Superposition d’états dans un puits infini

On considère une particule confinée dans un puits de potentiel infiniment profond défini sur l’intervalle \[ [0, L] \]. Les fonctions d’onde stationnaires (ou états propres) pour la particule sont :

\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\, \sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),\quad n=1,2,3,\ldots \]

On construit une fonction d’onde initiale sous forme de superposition de deux états stationnaires \(\psi_1(x)\) et \(\psi_2(x)\) :

\[ \Psi(x,0)= c_1\, \psi_1(x) + c_2\, \psi_2(x) \]

avec des coefficients \( c_1 \) et \( c_2 \) réels.

Données numériques pour cet exercice :

• La largeur du puits est donnée par \[ L = 1\ \mathrm{nm} \] (soit \[ 1\times10^{-9}\ \mathrm{m} \]).
• On vous demande de fixer \( c_1 \) et \( c_2 \) de sorte que la fonction d’onde soit normalisée et que les rapports soient tels que \[ c_1 = \frac{3}{\sqrt{13}} \] et \[ c_2 = \frac{2}{\sqrt{13}} \].

Note : La normalisation de chaque état \(\psi_n\) est assurée par le facteur \(\sqrt{2/L}\); la condition sur \( c_1 \) et \( c_2 \) garantit que :

\[ |c_1|^2 + |c_2|^2 = \frac{9}{13} + \frac{4}{13} = 1. \]

Questions

1. Validation de la normalisation de la superposition
   Vérifier que la fonction d’onde \(\Psi(x,0)\) est normalisée sur l’intervalle \([0, L]\).
2. Calcul de la probabilité de trouver la particule dans l’intervalle \(\left[0,\frac{L}{2}\right]\) à \( t=0 \)
   Calculer la probabilité \[ P_{[0,L/2]} = \int_{0}^{L/2} |\Psi(x,0)|^2 dx \] de retrouver la particule dans la moitié gauche du puits.

1. Normalisation de la superposition

1.1. Calcul de la normalisation

La condition de normalisation dans le puits infini : \[ \int_{0}^{L} |\Psi(x,0)|^2\,dx = 1. \]

Les fonctions propres \(\psi_1(x)\) et \(\psi_2(x)\) sont orthonormées, c’est-à-dire que \[ \int_{0}^{L} |\psi_1(x)|^2\,dx = \int_{0}^{L} |\psi_2(x)|^2\,dx = 1 \quad \text{et} \quad \int_{0}^{L} \psi_1(x)\,\psi_2(x)\,dx = 0. \]

Formule : En développant \(|\Psi(x,0)|^2\), on obtient : \[ |\Psi(x,0)|^2 = c_1^2\,|\psi_1(x)|^2 + c_2^2\,|\psi_2(x)|^2 + 2\,c_1 c_2\,\psi_1(x)\,\psi_2(x). \] En intégrant sur \([0,L]\) : \[ \int_{0}^{L} |\Psi(x,0)|^2\,dx = c_1^2 + c_2^2. \]

Données :

\( c_1 = \frac{3}{\sqrt{13}} \) donc \( c_1^2=\frac{9}{13} \).

\( c_2 = \frac{2}{\sqrt{13}} \) donc \( c_2^2=\frac{4}{13} \).

Calcul :
\[ c_1^2 + c_2^2 = \frac{9}{13}+\frac{4}{13}=\frac{13}{13}=1. \]

Conclusion de la normalisation : La fonction \(\Psi(x,0)\) est bien normalisée.

2. Calcul de la probabilité \( P_{[0,L/2]} \)

Nous souhaitons déterminer la probabilité de trouver la particule dans l’intervalle \(\left[0,\frac{L}{2}\right]\) : \[ P_{[0,L/2]} = \int_{0}^{L/2} |\Psi(x,0)|^2 \, dx. \]

2.1. Calcul de \( |\Psi(x,0)|^2 \)

L’expression de la fonction d’onde : \[ \Psi(x,0)= c_1\, \psi_1(x) + c_2\, \psi_2(x), \] avec \[ \psi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{L}}\, \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right). \]

On a \[ |\psi_n(x)|^2 = \frac{2}{L}\,\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right). \] Ainsi, en développant \[ |\Psi(x,0)|^2 = c_1^2\, \frac{2}{L}\sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) + c_2^2\, \frac{2}{L}\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right) + 2\, c_1 c_2\, \frac{2}{L}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right). \]

Formule : \[ |\Psi(x,0)|^2 = \frac{2}{L}\,\left[ c_1^2\, \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) + c_2^2\, \sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right) + 2\, c_1 c_2\, \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right]. \]

2.2. Décomposition en trois intégrales

On définit :

\( I_1 = \int_{0}^{L/2} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)dx \),

\( I_2 = \int_{0}^{L/2} \sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx \),

\( I_3 = \int_{0}^{L/2} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) dx \).

