Particule dans un Puits de Potentiel

Contexte : Le modèle le plus simple pour comprendre la quantification.

En physique quantique, le modèle de la particule dans une boîteAussi appelé puits de potentiel carré infini, c'est un modèle où une particule est confinée dans une région de l'espace d'où elle ne peut s'échapper. C'est un des rares problèmes de mécanique quantique qui peut être résolu analytiquement. est la porte d'entrée pour comprendre les concepts les plus fondamentaux du monde microscopique. Il décrit une particule, comme un électron, confinée dans un espace clos. Bien que simple, ce modèle révèle pourquoi l'énergie des particules piégées (comme les électrons dans un atome) ne peut prendre que des valeurs discrètes : on dit qu'elle est quantifiée. Cet exercice vous guidera à travers la résolution de l'équation de Schrödinger pour ce système afin de trouver les fonctions d'onde et les niveaux d'énergie permis.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de l'équation de Schrödinger, le pilier de la mécanique quantique. Nous allons utiliser des conditions aux limites (le fait que la particule soit piégée) pour trouver des solutions physiques acceptables. C'est une démarche fondamentale qui montre comment le confinement spatial mène inévitablement à la quantification de l'énergie.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer l'équation de Schrödinger indépendante du temps à un cas simple.
Comprendre comment les conditions aux limites mènent à la quantification.
Déterminer l'expression des niveaux d'énergie quantifiés \(E_n\).
Calculer et normaliser les fonctions d'onde associées \(ψ_n(x)\).
Utiliser la fonction d'onde pour calculer une probabilité de présence.
Se familiariser avec les unités de l'infiniment petit (nm, eV).

Données de l'étude

Un électron est confiné dans un puits de potentiel carré infini unidimensionnel de largeur \(L\). Le potentiel \(V(x)\) est nul pour \(0 < x < L\) et infini partout ailleurs. On cherche à déterminer ses états stationnaires.

Schéma du puits de potentiel carré infini

Constante	Symbole	Valeur	Unité
Largeur du puits	\(L\)	1	\(\text{nm}\)
Masse de l'électron	\(m_e\)	\(9.109 \times 10^{-31}\)	\(\text{kg}\)
Constante de Planck réduite	\(\hbar\)	\(1.055 \times 10^{-34}\)	\(\text{J} \cdot \text{s}\)
Charge élémentaire	\(e\)	\(1.602 \times 10^{-19}\)	\(\text{C}\)

Questions à traiter

Déterminer la forme générale des fonctions d'onde \(\psi_n(x)\) normalisées à l'intérieur du puits.
Dériver l'expression littérale des niveaux d'énergie quantifiés \(E_n\).
Calculer numériquement l'énergie des trois premiers niveaux (\(n=1, 2, 3\)) et les exprimer en électron-volts (eV).
Calculer la probabilité de trouver l'électron dans la première moitié du puits (\(0 < x < L/2\)) lorsqu'il est dans l'état fondamental (\(n=1\)).

Les bases de la Mécanique Quantique

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.

1. L'équation de Schrödinger :
L'équation fondamentale de la mécanique quantique (dans sa forme indépendante du temps) décrit les états stationnaires d'un système. Elle s'écrit : \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \] Où \(\psi(x)\) est la fonction d'onde, \(m\) la masse, \(V(x)\) le potentiel, et \(E\) l'énergie totale de la particule.

2. La Fonction d'Onde et la Probabilité :
La fonction d'onde \(\psi(x)\) n'a pas de sens physique direct, mais son carré, \(|\psi(x)|^2\), représente la densité de probabilité de trouver la particule au point \(x\). La probabilité de trouver la particule entre \(a\) et \(b\) est donc \(\int_a^b |\psi(x)|^2 dx\). La probabilité totale de trouver la particule quelque part doit être de 1, ce qui impose la condition de normalisation : \(\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1\).

3. Les Conditions aux Limites :
Dans un puits infini, la particule ne peut pas exister là où le potentiel est infini. La probabilité de la trouver y est donc nulle. Cela impose que la fonction d'onde doit s'annuler aux frontières du puits : \[ \psi(0) = 0 \quad \text{et} \quad \psi(L) = 0 \] Ce sont ces conditions qui forceront l'énergie à être quantifiée.

