Oscillations de Rabi dans un système à deux niveaux

Contexte : Le dialogue entre la lumière et la matière, fondement des technologies quantiques.

L'interaction d'un atome avec un champ électromagnétique, comme la lumière d'un laser, est l'un des processus les plus fondamentaux de la physique quantique. Lorsqu'un atome modélisé comme un système à deux niveauxSimplification d'un système quantique (comme un atome) où seuls deux états d'énergie sont considérés comme pertinents pour l'interaction. est illuminé par une lumière dont la fréquence est proche de sa fréquence de transitionFréquence d'un photon qui correspond exactement à la différence d'énergie entre deux niveaux, permettant une absorption ou une émission., il n'est pas simplement "excité" de manière statique. Au contraire, la probabilité de trouver l'atome dans son état excité oscille dans le temps. Ce phénomène, appelé Oscillations de RabiOscillation périodique de la population entre deux niveaux d'énergie d'un système quantique sous l'influence d'un champ oscillant résonnant., décrit le transfert cohérent de population entre deux états quantiques. Il est absolument central pour le fonctionnement des horloges atomiques, la manipulation des qubits dans les ordinateurs quantiques et de nombreuses techniques de spectroscopie de précision.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la théorie des perturbations dépendant du temps. Nous allons modéliser l'interaction atome-lumière, puis utiliser une approximation clé (l'approximation de l'onde tournante) pour résoudre l'équation de Schrödinger et obtenir une solution analytique. Le résultat est une formule élégante qui prédit comment contrôler l'état d'un système quantique simplement en contrôlant la durée et l'intensité d'une impulsion lumineuse.

Objectifs Pédagogiques

Construire le Hamiltonien d'un système à deux niveaux interagissant avec un champ oscillant.
Appliquer l'approximation de l'onde tournante (RWA) pour simplifier le problème.
Définir et calculer la fréquence de Rabi, qui gouverne la vitesse des oscillations.
Résoudre l'équation de Schrödinger pour trouver l'évolution temporelle des probabilités d'occupation des états.
Comprendre le concept de "désaccord" (detuning) et son influence sur les oscillations.
Calculer la durée d'une impulsion \(\pi\), une opération de base en informatique quantique.

Données de l'étude

On considère un atome modélisé comme un système à deux niveaux : un état fondamental \(|g\rangle\) d'énergie \(E_g = -\frac{\hbar\omega_0}{2}\) et un état excité \(|e\rangle\) d'énergie \(E_e = +\frac{\hbar\omega_0}{2}\). Cet atome interagit avec un champ électrique classique oscillant, \(\vec{E}(t) = E_0 \cos(\omega t) \vec{u}_z\), polarisé selon l'axe z. À l'instant \(t=0\), l'atome est dans son état fondamental \(|g\rangle\).

Interaction d'un atome à deux niveaux avec un champ oscillant

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence de transition atomique	\(f_0 = \omega_0 / 2\pi\)	10	\(\text{GHz}\)
Élément de matrice dipolaire	\(d = \langle e \| \hat{d}_z \| g \rangle\)	\(1.6 \times 10^{-29}\)	\(\text{C} \cdot \text{m}\)
Amplitude du champ électrique	\(E_0\)	5000	\(\text{V/m}\)
Fréquence du champ (laser)	\(f = \omega / 2\pi\)	10	\(\text{GHz}\)

Questions à traiter

Écrire le Hamiltonien du système \(\hat{H}\) dans la base \((|g\rangle, |e\rangle)\). Utiliser l'approximation de l'onde tournante (RWA) pour le simplifier.
Calculer la fréquence de Rabi \(\Omega_R\).
Le système étant initialement dans l'état \(|g\rangle\), calculer la probabilité \(P_e(t)\) de le trouver dans l'état excité \(|e\rangle\) à un instant \(t\).
Calculer la durée \(t_\pi\) d'une "impulsion \(\pi\)", c'est-à-dire le temps nécessaire pour transférer complètement la population de l'état \(|g\rangle\) à l'état \(|e\rangle\).

Les bases de l'interaction lumière-atome

Avant la correction, revoyons les outils essentiels pour décrire ce système.

