L'énergie d'un électron confiné n'est jamais nulle (énergie de point zéro).
Particule dans un Puits de Potentiel
📝 Situation du Projet (Ingénierie Optoélectronique)
Dans le secteur de la photonique avancée, la maîtrise de la couleur (longueur d'onde) des sources laser est critique pour les applications allant des télécommunications par fibre optique à la chirurgie de précision.
Votre bureau d'études est chargé de dimensionner la zone active d'un nouveau laser à semi-conducteur. Contrairement aux lasers "massifs" traditionnels où la couleur est fixée par la nature chimique du matériau (son gap), nous utilisons ici une hétérostructure à puits quantique.
Le Principe Physique : En insérant une couche très fine de semi-conducteur à petit gap (ex: Arséniure de Gallium, GaAs) entre deux couches de semi-conducteur à grand gap (ex: Arséniure d'Aluminium-Gallium, AlGaAs), nous créons un piège à électrons : un puits de potentiel. Lorsque l'épaisseur de ce puits devient comparable à la longueur d'onde de l'électron (quelques nanomètres), les effets quantiques dominent.
L'Avantage Technologique : L'énergie des électrons ne forme plus une bande continue, mais se divise en niveaux discrets (quantifiés). En ajustant simplement l'épaisseur \(\text{L}\) de la couche active lors de la fabrication (épitaxie), nous pouvons "accorder" l'énergie d'émission du laser avec une précision extrême, sans changer la chimie du matériau.
En tant qu'Ingénieur en Physique Quantique Appliquée, vous devez valider le modèle théorique du composant. Votre tâche consiste à :
1. Modéliser le confinement de l'électron dans la bande de conduction.
2. Calculer analytiquement les niveaux d'énergie permis (\(\text{E}_1, \text{E}_2, ...\)).
3. Déterminer la fonction d'onde associée pour cartographier la probabilité de présence des porteurs de charge.
Cette étude préliminaire conditionnera les paramètres de croissance cristalline pour la production.
- Architecture
Double Hétérostructure (Puits Simple) - Matériaux
Puits : GaAs / Barrières : \(\text{Al}_{0.3}\text{Ga}_{0.7}\text{As}\) - Dimension Critique
Épaisseur \(\text{L} = 5.0 \, \text{nm}\) (Cible)
"Attention, la fonction d'onde doit s'annuler aux parois du puits (continuité). Ne pas oublier de normaliser la probabilité !"
Les paramètres physiques ci-dessous définissent le cadre rigoureux de l'étude quantique. Ils constituent la base de référence pour tous les calculs à suivre.
📚 Référentiel Théorique & Normatif
Postulats Mécanique Quantique (Copenhagen) Modèle de l'Électron Libre (Approx.)[Art. 1] APPROXIMATION 1D
Le confinement latéral (axes y et z) étant macroscopique, le problème est réduit à une seule dimension selon l'axe de croissance (x).
[Art. 2] MODÈLE DU POTENTIEL "PUITS INFINI"
- Zone Active (\(0 < \text{x} < \text{L}\)) : \(\text{V}(\text{x}) = 0\). L'électron ne subit aucune force électrostatique interne.
- Barrières (\(\text{x} \leq 0\) et \(\text{x} \geq \text{L}\)) : \(\text{V}(\text{x}) = \infty\). Cette idéalisation est justifiée par la forte discontinuité de bande ("Band Offset") entre les matériaux, empêchant tout effet tunnel significatif pour les états de basse énergie.
[Art. 3] MASSE EFFECTIVE
Pour cette étude préliminaire de dimensionnement, nous utiliserons la masse de l'électron libre \(\text{m}_\text{e}\). (Note : Une étude ultérieure affinera ce modèle en utilisant la masse effective \(\text{m}^*\) propre au matériau semi-conducteur GaAs).
