille mince convergenteUne lentille qui fait converger un faisceau de lumière parallèle en un point (foyer image). Sa distance focale f' est positive.. Nous allons déterminer par le calcul la position, la taille et la nature de l'image d'un objet plan, en utilisant les relations de conjugaison et de grandissement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les relations fondamentales de l'optique géométrique (conjugaison, grandissement) pour caractériser une image et à maîtriser les conventions de signes algébriques, qui sont cruciales dans ce domaine.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la vergenceMesure de la capacité d'une lentille à faire converger ou diverger la lumière. C = 1/f'. S'exprime en dioptries (\(\delta\)). d'une lentille.
Appliquer la relation de conjugaison (formule de Descartes) pour trouver la position de l'image.
Calculer le grandissement transversalRapport entre la taille de l'image et la taille de l'objet (\(\gamma = \overline{A'B'} / \overline{AB}\)). Il indique si l'image est agrandie/rétrécie et droite/inversée..
Déterminer la taille et la nature complète de l'image (réelle/virtuelle, droite/inversée, agrandie/rétrécie).

Données de l'étude

On place un objet lumineux \(AB\) de 2 cm de hauteur, perpendiculairement à l'axe optique d'une lentille mince convergente \(L\). Le point \(A\) est sur l'axe optique. L'objet est placé à 30 cm en avant du centre optique \(O\) de la lentille. La distance focale image de la lentille est de +20 cm.

Montage Optique

Schéma de la situation (avant calcul)

Nom du Paramètre	Grandeur Algébrique	Valeur	Unité
Distance Focale Image	\(f' = \overline{OF'}\)	+20	cm
Position Objet	\(p = \overline{OA}\)	-30	cm
Taille Objet	\(\overline{AB}\)	+2	cm

Questions à traiter

Calculer la vergence \(C\) de la lentille (en dioptries).
Déterminer la position de l'image \(\overline{OA'}\).
Calculer le grandissement transversal \(\gamma\).
Calculer la taille de l'image \(\overline{A'B'}\).
Décrire la nature de l'image (réelle/virtuelle, droite/inversée, agrandie/rétrécie).

Les bases de l'Optique Géométrique (Lentilles Minces)

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons les conventions de l'optique géométrique (système d'axes, grandeurs algébriques où la lumière se propage de la gauche vers la droite) et les deux relations fondamentales des lentilles minces :

1. Relation de Conjugaison (de Descartes)
Elle lie la position de l'objet \(\overline{OA}\), la position de l'image \(\overline{OA'}\) et la distance focale image \(f'\). \[ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C \] Où \(C\) est la vergence de la lentille, en dioptries (\(\delta\)) si les distances sont en mètres.

2. Relation de Grandissement Transversal (\(\gamma\))
Elle lie les tailles de l'image et de l'objet, ainsi que leurs positions. \[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \]

Correction : Formation d'Image par une Lentille Mince Convergente

Question 1 : Calculer la vergence (C) de la lentille.

Principe

La vergence \(C\) est une mesure de la "puissance" d'une lentille, c'est-à-dire sa capacité à faire converger ou diverger la lumière. Elle est définie comme l'inverse de la distance focale image \(f'\).

Mini-Cours

La vergence est une grandeur algébrique, tout comme la distance focale. Une lentille convergente a une vergence positive (\(C > 0\)), tandis qu'une lentille divergente a une vergence négative (\(C < 0\)). L'unité de la vergence est la dioptrie (\(\delta\)), qui est équivalente à un "mètre inverse" (\(\text{m}^{-1}\)).

Remarque Pédagogique

La vergence est un concept clé en optique ophtalmique (lunettes, lentilles de contact). Comprendre que \(C = 1/f'\) est fondamental, mais l'erreur la plus courante est l'oubli de la conversion en mètres. Prenez l'habitude de toujours vérifier vos unités avant de calculer.

Normes

En optique, la "norme" est la convention des signes. Pour la vergence, elle dépend directement du signe de \(f'\), qui est positif pour une lentille convergente.