1. Le Hamiltonien d'interaction dipolaire :
L'énergie d'interaction d'un dipôle électrique \(\vec{d}\) avec un champ électrique \(\vec{E}\) est \(V = -\vec{d} \cdot \vec{E}\). Pour un atome, le moment dipolaire est un opérateur \(\hat{\vec{d}}\). L'Hamiltonien d'interaction est donc \(\hat{V}(t) = -\hat{\vec{d}} \cdot \vec{E}(t)\). Cet opérateur a des éléments de matrice non-diagonaux (\(\langle e | \hat{d} | g \rangle \neq 0\)), ce qui signifie qu'il peut induire des transitions entre les états.

2. L'Approximation de l'Onde Tournante (RWA) :
Le terme d'interaction \(\cos(\omega t) = (e^{i\omega t} + e^{-i\omega t})/2\) contient des termes qui oscillent rapidement (\(e^{\pm i(\omega_0+\omega)t}\)) et des termes qui oscillent lentement (\(e^{\pm i(\omega_0-\omega)t}\)). Quand \(\omega \approx \omega_0\), les termes rapides ont une moyenne nulle sur une période d'oscillation et peuvent être négligés. C'est la RWA. Elle permet de transformer un Hamiltonien dépendant du temps en un Hamiltonien constant, beaucoup plus simple à résoudre.

3. La Fréquence de Rabi :
Dans le cadre de la RWA, la force du couplage entre l'atome et la lumière est caractérisée par une fréquence, la fréquence de Rabi \(\Omega_R\). Elle est proportionnelle à l'amplitude du champ électrique \(E_0\) et à l'élément de matrice dipolaire \(d\). C'est la fréquence à laquelle la population oscille entre les deux niveaux lorsque le laser est parfaitement à la résonance.

Correction : Oscillations de Rabi dans un système à deux niveaux

Question 1 : Écrire l'opérateur Hamiltonien (RWA)

Principe (le concept physique)

L'Hamiltonien total est la somme de l'énergie de l'atome seul (\(\hat{H}_0\)) et de l'énergie d'interaction avec le champ électrique (\(\hat{V}(t)\)). L'interaction couple les deux niveaux, permettant des transitions. L'approximation de l'onde tournante (RWA) est une simplification physique cruciale qui consiste à ne garder que les termes d'interaction qui contribuent de manière significative à la dynamique, c'est-à-dire ceux qui sont proches de la résonance.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'opérateur dipolaire \(\hat{d}_z\) n'a que des éléments de matrice non-diagonaux dans la base \((|g\rangle, |e\rangle)\) par symétrie. On pose \(\langle e | \hat{d}_z | g \rangle = d\). L'interaction est donc \(\hat{V}(t) = -d E_0 \cos(\omega t) (|g\rangle\langle e| + |e\rangle\langle g|)\). En passant à la représentation matricielle et en appliquant la RWA, on ne garde que les termes qui oscillent lentement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La RWA est l'une des approximations les plus importantes de l'optique quantique. Pensez à deux pendules couplés : si vous les excitez à une fréquence très différente de leur fréquence propre, ils ne bougeront presque pas. Si vous les excitez à une fréquence proche de la résonance, l'énergie est transférée efficacement. La RWA consiste à ignorer les excitations non-résonnantes.

Normes (la référence réglementaire)

Le formalisme utilisé ici est celui de la théorie des perturbations dépendant du temps, un pilier de la mécanique quantique. L'approximation dipolaire électrique, qui mène à \(\hat{V} = -\hat{\vec{d}} \cdot \vec{E}\), est la première étape standard de la modélisation de l'interaction lumière-matière pour des longueurs d'onde bien plus grandes que la taille de l'atome.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le Hamiltonien complet est : \(\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V}(t)\). Sous la RWA, il devient :