| CONSTANTES UNIVERSELLES | |
| Constante de Planck (\(\text{h}\)) | \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J.s}\) |
| Masse électron libre (\(\text{m}_\text{e}\)) | \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\) |
| CONVERSION & DÉRIVÉS | |
| Electron-volt (\(1 \, \text{eV}\)) | \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\) |
| Constante réduite (\(\hbar = \text{h}/2\pi\)) | \(1.054 \times 10^{-34} \, \text{J.s}\) |
📐 Géométrie du Puits (Zone Active)
- Largeur cible (\(\text{L}\)) : \(5.0 \, \text{nm}\) (Nanomètres)
- Conversion SI : \(5.0 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
- Interface : Abrupte (Pas de diffusion d'atomes à l'interface)
⚖️ Conditions aux Limites (Mathématiques)
Le potentiel infini impose une contrainte forte de "zéro strict" à la fonction d'onde aux frontières, garantissant que la particule reste confinée.
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle pour résoudre l'équation de Schrödinger dans ce contexte.
Établir l'Équation
Poser l'Hamiltonien et l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour V(x)=0.
Résolution Générale
Résoudre l'équation différentielle du second ordre pour trouver la forme de Ψ(x).
Conditions aux Limites
Appliquer Ψ(0)=0 et Ψ(L)=0 pour quantifier l'énergie et le vecteur d'onde k.
Normalisation & Calcul
Calculer l'amplitude A et faire l'application numérique pour le niveau fondamental.
Particule dans un Puits de Potentiel
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est d'établir le modèle mathématique fondamental qui décrit le comportement de l'électron piégé dans le puits. Nous cherchons à définir l'opérateur Hamiltonien spécifique à notre système, c'est-à-dire l'opérateur d'énergie totale, et à poser l'équation de Schrödinger indépendante du temps. Cette étape est cruciale car elle transforme le problème physique (une particule confinée) en une équation différentielle résoluble.
📚 Référentiel
Postulat 4 : Équation de SchrödingerAvant de se lancer dans les calculs, il faut visualiser le système physique. Le puits de potentiel divise l'espace en trois zones distinctes :
1. La zone I (\(\text{x} < 0\)) et la zone III (\(\text{x} > \text{L}\)) : Ici, le potentiel est infini (\(\text{V} = \infty\)). Une énergie potentielle infinie signifie qu'il est physiquement impossible pour la particule de s'y trouver. Par conséquent, la probabilité de présence est nulle, ce qui implique directement que la fonction d'onde \(\psi(\text{x})\) est strictement nulle dans ces zones.
2. La zone II (\(0 < \text{x} < \text{L}\)) : C'est l'intérieur du puits. Ici, le potentiel est nul (\(\text{V}(\text{x}) = 0\)). Dans cette région, l'électron ne subit aucune force (car la force est le gradient du potentiel, \(\text{F} = -\text{grad V} = 0\)). L'électron est donc dit "libre", mais uniquement à l'intérieur de ces bornes.
L'opérateur Hamiltonien \(\hat{\text{H}}\), qui représente l'énergie totale (Cinétique + Potentielle), se simplifie considérablement dans cette zone centrale. Puisque \(\hat{\text{V}} = 0\), il ne reste que l'opérateur d'énergie cinétique \(\hat{\text{T}}\).
Notre tâche se résume donc à écrire l'équation de Schrödinger pour une particule libre confinée : \(\hat{\text{T}}\psi(\text{x}) = \text{E}\psi(\text{x})\). C'est une équation aux valeurs propres où nous cherchons les énergies \(\text{E}\) permises et les états \(\psi\) associés.
L'équation de Schrödinger indépendante du temps est la pierre angulaire de la mécanique quantique stationnaire. Elle s'écrit formellement : \(\hat{\text{H}}\Psi = \text{E}\Psi\). Elle stipule que l'application de l'opérateur Hamiltonien sur la fonction d'onde restitue la fonction d'onde multipliée par une constante scalaire, l'énergie \(\text{E}\).
Étape 1 : Simplification et Hypothèses
| Paramètre | Valeur / Hypothèse |
|---|---|
| Potentiel \(\text{V}(\text{x})\) | \(0 \, \text{J}\) (Intérieur du puits) |
| Géométrie | 1D (Axe x uniquement) |
| Particule | Masse constante \(\text{m}\) |
Pour faciliter la résolution mathématique, il est courant de regrouper toutes les constantes physiques (\(\hbar\), \(\text{m}\), \(\text{E}\)) en un seul paramètre mathématique, souvent noté \(\text{k}^2\). Cela transforme une équation physique complexe en une équation différentielle canonique familière : \(\psi'' + \text{k}^2\psi = 0\).
