Application du Principe de Fermat pour la Réfraction
Comprendre le Principe de Fermat
Le principe de Fermat, ou principe de moindre temps, est un postulat fondamental de l'optique géométrique. Il énonce que le chemin suivi par la lumière pour aller d'un point à un autre est celui pour lequel le temps de parcours est minimal (ou, plus généralement, extrémal). Ce principe élégant permet de dériver les lois fondamentales de l'optique, notamment les lois de la réflexion et de la réfraction (lois de Snell-Descartes).
Dans un milieu où la vitesse de la lumière est \(v\), le temps pour parcourir une distance \(d\) est \(t = d/v\). Comme l'indice de réfraction \(n\) est défini par \(n=c/v\) (où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide), on peut écrire \(t = dn/c\). Minimiser le temps de parcours revient donc à minimiser le "chemin optique" \(L = dn\). Cet exercice vise à utiliser ce principe pour retrouver la loi de la réfraction.
Données de l'étude
- Point de départ A : \((-d_1, h_1)\)
- Point d'arrivée B : \((d_2, -h_2)\)
- Interface située à \(y=0\)
- Point P sur l'interface : \((x, 0)\)
- Indice du milieu 1 (pour \(y>0\)) : \(n_1 = 1.00\) (air)
- Indice du milieu 2 (pour \(y<0\)) : \(n_2 = 1.33\) (eau)
Schéma : Trajet de la Lumière entre Deux Milieux
La lumière choisit le trajet de A à B (via le point P) qui minimise le temps de parcours.
Questions à traiter
- Exprimer les distances AP et PB en fonction de \(h_1, h_2, d_1, d_2\) et de la variable \(x\).
- Exprimer le temps total de parcours \(t(x)\) pour le trajet A-P-B. (Rappel : \(t = \text{distance} / v = n \cdot \text{distance} / c\)).
- Calculer la dérivée du temps de parcours par rapport à \(x\), c'est-à-dire \(dt/dx\).
- Appliquer le principe de Fermat (\(dt/dx = 0\)) pour trouver la condition qui minimise le temps de parcours.
- Montrer que la condition trouvée à la question 4 est équivalente à la loi de Snell-Descartes pour la réfraction, \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\).
- En utilisant les valeurs numériques de l'énoncé (\(n_1=1.00\), \(n_2=1.33\)), calculer l'angle de réfraction \(\theta_2\) si l'angle d'incidence \(\theta_1\) est de 45°.
Correction : Dérivation des Lois de la Réfraction
Question 1 : Expression des Distances AP et PB
Principe :
En utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles formés par les points A, B, P et les projections sur l'interface, nous pouvons exprimer les longueurs des segments AP et PB.
Calcul :
Question 2 : Expression du Temps de Parcours Total \(t(x)\)
Principe :
Le temps total est la somme des temps de parcours dans chaque milieu. Le temps dans un milieu est le chemin optique (\(n \times \text{distance}\)) divisé par la vitesse de la lumière dans le vide \(c\).
Formule(s) utilisée(s) :
Question 3 : Calcul de la Dérivée \(dt/dx\)
Principe :
On dérive l'expression de \(t(x)\) par rapport à la variable \(x\). On utilise la formule de dérivation pour une fonction composée de type \(\sqrt{u(x)}\), dont la dérivée est \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\).
Calcul :
Question 4 : Application du Principe de Fermat
Principe :
Le principe de Fermat stipule que le chemin réellement suivi par la lumière correspond à un temps de parcours minimal (ou extrémal). Mathématiquement, cela signifie que la dérivée du temps par rapport à la variable du chemin doit être nulle.
Condition :
Question 5 : Équivalence avec la Loi de Snell-Descartes
Principe :
Il faut maintenant relier les termes géométriques de l'équation précédente aux sinus des angles d'incidence (\(\theta_1\)) et de réfraction (\(\theta_2\)).
Démonstration :
D'après le schéma, on peut identifier les sinus des angles :
En substituant ces expressions dans la condition trouvée à la question 4 :
On retrouve bien la loi de la réfraction de Snell-Descartes.
Question 6 : Calcul Numérique de l'Angle de Réfraction
Principe :
On applique la loi de Snell-Descartes avec les valeurs numériques fournies pour trouver l'angle de réfraction \(\theta_2\).
Données spécifiques :
- \(n_1 = 1.00\) (air)
- \(n_2 = 1.33\) (eau)
- \(\theta_1 = 45^\circ\)
Calcul :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le principe de Fermat stipule que la lumière suit le chemin qui minimise :
2. Le chemin optique est défini comme :
3. En passant d'un milieu moins réfringent (ex: air, \(n_1\)) à un milieu plus réfringent (ex: eau, \(n_2 > n_1\)), le rayon lumineux...
Glossaire
- Principe de Fermat
- Principe variationnel postulant que pour aller d'un point à un autre, la lumière emprunte le chemin qui minimise son temps de parcours. C'est un principe fondamental de l'optique géométrique.
- Chemin Optique
- Défini comme le produit de la distance géométrique parcourue par la lumière dans un milieu et l'indice de réfraction de ce milieu (\(L = n \cdot d\)). Le temps de parcours est proportionnel au chemin optique (\(t = L/c\)).
- Réfraction
- Changement de direction que subit une onde (comme la lumière) lorsqu'elle traverse l'interface entre deux milieux où sa vitesse est différente.
- Loi de Snell-Descartes
- Loi qui régit le phénomène de réfraction. Elle relie les angles d'incidence (\(\theta_1\)) et de réfraction (\(\theta_2\)) aux indices de réfraction (\(n_1, n_2\)) des deux milieux par la relation : \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\).
- Indice de réfraction (\(n\))
- Nombre sans dimension qui décrit la manière dont la lumière se propage dans un milieu. Un indice plus élevé signifie que la lumière se déplace plus lentement.
- Normale
- Ligne imaginaire perpendiculaire à une surface au point d'incidence d'un rayon. Les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction sont mesurés par rapport à cette ligne.
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