ÉTUDE DE PHYSIQUE

Principe de Fermat pour la Réfraction

Principe de Fermat et Réfraction (Lois de Snell-Descartes)

Application du Principe de Fermat pour la Réfraction

Comprendre le Principe de Fermat

Le principe de Fermat, ou principe de moindre temps, est un postulat fondamental de l'optique géométrique. Il énonce que le chemin suivi par la lumière pour aller d'un point à un autre est celui pour lequel le temps de parcours est minimal (ou, plus généralement, extrémal). Ce principe élégant permet de dériver les lois fondamentales de l'optique, notamment les lois de la réflexion et de la réfraction (lois de Snell-Descartes).

Dans un milieu où la vitesse de la lumière est \(v\), le temps pour parcourir une distance \(d\) est \(t = d/v\). Comme l'indice de réfraction \(n\) est défini par \(n=c/v\) (où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide), on peut écrire \(t = dn/c\). Minimiser le temps de parcours revient donc à minimiser le "chemin optique" \(L = dn\). Cet exercice vise à utiliser ce principe pour retrouver la loi de la réfraction.

Données de l'étude

Un rayon lumineux part d'un point A dans un milieu d'indice \(n_1\) pour atteindre un point B dans un milieu d'indice \(n_2\). Les points A et B ont des coordonnées fixes. Le rayon traverse l'interface entre les deux milieux en un point P, dont la position sur l'axe horizontal est variable.

Coordonnées et indices :

  • Point de départ A : \((-d_1, h_1)\)
  • Point d'arrivée B : \((d_2, -h_2)\)
  • Interface située à \(y=0\)
  • Point P sur l'interface : \((x, 0)\)
  • Indice du milieu 1 (pour \(y>0\)) : \(n_1 = 1.00\) (air)
  • Indice du milieu 2 (pour \(y<0\)) : \(n_2 = 1.33\) (eau)
Schéma : Trajet de la Lumière entre Deux Milieux
{/* Interface et Milieux */} Milieu 1 (n₁) Milieu 2 (n₂) {/* Points et trajets */} A B P(x,0) {/* Normales et angles */} θ₁ θ₂ {/* Dimensions */} d₁ + x d₂ - x h₁ h₂

La lumière choisit le trajet de A à B (via le point P) qui minimise le temps de parcours.

Questions à traiter

  1. Exprimer les distances AP et PB en fonction de \(h_1, h_2, d_1, d_2\) et de la variable \(x\).
  2. Exprimer le temps total de parcours \(t(x)\) pour le trajet A-P-B. (Rappel : \(t = \text{distance} / v = n \cdot \text{distance} / c\)).
  3. Calculer la dérivée du temps de parcours par rapport à \(x\), c'est-à-dire \(dt/dx\).
  4. Appliquer le principe de Fermat (\(dt/dx = 0\)) pour trouver la condition qui minimise le temps de parcours.
  5. Montrer que la condition trouvée à la question 4 est équivalente à la loi de Snell-Descartes pour la réfraction, \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\).
  6. En utilisant les valeurs numériques de l'énoncé (\(n_1=1.00\), \(n_2=1.33\)), calculer l'angle de réfraction \(\theta_2\) si l'angle d'incidence \(\theta_1\) est de 45°.

Correction : Dérivation des Lois de la Réfraction

Question 1 : Expression des Distances AP et PB

Principe :

En utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles formés par les points A, B, P et les projections sur l'interface, nous pouvons exprimer les longueurs des segments AP et PB.

Calcul :
\[\text{Distance AP} = \sqrt{(x - (-d_1))^2 + (0 - h_1)^2} = \sqrt{(x+d_1)^2 + h_1^2}\] \[\text{Distance PB} = \sqrt{(d_2 - x)^2 + (-h_2 - 0)^2} = \sqrt{(d_2-x)^2 + h_2^2}\]
Résultat Question 1 : Les distances sont \(AP = \sqrt{(x+d_1)^2 + h_1^2}\) et \(PB = \sqrt{(d_2-x)^2 + h_2^2}\).

Question 2 : Expression du Temps de Parcours Total \(t(x)\)

Principe :

Le temps total est la somme des temps de parcours dans chaque milieu. Le temps dans un milieu est le chemin optique (\(n \times \text{distance}\)) divisé par la vitesse de la lumière dans le vide \(c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[t(x) = t_{AP} + t_{PB} = \frac{n_1 \cdot AP}{c} + \frac{n_2 \cdot PB}{c}\] \[t(x) = \frac{1}{c} \left[ n_1\sqrt{(x+d_1)^2 + h_1^2} + n_2\sqrt{(d_2-x)^2 + h_2^2} \right]\]
Résultat Question 2 : \(t(x) = \frac{1}{c} \left[ n_1\sqrt{(x+d_1)^2 + h_1^2} + n_2\sqrt{(d_2-x)^2 + h_2^2} \right]\).