Étape 2 : Calculs Détaillés et Mise en Forme Canonique
Nous allons manipuler algébriquement l'équation de Schrödinger pour isoler la dérivée seconde et identifier la forme de l'oscillateur harmonique.
1. Réarrangement des termesOn multiplie chaque côté de l'équation par \(-\frac{2\text{m}}{\hbar^2}\) pour isoler le terme \(\psi''\). Le signe moins devant la dérivée seconde disparaît, et le terme d'énergie passe à gauche.
Isolation de la dérivée secondeLe terme \(\frac{2\text{mE}}{\hbar^2}\) est strictement positif car la masse \(\text{m}\) et l'énergie \(\text{E}\) (cinétique pure) sont positives. Nous pouvons donc le définir comme le carré d'un nombre réel \(\text{k}\).
Définition de la constante kL'analyse dimensionnelle confirme que \(\text{k}\) a la dimension de l'inverse d'une longueur (\(\text{m}^{-1}\)), ce qui est cohérent pour un vecteur d'onde. L'équation obtenue est celle d'un oscillateur harmonique, dont nous connaissons bien les solutions sinusoïdales.
L'équation est linéaire et homogène : si \(\psi\) est solution, alors \(\text{A}\psi\) l'est aussi. Cela est fondamental pour la physique quantique et le principe de superposition. De plus, les coefficients sont constants (indépendants de \(\text{x}\)) car le potentiel est plat.
Ne confondez pas \(\text{h}\) (constante de Planck) et \(\hbar\) (constante de Planck réduite, \(\hbar = \text{h}/2\pi\)). L'équation de Schrödinger utilise presque toujours \(\hbar\). Une erreur ici fausserait tous les résultats numériques d'un facteur \((2\pi)^2\).
❓ Pourquoi E doit-il être positif ?
Si \(\text{E} < 0\), alors \(\text{k}^2\) serait négatif. L'équation deviendrait \(\psi'' - \kappa^2\psi = 0\), dont les solutions sont des exponentielles réelles (\(\text{e}^{\kappa \text{x}}\) et \(\text{e}^{-\kappa \text{x}}\)). Il serait impossible de satisfaire les conditions aux limites (s'annuler en 0 et en L) sauf si la fonction est nulle partout. Une particule confinée a donc nécessairement une énergie cinétique positive.
🎯 Objectif
Maintenant que nous avons posé l'équation différentielle, l'objectif est de trouver sa solution mathématique générale, puis de restreindre cette solution en utilisant les contraintes physiques du système (les conditions aux limites). Nous cherchons la forme explicite de la fonction d'onde \(\psi(\text{x})\).
📚 Référentiel
Mathématiques : Équations Différentielles Linéaires du 2nd OrdreNous faisons face à une équation du type \(\text{y}'' + \omega^2\text{y} = 0\). Mathématiquement, la solution générale est une combinaison linéaire de deux fonctions indépendantes.
Nous avons le choix entre la base exponentielle complexe (\(\text{e}^{\text{ikx}}, \text{e}^{-\text{ikx}}\)) ou la base trigonométrique réelle (\(\sin(\text{kx}), \cos(\text{kx})\)).
Pour un problème de propagation (particule libre sans murs), les exponentielles sont préférables car elles représentent des ondes progressives.
Cependant, ici nous sommes dans un puits. La particule rebondit entre les murs, créant des interférences qui forment des ondes stationnaires. La base \(\sin/\cos\) est donc beaucoup plus adaptée et intuitive pour appliquer les conditions aux limites (des zéros fixes aux extrémités).
Les fonctions sinusoïdales sont les solutions canoniques de l'oscillateur harmonique. Toute solution s'écrit \(\psi(\text{x}) = \text{A} \sin(\text{kx}) + \text{B} \cos(\text{kx})\), où \(\text{A}\) et \(\text{B}\) sont des constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites.