Correction : Particule dans un Puits de Potentiel

Question 1 : Déterminer les fonctions d'onde normalisées

Principe (le concept physique)

À l'intérieur du puits, le potentiel \(V(x)\) est nul. L'équation de Schrödinger se simplifie et devient celle d'une particule libre. Les solutions sont des ondes (sinus et cosinus). Cependant, toutes les ondes ne sont pas permises. Nous devons appliquer les conditions aux limites (\(\psi(0)=0\) et \(\psi(L)=0\)) pour ne garder que les "ondes stationnaires" qui peuvent exister dans la "boîte". Enfin, nous devons normaliser la fonction pour que la probabilité totale de trouver la particule soit de 1.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation \(\psi'' + k^2\psi = 0\) est l'équation de l'oscillateur harmonique, l'une des plus importantes en physique. Ses solutions sont toujours des combinaisons linéaires de \(\sin(kx)\) et \(\cos(kx)\). Le fait d'imposer des conditions aux limites (valeurs de \(\psi\) à deux points distincts) transforme un problème à solutions continues en un problème à valeurs propres, où seuls certains \(k\) (et donc certaines énergies) sont permis.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une corde de guitare fixée à ses deux extrémités. Elle ne peut vibrer que selon certains modes (les harmoniques), qui correspondent à des ondes stationnaires ayant des nœuds (points immobiles) aux extrémités. C'est exactement la même chose ici : la fonction d'onde de l'électron est "fixée" à zéro aux bords du puits, et ne peut donc exister que sous forme d'harmoniques, indexées par le nombre quantique \(n\).

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de "norme" industrielle pour ce problème fondamental. Cependant, la méthode de résolution (séparation des variables, application des conditions aux limites) est une procédure standard enseignée dans tous les cours de physique quantique et de mathématiques appliquées, formalisée par la théorie de Sturm-Liouville.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Équation de Schrödinger dans le puits (\(V=0\)):

\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + k^2\psi(x) = 0 \quad \text{avec} \quad k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}

2. Solution générale de cette équation différentielle :

\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)

3. Condition de normalisation :

\int_0^L |\psi(x)|^2 dx = 1

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le puits est parfaitement unidimensionnel, que les murs sont infiniment hauts (la particule ne peut absolument pas sortir) et que le potentiel est nul à l'intérieur. On étudie les états stationnaires, c'est-à-dire que l'énergie du système est constante dans le temps.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour cette question, seules les conditions aux limites sont nécessaires : \(\psi(0)=0\) et \(\psi(L)=0\).

Astuces(Pour aller plus vite)

En voyant la condition \(\psi(0)=0\), on peut immédiatement éliminer le terme en cosinus de la solution générale, car \(\cos(0)=1\). Cela simplifie grandement la suite du calcul. La condition en \(x=L\) fixe ensuite les valeurs possibles de \(k\).

Schéma (Avant les calculs)

Solutions générales et conditions aux limites

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Appliquer \(\psi(0)=0\) :

\begin{aligned} \psi(0) &= A\sin(0) + B\cos(0) = 0 \\ A \cdot 0 + B \cdot 1 &= 0 \Rightarrow B=0 \end{aligned}

La fonction devient donc \(\psi(x) = A\sin(kx)\).

2. Appliquer \(\psi(L)=0\) :

\psi(L) = A\sin(kL) = 0

Cela implique \(kL = n\pi\), où \(n\) est un entier non nul (\(n=1, 2, 3, \dots\)). On a donc \(k = \frac{n\pi}{L}\).

\psi_n(x) = A\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)

3. Appliquer la normalisation pour trouver A :

\int_0^L A^2 \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = 1

\begin{aligned} A^2 \frac{L}{2} &= 1 \\ \Rightarrow A &= \sqrt{\frac{2}{L}} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Premières fonctions d'onde solutions

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons trouvé une famille de solutions, indexées par l'entier \(n\). Chaque valeur de \(n\) correspond à un "état" différent de la particule. L'état \(n=1\) est l'état fondamental, le plus simple. Les états \(n>1\) sont les états excités. La constante de normalisation \(A = \sqrt{2/L}\) garantit que l'interprétation probabiliste est cohérente.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'entier \(n\) ne peut pas être nul (\(n \neq 0\)), car cela donnerait une fonction d'onde \(\psi(x)=0\) partout, ce qui signifie qu'il n'y a pas de particule. Les entiers négatifs ne donnent pas de nouvelles solutions physiques, car \(\sin(-x) = -\sin(x)\) et le carré \(|\psi|^2\) est identique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La solution de Schrödinger dans un puits est une onde sinusoïdale.
Les conditions aux limites \(\psi(0)=\psi(L)=0\) imposent la forme \(\sin(n\pi x/L)\).
La normalisation fixe l'amplitude de l'onde à \(\sqrt{2/L}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La normalisation est cruciale. En 1926, Max Born a proposé que \(|\psi|^2\) soit une densité de probabilité. Sans cette interprétation, la fonction d'onde restait un objet mathématique mystérieux. Cette idée, qui lui a valu le prix Nobel, a transformé la mécanique quantique en une théorie prédictive et testable.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les fonctions d'onde normalisées de la particule dans le puits sont : \[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \quad \text{pour } n=1, 2, 3, \dots \]

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la valeur de la fonction d'onde \(\psi_2(x)\) au centre du puits (\(x=L/2\)) ?

