Représentation Matricielle des Opérateurs de Spin

Exercice : Portes Quantiques et Opérateurs de Spin

Représentation Matricielle des Opérateurs de Spin et Portes Quantiques

Contexte : Le QubitUnité de base de l'information quantique, analogue au bit classique, mais qui peut exister dans une superposition de ses deux états de base..

En physique quantique, le spin d'une particule (comme un électron) ou l'état d'un système à deux niveaux est décrit par un vecteur dans un espace de Hilbert à deux dimensions. L'unité d'information correspondante est le "qubit". Les opérations sur ce qubit, qui modifient son état, sont représentées par des matrices unitaires appelées portes quantiquesOpération quantique de base sur un petit nombre de qubits. Elles sont les briques de base des circuits quantiques, comme les portes logiques classiques le sont pour les circuits numériques.. Cet exercice explore la représentation matricielle des opérateurs les plus fondamentaux : les opérateurs de Pauli (qui sont liés au spin) et la porte de Hadamard, essentielle pour créer des superpositions.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler le formalisme de base de l'informatique quantique. Comprendre comment les matrices agissent sur les vecteurs d'état est la première étape pour concevoir et analyser des algorithmes quantiques.

Objectifs Pédagogiques

Écrire la forme matricielle des opérateurs de Pauli (\(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\)) et de la porte de Hadamard (H).
Calculer l'action d'une porte quantique sur un état de base via la multiplication matricielle.
Déterminer l'état final d'un qubit après l'application d'une séquence de portes.
Calculer les valeurs propresScalaires spéciaux associés à une transformation linéaire (une matrice). Les vecteurs propres correspondants sont les vecteurs qui ne sont que mis à l'échelle par cette transformation. et les vecteurs propres d'un opérateur.

Données de l'étude

On considère un qubit initialement dans l'état de base \(|0\rangle\). Nous allons lui appliquer une séquence de deux portes quantiques, comme décrit dans le circuit ci-dessous.

Circuit Quantique Simple

Visualisation 3D : Sphère de Bloch (État Initial)

Vecteur d'État	Notation de Dirac	Représentation Matricielle
État "zéro"	\(\|0\rangle\)	\[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]
État "un"	\(\|1\rangle\)	\[\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Questions à traiter

Donner les représentations matricielles 2x2 des opérateurs de Pauli X (\(\sigma_x\)), Y (\(\sigma_y\)), Z (\(\sigma_z\)) et de la porte de Hadamard (H).
Le qubit est initialement dans l'état \(|\psi_0\rangle = |0\rangle\). Calculer l'état \(|\psi_1\rangle\) après l'application de la porte de Hadamard.
À partir de l'état \(|\psi_1\rangle\), on applique la porte Pauli-X. Calculer l'état final \(|\psi_2\rangle\).
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres normalisés de l'opérateur Pauli-Z (\(\sigma_z\)).

Les bases de la mécanique quantique matricielle

En mécanique quantique, l'état d'un système est un vecteur dans un espace vectoriel complexe. Les observables physiques (comme l'énergie, la position, le spin) sont des opérateurs hermitiens agissant sur ces vecteurs. Pour un qubit, l'espace est de dimension 2, ce qui rend les calculs particulièrement simples à l'aide de matrices 2x2.

1. Le Qubit et sa base
L'état d'un qubit, \(|\psi\rangle\), est une combinaison linéaire (superposition) des états de base \(|0\rangle\) et \(|1\rangle\) : \[ |\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \] Les coefficients \(\alpha, \beta\) sont des nombres complexes tels que \(|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\). Cette condition assure que la probabilité totale de trouver le qubit dans l'un des deux états est de 100%.

2. Action d'un opérateur
Une opération (ou porte) quantique est une transformation linéaire représentée par une matrice U. L'application d'une porte sur un qubit pour obtenir un nouvel état \(|\psi'\rangle\) est simplement une multiplication matricielle : \[ |\psi'\rangle = U |\psi\rangle \]

Correction : Représentation Matricielle des Opérateurs de Spin et Portes Quantiques

Question 1 : Donner les représentations matricielles des opérateurs.

Principe (le concept physique)

Cette question porte sur la définition des "outils" de base que nous utilisons pour manipuler les qubits. Chaque porte quantique (Pauli, Hadamard) correspond à une opération physique précise sur l'état du qubit, comme une rotation ou une inversion. Leur représentation matricielle est la traduction mathématique de cette opération.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les opérateurs agissant sur un qubit sont des matrices 2x2. Les matrices de Pauli, en particulier, sont fondamentales car elles forment une base pour toutes les matrices 2x2 hermitiennes. Elles sont directement liées à la mesure du spin d'une particule selon les trois axes de l'espace (x, y, z).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez ces matrices comme l'alphabet de l'informatique quantique. Il est essentiel de les mémoriser. Vous verrez qu'elles apparaissent constamment dans les circuits et les algorithmes.

