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ÉTUDE DE PHYSIQUE

Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini

Particule Confinée dans une Boîte à Puits de Potentiel Infini en Physique Quantique

Particule Confinée dans une Boîte à Puits de Potentiel Infini

Comprendre la Particule dans une Boîte

Le modèle de la "particule dans une boîte" (ou puits de potentiel infini) est l'un des problèmes les plus fondamentaux et les plus simples de la mécanique quantique. Il décrit une particule (par exemple, un électron) confinée dans une région de l'espace de longueur finie, avec des barrières de potentiel infinies à ses extrémités. À l'intérieur de la boîte, le potentiel est nul. Ce modèle, bien qu'idéalisé, permet d'illustrer des concepts clés de la physique quantique tels que la quantification de l'énergie, l'existence d'un état fondamental d'énergie non nulle, et la nature ondulatoire des particules décrite par des fonctions d'onde. Il a des applications pour comprendre le comportement des électrons dans les conducteurs, les boîtes quantiques (utilisées en optoélectronique et photonique), et d'autres systèmes confinés.

Données du Problème

On considère un électron confiné dans une boîte unidimensionnelle de longueur L.

  • Longueur de la boîte (L) : 0.50nm
  • Masse de l'électron (me) : 9.109×10−31kg

Constantes utiles :

  • Constante de Planck (h) : 6.626×10−34J⋅s
  • Constante de Planck réduite (ℏ=h/2π) : 1.05457×10−34J⋅s
  • Conversion d'énergie : 1eV=1.602×10−19J

Le potentiel V(x) est défini comme : V(x)=0 pour 0<x<L, et V(x)=∞ pour x≤0 et x≥L.

Schéma : Puits de Potentiel Infini et Niveaux d'Énergie
x V(x) ∞ ∞ 0 L E₁ ψ₁ E₂ ψ₂ E₃ ψ₃

Puits de potentiel infini unidimensionnel avec les premiers niveaux d'énergie et fonctions d'onde.

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour la particule à l'intérieur de la boîte (0<x<L).
  2. Quelles sont les conditions aux limites pour la fonction d'onde ψ(x) aux bords de la boîte (en x=0 et x=L) ? Justifiez.
  3. En appliquant les conditions aux limites, dériver l'expression des fonctions d'onde normalisées ψn(x) pour la particule dans la boîte.
  4. Dériver l'expression des niveaux d'énergie quantifiés (En) pour la particule dans la boîte.
  5. Calculer l'énergie de l'état fondamental (n=1) de l'électron dans la boîte de longueur L=0.50nm. Exprimer le résultat en Joules (J) puis en électronvolts (eV).
  6. Calculer l'énergie des deux premiers états excités (n=2 et n=3) en eV.
  7. Calculer la longueur d'onde (λphoton) d'un photon émis lorsque l'électron effectue une transition du niveau n=3 au niveau n=2. Dans quelle partie du spectre électromagnétique se situe cette longueur d'onde ?

Correction : Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini

Question 1 : Équation de Schrödinger indépendante du temps

Principe :

L'équation de Schrödinger indépendante du temps décrit les états stationnaires d'une particule quantique.

Formule :
−ℏ22md2ψ(x)dx2+V(x)ψ(x)=Eψ(x)

À l'intérieur de la boîte (0<x<L), le potentiel V(x)=0. L'équation se simplifie donc en :

−ℏ22md2ψ(x)dx2=Eψ(x)

Ou, réarrangée :

d2ψ(x)dx2+2mEℏ2ψ(x)=0
Résultat Question 1 : À l'intérieur de la boîte, l'équation de Schrödinger est −ℏ22md2ψ(x)dx2=Eψ(x).

Question 2 : Conditions aux limites pour ψ(x)

Principe :

La fonction d'onde ψ(x) doit être continue. Puisque le potentiel est infini à l'extérieur de la boîte (x≤0 et x≥L), la probabilité de trouver la particule à l'extérieur est nulle, donc ψ(x)=0 à l'extérieur. Par continuité, la fonction d'onde doit aussi être nulle aux bords de la boîte.

Conditions :
  • ψ(0)=0
  • ψ(L)=0
Résultat Question 2 : Les conditions aux limites sont ψ(0)=0 et ψ(L)=0.

Question 3 : Fonctions d'onde normalisées ψn(x)

Principe :

L'équation différentielle d2ψ(x)dx2+k2ψ(x)=0 (avec k2=2mEℏ2) a pour solution générale ψ(x)=Asin⁡(kx)+Bcos⁡(kx).

Dérivation :

Application de ψ(0)=0 :

Asin⁡(0)+Bcos⁡(0)=0⇒A⋅0+B⋅1=0⇒B=0

Donc, ψ(x)=Asin⁡(kx).

Application de ψ(L)=0 :

Asin⁡(kL)=0

Puisque A≠0 (sinon ψ(x)=0 partout, ce qui n'est pas physique), on doit avoir sin⁡(kL)=0. Cela implique que kL=nπ, où n est un entier positif (n=1,2,3,…). (n=0 donnerait ψ(x)=0, et les n négatifs ne donnent pas de solutions physiquement distinctes).

Donc, k=nπL, et ψn(x)=Asin⁡(nπxL).

Condition de normalisation : ∫0L|ψn(x)|2dx=1

∫0LA2sin2⁡(nπxL)dx=1
A2∫0L1−cos⁡(2nπxL)2dx=1
A2[x2−L4nπsin⁡(2nπxL)]0L=1
A2(L2−0−(0−0))=1⇒A2L2=1⇒A=2L

Les fonctions d'onde normalisées sont donc :

ψn(x)=2Lsin⁡(nπxL)pour n=1,2,3,…
Résultat Question 3 : ψn(x)=2Lsin⁡(nπxL) pour n=1,2,3,….

