Oscillateur Harmonique Quantique

Contexte : Le modèle le plus fondamental de la physique.

L'oscillateur harmonique quantiqueModèle quantique décrivant une particule soumise à un potentiel quadratique. C'est l'un des rares systèmes exactement solubles en mécanique quantique. (OHQ) est une pierre angulaire de la physique moderne. Il sert de première approximation pour décrire une multitude de systèmes, des vibrations des atomes dans les molécules et les solides aux modes d'un champ électromagnétique (photons). Sa résolution par la méthode des opérateurs d'échelleOpérateurs non-hermitiens, notés a (annihilation) et a† (création), qui permettent de "descendre" ou "monter" dans l'échelle des états d'énergie de l'oscillateur. (ou opérateurs de création/annihilation) est particulièrement élégante et puissante. Elle permet de trouver tout le spectre d'énergie sans jamais résoudre l'équation de Schrödinger différentielle. Cet exercice vous guidera dans l'utilisation de ces opérateurs pour déterminer les propriétés des premiers états d'énergie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la puissance de l'approche algébrique en mécanique quantique. Plutôt que de manipuler des fonctions d'onde et des intégrales complexes, nous allons utiliser les propriétés de commutation des opérateurs pour déduire les grandeurs physiques. C'est une transition conceptuelle majeure qui ouvre la voie à des théories plus avancées comme la théorie quantique des champs.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la structure des niveaux d'énergie de l'OHQ.
Utiliser l'opérateur de créationNoté a†, il transforme un état d'énergie |n⟩ en l'état d'énergie supérieur |n+1⟩, à une constante de normalisation près. \(a^\dagger\) pour passer d'un état d'énergie à un autre.
Exprimer les observables (position, impulsion) en termes d'opérateurs d'échelle.
Calculer les valeurs moyennesEn mécanique quantique, la valeur moyenne (ou espérance) d'un observable A dans un état |ψ⟩ est donnée par ⟨ψ|A|ψ⟩. C'est le résultat moyen d'un grand nombre de mesures. de grandeurs physiques dans un état d'énergie donné.
Vérifier le principe d'incertitude d'Heisenberg pour un état excité.

Données de l'étude

On considère un électron piégé dans un potentiel harmonique unidimensionnel, qui modélise une "boîte quantique". Ce potentiel est caractérisé par une pulsation \(\omega\). On se propose d'étudier les propriétés de ce système à l'aide du formalisme des opérateurs d'échelle.

Potentiel Harmonique et Niveaux d'Énergie

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de l'électron	\(m_e\)	\(9.109 \times 10^{-31}\)	\(\text{kg}\)
Constante de Planck réduite	\(\hbar\)	\(1.055 \times 10^{-34}\)	\(\text{J} \cdot \text{s}\)
Pulsation du potentiel	\(\omega\)	\(1.0 \times 10^{15}\)	\(\text{rad} \cdot \text{s}^{-1}\)

Questions à traiter

Calculer l'énergie de l'état fondamental \(E_0\) en électron-volts (eV).
En utilisant l'opérateur de création \(a^\dagger\), déterminer l'énergie \(E_1\) du premier état excité.
Calculer la valeur moyenne de la position \(\langle x \rangle\) pour le premier état excité \(|1\rangle\).
Calculer l'incertitude sur la position \(\Delta x\) pour ce même état \(|1\rangle\).

Les bases de l'Oscillateur Harmonique Quantique

Avant la correction, revoyons les outils algébriques essentiels.

1. L'Hamiltonien et les Opérateurs d'Échelle :
L'Hamiltonien de l'OHQ s'écrit \( \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2 \). On définit les opérateurs d'échelle : \[ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right) \quad ; \quad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right) \]

2. L'Hamiltonien "algébrique" :
En inversant les relations précédentes, on peut exprimer \(\hat{x}\) et \(\hat{p}\) en fonction de \(\hat{a}\) et \(\hat{a}^\dagger\). En substituant dans \(\hat{H}\) et en utilisant la relation de commutation \( [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \), on obtient une forme remarquablement simple pour l'Hamiltonien : \[ \hat{H} = \hbar\omega \left(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\right) \]

3. Action des Opérateurs sur les États d'Énergie :
Les états propres \(|n\rangle\) de \(\hat{H}\) (avec \(n=0, 1, 2, ...\)) sont aussi les états propres de l'opérateur "nombre" \(\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}\). L'action des opérateurs d'échelle est simple : \[ \hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle \quad ; \quad \hat{a} |n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle \] Cela implique que les niveaux d'énergie sont équidistants : \( E_n = \hbar\omega(n + 1/2) \).

