Modèle de Kronig-Penney et Bandes d'Énergie
Contexte : Le comportement des électrons dans un cristal.
En physique du solide, comprendre pourquoi certains matériaux sont des conducteurs et d'autres des isolants est fondamental. La réponse réside dans la structure électronique, qui est façonnée par le potentiel périodique créé par les atomes du réseau cristallin. Le modèle de Kronig-Penney est un modèle de mécanique quantiqueThéorie physique qui décrit le comportement de la matière et de la lumière à l'échelle atomique et subatomique. simple mais puissant qui modélise un électron dans un tel réseau unidimensionnel. Il permet d'expliquer l'un des concepts les plus importants de la physique de la matière condensée : l'existence de bandes d'énergieIntervalles d'énergies permises pour les électrons dans un solide. Ces bandes sont séparées par des "bandes interdites" ou "gaps". permises et de bandes interdites (gaps).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guide à travers la dérivation mathématique qui mène à la structure en bandes. Vous appliquerez l'équation de SchrödingerÉquation fondamentale de la mécanique quantique qui décrit l'évolution dans le temps de la fonction d'onde d'une particule. à un potentiel périodique et utiliserez le théorème de BlochThéorème stipulant que la fonction d'onde d'un électron dans un potentiel périodique est une onde plane modulée par une fonction ayant la même périodicité que le réseau. pour trouver les états d'énergie possibles de l'électron.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer l'équation de Schrödinger à un potentiel périodique simple.
- Comprendre et utiliser le théorème de Bloch et les conditions de continuité.
- Dériver la relation de dispersion qui lie l'énergie \(E\) au vecteur d'onde \(k\).
- Analyser graphiquement la relation de dispersion pour visualiser les bandes d'énergie.
- Calculer les énergies aux bords de la première zone de BrillouinCellule primitive du réseau réciproque. L'analyse des vecteurs d'onde k peut être restreinte à cette zone sans perte d'information..
Données de l'étude
Potentiel de Kronig-Penney
Visualisation 3D du Potentiel Périodique
| Paramètre / Constante | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de l'électron | \(m_{\text{e}}\) | \(9.109 \times 10^{-31}\) | \(\text{kg}\) |
| Constante de Planck réduite | \(\hbar\) | \(1.054 \times 10^{-34}\) | \(\text{J} \cdot \text{s}\) |
| Largeur du puits | \(a\) | \(5 \times 10^{-10}\) | \(\text{m}\) |
| Largeur de la barrière | \(b\) | \(1 \times 10^{-10}\) | \(\text{m}\) |
| Hauteur de la barrière | \(V_0\) | 5 | \(\text{eV}\) |
| Charge élémentaire | \(e\) | \(1.602 \times 10^{-19}\) | \(\text{C}\) |
Questions à traiter
- Écrire l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour un électron d'énergie \(E < V_0\) dans les deux régions du potentiel : le puits (\(0 < x < a\)) et la barrière (\(-b < x < 0\)).
- En appliquant le théorème de Bloch et les conditions de continuité pour \(\psi(x)\) et \(\psi'(x)\) en \(x=0\) et \(x=a\), dériver la relation de dispersion liant \(E\) et le vecteur d'onde \(k\).
- Simplifier le modèle en considérant des barrières de potentiel infiniment fines mais infiniment hautes (peigne de Dirac), où \(b \to 0\) et \(V_0 \to \infty\) de telle sorte que le produit \(P_0 = \frac{m_{\text{e}} a V_0 b}{\hbar^2}\) reste constant. Montrer que la relation de dispersion se simplifie.
- Analyser graphiquement la relation obtenue à la question 3. Expliquer comment cette analyse démontre l'existence de bandes d'énergie permises et interdites.
Les bases de la mécanique quantique pour les solides
Pour résoudre ce problème, nous nous appuierons sur deux piliers de la mécanique quantique appliquée aux systèmes périodiques.
1. L'équation de Schrödinger indépendante du temps
Cette équation est le postulat fondamental pour trouver les états d'énergie stationnaires d'un système. Pour une particule de masse \(m\) dans un potentiel \(V(x)\), elle s'écrit :
\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \]
Où \(\psi(x)\) est la fonction d'onde et \(E\) est l'énergie de la particule.
