Superposition d’États dans un Puits de Potentiel Infini
Comprendre la Superposition d'États et le Puits de Potentiel Infini
En physique quantique, le principe de superposition stipule qu'un système quantique peut exister dans une combinaison linéaire de plusieurs états simultanément. Ce n'est que lors d'une mesure que le système "choisit" l'un de ces états. Le puits de potentiel infini est un modèle simple mais fondamental où une particule est confinée dans une région de l'espace (de largeur \(L\)) par des barrières de potentiel infinies. Dans ce puits, l'énergie de la particule est quantifiée, c'est-à-dire qu'elle ne peut prendre que des valeurs discrètes spécifiques, correspondant à des états stationnaires décrits par des fonctions d'onde \(\psi_n(x)\). Si une particule est dans un état de superposition de ces états stationnaires, une mesure de son énergie donnera l'une des énergies quantifiées possibles, avec une probabilité déterminée par les coefficients de la superposition.
Données de l'étude
- Constante de Planck réduite (\(\hbar\))
- Masse de la particule (\(m\))
- Largeur du puits (\(L\))
Puits de Potentiel Infini et Superposition d'États
Une particule dans un état de superposition des deux premiers niveaux d'énergie d'un puits infini.
Questions à traiter
- Déterminer la constante de normalisation \(A\) (supposée réelle et positive) pour la fonction d'onde \(\Psi(x,0)\).
- Si l'on mesure l'énergie de la particule à \(t=0\), quelles sont les valeurs possibles que l'on peut obtenir et quelles sont leurs probabilités respectives ?
- Calculer la valeur moyenne (ou espérance mathématique) de l'énergie \(\langle E \rangle\) pour la particule dans l'état \(\Psi(x,0)\). Exprimer le résultat en fonction de \(E_1\).
- Écrire l'expression de la fonction d'onde \(\Psi(x,t)\) pour \(t > 0\).
- La probabilité de trouver la particule entre \(x=0\) et \(x=L/2\) est-elle constante au cours du temps ? Justifier brièvement sans calcul explicite de l'intégrale.
Correction : Superposition d’États dans un Puits Infini
Question 1 : Détermination de la Constante de Normalisation \(A\)
Principe :
La condition de normalisation pour une fonction d'onde est que l'intégrale du carré de son module sur tout l'espace doit être égale à 1. Pour un puits de largeur \(L\), cela s'écrit : \(\int_0^L |\Psi(x,0)|^2 dx = 1\). Les fonctions d'onde \(\psi_n(x)\) sont déjà normalisées et orthogonales (\(\int_0^L \psi_n^*(x) \psi_m(x) dx = \delta_{nm}\)).
Formule(s) utilisée(s) :
Avec \(\Psi(x,0) = A (\psi_1(x) + 2 \psi_2(x))\).
Calcul :
Puisque \(\psi_n\) sont réelles et orthogonales (\(\int \psi_1 \psi_2 dx = 0\)) et normalisées (\(\int \psi_n^2 dx = 1\)) :
Comme \(A\) est supposée réelle et positive, \(A = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
Question 2 : Valeurs Possibles de l'Énergie et Probabilités
Principe :
La fonction d'onde est \(\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{5}}\psi_1(x) + \frac{2}{\sqrt{5}}\psi_2(x)\). C'est une superposition des états propres d'énergie \(E_1\) et \(E_2\). Les valeurs possibles de l'énergie sont \(E_1\) et \(E_2\). La probabilité d'obtenir une énergie \(E_n\) est donnée par le carré du module du coefficient de \(\psi_n(x)\) dans la fonction d'onde normalisée.
Valeurs d'énergie possibles :
Probabilités :
Pour \(E_1\), le coefficient est \(c_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}\).
Pour \(E_2\), le coefficient est \(c_2 = \frac{2}{\sqrt{5}}\).
Vérification : \(P(E_1) + P(E_2) = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1\).
La probabilité d'obtenir \(E_1\) est \(P(E_1) = \frac{1}{5}\).
La probabilité d'obtenir \(E_2\) est \(P(E_2) = \frac{4}{5}\).
Question 3 : Valeur Moyenne de l'Énergie \(\langle E \rangle\)
Principe :
La valeur moyenne de l'énergie (ou espérance mathématique) pour un état de superposition est la somme des énergies possibles pondérées par leurs probabilités.