Correction : Oscillateur Harmonique Quantique et Opérateurs d'Échelle

Question 1 : Calculer l'énergie de l'état fondamental E₀

Principe (le concept physique)

L'état fondamental est l'état de plus basse énergie possible pour le système. Contrairement à un oscillateur classique qui peut avoir une énergie nulle (au repos au fond du puits), le principe d'incertitude d'Heisenberg impose que la particule quantique ait une énergie minimale non-nulle, appelée "énergie du point zéro". Cette énergie correspond au niveau quantique \(n=0\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'état fondamental \(|0\rangle\) est défini comme l'état qui est "détruit" par l'opérateur d'annihilation : \(\hat{a}|0\rangle = 0\). Si on applique l'Hamiltonien à cet état, on trouve \( \hat{H}|0\rangle = \hbar\omega(\hat{a}^\dagger\hat{a} + 1/2)|0\rangle = \hbar\omega(0 + 1/2)|0\rangle \). La valeur propre, qui est l'énergie, est donc \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le concept d'énergie du point zéro est l'une des prédictions les plus contre-intuitives de la mécanique quantique. Il signifie qu'un système ne peut jamais être complètement au repos. Il possède toujours une énergie résiduelle due aux fluctuations quantiques inhérentes, même à la température du zéro absolu.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de l'énergie du point zéro n'est pas une "norme" au sens industriel, mais un résultat fondamental découlant des postulats de la mécanique quantique, en particulier de la relation de commutation entre la position et l'impulsion.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'énergie des états propres de l'oscillateur harmonique est quantifiée selon la formule :

E_n = \hbar\omega \left(n + \frac{1}{2}\right)

Pour l'état fondamental, \(n=0\), ce qui donne :

E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le potentiel est parfaitement harmonique (quadratique) et que le système est unidimensionnel. On néglige tout effet relativiste.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Constante de Planck réduite, \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
Pulsation, \(\omega = 1.0 \times 10^{15} \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1}\)
Conversion d'énergie, \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs en physique atomique, il est souvent utile de mémoriser la valeur de \(\hbar\) en eV·s : \(\hbar \approx 6.582 \times 10^{-16} \, \text{eV} \cdot \text{s}\). Le calcul devient alors direct en eV : \(E_0 = 0.5 \times (6.582 \times 10^{-16}) \times (1.0 \times 10^{15}) \approx 0.329 \, \text{eV}\).

Schéma (Avant les calculs)

Calcul de l'Énergie du Vide

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'énergie en Joules (J) :

\begin{aligned} E_0 &= \frac{1}{2} \times (1.055 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (1.0 \times 10^{15} \, \text{s}^{-1}) \\ &= 5.275 \times 10^{-20} \, \text{J} \end{aligned}

2. Conversion en électron-volts (eV) :

\begin{aligned} E_0 (\text{eV}) &= \frac{5.275 \times 10^{-20} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 0.329 \, \text{eV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Niveau d'Énergie Fondamental

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'énergie du point zéro est d'environ 0.33 eV. C'est une énergie typique pour les transitions électroniques dans les atomes et les molécules. Ce résultat confirme que même dans son état de plus basse énergie, la particule est toujours en mouvement ("fluctuations quantiques du vide"), une conséquence directe du principe d'incertitude.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier le facteur 1/2 et de penser que l'énergie la plus basse est zéro. Une autre erreur est de confondre la pulsation \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz), liées par \(\omega = 2\pi f\). Assurez-vous d'utiliser la bonne grandeur dans la formule.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'énergie de l'OHQ est quantifiée.
L'état de plus basse énergie (\(n=0\)) a une énergie non-nulle : \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\).
Cette énergie du point zéro est une conséquence directe de la nature quantique du système.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'énergie du point zéro a des conséquences macroscopiques réelles ! Par exemple, l'hélium ne se solidifie pas à la pression atmosphérique, même au zéro absolu, car son énergie du point zéro est supérieure à l'énergie de liaison nécessaire pour former un solide.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'énergie de l'état fondamental est d'environ 0.33 eV.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pulsation était doublée (\(\omega = 2.0 \times 10^{15}\) rad/s), quelle serait la nouvelle énergie fondamentale en eV ?