Simulateur 3D : Fonctions d'onde \(\psi_n(x)\)

Niveau quantique (n) : 1

Question 2 : Dériver l'expression des énergies quantifiées

Principe (le concept physique)

L'énergie n'est pas une variable indépendante ; elle est directement liée au "nombre d'onde" \(k\) de la fonction d'onde. À la question précédente, nous avons vu que les conditions aux limites forcent \(k\) à ne prendre que des valeurs discrètes (\(k = n\pi/L\)). En réinjectant cette condition dans la relation qui lie \(E\) et \(k\), nous allons voir que l'énergie \(E\) ne peut elle aussi prendre que des valeurs discrètes, dépendantes de l'entier \(n\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\) est la version quantique de la relation classique de l'énergie cinétique \(E_c = \frac{p^2}{2m}\), en utilisant la relation de De Broglie \(p = \hbar k\). La quantification de \(k\) (le "nombre de ventres" de l'onde dans la boîte) entraîne donc directement la quantification de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le cœur du phénomène de quantification : le confinement spatial (\(L\)) impose des contraintes sur la forme de l'onde (\(k\)), qui à leur tour imposent des contraintes sur l'énergie (\(E\)). Une particule non confinée (un électron dans le vide) peut avoir n'importe quelle énergie. Dès qu'on l'enferme, son énergie devient discrète.

Normes (la référence réglementaire)

Ce résultat n'est pas une norme, mais une loi fondamentale de la nature pour tout système confiné. C'est le principe qui explique les spectres d'émission discrets des atomes, qui sont à la base de la spectroscopie, une technique d'analyse standard dans tous les domaines de la science.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Nous partons des deux relations trouvées précédemment :

k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}

k = \frac{n\pi}{L}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1. Nous utilisons les résultats de la quantification de \(k\) pour en déduire celle de \(E\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Aucune donnée numérique n'est requise pour cette dérivation littérale. On utilise les symboles \(m, L, \hbar, \pi\) et l'entier \(n\).

Astuces(Pour aller plus vite)

Le moyen le plus direct est d'exprimer \(k^2\) de deux manières différentes et de les égaler. C'est une technique très courante en physique pour éliminer une variable intermédiaire (\(k\)) et relier les grandeurs qui nous intéressent (\(E\) et \(n\)).

Schéma (Avant les calculs)

Le lien entre Confinement et Énergie

Calcul(s) (l'application numérique)

En égalant les deux expressions pour \(k^2\), on obtient :

\begin{aligned} k^2 &= \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 = \frac{n^2\pi^2}{L^2} \\ \frac{n^2\pi^2}{L^2} &= \frac{2mE_n}{\hbar^2} \\ \Rightarrow E_n &= \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Échelle des Niveaux d'Énergie

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette formule est l'un des résultats les plus importants de la mécanique quantique. Elle montre que :

L'énergie est quantifiée : elle ne peut prendre que des valeurs spécifiques indexées par le nombre quantique \(n\).
L'énergie minimale (pour \(n=1\)) n'est pas nulle. C'est l'énergie du point zéro, une conséquence directe du principe d'incertitude d'Heisenberg.
L'énergie augmente comme \(n^2\). L'écart entre les niveaux d'énergie successifs n'est pas constant, il augmente.
L'énergie est inversement proportionnelle à \(L^2\). Plus la boîte est petite, plus l'énergie est grande. C'est l'effet de confinement quantique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre la constante de Planck \(h\) et la constante de Planck réduite \(\hbar = h/2\pi\). La plupart des formules fondamentales de la mécanique quantique utilisent \(\hbar\). L'utilisation de \(h\) à la place introduirait une erreur d'un facteur \((2\pi)^2 \approx 40\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'énergie est quantifiée et dépend de \(n^2\).
L'énergie est inversement proportionnelle au carré de la taille du puits (\(1/L^2\)).
Il existe une énergie minimale non nulle (\(E_1\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effet de confinement quantique est crucial pour les semi-conducteurs. Dans un matériau massif, les niveaux d'énergie des électrons forment des "bandes" continues. En réduisant la taille du matériau à l'échelle nanométrique, ces bandes se séparent en niveaux discrets, comme dans notre puits. Cela modifie radicalement les propriétés optiques et électroniques du matériau, permettant de créer des composants comme les LED et les lasers.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les niveaux d'énergie permis pour la particule sont donnés par : \[ E_n = n^2 \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \quad \text{pour } n=1, 2, 3, \dots \]