2. Le Théorème de Bloch
Ce théorème est crucial pour les potentiels périodiques, comme celui d'un cristal. Il stipule que les solutions de l'équation de Schrödinger pour un potentiel tel que \(V(x+L) = V(x)\) peuvent s'écrire sous la forme :
\[ \psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x) \]
où \(u_k(x)\) est une fonction périodique avec la même période \(L\) que le potentiel (\(u_k(x+L) = u_k(x)\)). Cela implique que la fonction d'onde complète satisfait la condition : \(\psi_k(x+L) = e^{ikL} \psi_k(x)\).
Correction : Modèle de Kronig-Penney et Bandes d'Énergie
Question 1 : Écrire l'équation de Schrödinger dans chaque région
Principe (le concept physique)
L'équation de Schrödinger est l'équation maîtresse qui régit le comportement de la particule. Sa forme dépend de la valeur du potentiel \(V(x)\) dans la région considérée. Nous allons donc l'écrire pour un puits (où l'électron est "libre") et pour une barrière (où la fonction d'onde est évanescente).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les constantes \(\alpha^2\) et \(\beta^2\) ne sont pas de simples notations. Physiquement, \(\alpha\) est le vecteur d'onde de l'électron dans le puits, décrivant son comportement propagatif. \(\beta\), quant à lui, est le facteur d'atténuation dans la barrière, décrivant la décroissance exponentielle de la probabilité de présence de l'électron (effet tunnel).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La première étape de tout problème de mécanique quantique est toujours la même : poser correctement l'équation de Schrödinger pour chaque région distincte du problème. Une erreur ici invalidera toute la suite des calculs.
Normes (la référence réglementaire)
La formulation de l'équation de Schrödinger est un postulat fondamental de la physique quantique. Il n'y a pas de "norme" au sens réglementaire, mais une convention universellement acceptée dans la communauté scientifique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'équation générale est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous travaillons dans le cadre d'un modèle unidimensionnel (1D) et nous cherchons les états stationnaires, c'est-à-dire que le potentiel ne dépend pas du temps.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Région I (puits) : \(V(x) = 0\) pour \(0 < x < a\)
- Région II (barrière) : \(V(x) = V_0\) pour \(-b < x < 0\)
- Condition d'énergie : \(E < V_0\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Définir immédiatement les constantes \(\alpha^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}\) et \(\beta^2 = \frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}\) permet d'alléger considérablement les notations pour la suite des calculs et de rendre les équations plus lisibles.
Schéma (Avant les calculs)
Comportement attendu de la fonction d'onde \(\psi(x)\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Région I (Puits, \(0 < x < a\)): Ici, \(V(x) = 0\).
Région II (Barrière, \(-b < x < 0\)): Ici, \(V(x) = V_0\). Comme \(E < V_0\), le terme \(V_0-E\) est positif.
Schéma (Après les calculs)
Équations différentielles obtenues
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Dans le puits, l'équation est celle d'un oscillateur harmonique, menant à des solutions oscillantes (sinus/cosinus), caractéristiques d'une particule propagative. Dans la barrière, l'équation mène à des solutions exponentielles réelles (croissantes/décroissantes), caractéristiques d'une onde évanescente qui pénètre la barrière (effet tunnel).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe dans la définition de \(\alpha^2\) et \(\beta^2\). Rappelez-vous que \(\alpha^2\) et \(\beta^2\) doivent être des quantités positives, ce qui dicte la manière d'écrire le terme \((V-E)\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Dans une région où \(E > V(x)\), l'équation est de type oscillateur : \(\psi'' + k^2\psi = 0\).
- Dans une région où \(E < V(x)\), l'équation est de type exponentiel : \(\psi'' - \kappa^2\psi = 0\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Erwin Schrödinger a développé son équation en 1926. La légende raconte qu'il a eu l'idée lors d'un séjour dans une station de ski à Arosa, en Suisse, alors qu'il était en vacances avec une de ses maîtresses, dont l'identité reste un mystère.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'énergie de l'électron était \(E > V_0\), comment s'écrirait l'équation dans la barrière ?