Formule(s)

La formule de la vergence est :

C = \frac{1}{f'}

Hypothèses

On suppose que la lentille est utilisée dans l'air (ou un milieu d'indice \(n \approx 1\)).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance Focale Image	\(f'\)	+20	cm

Astuces

Avant tout calcul, convertissez vos unités. Si \(f'\) est en cm, la formule rapide est \(C = 100 / f'_{\text{(cm)}}\). Ici, \(100 / 20 = 5\).

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul de la vergence dépend uniquement de la distance focale \(f'\) de la lentille.

Lentille et sa distance focale image

Calcul(s)

Nous allons suivre un processus en deux étapes : d'abord la conversion, ensuite le calcul.

Étape 1 : Conversion de la distance focale

La vergence s'exprime en dioptries (\(\text{m}^{-1}\)), nous devons donc convertir les centimètres en mètres.

f' = +20 \text{ cm} = +0.20 \text{ m}

Étape 2 : Calcul de la vergence

Maintenant, nous appliquons la formule de la vergence \(C = 1/f'\) avec la valeur en mètres.

\begin{aligned} C &= \frac{1}{f'} \\ C &= \frac{1}{+0.20 \text{ m}} \\ C &= +5.0 \delta \end{aligned}

Le résultat est une vergence de +5.0 dioptries.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une propriété de la lentille. Une vergence positive de \(+5.0 \text{ \(\delta\)}\) signifie que des rayons parallèles entrant dans la lentille convergeront au foyer image \(F'\).

Propriété calculée : Vergence \(C = 1/f'\)

Réflexions

La vergence est positive (\(C = +5.0 \delta\)), ce qui est cohérent avec le fait que la lentille est convergente (tout comme \(f' > 0\)). Une vergence de 5 dioptries est typique pour une loupe simple.

Points de vigilance

L'unité ! Pour obtenir une vergence en dioptries (\(\delta\)), la distance focale \(f'\) doit impérativement être exprimée en mètres (m). C'est l'erreur la plus fréquente.

Points à retenir

La vergence \(C\) est l'inverse de la distance focale \(f'\).
L'unité de \(C\) est la dioptrie (\(\delta\)), ce qui impose \(f'\) en mètres (\(\text{m}\)).
Lentille convergente : \(f' > 0\) et \(C > 0\).

Le saviez-vous ?

Votre opticien parle en dioptries. Une prescription de +2.0 \(\delta\) signifie que vous avez besoin de lunettes avec une lentille convergente de distance focale \(f' = 1 / 2 = +0.5 \text{ m}\) (ou 50 cm) pour corriger votre hypermétropie.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La vergence de la lentille est \(C = +5.0 \delta\).

A vous de jouer

Quelle serait la vergence \(C\) d'une lentille divergente de distance focale \(f' = -40 \text{ cm}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Formule : \(C = 1/f'\)
Point Clé : \(f'\) doit être en mètres.
Signe : \(C > 0\) (convergente), \(C < 0\) (divergente).

Question 2 : Déterminer la position de l'image (\(\overline{OA'}\)).

Principe

Nous utilisons la relation de conjugaison de Descartes. C'est la formule fondamentale qui relie la position de l'image (\(\overline{OA'}\)) à la position de l'objet (\(\overline{OA}\)) et à la propriété de la lentille (sa distance focale \(f'\)).

Mini-Cours

La relation de conjugaison \(1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'\) est valable pour toute lentille mince dans les conditions de Gauss. Elle fonctionne avec des grandeurs algébriques, ce qui signifie que le signe de chaque terme est crucial et donne des informations sur la position (avant ou après la lentille).

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus commune est de se tromper en isolant \(\overline{OA'}\). Il faut d'abord isoler le terme \(1/\overline{OA'}\), calculer sa valeur, puis inverser le résultat final pour trouver \(\overline{OA'}\).

Normes

Nous utilisons les conventions de l'optique géométrique : l'axe optique est orienté de gauche à droite (sens de propagation de la lumière), le centre optique \(O\) est l'origine (0). Tout ce qui est à gauche de O est négatif, tout ce qui est à droite est positif.

