Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini
Contexte : Le modèle fondamental de la quantification.
Le problème de la particule dans une boîte est l'un des modèles les plus simples et les plus importants en mécanique quantique. Il décrit une particule confinée dans un espace restreint par des barrières de potentiel infinies, l'empêchant de s'échapper. Bien que simple, ce modèle illustre de manière spectaculaire l'un des concepts les plus fondamentaux du monde quantique : la quantification de l'énergieEn mécanique quantique, l'énergie d'un système confiné ne peut pas prendre n'importe quelle valeur. Elle est restreinte à un ensemble de niveaux discrets, ou "quanta".. Contrairement à une bille classique qui peut avoir n'importe quelle énergie cinétique dans une boîte, une particule quantique ne peut exister qu'à des niveaux d'énergie spécifiques et discrets. Cet exercice explore le calcul de ces niveaux d'énergie et des probabilités de présence associées.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de l'équation de Schrödinger indépendante du temps. En résolvant cette équation avec les bonnes conditions aux limites (la fonction d'onde doit être nulle aux parois de la boîte), nous allons "découvrir" que seules certaines solutions (et donc certaines énergies) sont permises. C'est la première étape pour comprendre la structure des atomes, les spectres d'émission et le comportement des électrons dans les nanostructures.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre l'origine de la quantification de l'énergie.
- Calculer les niveaux d'énergie permis pour une particule dans une boîte 1D.
- Calculer l'énergie d'une transition entre deux niveaux.
- Calculer la probabilité de trouver la particule dans une région donnée de la boîte.
- Se familiariser avec la fonction d'onde et la densité de probabilité.
Données de l'étude
Puits de Potentiel Infini Unidimensionnel
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Largeur de la boîte | \(L\) | \(1 \, \text{nm} = 1 \times 10^{-9} \, \text{m}\) |
| Masse de l'électron | \(m_e\) | \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\) |
| Constante de Planck | \(h\) | \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\) |
| Charge élémentaire | \(e\) | \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'énergie \(E_1\) de l'état fondamental (n=1) de l'électron, en Joules puis en électron-volts (eV).
- Calculer l'énergie \(E_2\) du premier état excité (n=2).
- Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) du photon émis lorsque l'électron passe de l'état \(n=2\) à l'état \(n=1\).
- Calculer la probabilité de trouver l'électron dans le premier tiers de la boîte (entre \(x=0\) et \(x=L/3\)) lorsqu'il est dans l'état fondamental.
Les bases de la Particule dans la Boîte
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.
1. L'Équation de Schrödinger et la Quantification :
En résolvant l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour un potentiel nul, on trouve des solutions de la forme \(A\sin(kx) + B\cos(kx)\). Les conditions aux limites (\(\psi(0)=0\) et \(\psi(L)=0\)) forcent \(B=0\) et \(kL = n\pi\), où \(n\) est un entier positif. C'est cette contrainte sur \(k\) qui mène à la quantification de l'énergie.
2. Niveaux d'Énergie et Fonctions d'Onde :
Les niveaux d'énergie permis pour la particule sont donnés par la formule :
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2}, \quad \text{où } n = 1, 2, 3, \dots \]
À chaque niveau d'énergie \(E_n\) correspond une fonction d'onde normalisée \(\psi_n(x)\) :
\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \]
3. Densité de Probabilité :
La probabilité de trouver la particule dans un petit intervalle \(dx\) autour de la position \(x\) est donnée par \(|\psi_n(x)|^2 dx\). Pour trouver la probabilité de présence dans une région plus large (de \(a\) à \(b\)), on doit intégrer cette densité de probabilité :
\[ P(a < x < b) = \int_a^b |\psi_n(x)|^2 dx \]
Correction : Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini
Question 1 : Calculer l'énergie de l'état fondamental (E₁)
Principe (le concept physique)
L'état fondamental représente le niveau d'énergie le plus bas possible pour la particule confinée. En mécanique quantique, même à son énergie la plus basse, une particule ne peut pas être au repos complet (\(E=0\)). Elle possède une "énergie du point zéro" due au principe d'incertitude d'Heisenberg : confiner la particule dans un espace fini \(L\) implique une incertitude non nulle sur son impulsion, et donc une énergie cinétique minimale non nulle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'énergie d'une particule libre est \(E = p^2/(2m)\). En mécanique quantique, l'opérateur impulsion est \( \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} \). L'équation de Schrödinger \( \hat{H}\psi = E\psi \) devient \( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi \). La solution \(\psi_n(x)\) mène directement à la formule des énergies quantifiées, où \(n=1\) correspond à l'énergie la plus basse.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La formule \(E_n = n^2 h^2 / (8mL^2)\) est l'un des résultats les plus importants de la mécanique quantique de base. Notez bien les dépendances : l'énergie augmente comme le carré de \(n\), diminue avec la masse \(m\), et surtout, diminue très rapidement (comme \(1/L^2\)) lorsque la boîte s'agrandit. Pour une boîte macroscopique, les niveaux d'énergie sont si rapprochés qu'ils forment un continuum, nous ramenant à la physique classique.