Question 2 : Déterminer l'énergie du premier état excité E₁

Principe (le concept physique)

Les opérateurs d'échelle nous permettent de construire l'ensemble des états excités à partir de l'état fondamental. L'opérateur de création \(\hat{a}^\dagger\) ajoute un "quantum" d'énergie \(\hbar\omega\) au système, le faisant passer de l'état \(|n\rangle\) à l'état \(|n+1\rangle\). Pour obtenir le premier état excité, il suffit donc d'appliquer \(\hat{a}^\dagger\) une fois à l'état fondamental.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On sait que \(|1\rangle = \hat{a}^\dagger |0\rangle\). Pour trouver l'énergie \(E_1\), on applique \(\hat{H}\) à \(|1\rangle\). On utilise la relation de commutation \( [\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = \hbar\omega \hat{a}^\dagger \), qui signifie \( \hat{H}\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger\hat{H} + \hbar\omega \hat{a}^\dagger \). Ainsi : \( \hat{H}|1\rangle = \hat{H}\hat{a}^\dagger|0\rangle = (\hat{a}^\dagger\hat{H} + \hbar\omega \hat{a}^\dagger)|0\rangle = \hat{a}^\dagger(E_0|0\rangle) + \hbar\omega(\hat{a}^\dagger|0\rangle) = (E_0 + \hbar\omega)|1\rangle \). L'énergie est donc \(E_1 = E_0 + \hbar\omega\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez les niveaux d'énergie comme les barreaux d'une échelle infinie. L'opérateur \(\hat{a}^\dagger\) est comme un pied qui vous fait monter d'un barreau, ajoutant toujours la même hauteur (\(\hbar\omega\)). L'opérateur \(\hat{a}\) vous fait descendre d'un barreau. C'est de là que vient le nom "opérateurs d'échelle" (ladder operators en anglais).

Normes (la référence réglementaire)

Le spectre équidistant de l'OHQ est un résultat canonique de la mécanique quantique, enseigné dans tous les cours de base. Il sert de fondement à des modèles plus complexes comme le modèle de Debye pour la chaleur spécifique des solides.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'énergie du premier état excité (\(n=1\)) est donnée par la formule générale :

\begin{aligned} E_1 &= \hbar\omega \left(1 + \frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{3}{2}\hbar\omega \end{aligned}

On peut aussi voir que l'écart d'énergie entre deux niveaux consécutifs est constant :

\Delta E = E_{n+1} - E_n = \hbar\omega

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le formalisme des opérateurs d'échelle et leurs relations de commutation sont valides. On utilise le résultat de la question 1 pour \(E_0\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Énergie de l'état fondamental, \(E_0 \approx 0.329 \, \text{eV}\)
Quantum d'énergie, \(\hbar\omega = 2 \times E_0 \approx 0.658 \, \text{eV}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque \(E_n = (n+1/2)\hbar\omega\) et \(E_0 = (1/2)\hbar\omega\), on peut voir que \(E_1 = (3/2)\hbar\omega = 3 \times E_0\). C'est un raccourci très rapide pour trouver l'énergie du premier état excité si on connaît déjà celle de l'état fondamental.

Schéma (Avant les calculs)

Création du Premier État Excité

Calcul(s) (l'application numérique)

1. En utilisant la formule directe :

\begin{aligned} E_1 &= 3 \times E_0 \\ &= 3 \times (0.329 \, \text{eV}) \\ &\approx 0.987 \, \text{eV} \end{aligned}

2. En ajoutant un quantum d'énergie \(\hbar\omega\) à \(E_0\) :

\begin{aligned} \hbar\omega &= 2 \times E_0 \\ &\approx 0.658 \, \text{eV} \end{aligned}

\begin{aligned} E_1 &= E_0 + \hbar\omega \\ &= 0.329 \, \text{eV} + 0.658 \, \text{eV} \\ &= 0.987 \, \text{eV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Échelle des Niveaux d'Énergie