Formule(s)

Formule de base :

\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}

On isole le terme recherché, \(\frac{1}{\overline{OA'}}\) :

\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{\overline{OA}} + \frac{1}{f'}

Hypothèses

Nous supposons que les conditions de Gauss sont respectées : la lentille est mince (son épaisseur est négligeable) et les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (paraxiaux).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position Objet	\(\overline{OA}\)	-30	cm
Distance Focale	\(f'\)	+20	cm

Astuces

L'objet est à \(\overline{OA} = -30 \text{ cm}\). Le foyer objet est à \(F\) (\(\overline{OF} = -f' = -20 \text{ cm}\)). L'objet est donc placé "après" le foyer objet (plus loin de la lentille que F). On s'attend donc à ce que l'image soit réelle (\(\overline{OA'} > 0\)).

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons la position \(\overline{OA'}\) en connaissant \(\overline{OA}\) et \(f'\).

Situation de départ (Q2)

Calcul(s)

Le calcul se fait en trois étapes : substituer les valeurs, additionner les fractions, et enfin inverser le résultat.

Étape 1 : Formule et substitution

On part de la relation de conjugaison réarrangée et on remplace \(\overline{OA}\) et \(f'\) par leurs valeurs algébriques. L'unité (cm) est conservée pour le calcul.

\begin{aligned} \frac{1}{\overline{OA'}} &= \frac{1}{\overline{OA}} + \frac{1}{f'} \\ \frac{1}{\overline{OA'}} &= \frac{1}{-30 \text{ cm}} + \frac{1}{+20 \text{ cm}} \end{aligned}

Étape 2 : Mise au dénominateur commun (par ex. 60)

Pour additionner les deux fractions \(-1/30\) et \(1/20\), on choisit 60 comme dénominateur commun.

\begin{aligned} \frac{1}{\overline{OA'}} &= \frac{2 \times (-1)}{2 \times 30} + \frac{3 \times 1}{3 \times 20} \\ \frac{1}{\overline{OA'}} &= \frac{-2}{60} + \frac{3}{60} \\ \frac{1}{\overline{OA'}} &= \frac{1}{60} \text{ cm}^{-1} \end{aligned}

Le résultat \(1/60\) est la valeur de \(1/\overline{OA'}\), pas de \(\overline{OA'}\) ! L'unité est \(\text{cm}^{-1}\).

Étape 3 : Inversion pour trouver \(\overline{OA'}\)

On inverse l'équation pour obtenir la position finale de l'image.

\overline{OA'} = \frac{1}{\left( \frac{1}{60} \right)} = +60 \text{ cm}

La position de l'image est donc à +60 cm du centre optique O.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(\overline{OA'} = +60 \text{ cm}\) place le point image A' à droite de la lentille, après le foyer F'.

Résultat de la position (Q2)

Réflexions

Le résultat \(\overline{OA'} = +60 \text{ cm}\) est positif. Cela signifie que l'image se forme à 60 cm après la lentille (dans l'espace image). Une image qui se forme après la lentille est une image réelleImage formée par la convergence réelle des rayons lumineux. Elle peut être projetée sur un écran. \(\overline{OA'} > 0\)..

Points de vigilance

Les signes et les unités !
1. Assurez-vous que toutes les distances (\(\overline{OA}\) et \(f'\)) sont dans la même unité (ici, le cm convient très bien).
2. Respectez scrupuleusement les signes algébriques. L'objet est réel (placé avant la lentille), donc \(\overline{OA} = -30 \text{ cm}\) est négatif.

Points à retenir

La relation de conjugaison est l'outil principal pour trouver une position.
Il faut toujours isoler l'inverse (\(1/x\)) avant d'inverser le résultat.
Le signe du résultat \(\overline{OA'}\) détermine la nature réelle (\(>0\)) ou virtuelle (\(<0\)) de l'image.

Le saviez-vous ?

Il existe une autre formule, la relation de Newton, qui n'utilise pas le centre optique O mais les foyers F et F' comme origines : \(\overline{FA} \times \overline{F'A'} = -f'^2\). Ici : \(\overline{FA} = \overline{FO} + \overline{OA} = (+20) + (-30) = -10 \text{ cm}\). Donc \(\overline{F'A'} = -f'^2 / \overline{FA} = -(20)^2 / (-10) = +40 \text{ cm}\). On retrouve bien \(\overline{OA'} = \overline{OF'} + \overline{F'A'} = (+20) + (+40) = +60 \text{ cm}\).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La position de l'image est \(\overline{OA'} = +60 \text{ cm}\).