Question 2 : Dériver la relation de dispersion
Principe (le concept physique)
Pour connecter les solutions des différentes régions, on impose que la fonction d'onde et sa dérivée soient continues aux interfaces. De plus, le théorème de Bloch impose une condition de phase sur une période complète du réseau. La combinaison de ces conditions va contraindre les valeurs d'énergie possibles.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La solution générale dans chaque région est :
\(\psi_I(x) = A\sin(\alpha x) + B\cos(\alpha x)\)
\(\psi_{\text{II}}(x) = C e^{\beta x} + D e^{-\beta x}\)
Les conditions de continuité (\(\psi_I(0)=\psi_{\text{II}}(0)\), \(\psi'_I(0)=\psi'_{\text{II}}(0)\)) et les conditions de Bloch-périodicité (\(\psi_I(a)=\psi_{\text{II}}(-b)\), \(\psi'_I(a)=\psi'_{\text{II}}(-b)\)) créent un système de 4 équations linéaires homogènes pour les coefficients A, B, C, D. Ce système a une solution non triviale seulement si le déterminant de la matrice des coefficients est nul. Le calcul de ce déterminant mène à la relation de dispersion.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul complet du déterminant est une excellente mais longue application de l'algèbre linéaire. L'important ici n'est pas de refaire le calcul, mais de comprendre d'où vient la condition finale : elle exprime la compatibilité entre les solutions locales et la symétrie globale du réseau.
Normes (la référence réglementaire)
L'application des conditions de continuité pour la fonction d'onde et sa dérivée (pour un potentiel fini) est une procédure standard pour résoudre l'équation de Schrödinger par morceaux.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La condition issue du calcul du déterminant est la relation de Kronig-Penney :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le potentiel est parfaitement périodique à l'infini et que la fonction d'onde et sa dérivée première sont continues partout, ce qui est physiquement requis.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Solutions générales des équations de la Question 1.
- Théorème de Bloch : \(\psi_k(x+L) = e^{ikL} \psi_k(x)\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Plutôt que de calculer un déterminant 4x4, il est souvent plus simple d'utiliser une approche par matrice de transfert, qui relie les coefficients d'une cellule à la suivante. Le produit de ces matrices sur tout le réseau mène à la même condition.
Schéma (Avant les calculs)
Raccordement des fonctions d'onde aux interfaces
Calcul(s) (l'application numérique)
Les 4 conditions aux limites nous donnent le système d'équations suivant pour les coefficients A, B, C, et D :
Ce système de 4 équations à 4 inconnues (A, B, C, D) admet une solution non-nulle si et seulement si le déterminant de sa matrice est nul. Ce calcul mène à la relation de dispersion finale.
Schéma (Après les calculs)
La relation de dispersion : un équilibre
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation est remarquable. Le côté gauche, \(\cos(kL)\), est borné entre -1 et 1. Le côté droit est une fonction complexe de l'énergie \(E\) (via \(\alpha\) et \(\beta\)). Cela signifie que seules les valeurs d'énergie \(E\) pour lesquelles le côté droit est compris entre -1 et 1 sont permises. C'est l'origine des bandes d'énergie.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ce calcul est long et fastidieux. L'erreur la plus commune est une faute de signe ou une erreur de calcul dans le développement du déterminant 4x4. Il est crucial d'être méthodique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La relation de dispersion relie l'énergie \(E\) au vecteur d'onde \(k\).
- Elle est obtenue en appliquant les conditions de continuité et le théorème de Bloch.
- Sa forme contraint les énergies possibles aux valeurs pour lesquelles \(|f(E)| \le 1\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Felix Bloch a reçu le prix Nobel de physique en 1952 pour ses travaux sur la structure électronique des solides. Fait intéressant, il a également été le premier directeur général du CERN, le laboratoire européen pour la physique des particules.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'électron était complètement libre (\(V_0=0\)), que deviendrait le côté droit de l'équation ?
Question 3 : Simplification pour un potentiel en peigne de Dirac
Principe (le concept physique)
Le modèle complet est mathématiquement lourd. Une approximation physiquement pertinente consiste à rendre les barrières très fines (\(b \to 0\)) et très hautes (\(V_0 \to \infty\)) tout en gardant leur "force" (\(V_0 b\)) constante. Cela simplifie grandement les fonctions hyperboliques et mène à une équation plus facile à analyser.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Un "peigne de Dirac" est une série de fonctions delta de Dirac espacées périodiquement. C'est une idéalisation d'un potentiel créé par des ions ponctuels. Cette approximation est très utile car elle capture l'essentiel de la physique (la diffusion de l'onde électronique par des centres périodiques) avec un formalisme mathématique beaucoup plus simple.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Savoir faire des approximations pertinentes est une compétence clé en physique. L'art consiste à simplifier le problème sans perdre la physique essentielle. Ici, on garde l'effet de barrière (via le produit \(V_0 b\)) tout en simplifiant sa forme géométrique.