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'énergie du premier état excité est exactement trois fois celle de l'état fondamental. Le fait que les niveaux d'énergie soient équidistants est une caractéristique unique de l'oscillateur harmonique. C'est cette propriété qui le rend si utile en physique, par exemple pour modéliser les photons, où ajouter un photon à un mode du champ électromagnétique ajoute toujours la même quantité d'énergie \(\hbar\omega\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier les facteurs de normalisation \(\sqrt{n+1}\) et \(\sqrt{n}\) lors de l'application de \(\hat{a}^\dagger\) et \(\hat{a}\). Bien qu'ils n'affectent pas le calcul de l'énergie ici, ils sont cruciaux pour calculer les valeurs moyennes d'autres observables.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'opérateur \(\hat{a}^\dagger\) augmente l'énergie d'un quantum \(\hbar\omega\).
L'opérateur \(\hat{a}\) diminue l'énergie d'un quantum \(\hbar\omega\).
Les niveaux d'énergie de l'OHQ sont équidistants.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En physique des solides, les vibrations collectives des atomes dans un cristal peuvent être décrites comme des quasi-particules appelées "phonons". Chaque phonon correspond à un quantum d'énergie vibrationnelle, et le système se comporte comme une collection d'oscillateurs harmoniques quantiques.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'énergie du premier état excité est d'environ 0.987 eV.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est l'énergie du 5ème état excité (\(E_5\)) en eV ?

Question 3 : Calculer la valeur moyenne de la position ⟨x⟩

Principe (le concept physique)

La valeur moyenne d'une observable, comme la position, représente le résultat moyen que l'on obtiendrait si l'on mesurait la position d'un très grand nombre de particules se trouvant toutes dans le même état quantique (ici, l'état \(|1\rangle\)). Intuitivement, pour un potentiel symétrique comme le potentiel harmonique, la particule n'a aucune raison de se trouver en moyenne plus à droite ou plus à gauche. On s'attend donc à ce que la valeur moyenne de la position soit nulle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La valeur moyenne (ou espérance) d'un opérateur \(\hat{A}\) dans un état \(|\psi\rangle\) est \(\langle A \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle\). Si l'état \(|\psi\rangle\) et le potentiel sont symétriques par rapport à l'origine, et que l'opérateur est impair (comme \(\hat{x}\)), la valeur moyenne sera toujours nulle. C'est une conséquence directe des propriétés de parité en mécanique quantique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Utiliser les arguments de symétrie est une technique très puissante en physique. Avant de vous lancer dans un calcul complexe, demandez-vous toujours si la symétrie du problème ne vous permet pas de prédire le résultat. Ici, le potentiel \(V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2\) est pair, donc les fonctions d'onde \( \psi_n(x) \) ont une parité définie. L'intégrale de \(x|\psi_n(x)|^2\) sur tout l'espace sera donc toujours nulle.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des valeurs moyennes via la formule \(\langle A \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle\) est l'un des postulats fondamentaux de la mécanique quantique (le postulat de la mesure).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On exprime d'abord l'opérateur position \(\hat{x}\) en fonction de \(\hat{a}\) et \(\hat{a}^\dagger\) :

\hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)

La valeur moyenne de \(\hat{x}\) dans l'état \(|1\rangle\) est alors donnée par le "sandwich" quantique :

\begin{aligned} \langle x \rangle &= \langle 1 | \hat{x} | 1 \rangle \\ &= \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \langle 1 | (\hat{a} + \hat{a}^\dagger) | 1 \rangle \end{aligned}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les états propres \(|n\rangle\) forment une base orthonormée, c'est-à-dire que \(\langle n | m \rangle = \delta_{nm}\) (1 si n=m, 0 sinon).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Aucune nouvelle donnée numérique n'est nécessaire. Le calcul est purement algébrique et le résultat est indépendant des valeurs de \(\hbar\), \(m\) et \(\omega\).

Astuces(Pour aller plus vite)

Sachez que \(\hat{a}\) fait "descendre" l'état et \(\hat{a}^\dagger\) le fait "monter". Donc, dans un sandwich \(\langle n | \dots | n \rangle\), tout opérateur qui ne ramène pas à l'état \(|n\rangle\) à la fin donnera un résultat nul à cause de l'orthogonalité. Ici, \(\hat{a}|1\rangle \propto |0\rangle\) et \(\hat{a}^\dagger|1\rangle \propto |2\rangle\), donc les deux termes sont forcément nuls.

