Symétrisation des Fonctions d'Onde pour Deux Fermions
Contexte : Le Principe d'Exclusion de Pauli, fondement de la matière.
En mécanique quantique, les particules identiques sont fondamentalement indiscernables. Cette propriété a des conséquences profondes sur la manière de décrire un système de plusieurs particules. Les fermionsCatégorie de particules (comme les électrons, protons, neutrons) qui obéissent à la statistique de Fermi-Dirac et au principe d'exclusion de Pauli. Elles ont un spin demi-entier (1/2, 3/2, ...)., comme les électrons, doivent obéir au Principe d'Exclusion de PauliPrincipe fondamental stipulant que deux fermions identiques ne peuvent occuper simultanément le même état quantique. Cela explique la structure des atomes et la stabilité de la matière.. Mathématiquement, cela se traduit par une exigence sur la symétrie de la fonction d'onde totale du système : elle doit être antisymétrique par rapport à l'échange de deux particules. Cet exercice vous guidera dans la construction de fonctions d'onde valides pour un système simple de deux électrons, en combinant leurs parties spatiales et de spin.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des postulats de la mécanique quantique sur les systèmes de particules identiques. Nous allons construire des fonctions d'onde physiquement acceptables en respectant les contraintes de symétrie. C'est une démarche essentielle pour comprendre la structure électronique des atomes, la liaison chimique et les propriétés des matériaux.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le postulat de symétrisation pour les fermions.
- Savoir construire une fonction d'onde totale comme produit d'une partie spatiale et d'une partie de spin.
- Identifier les états de spin SinguletÉtat de spin total S=0 pour un système de deux particules de spin 1/2. Cet état est antisymétrique par rapport à l'échange des spins. (antisymétrique) et TripletEnsemble de trois états de spin total S=1 pour un système de deux particules de spin 1/2. Ces états sont symétriques par rapport à l'échange des spins. (symétrique) pour deux spins 1/2.
- Construire des fonctions d'onde spatiales symétriques et antisymétriques.
- Calculer des probabilités de présence et interpréter physiquement les conséquences de l'antisymétrie (corrélation d'échange).
Données de l'étude
Puits de potentiel infini et niveaux d'énergie
Questions à traiter
- La fonction d'onde totale \(\Psi(1, 2)\) doit être antisymétrique. Sachant que l'état de spin singulet est antisymétrique, quelle est la symétrie requise pour la partie spatiale \(\Phi(x_1, x_2)\) ? Construire cette fonction spatiale normalisée.
- Les trois états de spin triplet sont symétriques. Quelle est la symétrie requise pour la partie spatiale associée ? Construire cette fonction spatiale normalisée.
- Pour l'état singulet (question 1), calculer la probabilité de trouver les deux particules simultanément dans la même moitié du puits (par exemple, entre \(x=0\) et \(x=L/2\)).
- Que vaut cette probabilité si les particules étaient discernables (sans contrainte de symétrie) ? Comparez et interprétez physiquement la différence.
Les bases de la Mécanique Quantique des Particules Identiques
1. Indiscernabilité et Postulat de Symétrisation :
En mécanique quantique, deux particules identiques (ex: deux électrons) sont impossibles à distinguer. Le postulat de symétrisation impose que la fonction d'onde totale \(\Psi(1, 2)\) d'un système de deux particules identiques doit avoir une symétrie définie lors de l'échange des coordonnées (spatiales et de spin) des particules :
- Pour les bosons (spin entier) : \(\Psi(2, 1) = +\Psi(1, 2)\) (fonction symétrique).
- Pour les fermions (spin demi-entier) : \(\Psi(2, 1) = -\Psi(1, 2)\) (fonction antisymétrique).
2. Fonction d'Onde Spatiale et de Spin :
La fonction d'onde totale est le produit de la partie spatiale \(\Phi(x_1, x_2)\) et de la partie de spin \(\chi(s_1, s_2)\) :
\[ \Psi(1, 2) = \Phi(x_1, x_2) \chi(s_1, s_2) \]
Pour que \(\Psi\) soit antisymétrique (cas des fermions), il faut que :
- \(\Phi\) soit symétrique ET \(\chi\) soit antisymétrique.
- OU \(\Phi\) soit antisymétrique ET \(\chi\) soit symétrique.
3. États de Spin pour Deux Électrons :
Pour deux spins 1/2, on peut former quatre états de spin total :
- L'état singulet (spin total S=0), qui est antisymétrique : \( \chi_A = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle) \).