Normes (la référence réglementaire)
Ce problème est un cas d'école standard dont la solution est universellement acceptée et enseignée. Les constantes physiques utilisées (\(h\), \(m_e\), \(e\)) sont des valeurs fondamentales définies internationalement par le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'énergie des niveaux quantifiés est donnée par :
Pour l'état fondamental, \(n=1\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la boîte est parfaitement rigide (potentiel infini aux parois) et que la particule est non-relativiste. Le potentiel est nul à l'intérieur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Nombre quantique, \(n = 1\)
- Largeur de la boîte, \(L = 1 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
- Masse de l'électron, \(m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
- Constante de Planck, \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
- Conversion, \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Faites attention aux unités. Si toutes les valeurs sont en unités du Système International (m, kg, s), le résultat sera en Joules. La conversion en électron-volts est une étape finale très courante en physique atomique et des solides, car les énergies sont souvent de cet ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Niveau d'Énergie Fondamental
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de l'énergie en Joules :
2. Conversion en électron-volts :
Schéma (Après les calculs)
Énergie de l'État Fondamental
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'énergie de l'état fondamental est d'environ 0.38 eV. C'est une énergie très faible à l'échelle macroscopique, mais significative pour un électron. Cette valeur représente l'énergie cinétique minimale que l'électron est forcé d'avoir en raison de son confinement. Il ne peut pas avoir moins d'énergie.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre au carré les constantes (\(h\)) et les variables (\(L\), \(n\)) dans la formule. Une autre erreur classique est de mal gérer les puissances de dix lors du calcul, ce qui peut changer radicalement l'ordre de grandeur du résultat.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'énergie est quantifiée et dépend de \(n^2\).
- L'état fondamental (\(n=1\)) a une énergie non nulle.
- L'énergie est inversement proportionnelle au carré de la largeur de la boîte (\(1/L^2\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les "boîtes quantiques" (quantum dots) sont des nanocristaux de semi-conducteurs qui se comportent comme des boîtes de potentiel pour les électrons. En contrôlant précisément leur taille (\(L\)), on peut accorder l'énergie des photons qu'ils émettent. Cette technologie est utilisée dans les écrans QLED pour produire des couleurs très pures et vives.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la boîte était deux fois plus large (\(L = 2 \, \text{nm}\)), quelle serait la nouvelle énergie fondamentale \(E_1\) en eV ?