A vous de jouer

Où se forme l'image si l'objet est placé à \(\overline{OA} = -15 \text{ cm}\) (c'est-à-dire entre le foyer F et la lentille O) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Formule : \(1/\overline{OA'} = 1/\overline{OA} + 1/f'\)
Signes : \(\overline{OA} < 0\) (objet réel), \(f' > 0\) (convergente).
Résultat : \(\overline{OA'} > 0\) \(\Rightarrow\) Image Réelle.

Question 3 : Calculer le grandissement transversal (\(\gamma\)).

Principe

Le grandissement transversal \(\gamma\) (gamma) est un nombre sans unité qui compare la taille et l'orientation de l'image à celles de l'objet. Il se calcule simplement à partir des positions de l'image (\(\overline{OA'}\)) et de l'objet (\(\overline{OA}\)).

Mini-Cours

Le grandissement \(\gamma\) nous donne deux informations :
1. Son signe : Si \(\gamma < 0\), l'image est inversée (renversée). Si \(\gamma > 0\), l'image est droite (dans le même sens que l'objet).
2. Sa valeur absolue \(|\gamma|\) : Si \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie. Si \(|\gamma| < 1\), l'image est rétrécie. Si \(|\gamma| = 1\), l'image a la même taille que l'objet.

Remarque Pédagogique

N'oubliez pas que \(\gamma\) est un rapport de grandeurs algébriques. Les signes de \(\overline{OA'}\) et \(\overline{OA}\) sont tous les deux essentiels pour déterminer le signe de \(\gamma\).

Normes

On suit toujours les conventions de l'optique géométrique, où \(\overline{OA'}\) et \(\overline{OA}\) sont des mesures algébriques.

Formule(s)

La formule du grandissement utilisant les positions est :

\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

Hypothèses

Les mêmes que pour la relation de conjugaison (conditions de Gauss).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position Image (de Q2)	\(\overline{OA'}\)	+60	cm
Position Objet	\(\overline{OA}\)	-30	cm

Astuces

Comme \(\overline{OA'}\) est positif (image réelle) et \(\overline{OA}\) est négatif (objet réel), on sait d'avance que le grandissement sera négatif. L'image sera donc inversée. C'est presque toujours le cas pour une image réelle formée par une lentille simple.

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons le rapport \(\gamma\) entre la position image \(\overline{OA'}\) et la position objet \(\overline{OA}\).

Concept du grandissement \(\gamma\)

Calcul(s)

Application de la formule

On utilise la formule du grandissement en substituant les valeurs de \(\overline{OA'}\) (trouvée à la Q2) et \(\overline{OA}\) (donnée). Les unités (cm) s'annulent.

\begin{aligned} \gamma &= \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \\ \gamma &= \frac{+60 \text{ cm}}{-30 \text{ cm}} \\ \gamma &= -2 \end{aligned}

Le grandissement \(\gamma\) est un rapport sans unité valant -2.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(\gamma = -2\) signifie que l'image est 2 fois plus grande que l'objet, et inversée (signe négatif).

Interprétation du grandissement \(\gamma\)

Réflexions

L'analyse du grandissement nous donne deux informations capitales :
1. Le signe : \(\gamma = -2\) est négatif. Cela signifie que l'image est inversée (ou "renversée") par rapport à l'objet (l'un est vers le haut, l'autre vers le bas).
2. Sa valeur absolue : \(|\gamma| = |-2| = 2\). Comme \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie (elle est 2 fois plus grande que l'objet).

Points de vigilance

Ne pas oublier le signe "moins" de \(\overline{OA} = -30 \text{ cm}\) ! Une erreur fréquente est de calculer \(60 / 30 = 2\). Le résultat correct est \(60 / (-30) = -2\). Le signe est capital pour décrire l'image.