Normes (la référence réglementaire)
L'utilisation des développements limités (ou séries de Taylor) est une technique mathématique standard et rigoureuse pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un point (ici, \(b \to 0\)).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Développements limités pour \(x \to 0\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que \(b\) est suffisamment petit pour que les termes d'ordre supérieur dans les développements limités soient négligeables. On suppose aussi que \(V_0\) est suffisamment grand pour que \(E\) soit négligeable devant lui.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Relation de dispersion complète de la Q2.
- Limite : \(b \to 0\), \(V_0 \to \infty\), avec \(V_0 b = \text{constante}\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Lors de la simplification, concentrez-vous sur le terme qui multiplie \(\sin(\alpha a)\). C'est lui qui contient le produit \(\beta^2 b\), qui est proportionnel à \(V_0 b\), le terme que nous voulons conserver.
Schéma (Avant les calculs)
Approximation de la barrière de potentiel
Calcul(s) (l'application numérique)
On utilise les développements limités pour \(b \to 0\): \(\cosh(\beta b) \approx 1\) et \(\sinh(\beta b) \approx \beta b\). La période devient \(L \approx a\). La relation devient :
On simplifie le terme pré-sinus :
Comme \(V_0 \to \infty\), on peut négliger \(2E\). En définissant \(P_0 = \frac{m_{\text{e}} a V_0 b}{\hbar^2}\), le terme devient \(\frac{P_0}{\alpha a}\). On obtient alors :
Schéma (Après les calculs)
L'équation simplifiée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette forme simplifiée est beaucoup plus facile à analyser. Elle ne dépend plus que d'un seul paramètre, \(P_0\), qui représente la "force" de la barrière de potentiel (une combinaison de sa hauteur et de sa largeur). Cela permet d'étudier l'influence de la force de liaison des électrons sur la structure des bandes.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier que cette équation n'est qu'une approximation. Elle est très bonne pour décrire la physique générale, mais pour des calculs quantitatifs précis sur des matériaux réels, il faudrait utiliser la forme complète ou des modèles plus sophistiqués.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'approximation du peigne de Dirac simplifie grandement l'équation de dispersion.
- Elle est valide pour des barrières de potentiel fines et hautes.
- Le paramètre \(P_0\) représente la force de diffusion du potentiel périodique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Paul Dirac, l'un des pères fondateurs de la mécanique quantique, a introduit la fonction "delta" qui porte son nom. Ce n'est pas une fonction au sens mathématique strict, mais une "distribution". Les mathématiciens ont mis des décennies à formaliser rigoureusement cette idée intuitivement géniale d'un physicien.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Que devient l'équation si les barrières disparaissent (\(P_0 = 0\)) ?
Question 4 : Analyse graphique et bandes d'énergie
Principe (le concept physique)
Comme \(\cos(ka)\) doit être entre -1 et 1, une solution physique pour l'électron n'existe que si l'énergie \(E\) (contenue dans \(\alpha a\)) est telle que la fonction \(f(E) = \cos(\alpha a) + P_0 \frac{\sin(\alpha a)}{\alpha a}\) a une valeur comprise dans l'intervalle [-1, 1]. En traçant cette fonction, on peut visualiser directement les énergies permises et interdites.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La variable \(\alpha a\) est directement liée à l'énergie : \((\alpha a)^2 = \frac{2m a^2 E}{\hbar^2}\). Tracer la fonction en fonction de \(\alpha a\) est donc qualitativement similaire à la tracer en fonction de \(\sqrt{E}\). Les valeurs de \(\alpha a\) pour lesquelles la condition est satisfaite correspondent aux énergies permises, formant les "bandes". Les intervalles entre ces régions sont les "bandes interdites" ou "gaps".
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une solution graphique est souvent beaucoup plus parlante qu'une longue liste de chiffres. Prenez le temps de bien regarder le graphique : vous pouvez "voir" les bandes d'énergie se former et comprendre pourquoi les gaps apparaissent lorsque la fonction \(f(E)\) oscille trop fortement.
Normes (la référence réglementaire)
Cette méthode d'analyse graphique est la manière standard d'introduire et de visualiser la structure de bandes dans tous les manuels de physique du solide.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La condition pour qu'une énergie \(E\) soit permise est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous analysons la relation de dispersion simplifiée (modèle du peigne de Dirac) qui est plus facile à visualiser, mais le principe reste identique pour le modèle complet.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- La relation de dispersion simplifiée.