Question 2 : Calculer l'énergie du premier état excité (E₂)
Principe (le concept physique)
Le premier état excité (\(n=2\)) est le premier niveau d'énergie accessible au-dessus de l'état fondamental. Une particule peut atteindre cet état en absorbant une quantité précise d'énergie, par exemple en provenance d'un photon. Cet état est moins stable que l'état fondamental, et la particule aura tendance à retomber vers \(n=1\) en émettant de l'énergie.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La dépendance de l'énergie en \(n^2\) est une caractéristique directe de la résolution de l'équation de Schrödinger pour ce potentiel. Cela signifie que les niveaux d'énergie ne sont pas équidistants : l'écart entre \(E_2\) et \(E_1\) est plus petit que l'écart entre \(E_3\) et \(E_2\), et ainsi de suite. L'espacement entre les niveaux augmente à mesure que \(n\) grandit.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une fois que vous avez calculé l'énergie de l'état fondamental \(E_1\), le calcul des autres niveaux est très rapide. Puisque \(E_n = n^2 E_1\), l'énergie du premier état excité est simplement \(E_2 = 2^2 E_1 = 4E_1\). C'est une relation très utile à mémoriser pour ce problème.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des états excités suit les mêmes principes fondamentaux que celui de l'état fondamental. Le modèle est robuste et ses prédictions sur l'espacement des niveaux d'énergie ont été vérifiées expérimentalement dans des systèmes physiques analogues comme les puits quantiques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la même formule générale, mais avec \(n=2\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses restent inchangées par rapport à la première question.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Nombre quantique, \(n = 2\)
- Énergie de l'état fondamental, \(E_1 \approx 0.376 \, \text{eV}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Utilisez la relation \(E_n = n^2 E_1\). C'est beaucoup plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul que de réintroduire toutes les constantes dans la formule de base. Multipliez simplement votre résultat de la Q1 par 4.
Schéma (Avant les calculs)
Niveaux d'Énergie E1 et E2
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Énergie du Premier État Excité
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'énergie du premier état excité est quatre fois celle de l'état fondamental. L'écart entre les niveaux (\(E_2 - E_1 \approx 1.12\) eV) est significatif. C'est cette différence d'énergie qui déterminera l'énergie du photon émis lors de la désexcitation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur courante est de penser que l'énergie est proportionnelle à \(n\) et non à \(n^2\). Ne calculez pas \(E_2 = 2E_1\). La relation quadratique est une caractéristique essentielle de ce système.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les niveaux d'énergie augmentent comme le carré du nombre quantique \(n\).
- \(E_n = n^2 E_1\).
- L'espacement entre les niveaux d'énergie successifs n'est pas constant, il augmente.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les lasers à semi-conducteurs, les électrons sont injectés dans des "puits quantiques" (des structures très similaires à notre boîte 1D) à des niveaux d'énergie élevés (états excités). En retombant à des niveaux inférieurs, ils émettent des photons de manière stimulée, créant ainsi le faisceau laser.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est l'énergie du deuxième état excité (\(n=3\)) en eV ?
Question 3 : Calculer la longueur d'onde du photon émis
Principe (le concept physique)
Lorsqu'un système quantique passe d'un état d'énergie supérieur \(E_i\) à un état d'énergie inférieur \(E_f\), il doit libérer la différence d'énergie \(\Delta E = E_i - E_f\). Dans de nombreux cas, cette énergie est libérée sous la forme d'un unique quantum de lumière : un photon. L'énergie de ce photon est directement liée à sa fréquence (\(E=hf\)) et donc à sa longueur d'onde (\(E=hc/\lambda\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette relation, découverte par Planck et Einstein, est l'une des pierres angulaires de la physique quantique. Elle relie le monde des particules (énergie \(E\)) au monde des ondes (fréquence \(f\) ou longueur d'onde \(\lambda\)). La constante de Planck \(h\) est le facteur de conversion fondamental entre ces deux descriptions. La vitesse de la lumière \(c\) relie la longueur d'onde et la fréquence par la relation \(c = \lambda f\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est ainsi que fonctionnent les spectres d'émission des atomes. Chaque "raie" colorée que l'on observe dans le spectre d'un gaz correspond à la lumière émise lors d'une transition électronique spécifique entre deux niveaux d'énergie quantifiés. En mesurant les longueurs d'onde, on peut déduire la structure des niveaux d'énergie de l'atome.