Étape 1 : Définition du Modèle Mécanique
| Paramètre | Valeur / Condition |
|---|---|
| Domaine de validité | \(0 < \text{x} < \text{L}\) |
| Condition limite gauche | \(\psi(0) = 0\) (Mur impénétrable) |
| Condition limite droite | \(\psi(\text{L}) = 0\) (Mur impénétrable) |
Pensez à une corde de guitare ! Elle est fixée aux deux extrémités (sillet et chevalet). Son amplitude doit donc être strictement nulle en ces points. C'est exactement la même physique ondulatoire.
Étape 2 : Application des Conditions aux Limites
Nous allons utiliser les contraintes physiques aux murs pour éliminer les constantes inconnues. La continuité de la fonction d'onde impose qu'elle rejoigne zéro aux parois.
La fonction doit s'annuler sur le mur de gauche. On remplace \(\text{x}\) par 0 dans l'expression générale.
Calcul à l'origineLe terme \(\sin(0)\) vaut 0, mais \(\cos(0)\) vaut 1. Pour que l'équation \(0 + \text{B} = 0\) soit vraie, il est impératif que la constante \(\text{B}\) soit nulle.
2. Solution Intermédiaire SimplifiéeNous avons éliminé une inconnue. La fonction d'onde est donc nécessairement sinusoïdale pure, "attachée" à zéro en \(\text{x}=0\). Il nous reste maintenant à satisfaire la condition en \(\text{x}=\text{L}\) (traitée à la question suivante).
Si \(\text{B}\) n'était pas nul, la probabilité de trouver la particule exactement sur le mur \(\text{x}=0\) serait \(|\text{B}|^2 \neq 0\). Or, le potentiel est infini en ce point, ce qui rend la présence de la particule physiquement impossible. Le résultat mathématique \(\text{B}=0\) est donc parfaitement cohérent avec l'intuition physique.
Attention à ne pas supposer trop vite que \(\text{A}=0\) aussi ! Si \(\text{A}=0\) et \(\text{B}=0\), alors \(\psi(\text{x})=0\) partout. Cela signifierait qu'il n'y a pas de particule dans le puits. Nous cherchons des solutions non triviales.
❓ Pourquoi ne pas utiliser les exponentielles ?
On aurait \(\psi(\text{x}) = \text{C}\text{e}^{\text{ikx}} + \text{D}\text{e}^{-\text{ikx}}\). En appliquant \(\psi(0)=0\), on trouverait \(\text{C}+\text{D}=0\), donc \(\text{D}=-\text{C}\). Cela donnerait \(\text{C}(\text{e}^{\text{ikx}} - \text{e}^{-\text{ikx}}) = 2\text{iC}\sin(\text{kx})\). On retombe exactement sur la solution sinus (à une constante complexe près), mais le calcul est un peu plus long.
🎯 Objectif
C'est l'étape clé qui fait apparaître la nature "quantique" du problème. Nous devons appliquer la seconde condition aux limites (en \(\text{x}=\text{L}\)) pour déterminer les valeurs permises du vecteur d'onde \(\text{k}\). Cela nous conduira directement à la discrétisation des niveaux d'énergie : l'énergie ne pourra prendre que certaines valeurs spécifiques, contrairement à la mécanique classique.
📚 Référentiel
Condition en x=L (Ondes Stationnaires)Nous savons que \(\psi(\text{x}) = \text{A} \sin(\text{kx})\). Il faut maintenant satisfaire la condition au mur de droite : \(\psi(\text{L}) = 0\).
Cela implique : \(\text{A} \sin(\text{kL}) = 0\).
Comme nous avons établi que \(\text{A} \neq 0\) (pour que la particule existe), c'est le terme \(\sin(\text{kL})\) qui doit s'annuler.
Mathématiquement, un sinus s'annule lorsque son argument est un multiple entier de \(\pi\) (\(\pi, 2\pi, 3\pi...\)).