Points à retenir

Le grandissement \(\gamma\) n'a pas d'unité (c'est un rapport cm/cm).
\(\gamma < 0 \Rightarrow\) Image Inversée.
\(\gamma > 0 \Rightarrow\) Image Droite.
\(|\gamma| > 1 \Rightarrow\) Image Agrandie.
\(|\gamma| < 1 \Rightarrow\) Image Rétrécie.

Le saviez-vous ?

Le "grandissement angulaire" (G) est différent. Il compare l'angle sous lequel on voit l'image à travers l'instrument (une loupe par exemple) à l'angle sous lequel on voit l'objet à l'œil nu. C'est le "grossissement" (ex: G = 10x) d'une loupe.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le grandissement transversal est \(\gamma = -2\).

A vous de jouer

Si un objet est placé à \(\overline{OA} = -40 \text{ cm}\) (soit à \(2f'\)), l'image se forme à \(\overline{OA'} = +40 \text{ cm}\). Que vaut le grandissement ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Formule : \(\gamma = \overline{OA'} / \overline{OA}\)
\(\gamma < 0\) : Image inversée.
\(|\gamma| > 1\) : Image agrandie.

Question 4 : Calculer la taille de l'image (\(\overline{A'B'}\)).

Principe

Maintenant que nous connaissons le grandissement \(\gamma\), nous pouvons l'utiliser avec la taille de l'objet \(\overline{AB}\) pour trouver la taille de l'image \(\overline{A'B'}\). \(\overline{A'B'}\) est une grandeur algébrique : son signe indique l'orientation et sa valeur indique la hauteur.

Mini-Cours

La définition même du grandissement transversal est \(\gamma = \overline{A'B'} / \overline{AB}\). C'est le rapport de la taille de l'image sur la taille de l'objet. En connaissant \(\gamma\) (calculé à la Q3) et \(\overline{AB}\) (donné dans l'énoncé), on peut facilement trouver \(\overline{A'B'}\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est une simple application de formule, mais elle est cruciale pour confirmer l'analyse faite à la question 3. Le signe de \(\overline{A'B'}\) doit être cohérent avec le signe de \(\gamma\).

Normes

La convention pour les tailles est que ce qui est "vers le haut" (au-dessus de l'axe optique) est positif, et ce qui est "vers le bas" (en-dessous) est négatif. Notre objet \(\overline{AB} = +2 \text{ cm}\) est donc "droit".

Formule(s)

On utilise la définition du grandissement :

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}

On isole le terme recherché, \(\overline{A'B'}\) :

\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}

Hypothèses

L'objet \(AB\) est supposé perpendiculaire à l'axe optique (le point A est sur l'axe).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Grandissement (de Q3)	\(\gamma\)	-2	(sans unité)
Taille Objet	\(\overline{AB}\)	+2	cm

Astuces

Puisque \(\gamma = -2\) (image inversée et 2x plus grande) et \(\overline{AB} = +2\), on s'attend logiquement à une image de taille \(2 \times 2 = 4 \text{ cm}\) et de signe opposé, donc \(-4 \text{ cm}\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons la taille \(\overline{A'B'}\) en utilisant \(\gamma\) et \(\overline{AB}\).

Concept de la taille de l'image

Calcul(s)

Application de la formule

On part de la formule \(\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}\) et on substitue le grandissement \(\gamma\) (trouvé à la Q3) et la taille de l'objet \(\overline{AB}\) (donnée).

\begin{aligned} \overline{A'B'} &= \gamma \times \overline{AB} \\ \overline{A'B'} &= (-2) \times (+2 \text{ cm}) \\ \overline{A'B'} &= -4 \text{ cm} \end{aligned}

La taille algébrique de l'image est de -4 cm.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(\overline{A'B'} = -4 \text{ cm}\) confirme une image 2x plus grande et orientée vers le bas.

Résultat de la taille (Q4)

Réflexions

Le résultat \(\overline{A'B'} = -4 \text{ cm}\) est cohérent avec nos calculs précédents :
- Le signe négatif confirme que l'image est inversée (\(\gamma < 0\)).
- La taille de 4 cm est bien 2 fois plus grande que l'objet de 2 cm (\(|\gamma| = 2\)).