Normes (la référence réglementaire)

En physique quantique, les "normes" sont les postulats fondamentaux de la théorie. Pour cette question, nous nous basons sur le postulat qui associe à toute observable physique un opérateur hermitien, et à toute évolution temporelle (opération) un opérateur unitaire. Toutes les portes quantiques sont des opérateurs unitaires.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les matrices sont définies par convention dans la base de calcul \(\{|0\rangle, |1\rangle\}\) :

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad , \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}

\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad , \quad H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

\(\sigma_x\) est la porte "NOT" quantique (bit-flip).
\(\sigma_z\) est la porte de phase (phase-flip).
H (Hadamard) est la porte qui crée des superpositions uniformes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Wolfgang Pauli a introduit ces matrices en 1927 pour décrire le spin de l'électron, bien avant l'avènement de l'informatique quantique. Leur importance fondamentale en physique a naturellement conduit à leur adoption pour décrire les qubits.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Cette question étant une question de définition, le résultat final est la liste des matrices présentées dans la section "Formule(s)".

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Calculez le produit de matrices \(\sigma_x \cdot \sigma_y\). Le résultat est-il proportionnel à une autre matrice de Pauli ?

Question 2 : Calculer \(|\psi_1\rangle = H|\psi_0\rangle\) avec \(|\psi_0\rangle = |0\rangle\).

Principe (le concept physique)

Nous appliquons l'opération de Hadamard à un qubit qui est dans un état de certitude (l'état \(|0\rangle\)). Physiquement, cela correspond à placer le qubit dans une superposition parfaite, où il a une probabilité égale d'être trouvé dans l'état \(|0\rangle\) ou \(|1\rangle\) lors d'une mesure.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les représentations matricielles de la porte H et de l'état \(|0\rangle\).

Porte Hadamard : \( H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)
État initial : \( |\psi_0\rangle = |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Calcul(s) (l'application numérique)

On effectue le produit de la matrice par le vecteur :

\begin{aligned} |\psi_1\rangle &= H |\psi_0\rangle \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) \\ (1 \cdot 1) + (-1 \cdot 0) \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le vecteur résultat \(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) n'est ni \(|0\rangle\) ni \(|1\rangle\). Il peut être réécrit en notation de Dirac comme \(\frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle)\). Ce nouvel état, souvent noté \(|+\rangle\), est une superposition. Les probabilités de mesure sont données par le carré des modules des amplitudes : \(P(0) = |\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 1/2\) et \(P(1) = |\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 1/2\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier le facteur de normalisation \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Sans lui, le vecteur d'état n'aurait pas une norme de 1, ce qui est physiquement incorrect car la somme des probabilités ne serait pas égale à 100%.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

\[ |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Maintenant, calculez l'état résultant de l'application de la porte H sur l'état \(|1\rangle\). Quel est le résultat ?

Question 3 : Calculer \(|\psi_2\rangle = \sigma_x|\psi_1\rangle\).

Principe (le concept physique)

On applique la porte "NOT" quantique (\(\sigma_x\)) à l'état de superposition que nous venons de créer. Physiquement, cette porte échange les rôles des états de base \(|0\rangle\) et \(|1\rangle\). Nous allons voir comment cela affecte un état qui est une combinaison des deux.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons la matrice \(\sigma_x\) et le vecteur résultat de la question précédente.

Porte Pauli-X : \( \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
État initial : \( |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Calcul(s) (l'application numérique)

On effectue le produit matriciel :

\begin{aligned} |\psi_2\rangle &= \sigma_x |\psi_1\rangle \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) \\ (1 \cdot 1) + (0 \cdot 1) \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Réflexions (l'interprétation du résultat)

De manière surprenante, le résultat est identique à l'état de départ : \(|\psi_2\rangle = |\psi_1\rangle\). Cela signifie que l'état \(|+\rangle\) est un état propre (ou vecteur propre) de l'opérateur \(\sigma_x\). L'opération \(\sigma_x\) n'a pas modifié cet état particulier, elle l'a simplement multiplié par le scalaire 1 (sa valeur propre).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Un opérateur peut avoir des états sur lesquels il n'a "pas d'effet" (au-delà d'une multiplication par un nombre). Ces états sont ses vecteurs propres et sont très importants pour caractériser l'opérateur. L'état \(|+\rangle\) est un état propre de \(\sigma_x\), tout comme \(|0\rangle\) est un état propre de \(\sigma_z\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

\[ |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Appliquez maintenant la porte \(\sigma_z\) à l'état \(|\psi_1\rangle\). L'état change-t-il ?

Question 4 : Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de \(\sigma_z\).

