Lorsque la lumière passe d'un milieu transparent à un autre (par exemple de l'air à l'eau), elle change de direction. Ce phénomène, appelé RéfractionDéviation de la lumière lorsqu'elle change de milieu de propagation., obéit à une loi fondamentale qui découle non pas de la géométrie pure, mais d'un principe d'optimisation temporelle : le Principe de Fermat.

Analogie du Sauveteur : Imaginez un sauveteur sur la plage qui doit secourir un nageur en détresse. Il court plus vite sur le sable qu'il ne nage dans l'eau. Pour arriver le plus vite possible, il ne prendra pas la ligne droite, mais courra plus longtemps sur le sable pour minimiser son temps de nage.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de chemin optique et de temps de parcours.
Exprimer le temps de trajet en fonction de la position du point d'incidence.
Retrouver la loi de Snell-Descartes par le calcul de dérivée.

Données de l'étude

On considère un rayon lumineux partant d'un point A situé dans un milieu 1 (ex: Air) pour atteindre un point B situé dans un milieu 2 (ex: Verre). La séparation des deux milieux est une surface plane horizontale.

Paramètres du Système

Paramètre	Valeur / Description
Position du point A	\((0, \text{h}_1)\) avec \(\text{h}_1 = 5 \text{ m}\)
Position du point B	\((\text{L}, -\text{h}_2)\) avec \(\text{L} = 10 \text{ m}, \text{h}_2 = 5 \text{ m}\)
Milieu 1 (Haut)	Indice \(n_1 = 1.0\) (Air)
Milieu 2 (Bas)	Indice \(n_2 = 1.5\) (Verre)
Point d'incidence M	\((\text{x}, 0)\) sur l'interface, avec \(0 \le \text{x} \le \text{L}\)

Schéma de la Réfraction

Questions à traiter

Exprimer les distances \(AM\) et \(MB\) en fonction de \(x\).
En déduire l'expression du temps total \(t(x)\) pour aller de A à B.
Déterminer la condition pour que ce temps soit minimal (\(dt/dx = 0\)).
Vérifier que cette condition correspond à la loi de Snell-Descartes.
Application Numérique : Déterminer l'équation satisfaite par \(x\).

Les bases théoriques

Le principe de Fermat stipule que la lumière emprunte le chemin qui minimise le temps de parcours. C'est un principe variationnel fondamental en physique.

Vitesse de la lumière dans un milieu
La vitesse \(v\) de la lumière dans un matériau dépend de son Indice de réfractionGrandeur sans dimension caractérisant le ralentissement de la lumière dans le milieu. \(n\).

Relation Indice-Vitesse

v = \frac{c}{n}

Où :

\(c \approx 3,00 \times 10^8 \text{ m/s}\) (vitesse dans le vide)
\(n \ge 1\) est l'indice du milieu.

Temps de parcours
Pour une distance \(d\) parcourue à vitesse constante \(v\), le temps est :

Relation Distance-Temps

t = \frac{d}{v} = \frac{n \cdot d}{c}

Principe de Fermat
La trajectoire réelle suivie par la lumière est celle qui rend le temps de trajet stationnaire (généralement minimal) :

Condition de stationnarité

\frac{dt}{dx} = 0

Correction : Principe de Fermat pour la Réfraction

Question 1 : Expression des distances

Principe

Pour exprimer les longueurs des segments \(AM\) et \(MB\), nous utilisons simplement la géométrie euclidienne dans un repère orthonormé. La lumière se propageant en ligne droite dans un milieu homogène, le trajet est rectiligne entre A et M, et entre M et B.

Mini-Cours

Théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : \(c^2 = a^2 + b^2\).

Remarque Pédagogique

Notez que \(x\) est la distance horizontale parcourue dans le milieu 1, et \((\text{L}-x)\) celle parcourue dans le milieu 2.

Normes

Respecter les notations de l'énoncé est crucial pour la lisibilité des calculs ultérieurs.

Hypothèses

On suppose que :

Les milieux sont homogènes et isotropes (indice constant).
L'interface est parfaitement plane.

Données

Point	Coordonnées
A	\((0, \text{h}_1)\)
M	\((x, 0)\)
B	\((L, -\text{h}_2)\)

Formule(s)

Distances Euclidiennes

\text{Distance} = \sqrt{(\text{x}_M - \text{x}_A)^2 + (\text{y}_M - \text{y}_A)^2}

Astuces

Visualisez les triangles rectangles formés par la projection des points A et B sur l'axe horizontal. Cela simplifie la pose de l'équation.