Formule(s) utilisée(s) :
Données calculées :
- \(P(E_1) = 1/5\), \(E_1\)
- \(P(E_2) = 4/5\), \(E_2 = 4E_1\)
Calcul :
En remplaçant \(E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}\) :
Quiz Intermédiaire 1 : Si une particule est dans l'état \(\Psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1 + \psi_3)\), la probabilité de mesurer l'énergie \(E_3\) est :
Question 4 : Fonction d'Onde \(\Psi(x,t)\) pour \(t > 0\)
Principe :
L'évolution temporelle d'un état de superposition est obtenue en multipliant chaque composante \(\psi_n(x)\) par le facteur de phase temporel \(e^{-iE_n t/\hbar}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Application :
Avec \(c_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}\) et \(c_2 = \frac{2}{\sqrt{5}}\) :
En remplaçant \(\psi_n(x)\) :
\(\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \psi_1(x) e^{-iE_1 t/\hbar} + 2\psi_2(x) e^{-iE_2 t/\hbar} \right)\).
Question 5 : Probabilité de Trouver la Particule entre \(x=0\) et \(x=L/2\)
Principe :
La densité de probabilité de présence est \(|\Psi(x,t)|^2\). Si l'état est une superposition d'états stationnaires avec des énergies différentes (\(E_1 \neq E_2\)), les termes croisés dans le calcul de \(|\Psi(x,t)|^2\) contiendront des facteurs de phase oscillant avec le temps (\(e^{-i(E_1-E_2)t/\hbar}\)). Par conséquent, la densité de probabilité, et donc la probabilité de trouver la particule dans une région donnée, ne sera généralement pas constante au cours du temps, sauf si la particule est dans un état stationnaire pur.
Analyse :
\(|\Psi(x,t)|^2 = \Psi^*(x,t)\Psi(x,t)\)
Le terme contenant \(\cos\left(\frac{(E_2-E_1)t}{\hbar}\right)\) oscille avec le temps. Puisque \(E_1 \neq E_2\), ce terme n'est pas constant. Par conséquent, l'intégrale de \(|\Psi(x,t)|^2\) sur une région donnée (comme \(0\) à \(L/2\)) dépendra généralement du temps.
Quiz Intermédiaire 2 : Pour un état stationnaire pur \(\psi_n(x)e^{-iE_n t/\hbar}\), la densité de probabilité \(|\Psi(x,t)|^2\) :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Dans un puits de potentiel infini, l'énergie d'une particule est :
2. Si une particule est dans un état \(\Psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2\), la probabilité de mesurer l'énergie \(E_1\) est :
3. La fonction d'onde d'un état stationnaire \(\psi_n(x)\) dans un puits infini :
Glossaire
- Principe de Superposition
- En mécanique quantique, si un système peut se trouver dans plusieurs états quantiques \(\psi_1, \psi_2, \ldots\), alors il peut aussi se trouver dans n'importe quelle combinaison linéaire (superposition) de ces états, \(\Psi = c_1\psi_1 + c_2\psi_2 + \ldots\).
- Puits de Potentiel Infini
- Modèle simple en mécanique quantique où une particule est confinée dans une région de l'espace par des barrières de potentiel infiniment hautes. L'énergie de la particule est quantifiée.
- État Stationnaire
- État quantique dont la densité de probabilité \(|\Psi(x,t)|^2\) est indépendante du temps. Les états stationnaires sont les états propres de l'hamiltonien (opérateur d'énergie).
- Fonction d'Onde (\(\Psi\))
- Description mathématique de l'état quantique d'un système. Le carré de son module \(|\Psi|^2\) représente une densité de probabilité de présence de la particule.
- Normalisation
- Condition qu'une fonction d'onde doit satisfaire, assurant que la probabilité totale de trouver la particule quelque part dans l'espace est égale à 1.
- Probabilité de Mesure
- Dans un état de superposition \(\Psi = \sum c_n \psi_n\), où \(\psi_n\) sont les états propres d'une observable (comme l'énergie), la probabilité de mesurer la valeur propre \(E_n\) associée à \(\psi_n\) est \(|c_n|^2\).
- Valeur Moyenne (Espérance Mathématique)
- Valeur moyenne d'une observable physique pour un système dans un état quantique donné. Pour l'énergie, \(\langle E \rangle = \sum |c_n|^2 E_n\).
- Quantification de l'Énergie
- Phénomène selon lequel l'énergie d'un système lié (comme une particule dans un puits) ne peut prendre que certaines valeurs discrètes, appelées niveaux d'énergie.
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