Points de vigilance

Ne pas oublier le signe de \(\gamma\) ou de \(\overline{AB}\) dans le calcul. Si l'objet avait été placé "tête en bas" (\(\overline{AB} = -2 \text{ cm}\)), le résultat aurait été \(\overline{A'B'} = (-2) \times (-2) = +4 \text{ cm}\) (une image droite !).

Points à retenir

La formule \(\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}\) permet de trouver la taille et l'orientation de l'image.
\(\overline{A'B'} < 0\) signifie que l'image est physiquement "sous" l'axe optique.

Le saviez-vous ?

Le rapport des surfaces (grandissement axial) n'est pas \(\gamma\) mais \(\gamma^2\). Ici, \(\gamma^2 = (-2)^2 = 4\). L'image est 4 fois plus "large" (en surface) que l'objet. C'est important pour calculer la luminosité d'une image en photographie.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La taille de l'image est \(\overline{A'B'} = -4 \text{ cm}\).

A vous de jouer

Si l'objet mesure \(\overline{AB} = +1.5 \text{ cm}\) et que le grandissement vaut \(\gamma = +0.5\) (cas d'une loupe), quelle est la taille de l'image \(\overline{A'B'}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Formule : \(\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}\)
Cohérence : Le signe de \(\overline{A'B'}\) doit correspondre au signe de \(\gamma\).

Question 5 : Décrire la nature de l'image.

Principe

Pour décrire complètement la nature d'une image, nous devons répondre à trois questions en synthétisant tous les résultats précédents :
1. Est-elle réelle ou virtuelle ? (basé sur la position \(\overline{OA'}\))
2. Est-elle droite ou inversée ? (basé sur le signe de \(\gamma\))
3. Est-elle agrandie ou rétrécie ? (basé sur la valeur absolue de \(\gamma\))

Mini-Cours

C'est la synthèse finale.

Réelle vs Virtuelle : \(\overline{OA'} > 0\) \(\rightarrow\) Image Réelle. Elle se forme après la lentille, là où les rayons convergent réellement. On peut la projeter sur un écran.
\(\overline{OA'} < 0\) \(\rightarrow\) Image Virtuelle. Elle se forme avant la lentille (là d'où les rayons semblent diverger). On ne peut pas la projeter, on la voit en regardant "à travers" la lentille (ex: loupe).
Droite vs Inversée : \(\gamma > 0\) \(\rightarrow\) Image Droite (même sens que l'objet).
\(\gamma < 0\) \(\rightarrow\) Image Inversée (sens opposé).
Taille : \(|\gamma| > 1\) \(\rightarrow\) Image Agrandie.
\( |\gamma| < 1\) \(\rightarrow\) Image Rétrécie.
\(|\gamma| = 1\) \(\rightarrow\) Image de même taille.

Donnée(s)

Nous synthétisons les résultats des questions précédentes.

Position Image : \(\overline{OA'} = +60 \text{ cm}\) (de Q2)
Grandissement : \(\gamma = -2\) (de Q3)
Taille Image : \(\overline{A'B'} = -4 \text{ cm}\) (de Q4)

Calcul(s)

C'est une analyse en trois points, basée sur les résultats précédents.

Analyse de \(\overline{OA'}\)

On observe le signe de la position de l'image :

\overline{OA'} = +60 \text{ cm} \quad (\overline{OA'} > 0)

Un signe positif signifie que l'image se forme après la lentille. Elle est RÉELLE.

Analyse du signe de \(\gamma\)

On observe le signe du grandissement :

\gamma = -2 \quad (\gamma < 0)

Un signe négatif signifie que l'image est dans le sens opposé de l'objet. Elle est INVERSÉE (ou renversée).

Analyse de la valeur absolue de \(\gamma\)

On observe la grandeur (valeur absolue) du grandissement :

|\gamma| = |-2| = 2 \quad (|\gamma| > 1)

Une valeur absolue supérieure à 1 signifie que l'image est plus grande que l'objet. Elle est AGRANDIE.