Conversion(s)

Aucune conversion nécessaire ici, toutes les longueurs sont dans la même unité arbitraire (mètres).

Calcul intermédiaire

Calculons les écarts :

\begin{aligned} \Delta x_{\text{AM}} &= x - 0 \\ &= x \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta y_{\text{AM}} &= 0 - h_1 \\ &= -h_1 \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta x_{\text{MB}} &= L - x \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta y_{\text{MB}} &= -h_2 - 0 \\ &= -h_2 \end{aligned}

Schéma (Avant les calculs)

Géométrie des triangles

Calcul Principal

Pour le segment AM, on identifie le triangle rectangle de côtés \(h_1\) et \(x\). En appliquant la formule aux coordonnées, avec \((\Delta y)^2 = (-h)^2 = h^2\) :

Distances AM et MB

\begin{aligned} AM &= \sqrt{x^2 + h_1^2} \end{aligned}

\begin{aligned} MB &= \sqrt{(L - x)^2 + h_2^2} \end{aligned}

On obtient ainsi l'expression de l'hypoténuse AM. De même pour MB, le triangle a pour côtés \(h_2\) et la distance restante \(L-x\).

Schéma (Après les calculs)

Vue d'ensemble des distances

Réflexions

Ces expressions sont physiquement cohérentes : si \(x\) augmente (point M vers la droite), la distance \(AM\) augmente tandis que \(MB\) diminue.

Points de vigilance

N'oubliez pas que \((-h_2)^2 = h_2^2\). Les distances sont toujours positives.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Pythagore est la clé pour relier coordonnées et distances.
La variable \(x\) est la seule inconnue géométrique.

Le saviez-vous ?

Les arpenteurs utilisent ce même principe de triangularisation pour mesurer des terrains complexes.

FAQ

Pourquoi ne pas utiliser directement les coordonnées ?

Parce que nous cherchons une longueur physique pour calculer un temps de parcours, pas juste une position.

\[ AM = \sqrt{h_1^2 + x^2} \quad \text{et} \quad MB = \sqrt{h_2^2 + (L - x)^2} \]

A vous de jouer
Si un triangle rectangle a des côtés de 3m et 4m, quelle est son hypoténuse ?

📝 Mémo
La distance est toujours la racine carrée de la somme des carrés des décalages en X et en Y.

Question 2 : Expression du Temps Total

Principe

Le temps total est la somme du temps passé dans le milieu 1 et du temps passé dans le milieu 2. Le temps est lié à la distance et à la vitesse locale de la lumière.

Mini-Cours

Vitesse dans un milieu : \(v = c/n\). Plus l'indice \(n\) est élevé, plus la lumière est "freinée".

Remarque Pédagogique

Le temps n'est pas proportionnel à la distance totale directe, mais à la somme pondérée des distances par les indices de réfraction.

Normes

On utilise le système SI, le temps sera en secondes.

Hypothèses

La vitesse est constante dans chaque milieu homogène.

Données

Grandeur	Symbole
Vitesse vide	\(c\)
Indices	\(n_1, n_2\)

Formule(s)

Temps de parcours

La relation fondamentale lie la durée, la distance et la vitesse.

\begin{aligned} t &= \frac{d}{v} \\ &= \frac{d}{c/n} \\ &= \frac{n \cdot d}{c} \end{aligned}

Astuces

Vous pouvez factoriser par \(1/c\) à la fin pour simplifier l'expression, car \(c\) est une constante qui n'affectera pas la position du minimum.

Conversion(s)

Pas de conversion nécessaire.

Calcul intermédiaire

On applique cette relation séparément pour chaque milieu. Exprimons les temps partiels en utilisant la formule ci-dessus :

Temps par milieu

\begin{aligned} t_1 &= \frac{n_1 \cdot AM}{c} \end{aligned}

\begin{aligned} t_2 &= \frac{n_2 \cdot MB}{c} \end{aligned}

Schéma (Avant les calculs)

Milieux et Vitesses

Calcul Principal

Fonction Temps t(x)

Le temps total est la superposition des deux durées de traversée : \(t(x) = t_1 + t_2\). En remplaçant AM et MB par leurs expressions trouvées en Q1 :

\begin{aligned} t(x) &= t_1 + t_2 \\ &= \frac{n_1 \sqrt{h_1^2 + x^2}}{c} + \frac{n_2 \sqrt{h_2^2 + (L-x)^2}}{c} \end{aligned}

On obtient une fonction de la seule variable \(x\), paramétrée par les constantes géométriques et optiques.