Principe (le concept physique)

Trouver les valeurs et vecteurs propres d'un opérateur d'observable (comme \(\sigma_z\)) est fondamental. Les valeurs propres représentent les seuls résultats possibles que l'on peut obtenir en mesurant cette observable. Les vecteurs propres sont les états dans lesquels le système doit se trouver pour que la mesure donne ce résultat avec certitude.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Nous devons résoudre l'équation aux valeurs propres : \(\sigma_z |\phi\rangle = \lambda |\phi\rangle\). Cela se transforme en la recherche des racines du polynôme caractéristique : \(\det(\sigma_z - \lambda I) = 0\).

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Trouver les valeurs propres (\(\lambda\)) :

\begin{aligned} \det(\sigma_z - \lambda I) &= \det \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) \\ &= \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 \\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix} \\ &= (1-\lambda)(-1-\lambda) \end{aligned}

En posant le résultat égal à zéro, \((1-\lambda)(-1-\lambda) = 0\), les solutions (valeurs propres) sont \(\lambda_1 = 1\) et \(\lambda_2 = -1\).

2. Trouver le vecteur propre pour \(\lambda_1 = 1\):

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

L'équation \(-b=b\) implique \(b=0\). Le vecteur propre est donc \(\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}\). En normalisant (on prend \(a=1\)), on obtient :

|\phi_1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = |0\rangle

3. Trouver le vecteur propre pour \(\lambda_2 = -1\):

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix}

L'équation \(a=-a\) implique \(a=0\). Le vecteur propre est donc \(\begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix}\). En normalisant (on prend \(b=1\)), on obtient :

|\phi_2\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = |1\rangle

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les résultats de mesure possibles pour l'observable \(\sigma_z\) sont +1 et -1. Si le qubit est dans l'état \(|0\rangle\) avant la mesure, on obtiendra +1 avec 100% de certitude. S'il est dans l'état \(|1\rangle\), on obtiendra -1 avec 100% de certitude. C'est pourquoi la base \(\{|0\rangle, |1\rangle\}\) est appelée la "base de mesure Z".

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

\[ \lambda_1 = +1 \text{ associée au vecteur propre } |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ \lambda_2 = -1 \text{ associée au vecteur propre } |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

En suivant la même méthode, trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de l'opérateur \(\sigma_x\).

Outil Interactif : Simulateur de Qubit sur la Sphère de Bloch

Cet outil vous permet de visualiser l'état d'un qubit sur la sphère de Bloch et l'effet des portes quantiques. L'état est représenté par un vecteur \(|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\). Le graphique en dessous montre les probabilités de mesurer l'état \(|0\rangle\) ou \(|1\rangle\).

Paramètres et Actions

État initial \(|\psi\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle + \sin(\theta/2)|1\rangle\) Angle θ = 0°

Appliquer une porte :

État Actuel du Qubit

Vecteur d'état \(|\psi\rangle\) -

Probabilité de mesurer \(|0\rangle\) -

Probabilité de mesurer \(|1\rangle\) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est le résultat de l'application de deux portes Hadamard successives (H·H) sur un qubit ?

La porte Pauli-X
L'état est mis à zéro
La porte Identité (l'état initial est restauré)

2. L'état \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\) est un vecteur propre de quel opérateur ?

Pauli-X (\(\sigma_x\))
Pauli-Z (\(\sigma_z\))
Hadamard (H)

Glossaire

Qubit: Unité de base de l'information quantique, analogue au bit classique, mais qui peut exister dans une superposition de ses deux états de base (\(|0\rangle\) et \(|1\rangle\)).
Porte Quantique: Opération quantique de base sur un petit nombre de qubits. Elles sont les briques de base des circuits quantiques. Mathématiquement, elles sont représentées par des matrices unitaires.
Superposition: Principe fondamental de la mécanique quantique où un système peut exister dans plusieurs de ses états à la fois. Ce n'est que lors de la mesure que le système "choisit" l'un de ces états.
Opérateurs de Pauli: Ensemble de trois matrices 2x2 (\(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\)) qui sont fondamentales pour décrire le spin d'une particule ou les opérations de base sur un qubit.
Valeur et Vecteur Propre: Pour un opérateur donné (une matrice), un vecteur propre est un vecteur non nul dont la direction ne change pas lorsque l'opérateur lui est appliqué. Il est seulement multiplié par un scalaire, appelé valeur propre.

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Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Question 2 : Calculer \(|\psi_1\rangle = H|\psi_0\rangle\) avec \(|\psi_0\rangle = |0\rangle\).

Principe (le concept physique)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Calcul(s) (l'application numérique)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Question 3 : Calculer \(|\psi_2\rangle = \sigma_x|\psi_1\rangle\).

Principe (le concept physique)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Calcul(s) (l'application numérique)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Question 4 : Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de \(\sigma_z\).

Principe (le concept physique)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Calcul(s) (l'application numérique)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

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Paramètres et Actions

État Actuel du Qubit

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