Physiquement, cela signifie que la largeur du puits \(\text{L}\) doit correspondre exactement à un nombre entier de demi-longueurs d'onde. C'est une condition de résonance ou d'interférence constructive.
Une fois les valeurs possibles de \(\text{k}\) trouvées (notées \(\text{k}_\text{n}\)), nous pourrons remonter à l'énergie via la relation posée en Q1 : \(\text{E} = \frac{\hbar^2 \text{k}^2}{2\text{m}}\). C'est ainsi que l'énergie devient dépendante d'un entier \(\text{n}\).
Étape 1 : Hypothèses & Données Mathématiques
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Équation à résoudre | \(\sin(\text{kL}) = 0\) |
| Solutions mathématiques | \(\text{kL} = \text{n}\pi\) avec \(\text{n} \in \mathbb{Z}\) |
| Restriction physique | \(\text{n} \in \mathbb{N}^*\) (Entier strictement positif) |
Pourquoi rejeter \(\text{n}=0\) ? Car \(\sin(0) = 0\), donc \(\psi(\text{x})=0\) partout (pas de particule). Pourquoi rejeter les \(\text{n}\) négatifs ? Car \(\sin(-\text{x}) = -\sin(\text{x})\). \(\psi_{-\text{n}}\) et \(\psi_{\text{n}}\) seraient linéairement dépendantes (le même état physique, juste un changement de phase de \(\pi\)). On ne garde donc que \(\text{n} = 1, 2, 3...\)
Étape 2 : Calculs Détaillés
Résolution explicite pour \(\text{k}\) et substitution dans l'expression de l'énergie.
1. Quantification du vecteur d'ondeOn isole \(\text{k}\) de la condition d'annulation du sinus.
Calcul des modes k_nOn remplace \(\text{k}\) par \(\text{k}_\text{n}\) dans la formule \(\text{E} = \frac{\hbar^2 \text{k}^2}{2\text{m}}\). On n'oublie pas d'élever tout le terme \(\text{k}_\text{n}\) au carré.
SubstitutionParfois exprimée avec la constante de Planck \(\text{h}\) (\(\hbar = \text{h}/2\pi\)).
Les deux formes sont correctes et couramment utilisées.
On constate que l'énergie est quantifiée (discrète). L'écart entre les niveaux augmente avec \(\text{n}\) (car \(\text{E} \propto \text{n}^2\) : 1, 4, 9, 16...). De plus, on retrouve l'effet de taille quantique : plus le puits est petit (\(\text{L}\) diminue), plus l'énergie de confinement est grande (comme un ressort qu'on comprime).
L'énergie ne peut pas prendre n'importe quelle valeur continue. C'est la différence fondamentale avec une bille classique dans une boîte.
❓ Quelle est l'énergie minimale ?
L'énergie minimale correspond à \(\text{n}=1\). C'est l'énergie du point zéro : \(\text{E}_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2\text{mL}^2}\). Elle est strictement positive (\(\text{E}_1 > 0\)). Cela signifie qu'une particule quantique confinée n'est jamais au repos absolu, contrairement à une particule classique qui pourrait avoir une énergie nulle (\(\text{v}=0\)) au fond du puits. C'est une conséquence directe du principe d'incertitude de Heisenberg.
🎯 Objectif
Nous avons la forme de la fonction d'onde \(\psi(\text{x}) \propto \sin(\text{k}_\text{n}\text{x})\) et les énergies permises. Il reste une inconnue : l'amplitude \(\text{A}\). Pour que la fonction d'onde ait un sens physique (représenter une probabilité), nous devons la normaliser. Enfin, nous effectuerons une application numérique pour donner un ordre de grandeur concret à l'énergie.
📚 Référentiel
Interprétation Probabiliste de Born (Normalisation)Selon l'interprétation de Born, \(|\psi(\text{x})|^2\) représente la densité de probabilité de présence.
Puisque la particule existe et qu'elle est piégée quelque part dans le puits (entre 0 et L), la somme de toutes les probabilités de la trouver en chaque point doit être égale à 1 (100% de chance d'être dans le puits).
Mathématiquement, cela se traduit par l'intégrale du module carré de la fonction d'onde sur tout l'espace accessible.