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Par quel facteur l'énergie \(E_1\) est-elle modifiée si on remplace l'électron par un proton (masse \(\approx 1836 \cdot m_e\)) ?

Simulateur 3D : Niveaux d'énergie \(E_n\)

Largeur L (nm) : 1.0

Énergie Fondamentale (E₁) : 0.38 eV

Question 3 : Calculer l'énergie des 3 premiers niveaux en eV

Principe (le concept physique)

Il s'agit d'une application numérique directe de la formule trouvée à la question 2. La principale difficulté est de manipuler correctement les constantes physiques et de faire la conversion finale des Joules (l'unité du système international) vers les électron-volts (l'unité la plus pratique pour décrire les énergies à l'échelle atomique).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'électron-volt (eV) est une unité d'énergie définie comme l'énergie cinétique acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel de 1 volt. C'est une unité extrêmement pratique en physique atomique et en chimie, car les énergies de liaison et de transition sont typiquement de l'ordre de quelques eV, ce qui est plus facile à manipuler que des valeurs comme \(10^{-19}\) Joules.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Avant de vous lancer dans le calcul, ayez un ordre de grandeur en tête. Pour un confinement de l'ordre du nanomètre (la taille d'une petite molécule), les énergies électroniques sont typiquement de l'ordre de l'eV. Si vous trouvez des méga-électronvolts (MeV) ou des milli-électronvolts (meV), il y a probablement une erreur d'unité quelque part.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs des constantes fondamentales comme \(\hbar\), \(m_e\) et \(e\) sont déterminées expérimentalement avec une très grande précision et sont standardisées par des organismes internationaux comme le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise la formule des énergies et la constante de conversion :

E_n = n^2 \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}

E_{\text{en eV}} = \frac{E_{\text{en J}}}{e}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les valeurs des constantes physiques fournies dans le tableau de l'énoncé, en s'assurant de leur conversion dans le système d'unités international (mètres, kilogrammes, secondes) avant le calcul.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(L = 1 \, \text{nm} = 1 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
\(m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
\(\hbar = 1.055 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
\(e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Il est souvent plus simple de calculer d'abord le terme constant \(E_1 = \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\), qui est l'énergie de l'état fondamental. Ensuite, les autres niveaux d'énergie s'obtiennent très facilement : \(E_2 = 4 \cdot E_1\), \(E_3 = 9 \cdot E_1\), et ainsi de suite, puisque \(E_n = n^2 E_1\).

Schéma (Avant les calculs)

Processus de Calcul et Conversion

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'énergie de l'état fondamental \(E_1\) en Joules :

\begin{aligned} E_1 &= \frac{\pi^2 (1.055 \times 10^{-34})^2}{2 \cdot (9.109 \times 10^{-31}) \cdot (1 \times 10^{-9})^2} \\ &\approx \frac{1.096 \times 10^{-67}}{1.822 \times 10^{-48}} \, \text{J} \\ &\approx 6.015 \times 10^{-20} \, \text{J} \end{aligned}

2. Conversion de \(E_1\) en électron-volts :

\begin{aligned} E_1 (\text{en eV}) &= \frac{6.015 \times 10^{-20} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 0.375 \, \text{eV} \end{aligned}

3. Calcul des énergies \(E_2\) et \(E_3\) :

\begin{aligned} E_2 &= 2^2 \cdot E_1 \\ &= 4 \cdot 0.375 \, \text{eV} \\ &= 1.50 \, \text{eV} \end{aligned}

\begin{aligned} E_3 &= 3^2 \cdot E_1 \\ &= 9 \cdot 0.375 \, \text{eV} \\ &= 3.38 \, \text{eV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Niveaux d'Énergie en eV