\hat{H}_{\text{RWA}} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} -\omega_0 & 0 \\ 0 & \omega_0 \end{pmatrix} - \frac{d E_0}{2} \begin{pmatrix} 0 & e^{-i\omega t} \\ e^{i\omega t} & 0 \end{pmatrix}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise l'approximation à deux niveaux (on ignore tous les autres niveaux d'énergie de l'atome), l'approximation dipolaire électrique, et l'approximation de l'onde tournante (valide pour \(\omega \approx \omega_0\) et un couplage pas trop fort).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Base : \((|g\rangle, |e\rangle)\)
Hamiltonien non perturbé : \(\hat{H}_0 = \frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z\)
Interaction : \(\hat{V}(t) = -d E_0 \cos(\omega t) \sigma_x\)

Astuces(Pour aller plus vite)

La RWA revient à remplacer \(\cos(\omega t)\) par \(\frac{1}{2}e^{-i\omega t}\) pour le terme qui couple \(|g\rangle \rightarrow |e\rangle\) (absorption) et par \(\frac{1}{2}e^{i\omega t}\) pour le terme qui couple \(|e\rangle \rightarrow |g\rangle\) (émission stimulée).

Schéma (Avant les calculs)

Hamiltonien Complet

Calcul(s) (l'application numérique)

On part de \(\hat{H} = \hat{H}_0 - d E_0 \cos(\omega t) \sigma_x\). On remplace \(\cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}\).

\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z - \frac{d E_0}{2}(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t})\sigma_x

Dans la base \((|g\rangle, |e\rangle)\), \(\sigma_z = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). La RWA consiste à ne garder que les termes qui couplent \(|g\rangle\) à \(|e\rangle\) avec un facteur \(e^{-i\omega t}\) et \(|e\rangle\) à \(|g\rangle\) avec \(e^{i\omega t}\).

\hat{H}_{\text{RWA}} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} -\omega_0 & 0 \\ 0 & \omega_0 \end{pmatrix} - \frac{d E_0}{2} \begin{pmatrix} 0 & e^{-i\omega t} \\ e^{i\omega t} & 0 \end{pmatrix}

Schéma (Après les calculs)

Hamiltonien RWA

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'Hamiltonien est encore dépendant du temps à cause des termes en \(e^{\pm i\omega t}\). Cependant, cette dépendance peut être éliminée en passant dans un référentiel tournant à la fréquence \(\omega\), ce qui rend le problème soluble analytiquement. La RWA a été l'étape clé pour rendre cette transformation possible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal appliquer la RWA ou de se tromper dans les signes des exponentielles. Rappelez-vous : l'absorption d'un photon d'énergie \(\hbar\omega\) fait passer de \(|g\rangle\) à \(|e\rangle\), donc la phase du champ doit être négative (\(e^{-i\omega t}\)) pour compenser l'évolution de phase de l'atome.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le Hamiltonien total est la somme de l'énergie de l'atome et de l'interaction.
L'interaction dipolaire couple les états fondamental et excité.
La RWA simplifie l'interaction en ne gardant que les termes résonnants.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les termes "contre-tournants" négligés dans la RWA ne sont pas totalement sans effet. Ils sont responsables d'un léger déplacement des niveaux d'énergie appelé le "Bloch-Siegert shift". Ce déplacement est généralement très faible et n'est significatif que pour des champs très intenses.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Dans la base \((|g\rangle, |e\rangle)\) et sous la RWA, l'Hamiltonien est : \(\hat{H}_{\text{RWA}} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} -\omega_0 & -\Omega_R e^{-i\omega t} \\ -\Omega_R e^{i\omega t} & \omega_0 \end{pmatrix}\) où \(\Omega_R = dE_0/\hbar\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le champ était polarisé selon x, quel opérateur de Pauli remplacerait \(\sigma_x\) dans le terme d'interaction ?