Normes (la référence réglementaire)
La relation de Planck-Einstein \(E=hf\) est une loi fondamentale de la physique. Les valeurs des constantes \(h\) et \(c\) (vitesse de la lumière dans le vide) sont fixées par définition dans le Système International d'unités.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'énergie du photon émis est la différence entre les niveaux d'énergie :
La longueur d'onde \(\lambda\) est ensuite calculée avec la relation de Planck-Einstein :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que toute l'énergie de la transition est convertie en un seul photon et qu'il n'y a pas d'autres processus de désexcitation (comme l'émission de chaleur).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Énergie de l'état initial, \(E_2 \approx 1.504 \, \text{eV}\)
- Énergie de l'état final, \(E_1 \approx 0.376 \, \text{eV}\)
- Constante de Planck, \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
- Vitesse de la lumière, \(c = 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Il existe une formule très pratique pour les calculs rapides : \(\lambda (\text{nm}) \approx \frac{1240}{\Delta E (\text{eV})}\). Si vous calculez \(\Delta E\) en électron-volts, vous obtenez directement la longueur d'onde en nanomètres. C'est une excellente approximation pour la plupart des problèmes de physique atomique.
Schéma (Avant les calculs)
Transition Quantique et Émission d'un Photon
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la différence d'énergie \(\Delta E\) en Joules :
2. Calcul de la longueur d'onde \(\lambda\) en mètres :
Schéma (Après les calculs)
Spectre Électromagnétique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La longueur d'onde calculée est de 1099 nm. Cette valeur se situe dans le proche infrarouge, ce qui signifie que la lumière émise par cette transition ne serait pas visible à l'œil nu. Cela montre comment les dimensions du confinement (\(L\)) déterminent directement la "couleur" (longueur d'onde) de la lumière émise.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes. Si vous calculez \(\Delta E\) en Joules, vous devez utiliser \(h\) en J·s et \(c\) en m/s pour obtenir \(\lambda\) en mètres. Si vous utilisez la formule approchée avec \(\Delta E\) en eV, n'oubliez pas que le résultat est directement en nanomètres.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les transitions entre niveaux d'énergie émettent ou absorbent des photons.
- L'énergie du photon est égale à la différence d'énergie : \(\Delta E = E_{\text{initial}} - E_{\text{final}}\).
- La longueur d'onde est inversement proportionnelle à l'énergie : \(\lambda = hc/\Delta E\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La spectroscopie est la science de la mesure de ces longueurs d'onde. C'est un outil incroyablement puissant utilisé dans de nombreux domaines. Les astronomes l'utilisent pour déterminer la composition chimique des étoiles lointaines, et les chimistes l'utilisent pour identifier des molécules dans un échantillon.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la longueur d'onde (en nm) du photon émis lors de la transition de \(n=3\) à \(n=1\) ?
Question 4 : Calculer la probabilité de présence dans le premier tiers
Principe (le concept physique)
La fonction d'onde \(\psi(x)\) n'est pas directement une quantité physique observable. Cependant, son module au carré, \(|\psi(x)|^2\), a une signification physique profonde : c'est la densité de probabilité de présence. Là où \(|\psi(x)|^2\) est grande, la probabilité de trouver la particule est élevée. Là où elle est nulle, la particule ne sera jamais trouvée. Pour obtenir la probabilité sur une région finie, on doit sommer (intégrer) ces probabilités infinitésimales.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'intégrale de la densité de probabilité sur tout l'espace doit être égale à 1, ce qui est la condition de normalisation pour la fonction d'onde : \(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1\). Pour la boîte, cela se réduit à \(\int_{0}^{L} |\psi_n(x)|^2 dx = 1\). Notre calcul consiste à effectuer cette même intégrale, mais sur un intervalle plus petit.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Contrairement à une particule classique qui a une probabilité uniforme d'être trouvée n'importe où dans la boîte, la particule quantique a des zones de prédilection. Pour l'état fondamental \(n=1\), la probabilité est maximale au centre de la boîte (\(L/2\)) et nulle aux parois. Pour les états excités, des "nœuds" (points de probabilité nulle) apparaissent à l'intérieur de la boîte.