Schéma (Avant les calculs)

Symétrie de la Densité de Probabilité pour |1⟩

Calcul(s) (l'application numérique)

On décompose le calcul en deux parties :

\langle 1 | \hat{a} | 1 \rangle + \langle 1 | \hat{a}^\dagger | 1 \rangle

On utilise les règles d'action : \(\hat{a}|1\rangle = \sqrt{1}|0\rangle = |0\rangle\) et \(\hat{a}^\dagger|1\rangle = \sqrt{1+1}|2\rangle = \sqrt{2}|2\rangle\).

\langle 1 | \hat{a} | 1 \rangle = \langle 1 | 0 \rangle = 0

\langle 1 | \hat{a}^\dagger | 1 \rangle = \sqrt{2} \langle 1 | 2 \rangle = 0

Les deux termes sont nuls car les états propres \(|n\rangle\) sont orthogonaux (\(\langle n | m \rangle = \delta_{nm}\)).

\langle x \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (0 + 0) = 0

Schéma (Après les calculs)

Moyenne Nulle

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul confirme notre intuition : la valeur moyenne de la position est nulle. Cela est vrai pour n'importe quel état d'énergie \(|n\rangle\) de l'oscillateur harmonique. La fonction d'onde de ces états a une parité bien définie (paire pour n pair, impaire pour n impair), ce qui conduit à une densité de probabilité \(|\psi_n(x)|^2\) toujours paire et donc symétrique par rapport à \(x=0\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne concluez pas que la particule est immobile à \(x=0\). Sa position moyenne est zéro, mais elle fluctue constamment autour de cette position. Une valeur moyenne nulle ne signifie pas une absence de mouvement ou de présence, mais une distribution symétrique de la probabilité de présence.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La valeur moyenne de la position \(\langle x \rangle\) est nulle pour tous les états stationnaires de l'OHQ.
Ce résultat est une conséquence directe de la symétrie du potentiel.
L'orthogonalité des états propres (\(\langle n|m\rangle = 0\) si \(n \neq m\)) est un outil de calcul essentiel.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les molécules symétriques comme le CO₂, les modes de vibration symétriques ne créent pas de moment dipolaire oscillant et n'interagissent donc pas avec la lumière infrarouge. Seuls les modes de vibration asymétriques, pour lesquels \(\langle x \rangle\) oscille dans le temps, sont "actifs" en spectroscopie infrarouge.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La valeur moyenne de la position pour le premier état excité est \(\langle x \rangle = 0\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans calcul, quelle est la valeur moyenne \(\langle x \rangle\) pour l'état \(|42\rangle\) ?

Question 4 : Calculer l'incertitude sur la position Δx

Principe (le concept physique)

L'incertitude quantique \(\Delta x\) n'est pas une erreur de mesure, mais une propriété fondamentale de la particule. Elle quantifie l'étalement de la fonction d'onde. Une petite valeur de \(\Delta x\) signifie que la particule est bien localisée, tandis qu'une grande valeur signifie qu'elle est délocalisée. Pour la calculer, on a besoin de la valeur moyenne du carré de la position, \(\langle x^2 \rangle\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'incertitude d'un observable \(\hat{A}\) est l'écart-type de sa distribution de probabilité, défini par \(\Delta A = \sqrt{\langle \hat{A}^2 \rangle - \langle \hat{A} \rangle^2}\). Cette valeur est directement liée au principe d'incertitude d'Heisenberg, qui stipule que pour deux observables non-commutants comme la position et l'impulsion, le produit de leurs incertitudes est borné inférieurement : \(\Delta x \Delta p \ge \hbar/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul de \(\langle x^2 \rangle\) peut sembler intimidant, mais il se simplifie grandement avec les opérateurs d'échelle. Le terme clé est \((\hat{a} + \hat{a}^\dagger)^2\). Développez-le soigneusement et rappelez-vous que l'ordre des opérateurs compte ! \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\) n'est pas égal à \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\). C'est leur différence (le commutateur) qui est au cœur de la physique quantique.