Question 2 : Calculer la fréquence de Rabi

Principe (le concept physique)

La fréquence de Rabi, \(\Omega_R\), quantifie la force du couplage entre l'atome et le champ lumineux. C'est une fréquence angulaire qui correspond à la vitesse à laquelle la population de l'atome est transférée de l'état fondamental à l'état excité (et vice-versa) lorsque le champ est parfaitement résonnant. Une fréquence de Rabi élevée signifie un couplage fort et des oscillations rapides.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fréquence de Rabi apparaît naturellement comme l'élément de matrice non-diagonal du Hamiltonien d'interaction divisé par \(\hbar\). Elle représente l'énergie de couplage exprimée en unités de fréquence. Son expression formelle est \(\Omega_R = \vec{d}_{eg} \cdot \vec{E}_0 / \hbar\), où \(\vec{d}_{eg}\) est le vecteur de l'élément de matrice dipolaire et \(\vec{E}_0\) est le vecteur d'amplitude du champ électrique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la fréquence de Rabi comme au "bouton de volume" de l'interaction. En changeant l'intensité du laser (\(E_0\)), un expérimentateur peut directement contrôler la vitesse à laquelle il manipule l'état de l'atome. C'est un outil de contrôle fondamental en physique atomique.

Normes (la référence réglementaire)

Les éléments de matrice dipolaire, comme \(d\), sont calculés à partir des fonctions d'onde des états atomiques, qui sont des solutions de l'équation de Schrödinger pour l'atome. Pour des atomes simples comme l'hydrogène, ces valeurs sont calculables précisément. Pour des atomes plus complexes, elles sont souvent mesurées expérimentalement ou calculées avec des méthodes numériques avancées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La fréquence de Rabi (angulaire) est définie comme :

\Omega_R = \frac{d E_0}{\hbar}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Ce calcul suppose que le champ électrique est uniforme sur la taille de l'atome et que la polarisation du champ est parfaitement alignée avec le moment dipolaire de la transition, ce qui maximise le couplage.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Élément de matrice dipolaire, \(d = 1.6 \times 10^{-29} \, \text{C} \cdot \text{m}\)
Amplitude du champ, \(E_0 = 5000 \, \text{V/m}\)
Constante de Planck réduite, \(\hbar = 1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez toujours les unités. Un Joule est un Coulomb fois un Volt (\(\text{J} = \text{C} \cdot \text{V}\)). Donc, \([\Omega_R] = \frac{[\text{C} \cdot \text{m}] \cdot [\text{V/m}]}{[\text{J} \cdot \text{s}]} = \frac{[\text{C} \cdot \text{V}]}{[\text{C} \cdot \text{V} \cdot \text{s}]} = \text{s}^{-1}\), ce qui est bien une fréquence angulaire (rad/s).

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres de l'Interaction

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule.

\begin{aligned} \Omega_R &= \frac{(1.6 \times 10^{-29} \, \text{C} \cdot \text{m}) \cdot (5000 \, \text{V/m})}{1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}} \\ &= \frac{8.0 \times 10^{-26} \, \text{J}}{1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}} \\ &\approx 7.59 \times 10^8 \, \text{rad/s} \end{aligned}

On peut aussi l'exprimer en fréquence : \(f_R = \Omega_R / 2\pi \approx 121 \, \text{MHz}\).

Schéma (Après les calculs)

Fréquence de Rabi Calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fréquence de Rabi de 121 MHz est beaucoup plus petite que la fréquence de transition de l'atome (10 GHz). La condition de la RWA, \(\Omega_R \ll \omega_0\), est donc largement satisfaite (\(0.121 \ll 10\)). Cela valide notre approximation. Cette fréquence nous dit que la population oscillera entre les deux états environ 121 millions de fois par seconde.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier \(\hbar\) dans la formule. L'énergie de couplage est \(d E_0\), mais la fréquence associée est cette énergie divisée par \(\hbar\). C'est une erreur fréquente d'omettre la constante de Planck.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La fréquence de Rabi \(\Omega_R\) mesure la force du couplage lumière-atome.
Elle est proportionnelle à l'amplitude du champ \(E_0\) et au moment dipolaire \(d\).
Elle fixe la vitesse des oscillations de population à la résonance.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les cavités optiques, on peut atteindre un régime de "couplage fort" où la fréquence de Rabi devient comparable à d'autres taux de dissipation (comme la durée de vie de l'état excité). Dans ce régime, l'atome et la lumière ne sont plus des entités séparées mais forment de nouvelles quasi-particules appelées "polaritons".