La constante de normalisation \(\text{A}\) garantit la conservation de la probabilité. Sans elle, \(\psi\) n'est qu'une solution mathématique abstraite.
Étape 1 : Données Techniques pour le Calcul
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Fonction à intégrer | \(\text{A}^2 \sin^2(\text{k}_\text{n}\text{x})\) |
| Bornes d'intégration | de \(0\) à \(\text{L}\) |
| Identité Trigo utile | \(\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\) |
| Largeur \(\text{L}\) (App. Num.) | \(5.0 \times 10^{-9} \, \text{m}\) |
L'intégrale de \(\sin^2(\text{kx})\) sur une période (ou un nombre entier de demi-périodes) vaut toujours la moitié de l'intervalle. Ici, on intègre sur \(\text{L}\), donc le résultat sera \(\text{L}/2\). C'est un raccourci très utile en physique !
Étape 2 : Calcul de Vérification et Application Numérique
Nous allons d'abord calculer la valeur théorique de \(\text{A}\), puis calculer l'énergie fondamentale \(\text{E}_1\).
1. Calcul de la constante de normalisation AOn pose l'intégrale égale à 1 et on utilise l'identité trigonométrique pour linéariser le sinus carré.
Résolution de l'intégraleLe terme sinus s'annule en \(\text{L}\) (\(\sin(2\text{n}\pi)=0\)) et en \(0\). Il ne reste que le terme \(\text{x}\) évalué en \(\text{L}\).
On utilise \(\text{h} = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J.s}\), \(\text{m} = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\), \(\text{L} = 5 \times 10^{-9} \, \text{m}\).
Conversion utile pour comparer aux échelles atomiques (\(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)).
Cette valeur de \(15 \, \text{meV}\) est une énergie faible, typique de l'agitation thermique à basse température, ou de transitions dans des semi-conducteurs à puits larges.
L'unité de l'énergie est correcte (Joule puis eV). L'ordre de grandeur (meV) est cohérent pour un puits large de 5 nm. Si \(\text{L}\) était atomique (\(0.1 \, \text{nm}\)), l'énergie serait 2500 fois plus grande (car \(\text{L}^2\) au dénominateur), de l'ordre de plusieurs eV, ce qui correspond aux énergies des électrons de valence dans les atomes.
Ne pas oublier de mettre \(\text{L}\) et \(\text{h}\) au carré dans le calcul numérique. C'est la source d'erreur la plus fréquente.
❓ Question Fréquente
Que se passe-t-il si \(\text{n}\) augmente ? Pour \(\text{n}=2\), l'énergie est \(\text{E}_2 = 4\text{E}_1 = 60 \, \text{meV}\). L'énergie augmente quadratiquement. Les niveaux sont de plus en plus espacés.
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Note de Calculs : Dimensionnement Puits Quantique
| Paramètre / Désignation | Valeur / Formule | Unité / Note |
|---|---|---|
| 1. HYPOTHÈSES DE MODÉLISATION | ||
| Modèle physique | Puits de Potentiel Infini 1D | Modèle conservatif (\(V=0\) ou \(\infty\)) |
| Particule | Électron (approximation masse libre) | \(m = m_e\) |
| Largeur du puits (\(L\)) | \(5.0\) | \(\text{nm}\) (\(10^{-9}\,\text{m}\)) |
| 2. RÉSULTATS INTERMÉDIAIRES | ||
| Vecteur d'onde fondamental (\(k_1\)) | \(k_1 = \pi / L\) | \(0.628 \times 10^9 \, \text{m}^{-1}\) |
| Constante de Normalisation (\(A\)) | \(A = \sqrt{2/L}\) | \(20\,000 \, \text{m}^{-1/2}\) |
| 3. RÉSULTATS FINAUX | ||
| Énergie (Joule) | \(E_1 = 2.41 \times 10^{-21}\) | \(\text{Joules}\) |
| Énergie (Electron-Volt) | \(E_1 \approx 15.0\) | \(\text{meV}\) |
| Conformité | ✔ CONFORME | Cible : \(10-20\,\text{meV}\) |
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