Schéma (Après les calculs)

Composition du Temps Total

Réflexions

La fonction est une somme de deux fonctions convexes, elle admet donc un minimum unique.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier de diviser par \(c\). Même si pour trouver le minimum (où la dérivée est nulle), le facteur \(1/c\) s'éliminera, il est physiquement nécessaire pour avoir un temps (dimensionnellement correct).

Points à Retenir

Le "chemin optique" est \(L_{\text{opt}} = n \times d\). Le temps est \(L_{\text{opt}}/c\).

Le saviez-vous ?

C'est ce même retard temporel dû à l'indice qui permet aux lentilles de focaliser la lumière en un point.

FAQ

Pourquoi additionne-t-on les temps ?

Le trajet est séquentiel : la lumière traverse d'abord le milieu 1 PUIS le milieu 2.

\[ t(x) = \frac{1}{c} \left( n_1 \sqrt{h_1^2 + x^2} + n_2 \sqrt{h_2^2 + (L-x)^2} \right) \]

A vous de jouer
Si la lumière parcourt 1 mètre dans le vide (\(n=1\)), combien de nanosecondes cela prend-il environ ? (\(c \approx 0.3\) m/ns)

📝 Mémo
Temps total = Somme des (Indice × Distance) / c.

Question 3 : Recherche du Minimum

Principe

Pour trouver l'extremum d'une fonction continue et dérivable, on cherche les points où sa dérivée s'annule (points stationnaires). Ici, nous cherchons \(x\) tel que la variation du temps soit nulle.

Mini-Cours

Dérivée d'une racine composée :
Si \(f(x) = \sqrt{u(x)}\), alors sa dérivée est \(f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\).

Remarque Pédagogique

La variable de dérivation est \(x\). \(L\), \(h_1\) et \(h_2\) sont des constantes géométriques fixes.

Normes

Notation de Leibniz \(d/dx\) utilisée.

Hypothèses

La fonction \(t(x)\) est dérivable sur l'intervalle \([0, L]\).

Données

Fonction \(u(x)\)	Dérivée \(u'(x)\)
\(h_1^2 + x^2\)	\(2x\)
\(h_2^2 + (L-x)^2\)	\(2(L-x) \cdot (-1) = -2(L-x)\)

Formule(s)

Dérivée d'une somme

\[ (u+v)' = u' + v' \]

Astuces

Regardez la géométrie ! \( \frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} \) est le rapport (Côté Opposé / Hypoténuse) pour l'angle d'incidence \(i_1\). C'est donc exactement \(\sin(i_1)\).

Conversion(s)

Passage de l'expression algébrique à l'expression trigonométrique via la définition du sinus.

Calcul intermédiaire

Dérivons terme à terme en appliquant la formule de la racine. Dérivons le premier terme (radical) par rapport à \(x\). On utilise la règle de la chaîne \((u^n)' = n u' u^{n-1}\) avec \(n=1/2\) :

Dérivée du terme 1

\begin{aligned} \frac{d}{dx} \left( \sqrt{h_1^2 + x^2} \right) &= \frac{2x}{2\sqrt{h_1^2 + x^2}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} \end{aligned}

Pour le second terme, attention à la dérivée interne de \((L-x)^2\) qui vaut \(-2(L-x)\) :

Dérivée du terme 2

\begin{aligned} \frac{d}{dx} \left( \sqrt{h_2^2 + (L-x)^2} \right) &= \frac{-2(L-x)}{2\sqrt{h_2^2 + (L-x)^2}} \\ &= \frac{-(L-x)}{\sqrt{h_2^2 + (L-x)^2}} \end{aligned}

Schéma (Avant les calculs)

Recherche de l'Extremum

Calcul Principal

On rassemble ces deux résultats en réintroduisant les facteurs constants \(n/c\). Dérivée totale :

\begin{aligned} \frac{dt}{dx} &= \frac{1}{c} \left( n_1 \frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} - n_2 \frac{L-x}{\sqrt{h_2^2 + (L-x)^2}} \right) \end{aligned}

On remarque que les termes entre parenthèses correspondent exactement aux sinus des angles d'incidence et de réfraction.

Schéma (Après les calculs)

Interprétation Trigonométrique

Réflexions

La dérivée passe du négatif au positif, confirmant un minimum.

Points de vigilance

Attention au signe moins provenant de la dérivée de \((L-x)^2\) (dérivée de fonction composée).

Points à Retenir

La condition d'extremum relie les sinus des angles géométriques.