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les énergies obtenues sont de l'ordre de l'électron-volt, ce qui est typique pour des électrons confinés à l'échelle nanométrique. Ces valeurs correspondent à des photons dans le domaine de l'ultraviolet. Si un électron passait de l'état \(n=2\) à \(n=1\), il émettrait un photon d'énergie \(E_2 - E_1 = 1.125\) eV.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre les grandeurs dans les bonnes unités du Système International avant le calcul : la largeur \(L\) doit être en mètres, pas en nanomètres. Une autre erreur fréquente est de se tromper dans le maniement des puissances de 10 sur la calculatrice.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul numérique demande de la rigueur sur les unités (tout en SI).
L'électron-volt est l'unité d'énergie la plus pratique à cette échelle.
Les énergies \(E_n\) se déduisent de \(E_1\) par la relation \(E_n = n^2 E_1\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La couleur des objets est souvent due à la quantification de l'énergie. Les pigments d'une peinture contiennent des molécules avec des électrons confinés. La molécule absorbe certaines énergies (certaines couleurs) de la lumière blanche pour faire passer ses électrons à des niveaux d'énergie supérieurs. La couleur que nous voyons est la lumière restante, celle qui n'a pas été absorbée.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les énergies des trois premiers niveaux sont :

\(E_1 \approx 0.38 \, \text{eV}\)
\(E_2 \approx 1.50 \, \text{eV}\)
\(E_3 \approx 3.38 \, \text{eV}\)

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'énergie de l'état fondamental \(E_1\) (en eV) si la largeur du puits était de 2 nm ?

Simulateur 3D : Probabilité de Présence \(|\psi_n(x)|^2\)

Niveau quantique (n) : 1

Question 4 : Calculer une probabilité de présence

Principe (le concept physique)

La probabilité de trouver la particule dans une région donnée de l'espace est obtenue en intégrant la densité de probabilité, \(|\psi(x)|^2\), sur cette région. Pour l'état fondamental (\(n=1\)), nous allons donc calculer l'intégrale de \(|\psi_1(x)|^2\) entre les bornes \(x=0\) et \(x=L/2\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'intégration de la densité de probabilité est l'application directe du postulat de Born. Mathématiquement, cela revient à calculer l'aire sous la courbe de \(|\psi(x)|^2\) entre les deux bornes. Pour des fonctions d'onde plus complexes, cette intégrale doit souvent être calculée numériquement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la courbe de \(|\psi_1(x)|^2\) : c'est une "bosse" symétrique centrée en \(L/2\). La question demande simplement de calculer l'aire de la moitié gauche de cette bosse. Comme l'aire totale sous la courbe (de 0 à L) doit être 1 (probabilité de 100%), on peut deviner par symétrie que le résultat sera 0.5. Le calcul formel permet de le vérifier.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de probabilités via l'intégrale de la densité de probabilité est une procédure standard en théorie des probabilités, qui trouve ici une application fondamentale en physique quantique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La probabilité \(P\) de trouver la particule entre \(a\) et \(b\) est :

P(a < x < b) = \int_a^b |\psi_n(x)|^2 dx

Dans notre cas, \(n=1\), \(a=0\), \(b=L/2\) :

P(0 < x < L/2) = \frac{2}{L}\int_0^{L/2} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la particule est exactement dans l'état stationnaire \(n=1\). Si elle était dans une superposition d'états, le calcul de la probabilité serait plus complexe.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les bornes d'intégration sont \(a=0\) et \(b=L/2\). La fonction d'onde à utiliser est \(\psi_1(x)\).

Astuces(Pour aller plus vite)

Comme mentionné, l'argument de symétrie est la méthode la plus rapide. La fonction \(\sin^2(\pi x/L)\) est symétrique par rapport à \(x=L/2\). L'intégrale de 0 à L/2 sera donc exactement la moitié de l'intégrale de 0 à L. Puisque l'intégrale totale vaut 1 (par normalisation), la moitié vaut 0.5.

Schéma (Avant les calculs)

Aire à calculer sous la courbe de probabilité

Calcul(s) (l'application numérique)

On utilise l'identité \(\sin^2(\theta) = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}\) :

\begin{aligned} P &= \frac{2}{L} \int_0^{L/2} \frac{1}{2}\left(1 - \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right) dx \\ &= \frac{1}{L} \left[ x - \frac{L}{2\pi}\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right]_0^{L/2} \\ &= \frac{1}{L} \left( \left(\frac{L}{2} - \frac{L}{2\pi}\sin(\pi)\right) - (0 - 0) \right) \\ &= \frac{1}{L} \left( \frac{L}{2} - 0 \right) \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat du calcul de probabilité