Question 4 : Niveaux d'énergie quantifiés (En)

Principe :

De la relation k=nπL et k2=2mEℏ2, on peut déduire l'expression de l'énergie En.

Dérivation :
(nπL)2=2mEnℏ2⇒n2π2L2=2mEnℏ2
En=n2π2ℏ22mL2

En utilisant ℏ=h/2π, on a ℏ2=h2/(4π2) :

En=n2π2(h2/4π2)2mL2=n2h28mL2
Résultat Question 4 : Les niveaux d'énergie quantifiés sont En=n2h28mL2 pour n=1,2,3,….

Question 5 : Énergie de l'état fondamental (n=1)

Principe :

On applique la formule de En avec n=1.

Données spécifiques :
  • n=1
  • h=6.626×10−34J⋅s
  • me=9.109×10−31kg
  • L=0.50nm=0.50×10−9m=5.0×10−10m
  • 1eV=1.602×10−19J
Calcul en Joules :
E1=(1)2×(6.626×10−34J⋅s)28×(9.109×10−31kg)×(5.0×10−10m)2=4.39037×10−67J2⋅s28×(9.109×10−31kg)×(2.5×10−19m2)=4.39037×10−671.8218×10−48J(car J=kg⋅m2/s2)≈2.4099×10−19J

Calcul en électronvolts :

E1(eV)≈2.4099×10−19J1.602×10−19J/eV≈1.504eV
Résultat Question 5 : L'énergie de l'état fondamental est E1≈2.41×10−19J≈1.50eV.

Question 6 : Énergies des deux premiers états excités (n=2,n=3)

Principe :

L'énergie des niveaux est En=n2E1.

Données spécifiques :
  • E1≈1.504eV
Calculs :

Pour n=2 :

E2=22×E1=4×E1≈4×1.504eV≈6.016eV

Pour n=3 :

E3=32×E1=9×E1≈9×1.504eV≈13.536eV
Résultat Question 6 : E2≈6.02eV et E3≈13.54eV.

Question 7 : Longueur d'onde du photon émis (n=3→n=2)

Principe :

Lors d'une transition d'un niveau d'énergie supérieur Ei à un niveau inférieur Ef, un photon est émis avec une énergie Ephoton=Ei−Ef. L'énergie du photon est aussi Ephoton=hc/λphoton.

Formule(s) utilisée(s) :
ΔE=E3−E2=hcλphoton⇒λphoton=hcE3−E2
Données spécifiques :
  • E3≈13.536eV
  • E2≈6.016eV
  • h=6.626×10−34J⋅s
  • c=2.998×108m/s
  • 1eV=1.602×10−19J
Calcul :

Énergie de la transition en Joules :

ΔE=E3−E2≈(13.536−6.016)eV=7.520eV≈7.520×(1.602×10−19J/eV)≈1.2047×10−18J

Longueur d'onde du photon :

λphoton≈(6.626×10−34J⋅s)×(2.998×108m/s)1.2047×10−18J≈1.9864748×10−251.2047×10−18m≈1.649×10−7m

Conversion en nanomètres : 1.649×10−7m=164.9nm.

Cette longueur d'onde se situe dans le domaine de l'ultraviolet (UV).

Résultat Question 7 : La longueur d'onde du photon émis est λphoton≈165nm, ce qui correspond au domaine ultraviolet.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour une particule dans une boîte à puits infini, l'énergie :

2. La fonction d'onde ψ(x) d'une particule dans une boîte :

3. Si la longueur L de la boîte augmente, l'énergie de l'état fondamental E1 :

4. L'énergie d'un photon émis lors d'une transition de Ei à Ef (Ei>Ef) est :

Glossaire

Particule dans une Boîte (Puits de Potentiel Infini)
Modèle quantique simple décrivant une particule confinée dans une région de l'espace par des barrières de potentiel infinies.
Équation de Schrödinger
Équation fondamentale de la mécanique quantique qui décrit comment l'état quantique d'un système physique change avec le temps (dépendante du temps) ou les états stationnaires (indépendante du temps).
Fonction d'Onde (ψ(x))
Fonction mathématique en mécanique quantique qui décrit l'état quantique d'une particule. Le carré de son module (|ψ(x)|2) représente la densité de probabilité de trouver la particule en une position x.
Conditions aux Limites
Contraintes imposées à la fonction d'onde aux frontières d'une région, basées sur la nature physique du potentiel.
Normalisation
Processus consistant à s'assurer que la probabilité totale de trouver la particule quelque part dans l'espace est égale à 1 (∫|ψ(x)|2dx=1).
Quantification de l'Énergie
Phénomène quantique selon lequel une particule confinée ne peut posséder que certaines valeurs discrètes d'énergie, appelées niveaux d'énergie.
État Fondamental
Niveau d'énergie le plus bas possible pour un système quantique (correspondant à n=1 pour la particule dans une boîte).
État Excité
Tout niveau d'énergie supérieur à l'état fondamental.
Nombre Quantique Principal (n)
Nombre entier positif (n=1,2,3,…) qui indexe les niveaux d'énergie et les fonctions d'onde quantifiés.
Photon
Quantum de rayonnement électromagnétique, porteur d'une énergie E=hν.
Transition Électronique
Passage d'un électron d'un niveau d'énergie à un autre, souvent accompagné de l'émission ou de l'absorption d'un photon.
Boîte Quantique (Quantum Dot)
Nanocristal semi-conducteur dont les excitons sont confinés dans les trois dimensions spatiales. Leurs propriétés optiques et électroniques diffèrent de celles des matériaux massifs en raison des effets de confinement quantique, similaires à ceux de la particule dans une boîte.
Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini - Exercice d'Application

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