Le saviez-vous ?

C'est une application directe du calcul différentiel inventé par Newton et Leibniz.

FAQ

Pourquoi la dérivée s'annule-t-elle ?

C'est une condition nécessaire pour un minimum local. Physiquement, cela signifie qu'une variation infinitésimale de trajectoire ne change pas le temps de parcours au premier ordre.

\[ \frac{dt}{dx} = 0 \iff n_1 \sin(i_1) - n_2 \sin(i_2) = 0 \]

A vous de jouer
Quelle est la valeur de la dérivée de \(x^2\) pour \(x=3\) ?

📝 Mémo
La dérivée de la distance par rapport à la coordonnée transversale donne toujours le sinus de l'angle par rapport à la normale.

Question 4 : Loi de Snell-Descartes

Principe

Il suffit de réarranger l'équation obtenue à la question précédente pour retrouver la forme canonique de la loi de la réfraction.

Mini-Cours

Loi de Snell-Descartes (1621) : Fondement de l'optique géométrique, elle lie les angles d'incidence et de réfraction aux indices des milieux.

Remarque Pédagogique

Cette loi montre que si \(n_2 > n_1\), alors \(\sin(i_2) < \sin(i_1)\), donc le rayon se rapproche de la normale.

Normes

Les angles sont en radians ou degrés, la relation reste vraie.

Hypothèses

Milieux transparents et isotropes.

Données

Relation	Description
\(n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2\)	Loi de la Réfraction

Formule(s)

Loi des Sinus

n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)

Astuces

Moyen mnémotechnique : "n sin i" se conserve à la traversée.

Conversion(s)

Aucune.

Calcul intermédiaire

Aucun calcul complexe, juste de l'algèbre simple.

Schéma (Avant les calculs)

Angles incidence/réfraction

Calcul Principal

Partons de l'équation obtenue en annulant la dérivée : \( n_1 \sin(i_1) - n_2 \sin(i_2) = 0 \)

On isole les termes de chaque côté du signe égal pour séparer les milieux. On ajoute \( n_2 \sin(i_2) \) des deux côtés de l'égalité.

\[ n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2) \]

On aboutit à la forme standard de la loi de Snell-Descartes.

Schéma (Après les calculs)

Équilibre Optique

Réflexions

Cela confirme l'équivalence entre Fermat et Snell.

Points de vigilance

Les angles sont toujours définis par rapport à la normale (la perpendiculaire à la surface), jamais par rapport à la surface elle-même.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Le principe de moindre temps implique la loi des sinus.
La lumière "optimise" son trajet en réduisant la distance dans le milieu le plus lent (indice fort).

Le saviez-vous ?

Cette loi a été découverte empiriquement par Snell en 1621, et déduite théoriquement par Descartes (avec une hypothèse corpusculaire fausse) puis par Fermat (avec le principe de temps correct) plus tard.

FAQ

Est-ce toujours un minimum ?

Dans la plupart des cas simples, oui. Mathématiquement, c'est un extremum (stationnaire), qui peut parfois être un maximum ou un point selle dans des systèmes optiques complexes (miroirs courbes).

A vous de jouer
Si \(n_1=1, n_2=2, i_1=30°\) (\(\sin 30° = 0.5\)), que vaut \(\sin(i_2)\) ?

📝 Mémo
\(n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2\). C'est LA formule à connaître par cœur en optique.

Question 5 : Application Numérique

Principe

L'objectif est de trouver la position réelle \(x\) où le rayon traverse l'interface pour les valeurs données. Cela revient à résoudre l'équation dérivée nulle avec des valeurs numériques.

Mini-Cours

Résolution d'équations : Quand une équation ne peut pas être isolée sous la forme \(x = ...\), on utilise des méthodes numériques (graphique ou algorithmique).

Remarque Pédagogique

C'est un problème classique où la physique est simple (loi de Snell) mais la résolution algébrique exacte est complexe (racines de polynôme).

Normes

Résultats donnés avec 2 décimales significatives.

Hypothèses

Les valeurs sont exactes.

Données

Variable	Valeur
\(n_1\) (Air)	1.0
\(n_2\) (Verre)	1.5
\(h_1\)	5 m
\(h_2\)	5 m
\(L\)	10 m

Formule(s)

Équation non-linéaire à résoudre

n_1 \frac{x}{\sqrt{h_1^2 + x^2}} = n_2 \frac{L-x}{\sqrt{h_2^2 + (L-x)^2}}

Astuces

Pour estimer la solution, notez que \(n_2 > n_1\), donc le trajet dans le milieu 2 doit être plus court que celui dans le milieu 1. Le point \(M\) sera donc décalé vers la droite (\(x > 5\)).