- Le paramètre \(P_0\) qui définit la force du potentiel.
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour trouver les bords des bandes (les "band gaps"), il suffit de chercher les valeurs de \(\alpha a\) pour lesquelles la fonction est exactement égale à +1 ou -1. Ces points délimitent les frontières entre les énergies permises et interdites.
Schéma (Avant les calculs)
Tracé de la fonction \(f(\alpha a)\)
Calcul(s) (l'application numérique)
L'analyse est purement graphique. On trace la fonction \(f(\alpha a) = \cos(\alpha a) + P_0 \frac{\sin(\alpha a)}{\alpha a}\) et on observe pour quelles valeurs de l'abscisse \(\alpha a\) la courbe se situe entre les ordonnées -1 et +1. L'outil interactif de la section suivante permet de faire ce tracé pour différentes valeurs de \(P_0\).
Schéma (Après les calculs)
Analyse graphique de la relation de dispersion
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le graphique montre que la fonction \(f(\alpha a)\) oscille avec une amplitude qui décroît. Les régions où la courbe se trouve entre les lignes y=-1 et y=1 correspondent aux bandes d'énergie permises. Les régions où la courbe sort de cet intervalle correspondent aux bandes interdites, ou "gaps". Un électron ne peut pas avoir une énergie stationnaire dans un gap. C'est la base de la distinction entre métaux, semi-conducteurs et isolants.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas le graphique de \(f(\alpha a)\) avec le diagramme de bandes \(E(k)\). Ce graphique est un outil pour trouver les énergies permises. Le diagramme de bandes, lui, trace directement ces énergies permises en fonction du vecteur d'onde \(k\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La condition \(|\cos(ka)| \le 1\) est la clé de l'existence des bandes.
- L'analyse graphique de la fonction \(f(E)\) permet de visualiser directement les bandes permises et les gaps.
- La largeur des bandes et des gaps dépend de la force du potentiel \(P_0\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de "zone de Brillouin" a été introduit par le physicien français Léon Brillouin. La première zone de Brillouin, qui correspond à \(k\) variant de \(-\pi/L\) à \(+\pi/L\), contient toute l'information unique sur la structure de bandes. Les autres zones ne sont que des répétitions périodiques.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
D'après le simulateur, si on augmente \(P_0\), la largeur du premier gap...
Outil Interactif : Analyseur de Bandes d'Énergie
Modifiez la "force" de la barrière de potentiel pour voir comment les bandes d'énergie permises et les gaps évoluent.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le concept de "vecteur d'onde" \(k\) n'est pas seulement une astuce mathématique. Il représente la quasi-impulsion de l'électron dans le cristal. Contrairement à un électron libre, sa quantité de mouvement n'est pas conservée à cause des interactions avec le réseau, mais sa quasi-impulsion, elle, l'est (lors des collisions avec les phonons ou les photons).
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si l'énergie de l'électron est supérieure à \(V_0\)?
Si \(E > V_0\), la solution dans la barrière devient également oscillante (comme dans le puits), mais avec un vecteur d'onde différent. La relation de dispersion change (les fonctions hyperboliques deviennent des fonctions trigonométriques), mais le principe reste le même : il y aura toujours des bandes permises et interdites, même pour des énergies au-dessus des barrières de potentiel.
Ce modèle 1D est-il réaliste ?
Bien que très simplifié, le modèle de Kronig-Penney capture l'essence physique du phénomène : la périodicité du potentiel est la cause directe de la structure en bandes. Les calculs pour des cristaux réels en 3D sont bien plus complexes (utilisant des méthodes comme LCAO ou les pseudopotentiels), mais ils confirment et affinent les conclusions qualitatives de ce modèle.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente la force de la barrière P₀, la largeur des bandes d'énergie permises...
2. Un électron peut-il avoir une énergie située dans une bande interdite (gap) ?
- Théorème de Bloch
- Théorème fondamental de la physique du solide qui caractérise la forme des fonctions d'onde pour une particule (comme un électron) dans un potentiel périodique.
- Bande d'énergie
- Intervalle d'énergies que les électrons d'un solide sont autorisés à occuper. Ces bandes sont séparées par des bandes interdites (gaps).
- Relation de dispersion
- Relation mathématique qui lie l'énergie \(E\) d'une particule à son vecteur d'onde \(k\) (ou sa quasi-impulsion \(\hbar k\)). Le tracé de \(E\) en fonction de \(k\) révèle la structure des bandes.
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