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La fréquence de Rabi est \(\Omega_R \approx 7.59 \times 10^8\) rad/s.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on doublait l'amplitude du champ \(E_0\), que deviendrait la fréquence de Rabi \(f_R\) en MHz ?

Question 3 : Calculer la probabilité d'excitation \(P_e(t)\)

Principe (le concept physique)

Le système part de l'état fondamental. L'interaction avec le champ lumineux va induire une transition vers l'état excité. Comme l'interaction est cohérente, le système ne reste pas dans l'état excité mais est ramené vers l'état fondamental par émission stimulée. Il en résulte une oscillation de la probabilité de trouver l'atome dans l'un ou l'autre état. Notre but est de calculer cette probabilité en fonction du temps.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La solution générale pour la probabilité d'excitation d'un système à deux niveaux, initialement dans l'état fondamental, est donnée par la formule de Rabi :

P_e(t) = \frac{\Omega_R^2}{\Omega_R^2 + \delta^2} \sin^2\left(\frac{\sqrt{\Omega_R^2 + \delta^2}}{2}t\right)

Où \(\delta = \omega - \omega_0\) est le "désaccord" (detuning) entre la fréquence du laser et la fréquence de l'atome. La fréquence généralisée des oscillations est \(\Omega' = \sqrt{\Omega_R^2 + \delta^2}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette formule est l'un des résultats les plus importants de la physique atomique. Elle montre deux choses : 1) La population oscille, elle ne se stabilise pas. 2) L'amplitude de l'oscillation est maximale lorsque le désaccord est nul (\(\delta=0\)). Si le laser n'est pas à la bonne fréquence, on n'arrivera jamais à transférer 100% de la population vers l'état excité.

Normes (la référence réglementaire)

Cette solution est obtenue en résolvant le système d'équations différentielles couplées pour les amplitudes de probabilité \(c_g(t)\) et \(c_e(t)\), qui découle de l'équation de Schrödinger \(i\hbar \frac{d}{dt}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Dans notre cas, le champ est à la résonance, donc le désaccord \(\delta = \omega - \omega_0 = 0\). La formule de Rabi se simplifie considérablement :

P_e(t) = \sin^2\left(\frac{\Omega_R t}{2}\right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

On est à la résonance parfaite (\(\delta=0\)). On néglige tout phénomène de décohérence, comme l'émission spontanée, qui amortirait ces oscillations dans un système réel.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Fréquence de Rabi, \(\Omega_R = 7.59 \times 10^8 \, \text{rad/s}\) (de la question 2)
Condition initiale : \(P_e(0) = 0\)

Astuces(Pour aller plus vite)

L'identité trigonométrique \(\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}\) est très utile ici. Elle montre que la probabilité \(P_e(t)\) oscille en fait à la fréquence \(\Omega_R\), et non \(\Omega_R/2\), autour de la valeur moyenne de 1/2.

Schéma (Avant les calculs)

Transfert de Population

Calcul(s) (l'application numérique)

On insère simplement la valeur de \(\Omega_R\) dans la formule simplifiée.

\begin{aligned} P_e(t) &= \sin^2\left(\frac{(7.59 \times 10^8 \, \text{rad/s}) \cdot t}{2}\right) \\ &= \sin^2(3.795 \times 10^8 \cdot t) \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Oscillation de la Probabilité

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat montre que la probabilité d'excitation n'augmente pas de façon monotone, mais oscille entre 0 et 1. En contrôlant précisément la durée de l'interaction (la durée de l'impulsion laser), on peut décider de l'état final de l'atome. On peut le laisser dans l'état fondamental, le mettre dans l'état excité, ou même le préparer dans n'importe quelle superposition des deux.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur 1/2 dans l'argument du sinus. L'état oscille à la fréquence \(\Omega_R/2\), mais la probabilité, qui est le carré du module, oscille à la fréquence \(\Omega_R\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

À la résonance, la probabilité d'excitation oscille entre 0 et 1.
La formule est \(P_e(t) = \sin^2(\Omega_R t / 2)\).
Le contrôle de la durée de l'impulsion permet de contrôler l'état quantique.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les horloges atomiques les plus précises au monde sont basées sur une technique appelée "spectroscopie de Ramsey", qui est une version améliorée des oscillations de Rabi. Elle utilise deux courtes impulsions laser séparées par une longue période de temps libre, ce qui permet de mesurer la fréquence de transition de l'atome avec une précision extrême.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La probabilité de trouver l'atome dans l'état excité à l'instant t est \(P_e(t) = \sin^2(3.795 \times 10^8 \cdot t)\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la probabilité \(P_e(t)\) après un temps \(t = \pi / (2\Omega_R)\) ?