- Les trois états triplet (spin total S=1), qui sont symétriques : \( \chi_S = \{ |\uparrow\uparrow\rangle, \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle), |\downarrow\downarrow\rangle \} \).
Correction : Symétrisation des Fonctions d'Onde pour Deux Fermions
Question 1 : Cas du Singulet de Spin (État Spatial Symétrique)
Principe (le concept physique)
Le postulat de symétrisation pour les fermions impose que la fonction d'onde totale soit antisymétrique. La fonction d'onde totale est un produit de sa partie spatiale et de sa partie de spin. Puisque l'état de spin singulet est antisymétrique, la partie spatiale doit être symétrique pour que le produit des deux soit antisymétrique (car Symétrique × Antisymétrique = Antisymétrique).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La règle de symétrie du produit de deux fonctions est analogue à la règle des signes en multiplication : un produit de deux fonctions de même symétrie (S×S ou A×A) est symétrique, tandis qu'un produit de deux fonctions de symétries opposées (S×A) est antisymétrique. Pour obtenir une fonction totale antisymétrique pour nos fermions, nous devons combiner une partie spatiale et une partie de spin de symétries opposées.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez-y comme à un "bilan de symétrie". L'univers exige que le bilan final pour deux fermions soit "antisymétrique". Si le spin fournit déjà un signe "moins" (car il est antisymétrique), la partie spatiale doit fournir un signe "plus" (être symétrique) pour que le résultat final soit bien négatif lors d'un échange.
Normes (la référence réglementaire)
Le postulat de symétrisation est l'un des piliers fondamentaux de la mécanique quantique, enseigné dans tous les cursus universitaires. Il n'est pas dérivé de principes plus simples (comme l'équation de Schrödinger) mais est une règle fondamentale observée expérimentalement qui distingue les deux grandes familles de particules : les fermions et les bosons.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour construire une fonction symétrique à partir de deux états individuels orthonormés \(\psi_a(x)\) et \(\psi_b(x)\), on utilise la combinaison linéaire suivante :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les fonctions d'onde individuelles \(\psi_1\) et \(\psi_2\) sont orthonormées, ce qui est le cas pour les solutions du puits de potentiel infini. Le facteur \(1/\sqrt{2}\) est crucial pour que la fonction d'onde combinée soit également normalisée à 1.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- État \(a\): \(\psi_1(x) = \sqrt{2/L} \sin(\pi x/L)\)
- État \(b\): \(\psi_2(x) = \sqrt{2/L} \sin(2\pi x/L)\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour vérifier rapidement la symétrie, il suffit d'échanger mentalement les indices 1 et 2 dans l'expression finale. Si l'expression ne change pas, elle est symétrique. Si elle prend un signe opposé, elle est antisymétrique.
Schéma (Avant les calculs)
Construction d'une Fonction Symétrique
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule de construction symétrique :
Schéma (Après les calculs)
Probabilité de Présence |Φ_S|²
La densité de probabilité est élevée le long de la diagonale x₁=x₂, indiquant que les particules ont tendance à se trouver proches.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette fonction spatiale est symétrique : si on échange \(x_1\) et \(x_2\), l'expression reste identique. Physiquement, cela signifie que les deux particules ont une probabilité accrue de se trouver proches l'une de l'autre, car les deux termes de la somme s'ajoutent constructivement. C'est une forme de "corrélation d'échange" attractive.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier le facteur de normalisation \(1/\sqrt{2}\). Sans lui, la probabilité totale d'intégrer \(|\Phi_S|^2\) sur tout l'espace vaudrait 2 au lieu de 1, ce qui est physiquement incorrect. C'est une erreur fréquente lorsque l'on construit des états combinés.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Fonction d'onde totale d'un fermion = Antisymétrique.
- Spin Singulet = Antisymétrique.
- Donc, Espace = Symétrique (pour que A × S = A).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans la liaison covalente (ex: H₂), les deux électrons de liaison forment un état singulet de spin. Leur fonction d'onde spatiale est donc symétrique, ce qui augmente la densité de probabilité de présence des électrons entre les deux noyaux. Cette accumulation de charge négative attire les deux noyaux positifs, créant ainsi la liaison chimique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le spin était symétrique et la partie spatiale aussi, quel type de particule décrirait-on ?