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est exactement 0.5, soit 50%. Cela est logique : la fonction de densité de probabilité \(|\psi_1(x)|^2\) est parfaitement symétrique par rapport au centre du puits (\(x=L/2\)). Il y a donc autant de chance de trouver la particule dans la moitié gauche que dans la moitié droite. Pour d'autres états (comme \(n=2\)) ou d'autres intervalles, le résultat serait différent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier d'utiliser le carré du module de la fonction d'onde, \(|\psi|^2\), pour calculer la probabilité. Intégrer \(\psi\) directement n'a aucun sens physique (et peut donner des résultats négatifs). De plus, assurez-vous que la fonction d'onde est bien normalisée avant de calculer une probabilité, sinon le résultat sera incorrect.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La probabilité est l'aire sous la courbe de \(|\psi(x)|^2\).
Le calcul requiert une intégration entre les bornes de la région d'intérêt.
Les arguments de symétrie peuvent souvent simplifier ou vérifier le calcul.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Contrairement à une particule classique qui, si elle a une énergie constante, passerait autant de temps en chaque point, la particule quantique a une probabilité de présence non-uniforme. Dans l'état fondamental, elle a plus de chances d'être trouvée au centre du puits qu'au bord. C'est une manifestation purement quantique de son comportement ondulatoire.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La probabilité de trouver l'électron dans la première moitié du puits (\(0 < x < L/2\)) pour l'état fondamental est de 0.5, soit 50%.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour l'état \(n=2\), quelle est la probabilité de trouver l'électron entre \(x=0\) et \(x=L/2\) ?

Simulateur 3D : Intégration de Probabilité

Limite d'intégration (x/L) : 0.50

Probabilité P(0 < x) : 0.500

Outil Interactif : Exploration du Puits Quantique

Modifiez le nombre quantique \(n\) et la largeur du puits \(L\) pour visualiser leur influence sur la fonction d'onde, la densité de probabilité et l'énergie.

Paramètres d'Entrée

Nombre Quantique (n) n = 1

Largeur du puits (L) (nm) L = 1.0 nm

Résultats Clés

Énergie du niveau \(E_n\) (eV) -

Longueur d'onde de De Broglie (nm) -

Le Saviez-Vous ?

Le modèle de la particule dans la boîte n'est pas qu'un exercice théorique ! Il décrit très bien le comportement des électrons dans les boîtes quantiques (ou "quantum dots"). Ce sont des nanocristaux de semi-conducteur si petits (quelques nanomètres) que les électrons y sont confinés. En changeant la taille de la boîte (le cristal), on change la valeur de \(L\), ce qui modifie les niveaux d'énergie \(E_n\). Cela change l'énergie (et donc la couleur) de la lumière émise par l'électron lorsqu'il change de niveau. C'est la technologie derrière les écrans QLED !

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le puits de potentiel n'est pas infini ?

Si le puits a une profondeur finie (puits fini), la particule a une probabilité non nulle de se trouver à l'extérieur du puits, même si son énergie est inférieure à la hauteur du puits. C'est l'effet tunnel. La fonction d'onde ne s'annule plus brutalement aux bords, mais décroît exponentiellement à l'extérieur. Les calculs sont plus complexes, mais le principe de quantification de l'énergie demeure.

Et en 3 dimensions ?

Pour une boîte cubique de côté \(L\), le problème est une simple extension. L'énergie dépendra de trois nombres quantiques (\(n_x, n_y, n_z\)), un pour chaque direction : \(E = \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)\). On voit alors apparaître le concept de dégénérescence : plusieurs combinaisons de nombres quantiques (par exemple (1,1,2), (1,2,1) et (2,1,1)) peuvent donner la même énergie.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la largeur L du puits, l'énergie de l'état fondamental \(E_1\) est...

Divisée par 2
Divisée par 4
Multipliée par 2

2. Dans l'état excité \(n=2\), où la probabilité de trouver la particule est-elle NULLE ?

Aux bords du puits (x=0 et x=L)
Aux points x=L/4 et x=3L/4
Au centre du puits (x=L/2)

Fonction d'onde (\(\psi\)): Objet mathématique qui décrit l'état d'un système quantique. Le carré de son module représente la densité de probabilité de présence de la particule.
Quantification: Phénomène selon lequel une quantité physique (comme l'énergie ou le moment angulaire) ne peut prendre que certaines valeurs discrètes, et non un continuum de valeurs.
État fondamental: L'état quantique de plus basse énergie possible pour un système (\(n=1\) dans notre cas).