Normes (la référence réglementaire)

Le principe d'incertitude d'Heisenberg est une loi fondamentale de la nature, pas une norme technique. Tous les calculs en mécanique quantique doivent le respecter. L'état fondamental de l'OHQ est un cas particulier qui "sature" cette incertitude, c'est-à-dire qu'il atteint le minimum possible : \(\Delta x \Delta p = \hbar/2\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'incertitude (ou écart-type) est définie par :

\Delta x = \sqrt{\langle \hat{x}^2 \rangle - \langle \hat{x} \rangle^2}

Puisque \(\langle x \rangle = 0\), cela se simplifie en \(\Delta x = \sqrt{\langle \hat{x}^2 \rangle}\). On doit donc calculer :

\langle \hat{x}^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} \langle 1 | (\hat{a} + \hat{a}^\dagger)^2 | 1 \rangle

(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)^2 = \hat{a}^2 + \hat{a}\hat{a}^\dagger + \hat{a}^\dagger\hat{a} + (\hat{a}^\dagger)^2

Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue de supposer que les états \(|n\rangle\) sont orthonormés et que les règles d'action des opérateurs d'échelle sont connues.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On réutilise les constantes fondamentales \(\hbar\) et \(m_e\), ainsi que la pulsation \(\omega\).

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour calculer \(\langle n | \hat{a}\hat{a}^\dagger | n \rangle\), utilisez la relation de commutation \( [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 \), qui implique \(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger\hat{a} + 1 = \hat{N} + 1\). Ainsi, \(\langle n | \hat{a}\hat{a}^\dagger | n \rangle = \langle n | \hat{N}+1 | n \rangle = n+1\). C'est beaucoup plus rapide que de faire agir les opérateurs un par un.

Schéma (Avant les calculs)

Largeur de la Distribution de Probabilité

Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule la valeur moyenne de chaque terme. Les termes \(\hat{a}^2\) et \((\hat{a}^\dagger)^2\) donnent zéro car ils changent le numéro quantique de 2. Il ne reste que :

\langle 1 | \hat{a}\hat{a}^\dagger | 1 \rangle + \langle 1 | \hat{a}^\dagger\hat{a} | 1 \rangle

On utilise \(\hat{a}^\dagger|1\rangle = \sqrt{2}|2\rangle\) et \(\hat{a}|1\rangle = |0\rangle\). On a aussi besoin de \(\hat{a}|2\rangle = \sqrt{2}|1\rangle\) et \(\hat{a}^\dagger|0\rangle = |1\rangle\).

\begin{aligned} \langle 1 | \hat{a}(\hat{a}^\dagger | 1 \rangle) &= \sqrt{2} \langle 1 | \hat{a} | 2 \rangle \\ &= \sqrt{2} \times \sqrt{2} \langle 1 | 1 \rangle \\ &= 2 \end{aligned}

\begin{aligned} \langle 1 | \hat{a}^\dagger(\hat{a} | 1 \rangle) &= \langle 1 | \hat{a}^\dagger | 0 \rangle \\ &= \langle 1 | 1 \rangle \\ &= 1 \end{aligned}

La somme est \(2+1=3\). On a donc :

\langle \hat{x}^2 \rangle = \frac{\hbar}{2m\omega} (3) = \frac{3\hbar}{2m\omega}

Application numérique :