Question 2 : Cas du Triplet de Spin (État Spatial Antisymétrique)
Principe (le concept physique)
Ici, la situation est inversée. Les trois états de spin triplet sont symétriques. Pour que la fonction d'onde totale reste antisymétrique (comme l'exige le statut de fermion des électrons), la partie spatiale doit "compenser" en étant antisymétrique (car Antisymétrique × Symétrique = Antisymétrique).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La construction d'une fonction d'onde antisymétrique pour N fermions à partir de N états individuels peut être généralisée par un "déterminant de Slater". Pour deux particules, cela se réduit à la simple différence que nous utilisons. Cette construction garantit automatiquement que la fonction est antisymétrique et qu'elle s'annule si deux particules tentent d'occuper le même état, incarnant ainsi le principe de Pauli.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
En reprenant l'analogie du "bilan de symétrie", cette fois-ci le spin apporte un signe "plus" (symétrique). Pour que le bilan final soit "négatif" (antisymétrique), il faut que la partie spatiale fournisse le signe "moins" requis. Les deux particules doivent donc avoir une fonction d'onde spatiale antisymétrique.
Normes (la référence réglementaire)
Le déterminant de Slater n'est pas une norme au sens réglementaire, mais c'est la méthode standard et universellement acceptée en chimie quantique et en physique de la matière condensée pour construire des fonctions d'onde multi-électroniques qui respectent le principe de Pauli. C'est le point de départ de méthodes de calcul complexes comme la méthode Hartree-Fock.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour construire une fonction antisymétrique à partir de deux états individuels orthonormés, on utilise la combinaison linéaire avec un signe moins :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent : les fonctions d'onde individuelles sont orthonormées. Il est crucial que les deux états \(\psi_a\) et \(\psi_b\) soient différents. S'ils étaient identiques, la formule donnerait zéro, comme expliqué dans la section "Points de vigilance".
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- État \(a\): \(\psi_1(x) = \sqrt{2/L} \sin(\pi x/L)\)
- État \(b\): \(\psi_2(x) = \sqrt{2/L} \sin(2\pi x/L)\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La construction antisymétrique est la même que la symétrique, il suffit de changer le signe "+" en "-". Si vous avez déjà calculé la version symétrique, le travail est déjà à moitié fait !
Schéma (Avant les calculs)
Construction d'une Fonction Antisymétrique
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule de construction antisymétrique :
Schéma (Après les calculs)
Probabilité de Présence |Φ_A|²
La densité de probabilité est nulle le long de la diagonale x₁=x₂, indiquant que les particules ont tendance à s'éviter.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette fonction est antisymétrique : échanger \(x_1\) et \(x_2\) inverse son signe. Si \(x_1 = x_2\), alors \(\Phi_A(x_1, x_1) = 0\). Cela signifie que la probabilité de trouver les deux électrons exactement au même endroit est nulle. C'est la "répulsion d'échange" ou "corrélation de Pauli" : les fermions ont tendance à s'éviter, non pas à cause d'une force de répulsion (comme la force de Coulomb), mais à cause de la symétrie fondamentale de leur fonction d'onde.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Que se passerait-il si on essayait de mettre les deux électrons dans le même état spatial, par exemple \(\psi_1(x_1)\) et \(\psi_1(x_2)\) ? La fonction antisymétrique serait \(\frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_1(x_1)\psi_1(x_2) - \psi_1(x_2)\psi_1(x_1)] = 0\). La fonction d'onde est nulle partout ! C'est la manifestation mathématique du principe de Pauli : il est impossible de construire une fonction antisymétrique pour deux fermions dans le même état quantique individuel.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Fonction d'onde totale d'un fermion = Antisymétrique.
- Spin Triplet = Symétrique.