Question 4 : Calculer la durée d'une impulsion \(\pi\)

Principe (le concept physique)

Une "impulsion \(\pi\)" est une opération fondamentale en contrôle quantique. Elle correspond à une impulsion laser dont la durée est précisément ajustée pour transférer 100% de la population de l'état initial à l'autre état. Si l'atome est dans \(|g\rangle\), une impulsion \(\pi\) le met dans l'état \(|e\rangle\). C'est l'équivalent d'une porte logique "NON" pour un qubit.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Sur la sphère de Bloch (une représentation géométrique de l'état d'un qubit), l'état \(|g\rangle\) est au pôle sud et l'état \(|e\rangle\) au pôle nord. L'interaction avec le laser fait "tourner" le vecteur d'état. Une impulsion \(\pi\) est une rotation de 180 degrés (soit \(\pi\) radians) qui amène le vecteur du pôle sud au pôle nord. La durée de l'impulsion est telle que l' "angle de rotation" total, \(\Omega_R \cdot t\), soit égal à \(\pi\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le concept d' "aire d'impulsion" (\(\theta = \int \Omega_R(t) dt\)) est très puissant. Une impulsion \(\pi\) a une aire de \(\pi\). Une impulsion avec une aire de \(\pi/2\) ("impulsion \(\pi/2\)") est tout aussi importante : elle crée une superposition 50/50 des deux états, ce qui est crucial pour de nombreuses applications.

Normes (la référence réglementaire)

La capacité à réaliser des impulsions \(\pi\) et \(\pi/2\) avec une grande fidélité est l'un des critères de DiVincenzo, un ensemble de conditions nécessaires pour la construction d'un ordinateur quantique fonctionnel.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On cherche le temps \(t_\pi\) tel que \(P_e(t_\pi) = 1\). En utilisant la formule de la question 3 (à la résonance) :

\sin^2\left(\frac{\Omega_R t_\pi}{2}\right) = 1

Cela implique que l'argument du sinus doit être un multiple demi-entier de \(\pi\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On reste à la résonance (\(\delta=0\)). On cherche la première fois (\(t > 0\)) où la probabilité atteint 1.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Fréquence de Rabi, \(\Omega_R = 7.59 \times 10^8 \, \text{rad/s}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

La condition \(\sin^2(x)=1\) est plus simple que \(\sin(x)=\pm 1\). La première fois que cela se produit pour \(x>0\) est quand \(x=\pi/2\). Il suffit donc de résoudre \(\Omega_R t_\pi / 2 = \pi/2\).

Schéma (Avant les calculs)

Objectif : Inversion de Population

Calcul(s) (l'application numérique)

On résout l'équation pour trouver \(t_\pi\).

\begin{aligned} \frac{\Omega_R t_\pi}{2} &= \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow t_\pi &= \frac{\pi}{\Omega_R} \\ &= \frac{\pi}{7.59 \times 10^8 \, \text{rad/s}} \\ &\approx 4.14 \times 10^{-9} \, \text{s} \\ &= 4.14 \, \text{ns} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Durée de l'Impulsion π