Question 3 : Calcul de la Dérivée \(dt/dx\)

Principe :

On dérive l'expression de \(t(x)\) par rapport à la variable \(x\). On utilise la formule de dérivation pour une fonction composée de type \(\sqrt{u(x)}\), dont la dérivée est \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{dt}{dx} &= \frac{1}{c} \left[ n_1 \frac{2(x+d_1)}{2\sqrt{(x+d_1)^2 + h_1^2}} + n_2 \frac{2(d_2-x)(-1)}{2\sqrt{(d_2-x)^2 + h_2^2}} \right] \\ &= \frac{1}{c} \left[ n_1 \frac{x+d_1}{\sqrt{(x+d_1)^2 + h_1^2}} - n_2 \frac{d_2-x}{\sqrt{(d_2-x)^2 + h_2^2}} \right] \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(\frac{dt}{dx} = \frac{1}{c} \left[ \frac{n_1 (x+d_1)}{AP} - \frac{n_2 (d_2-x)}{PB} \right]\).

Question 4 : Application du Principe de Fermat

Principe :

Le principe de Fermat stipule que le chemin réellement suivi par la lumière correspond à un temps de parcours minimal (ou extrémal). Mathématiquement, cela signifie que la dérivée du temps par rapport à la variable du chemin doit être nulle.

Condition :
\[\frac{dt}{dx} = 0\] \[\Rightarrow \frac{1}{c} \left[ n_1 \frac{x+d_1}{AP} - n_2 \frac{d_2-x}{PB} \right] = 0\] \[n_1 \frac{x+d_1}{AP} = n_2 \frac{d_2-x}{PB}\]
Résultat Question 4 : La condition pour un temps de parcours minimal est \(n_1 \frac{x+d_1}{AP} = n_2 \frac{d_2-x}{PB}\).

Question 5 : Équivalence avec la Loi de Snell-Descartes

Principe :

Il faut maintenant relier les termes géométriques de l'équation précédente aux sinus des angles d'incidence (\(\theta_1\)) et de réfraction (\(\theta_2\)).

Démonstration :

D'après le schéma, on peut identifier les sinus des angles :

\[\sin\theta_1 = \frac{x+d_1}{AP} \quad \text{et} \quad \sin\theta_2 = \frac{d_2-x}{PB}\]

En substituant ces expressions dans la condition trouvée à la question 4 :

\[n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\]

On retrouve bien la loi de la réfraction de Snell-Descartes.

Résultat Question 5 : La condition issue du principe de Fermat est bien équivalente à la loi de Snell-Descartes : \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\).

Question 6 : Calcul Numérique de l'Angle de Réfraction

Principe :

On applique la loi de Snell-Descartes avec les valeurs numériques fournies pour trouver l'angle de réfraction \(\theta_2\).

Données spécifiques :
  • \(n_1 = 1.00\) (air)
  • \(n_2 = 1.33\) (eau)
  • \(\theta_1 = 45^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} 1.00 \cdot \sin(45^\circ) &= 1.33 \cdot \sin(\theta_2) \\ \sin(\theta_2) &= \frac{\sin(45^\circ)}{1.33} \\ &= \frac{0.7071}{1.33} \\ &\approx 0.5317 \\ \\ \theta_2 &= \arcsin(0.5317) \\ &\approx 32.12^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Pour un angle d'incidence de 45°, l'angle de réfraction dans l'eau est \(\theta_2 \approx 32.1^\circ\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le principe de Fermat stipule que la lumière suit le chemin qui minimise :

2. Le chemin optique est défini comme :

3. En passant d'un milieu moins réfringent (ex: air, \(n_1\)) à un milieu plus réfringent (ex: eau, \(n_2 > n_1\)), le rayon lumineux...

Glossaire

Principe de Fermat
Principe variationnel postulant que pour aller d'un point à un autre, la lumière emprunte le chemin qui minimise son temps de parcours. C'est un principe fondamental de l'optique géométrique.
Chemin Optique
Défini comme le produit de la distance géométrique parcourue par la lumière dans un milieu et l'indice de réfraction de ce milieu (\(L = n \cdot d\)). Le temps de parcours est proportionnel au chemin optique (\(t = L/c\)).
Réfraction
Changement de direction que subit une onde (comme la lumière) lorsqu'elle traverse l'interface entre deux milieux où sa vitesse est différente.
Loi de Snell-Descartes
Loi qui régit le phénomène de réfraction. Elle relie les angles d'incidence (\(\theta_1\)) et de réfraction (\(\theta_2\)) aux indices de réfraction (\(n_1, n_2\)) des deux milieux par la relation : \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\).
Indice de réfraction (\(n\))
Nombre sans dimension qui décrit la manière dont la lumière se propage dans un milieu. Un indice plus élevé signifie que la lumière se déplace plus lentement.
Normale
Ligne imaginaire perpendiculaire à une surface au point d'incidence d'un rayon. Les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction sont mesurés par rapport à cette ligne.
Application du Principe de Fermat - Exercice d'Application

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