Normes (la référence réglementaire)
L'interprétation de \(|\psi|^2\) comme une densité de probabilité est une partie de l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, développée par Bohr, Heisenberg et Born. C'est l'interprétation la plus largement enseignée et utilisée.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La probabilité de trouver la particule entre \(x=0\) et \(x=L/3\) pour l'état \(n=1\) est :
avec la fonction d'onde de l'état fondamental :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la particule est exactement dans l'état propre d'énergie \(E_1\) au moment où l'on cherche à la localiser.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Intervalle d'intégration : de \(x=0\) à \(x=L/3\)
- Nombre quantique : \(n=1\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour résoudre l'intégrale de \(\sin^2(u)\), utilisez l'identité trigonométrique de linéarisation : \(\sin^2(u) = \frac{1 - \cos(2u)}{2}\). Cela transforme une intégrale difficile en deux intégrales beaucoup plus simples.
Schéma (Avant les calculs)
Densité de Probabilité et Zone d'Intégration
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Probabilité
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La probabilité de trouver l'électron dans le premier tiers de la boîte est d'environ 19.6%. C'est significativement moins que la valeur classique de 33.3%. Cela est dû au fait que la densité de probabilité \(|\psi_1(x)|^2\) est plus faible près des bords et maximale au centre. La particule "préfère" être au milieu de la boîte.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à bien utiliser la densité de probabilité \(|\psi|^2\) et non la fonction d'onde \(\psi\) elle-même, qui peut être négative. N'oubliez pas le facteur de normalisation \(\sqrt{2/L}\) qui devient \(2/L\) lorsqu'il est mis au carré. Enfin, assurez-vous que votre calculatrice est en mode radians pour évaluer le sinus.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La probabilité de présence est donnée par l'intégrale de \(|\psi(x)|^2\).
- La particule quantique n'est pas uniformément répartie dans la boîte.
- L'état fondamental a une probabilité maximale de présence au centre de la boîte.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'effet tunnel, un phénomène purement quantique, permet à une particule de traverser une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière. C'est comme si une balle passait à travers un mur. Ce phénomène est impossible dans notre modèle à puits infini, mais il devient possible si les murs ont une hauteur finie. Il est exploité dans les microscopes à effet tunnel et les mémoires flash.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour l'état \(n=2\), quelle est la probabilité de trouver la particule dans la moitié gauche de la boîte (de 0 à L/2) ?
Outil Interactif : Niveaux d'Énergie et Fonctions d'Onde
Modifiez le nombre quantique \(n\) et la largeur de la boîte \(L\) pour observer leur influence sur les niveaux d'énergie et la forme des fonctions d'onde.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le modèle de la particule dans la boîte peut être utilisé comme une première approximation pour comprendre la couleur de certains colorants organiques. Ces molécules possèdent de longues chaînes d'atomes de carbone où les électrons sont "délocalisés" et peuvent se déplacer librement, comme dans une boîte. La longueur de la chaîne détermine les niveaux d'énergie et donc la couleur de la lumière que la molécule absorbe.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si le puits de potentiel n'est pas infini mais fini ?
Si le puits a une profondeur finie, la situation change. Il n'y a qu'un nombre fini de niveaux d'énergie liés (états confinés). De plus, la fonction d'onde ne s'annule plus aux parois mais décroît exponentiellement à l'extérieur, ce qui signifie qu'il y a une probabilité non nulle de trouver la particule "à l'extérieur" de la boîte. C'est la base de l'effet tunnel.
Ce modèle s'applique-t-il en 3 dimensions ?
Oui, le problème peut être généralisé à une boîte rectangulaire en 3D. L'énergie devient alors la somme des énergies pour chaque dimension et est caractérisée par trois nombres quantiques (\(n_x, n_y, n_z\)). Cela peut conduire à des "dégénérescences", où différentes combinaisons de nombres quantiques donnent la même énergie totale.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la largeur L de la boîte, l'énergie de l'état fondamental E₁ est...
2. Pour l'état excité n=2, où la probabilité de trouver la particule est-elle NULLE ?
- Quantification de l'énergie
- Principe selon lequel un système physique confiné ne peut posséder que des valeurs d'énergie discrètes et spécifiques, appelées niveaux d'énergie.
- Fonction d'onde (\(\psi\))
- Description mathématique de l'état d'un système quantique. Son module au carré \(|\psi|^2\) représente la densité de probabilité de présence de la particule.
- État fondamental
- L'état d'un système quantique correspondant au plus bas niveau d'énergie possible (\(n=1\)).
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