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il faut une impulsion laser d'une durée de seulement 4.14 nanosecondes pour inverser complètement la population de l'atome. C'est cette rapidité qui rend les oscillations de Rabi si puissantes pour le traitement de l'information quantique. Des millions d'opérations peuvent être effectuées bien avant que les phénomènes de décohérence n'aient le temps de détruire l'état quantique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre \(t_\pi\) (inversion complète) et la période des oscillations de Rabi, qui est \(T_R = 2\pi/\Omega_R\). On a \(t_\pi = T_R/2\). C'est logique : il faut une demi-période pour aller du minimum au maximum.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Une impulsion \(\pi\) inverse la population entre les deux états.
Sa durée est \(t_\pi = \pi / \Omega_R\).
C'est une porte logique quantique fondamentale (porte NOT).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En pratique, les impulsions laser n'ont pas une amplitude constante. Elles ont une forme temporelle (par exemple, une forme gaussienne). Dans ce cas, la condition pour une impulsion \(\pi\) est que l'intégrale de la fréquence de Rabi sur la durée de l'impulsion soit égale à \(\pi\), soit \(\int \Omega_R(t) dt = \pi\).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La durée d'une impulsion \(\pi\) est d'environ 4.14 ns.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la durée d'une impulsion \(\pi/2\) en nanosecondes ?

Outil Interactif : Dynamique des Oscillations de Rabi

Modifiez l'intensité du champ et le désaccord pour voir leur influence sur les oscillations de population.

Paramètres d'Entrée

Amplitude du Champ E₀ (V/m) 5000 V/m

Désaccord f - f₀ (MHz) 0 MHz

Résultats Clés

Fréquence de Rabi f_R (MHz) -

Probabilité d'Excitation Max P_e,max -

Période d'Oscillation (ns) -

Le Saviez-Vous ?

Isidor Isaac Rabi, qui a donné son nom à ce phénomène, a reçu le prix Nobel de physique en 1944 pour sa méthode de résonance par faisceaux moléculaires. Ironiquement, la formule complète décrivant les oscillations n'a pas été dérivée par lui, mais il a été le premier à observer et à utiliser le principe de résonance pour mesurer les moments magnétiques des noyaux avec une précision sans précédent, ouvrant la voie à l'IRM et aux horloges atomiques.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si l'impulsion laser est laissée allumée dans un système réel ?

Dans un atome réel, l'état excité a une durée de vie finie et finit par se désexciter en émettant un photon (émission spontanée). Ce processus, ainsi que d'autres interactions avec l'environnement (décohérence), amortissent les oscillations de Rabi. Après un certain temps, le système atteint un état d'équilibre où les taux d'absorption et d'émission stimulée se compensent, et la population de l'état excité se stabilise à une valeur inférieure à 1/2.

Les oscillations de Rabi ne s'appliquent-elles qu'aux atomes ?

Non, ce phénomène est universel à tous les systèmes quantiques à deux niveaux (ou qubits) soumis à un pilotage externe oscillant. On observe des oscillations de Rabi dans les circuits supraconducteurs (pilotés par des micro-ondes), les spins nucléaires en RMN (pilotés par des ondes radio), les boîtes quantiques (pilotées par des lasers), etc. C'est un outil fondamental pour contrôler n'importe quel type de qubit.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour réaliser une impulsion \(\pi\) deux fois plus vite, il faut que l'amplitude du champ électrique \(E_0\) soit...

divisée par deux.
la même.
doublée.

2. Si la fréquence du laser est légèrement désaccordée de la fréquence atomique (\(\delta \neq 0\)), la probabilité maximale d'excitation sera...

toujours 100%.
inférieure à 100%.
supérieure à 100%.

Oscillations de Rabi: Oscillation périodique de la population entre deux niveaux d'énergie d'un système quantique sous l'influence d'un champ oscillant. Elle est la signature d'un couplage cohérent.
Fréquence de Rabi (\(\Omega_R\)): Fréquence angulaire des oscillations de Rabi à la résonance (\(\delta=0\)). Elle est proportionnelle à la force du couplage (amplitude du champ et moment dipolaire).
Désaccord (\(\delta\)): Différence entre la fréquence angulaire du champ oscillant (\(\omega\)) et la fréquence angulaire de transition du système à deux niveaux (\(\omega_0\)).
Approximation de l'onde tournante (RWA): Approximation mathématique utilisée lorsque \(\omega \approx \omega_0\), qui consiste à négliger les termes oscillant très rapidement dans le Hamiltonien d'interaction pour le simplifier.