Conversion(s)

Aucune.

Calcul intermédiaire

On pose la fonction :

f(x) = \frac{x}{\sqrt{25+x^2}} - 1.5 \frac{10-x}{\sqrt{25+(10-x)^2}}

et on cherche \(f(x)=0\).

Schéma (Avant les calculs)

Configuration Numérique

Calcul Principal

On injecte les valeurs numériques :

1.0 \cdot \frac{x}{\sqrt{25 + x^2}} = 1.5 \cdot \frac{10-x}{\sqrt{25 + (10-x)^2}}

Nous cherchons la valeur de \(x\) qui égalise ces deux termes. Essayons une valeur test, par exemple le milieu géométrique \(x=5\) :

\begin{aligned} \text{Terme gauche} &= \frac{5}{\sqrt{25+25}} \\ &= \frac{5}{\sqrt{50}} \\ &\approx 0.707 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Terme droite} &= 1.5 \times \frac{5}{\sqrt{25+25}} \\ &\approx 1.06 \end{aligned}

Les termes ne sont pas égaux (le côté droit est plus grand), il faut donc augmenter \(x\) pour équilibrer. Par itérations successives ou calculatrice, on converge vers la solution.

Schéma (Après les calculs)

Résultat: Position de l'impact

Réflexions

Si \(n_1 = n_2\), la solution serait évidente par symétrie : \(x = L/2 = 5\). Ici, l'asymétrie des indices crée l'asymétrie géométrique.

Points de vigilance

Cette équation ne se résout pas facilement analytiquement (elle mène à un polynôme de degré 4). Il ne faut pas essayer d'isoler \(x\) à la main lors d'un examen sans calculatrice.

Points à Retenir

Le rayon "coupe le virage" dans le milieu où il est le plus lent pour minimiser la pénalité temporelle.

Le saviez-vous ?

C'est exactement le même problème que le "problème du maître-nageur" qui doit courir sur la plage puis nager pour sauver quelqu'un.

FAQ

Y a-t-il une seule solution ?

Oui, physiquement et mathématiquement, pour \(x\) entre 0 et L, la fonction temps est convexe, donc il y a un unique minimum.

\[ x \approx 6.23 \text{ m} \]

A vous de jouer
Si les deux milieux avaient le même indice (\(n_1 = 1.5, n_2 = 1.5\)), quelle serait la valeur de \(x\) ?

📝 Mémo
Le point d'incidence se déplace toujours vers le milieu le moins réfringent (indice le plus faible) pour maximiser le trajet "rapide".

Bilan Visuel

Comparaison entre la ligne droite (géométrique) et le chemin réel (optique).

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Synthèse pour l'optique géométrique :

🔑
Principe : La lumière emprunte le chemin qui minimise le temps de parcours, pas forcément la distance.
📐
Loi de Snell : \( n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 \). C'est la conséquence mathématique de ce principe.
💡
Indice n : Plus n est grand, plus la lumière va lentement (\(v=c/n\)) et plus le rayon se rapproche de la normale.

"La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples." - Fermat

🎛️ Simulateur interactif

Modifiez les indices de réfraction pour voir comment le temps de trajet varie en fonction de la position \(x\) sur l'interface.

Paramètres Optiques

Indice Milieu 1 (\(n_1\)) : 1.0

Indice Milieu 2 (\(n_2\)) : 1.5

Position optimale \(x\) (approx) : -

Temps minimal (ns) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si \(n_1 = n_2\), quelle est la trajectoire de la lumière ?

Une courbe parabolique
Une ligne droite
Un arc de cercle

2. Dans quel milieu la lumière va-t-elle le plus vite ?

Celui avec l'indice \(n\) le plus faible
Celui avec l'indice \(n\) le plus élevé

📚 Glossaire

Réfraction: Changement de direction d'une onde au passage d'une interface entre deux milieux.
Indice (n): Rapport de la vitesse de la lumière dans le vide sur sa vitesse dans le milieu.
Stationnaire: Qualifie une grandeur dont la dérivée est nulle (maximum, minimum ou point d'inflexion).
Normale: Droite perpendiculaire à la surface de séparation au point d'incidence.
Photonique: Branche de la physique concernant l'étude et la fabrication de composants utilisant la lumière.

Le Saviez-vous ?

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OPTIQUE & PHOTONIQUE

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