Schéma

On peut maintenant vérifier nos calculs en traçant les 3 rayons principaux issus de B. Ils doivent tous se croiser au point B' (à \(\overline{OA'} = +60 \text{ cm}\) et \(\overline{A'B'} = -4 \text{ cm}\)).

Construction Géométrique (Tracé de Rayons)

Réflexions

Tous nos calculs sont cohérents. L'image est bien réelle (\(\overline{OA'} > 0\)), inversée (\(\gamma < 0\)) et agrandie (\(|\gamma| > 1\)). Le tracé des rayons confirme que les rayons issus de B convergent bien au point B' calculé. Ce cas (objet entre F et 2F) donne une image réelle, inversée et agrandie (après 2F'), utilisée par exemple dans les projecteurs de diapositives.

Points de vigilance

Ne pas mélanger les critères. Par exemple, ce n'est pas parce qu'une image est inversée qu'elle est forcément réelle (même si c'est souvent le cas avec une lentille simple). Basez-vous toujours sur les signes de \(\overline{OA'}\) et \(\gamma\) indépendamment.

Points à retenir

Les trois caractéristiques (Réelle/Virtuelle, Droite/Inversée, Agrandie/Rétrécie) forment la "carte d'identité" complète de l'image. Vous devez être capable de déterminer les trois à partir de \(\overline{OA'}\) et \(\gamma\).

Le saviez-vous ?

C'est exactement ce type d'image (réelle, inversée, agrandie) qui est formée sur la rétine de votre œil ! La cornée et le cristallin agissent comme une lentille convergente puissante, et la rétine est l'écran où se forme l'image. Votre cerveau "retourne" ensuite l'image pour que vous voyiez le monde à l'endroit.

Résultat Final

L'image finale est : RÉELLE, INVERSÉE et AGRANDIE (2 fois).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Nature d'Image :

\(\overline{OA'} > 0\) \(\rightarrow\) Réelle (après la lentille)
\(\overline{OA'} < 0\) \(\rightarrow\) Virtuelle (avant la lentille)
\(\gamma < 0\) \(\rightarrow\) Inversée
\(\gamma > 0\) \(\rightarrow\) Droite
\(|\gamma| > 1\) \(\rightarrow\) Agrandie
\(|\gamma| < 1\) \(\rightarrow\) Rétrécie

Outil Interactif : Simulateur de Lentille

Explorez comment la position et le grandissement de l'image changent lorsque vous modifiez la distance focale de la lentille et la position de l'objet. (Attention aux asymptotes lorsque \(\overline{OA} = -f'\) !)

Paramètres d'Entrée

Distance focale (f') (cm) 20.0 cm

Position objet (\(\overline{OA}\)) (cm) -30.0 cm

Résultats Clés

Position image (\(\overline{OA'}\)) (cm) -

Grandissement (\(\gamma\)) -

Glossaire

Dioptrie (\(\delta\)): Unité de mesure de la vergence \(C\). Une dioptrie est l'inverse d'un mètre (\(1 \delta = 1 \text{ m}^{-1}\)).
Distance Focale (\(f'\)): Distance entre le centre optique \(O\) et le foyer image \(F'\). \(f' = \overline{OF'}\). Elle est positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente.
Foyer Image (F'): Point de l'axe optique où convergent les rayons lumineux arrivant parallèlement à l'axe (pour une lentille convergente).
Foyer Objet (F): Point de l'axe optique tel que les rayons lumineux issus de ce point émergent de la lentille parallèlement à l'axe. \(\overline{OF} = -f'\).
Grandissement (\(\gamma\)): Rapport \(\gamma = \overline{OA'} / \overline{OA}\). Si \(\gamma < 0\), l'image est inversée. Si \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie.
Image Réelle: Image formée par la convergence réelle des rayons. Elle peut être projetée sur un écran. Sa position \(\overline{OA'}\) est positive.
Image Virtuelle: Image qui ne peut pas être projetée sur un écran. Elle est formée par la convergence "apparente" des prolongements des rayons. Sa position \(\overline{OA'}\) est négative.
Vergence (C): Capacité d'une lentille à dévier la lumière. \(C = 1 / f'\) (avec \(f'\) en mètres).