2.2.1. Calcul de \( I_1 \)

Utilisation de la formule trigonométrique : \[ \sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}. \]

Pour \(\theta=\frac{\pi x}{L}\), \[ \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)= \frac{1-\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{2}. \]

Formule : \[ I_1 = \frac{1}{2}\int_{0}^{L/2}\left[1-\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]dx. \]

Données : L’intervalle d’intégration est \( x\in[0,L/2] \).

Calcul : - Intégrale de 1 : \( \int_{0}^{L/2}1\,dx = \frac{L}{2} \).
- Intégrale de \(\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\) : \[ \int_{0}^{L/2}\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) dx = \left.\frac{L}{2\pi}\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|_{0}^{L/2} = 0. \] Ainsi, \[ I_1 = \frac{1}{2}\times\frac{L}{2} = \frac{L}{4}. \]

2.2.2. Calcul de \( I_2 \)

Utilisation de : \[ \sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)= \frac{1-\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)}{2}. \]

Même démarche que pour \( I_1 \).

Formule : \[ I_2 = \frac{1}{2}\int_{0}^{L/2}\left[1-\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]dx. \]

Calcul : - Intégrale de 1 : \( \frac{L}{2} \).
- Intégrale de \(\cos\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\) donne 0.
Ainsi, \[ I_2 = \frac{1}{2}\times \frac{L}{2} = \frac{L}{4}. \]

2.2.3. Calcul de \( I_3 \)

Pour le produit de sinus, on utilise : \[ \sin a\,\sin b = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right], \] avec \( a=\frac{\pi x}{L} \) et \( b=\frac{2\pi x}{L} \).

\[ \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)= \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)-\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right]. \]

Formule : \[ I_3 = \frac{1}{2}\left[\int_{0}^{L/2}\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)dx - \int_{0}^{L/2}\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)dx\right]. \]

Données et Calcul :
- Pour \(\int_{0}^{L/2}\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)dx\) : La primitive est \( \frac{L}{\pi}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \) et, en évaluant, \[ \left.\frac{L}{\pi}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right|_{0}^{L/2} = \frac{L}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)= \frac{L}{\pi}. \] - Pour \(\int_{0}^{L/2}\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)dx\) : La primitive est \( \frac{L}{3\pi}\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right) \) et, \[ \left.\frac{L}{3\pi}\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\right|_{0}^{L/2} = \frac{L}{3\pi}\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)= -\frac{L}{3\pi}. \] Ainsi, \[ I_3 = \frac{1}{2}\left[\frac{L}{\pi} - \left(-\frac{L}{3\pi}\right)\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{L}{\pi} + \frac{L}{3\pi}\right)= \frac{2L}{3\pi}. \]

2.3. Calcul final de \( P_{[0,L/2]} \)

Formule : \[ P_{[0,L/2]} = \frac{2}{L}\left[c_1^2\, I_1 + c_2^2\, I_2 + 2\, c_1 c_2\, I_3\right]. \]

Données :

\( c_1^2=\frac{9}{13} \),  \( c_2^2=\frac{4}{13} \).

\( 2\,c_1 c_2 = 2 \times \frac{3}{\sqrt{13}}\times \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{12}{13} \).

\( I_1 = \frac{L}{4} \) et \( I_2 = \frac{L}{4} \).

\( I_3 = \frac{2L}{3\pi} \).

Calcul :
1. Contribution des termes \( I_1 \) et \( I_2 \) : \[ c_1^2\, I_1 + c_2^2\, I_2 = \frac{9}{13}\cdot\frac{L}{4} + \frac{4}{13}\cdot\frac{L}{4} = \frac{9L}{52} + \frac{4L}{52} = \frac{13L}{52} = \frac{L}{4}. \] 2. Terme d’interférence : \[ 2\, c_1 c_2\, I_3 = \frac{12}{13}\cdot \frac{2L}{3\pi} = \frac{24L}{39\pi} = \frac{8L}{13\pi}. \] 3. En combinant et en multipliant par \(\frac{2}{L}\) : \[ P_{[0,L/2]} = \frac{2}{L}\left[\frac{L}{4} + \frac{8L}{13\pi}\right] = 2\left[\frac{1}{4}+\frac{8}{13\pi}\right]. \] Ainsi, l'expression finale est : \[ P_{[0,L/2]} = \frac{1}{2}+\frac{16}{13\pi}. \]