\begin{aligned} \langle \hat{x}^2 \rangle &= \frac{3 \times (1.055 \times 10^{-34})}{2 \times (9.109 \times 10^{-31}) \times (1.0 \times 10^{15})} \\ &\approx 1.737 \times 10^{-20} \, \text{m}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta x &= \sqrt{1.737 \times 10^{-20} \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.318 \times 10^{-10} \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Incertitude sur la Position Calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'incertitude sur la position est d'environ \(1.32\) Ångströms, ce qui est de l'ordre de la taille d'un atome. C'est une valeur physiquement raisonnable pour un électron confiné. Ce calcul montre que même dans un état d'énergie bien défini, la position de la particule n'est pas précise mais distribuée sur une certaine largeur, qui augmente avec le niveau d'énergie \(n\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de mal développer le carré \((\hat{a} + \hat{a}^\dagger)^2\), en oubliant que les opérateurs ne commutent pas. Il faut bien garder les quatre termes \(\hat{a}^2\), \(\hat{a}\hat{a}^\dagger\), \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\) et \((\hat{a}^\dagger)^2\) avant de calculer leur valeur moyenne.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'incertitude \(\Delta x\) quantifie l'étalement spatial de la particule.
Elle se calcule via \(\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle}\) pour les états de l'OHQ.
Le calcul de \(\langle x^2 \rangle\) est simplifié par l'algèbre des opérateurs d'échelle.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En optique quantique, il est possible de créer des "états comprimés" (squeezed states) de la lumière. Ce sont des états où l'incertitude sur une observable (par exemple l'amplitude du champ électrique) est réduite en dessous de la limite de l'état du vide, au prix d'une augmentation de l'incertitude sur l'observable conjuguée (la phase). Ces états ont des applications potentielles dans les mesures de très haute précision, comme la détection d'ondes gravitationnelles.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'incertitude sur la position dans l'état \(|1\rangle\) est \(\Delta x \approx 1.32 \times 10^{-10}\) m.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sachant que \(\langle p^2 \rangle_1 = \frac{3\hbar m\omega}{2}\), vérifiez le principe d'incertitude en calculant le produit \(\Delta x \Delta p\) pour l'état \(|1\rangle\). Le résultat doit être un multiple de \(\hbar\).

Outil Interactif : Spectre de l'Oscillateur

Modifiez les paramètres du potentiel pour voir leur influence sur le spectre d'énergie.

Paramètres d'Entrée

Pulsation ω (x 10¹⁵ rad/s) 1.0 x 10¹⁵ rad/s

Masse de la particule (x 10⁻³¹ kg) 9.11 x 10⁻³¹ kg

Résultats Clés

Énergie du vide E₀ (eV) -

Écart d'énergie ΔE (eV) -

Incertitude Δx (état |0⟩) (pm) -

Le Saviez-Vous ?

La méthode des opérateurs d'échelle a été introduite par Paul Dirac, l'un des pères fondateurs de la mécanique quantique. Cette approche algébrique s'est avérée si fondamentale qu'elle est devenue le langage standard pour la seconde quantification et la théorie quantique des champs, où les particules elles-mêmes sont vues comme des excitations (créées par des opérateurs de création) d'un champ fondamental.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi les opérateurs \(a\) et \(a^\dagger\) ne sont-ils pas des observables ?

Une observable physique doit correspondre à un opérateur hermitien (ou auto-adjoint), ce qui garantit que ses valeurs propres (les résultats de mesure possibles) sont des nombres réels. Or, \(\hat{a}^\dagger\) n'est pas égal à \(\hat{a}\) ; ils sont adjoints l'un de l'autre. Ils ne représentent donc pas directement une quantité mesurable, mais sont des outils de calcul pour construire les états et calculer les propriétés des vraies observables comme \(\hat{x}\) et \(\hat{p}\).

Que se passe-t-il si on applique l'opérateur d'annihilation à l'état fondamental ?

Par définition, l'opérateur d'annihilation \(\hat{a}\) appliqué à l'état de plus basse énergie \(|0\rangle\) donne zéro : \(\hat{a}|0\rangle = 0\). Physiquement, cela signifie qu'il est impossible de descendre plus bas dans l'échelle d'énergie ; il n'y a pas d'état en dessous de l'état fondamental. C'est cette condition qui fixe l'énergie du point zéro.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'énergie du niveau quantique \(n=4\) est :

\(4 \hbar\omega\)
\( (4 + 1/2) \hbar\omega \)
\( (4 - 1/2) \hbar\omega \)

2. L'opérateur \(\hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger |n\rangle\) est proportionnel à l'état :

\(|n\rangle\)
\(|n-2\rangle\)
\(|n+2\rangle\)

Hamiltonien (\(\hat{H}\)): Opérateur correspondant à l'énergie totale d'un système quantique. Ses valeurs propres sont les niveaux d'énergie quantifiés du système.
Opérateurs d'Échelle (\(\hat{a}, \hat{a}^\dagger\)): Opérateurs d'annihilation (\(\hat{a}\)) et de création (\(\hat{a}^\dagger\)) qui permettent de naviguer entre les états d'énergie de l'oscillateur harmonique.
État Fondamental (\(|0\rangle\)): L'état quantique de plus basse énergie possible pour un système. Pour l'OHQ, son énergie est \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\).