- Donc, Espace = Antisymétrique (pour que S × A = A).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La stabilité et la taille des atomes sont des conséquences directes de ce principe. Sans la "répulsion d'échange", tous les électrons d'un atome s'effondreraient dans l'état de plus basse énergie. Le principe de Pauli force les électrons à occuper des couches successives de plus en plus hautes en énergie, donnant à l'atome sa structure et son volume.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Que vaut \(\Phi_A(L/2, L/2)\) ? (sans faire de calcul complexe)
Question 3 : Probabilité de Présence pour l'État Singulet
Principe (le concept physique)
La probabilité de trouver les particules dans une certaine région de l'espace est donnée par l'intégrale de la densité de probabilité, \(|\Phi(x_1, x_2)|^2\), sur cette région. Ici, nous voulons trouver les deux particules dans la région \([0, L/2]\), ce qui nécessite de calculer une intégrale double de \(|\Phi_S(x_1, x_2)|^2\) où \(x_1\) et \(x_2\) varient tous deux de 0 à L/2.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour un système de N particules, la densité de probabilité est une fonction de 3N variables spatiales. L'intégrale de cette fonction sur un volume de cet espace à 3N dimensions donne la probabilité de trouver le système dans cette configuration. Notre cas à 1D avec 2 particules est une version simplifiée où l'on intègre sur un carré dans un plan (x₁, x₂).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ce calcul peut sembler abstrait, mais il quantifie l'intuition que nous avons eue à la question 1. Nous avons dit que la fonction symétrique augmentait la probabilité de trouver les particules proches. Ce calcul va nous donner une valeur numérique précise pour cette "attraction" quantique dans une région spécifique.
Normes (la référence réglementaire)
L'interprétation de Born, qui relie le carré du module de la fonction d'onde à une densité de probabilité, est un autre postulat fondamental de la mécanique quantique. Les calculs de probabilité via des intégrales sont la méthode standard pour extraire des prédictions physiques à partir de la fonction d'onde.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La probabilité \(P\) est donnée par l'intégrale double :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise la fonction \(\Phi_S\) normalisée calculée précédemment. Le calcul suppose que l'on peut séparer l'intégrale double en produits d'intégrales simples après avoir développé le carré de la fonction d'onde.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fonction d'onde \(\Phi_S(x_1, x_2)\) de la question 1.
- Domaine d'intégration : \(x_1 \in [0, L/2]\) et \(x_2 \in [0, L/2]\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant un long calcul, il est bon d'anticiper le résultat. Puisque les particules s'attirent (spatialement), on s'attend à trouver une probabilité légèrement supérieure à celle du cas indépendant (qui sera calculée à la question 4), où P=0.25. Cela permet de détecter d'éventuelles erreurs de calcul si le résultat final est, par exemple, inférieur à 0.25.
Schéma (Avant les calculs)
Domaine d'Intégration
On intègre la densité de probabilité sur le carré vert.
Calcul(s) (l'application numérique)
On définit d'abord les intégrales simples utiles :
Le calcul donne \(I_{11} = I_{22} = 1/2\) et \(I_{12} = I_{21} = 2/(3\pi)\). On développe le carré de la fonction d'onde et on l'intègre :
On simplifie et on remplace par les valeurs numériques :
Schéma (Après les calculs)
Domaine d'Intégration et Résultat
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat de 29.5% est une prédiction concrète de la mécanique quantique. Si nous pouvions réaliser cette expérience et la répéter un grand nombre de fois, nous trouverions que dans environ 29.5% des cas, les deux électrons sont détectés dans la même moitié gauche du puits, confirmant l'effet de "tassement" dû à la symétrie spatiale.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier les termes croisés lors du développement du carré de la somme. \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \). L'intégrale du terme \(2ab\) (le terme d'interférence) est ce qui fait la différence par rapport au cas des particules discernables.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La probabilité est l'intégrale du module au carré de la fonction d'onde.
- Pour les fonctions symétriques, un terme d'interférence positif augmente la probabilité de trouver les particules ensemble.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le phénomène d'interférence constructive pour les particules identiques est à la base de l'émission laser. Dans un laser, des photons (qui sont des bosons et ont donc des fonctions d'onde symétriques) sont encouragés à occuper le même état quantique, créant un faisceau de lumière cohérent et intense.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour l'état triplet (spatialement antisymétrique), la probabilité serait-elle supérieure ou inférieure à 25% ?
Question 4 : Comparaison avec des Particules Discernables
Principe (le concept physique)
Si les particules étaient discernables (par exemple, un électron et un muon), il n'y aurait aucune contrainte de symétrie. On pourrait dire "la particule 1 est dans l'état \(\psi_1\)" et "la particule 2 est dans l'état \(\psi_2\)". La fonction d'onde du système serait un simple produit : \(\Phi(x_1, x_2) = \psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\). Les probabilités de présence des deux particules sont alors statistiquement indépendantes.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour des événements indépendants A et B, la probabilité qu'ils se produisent tous les deux est le produit de leurs probabilités individuelles : P(A et B) = P(A) × P(B). C'est exactement ce que nous appliquons ici. L'indiscernabilité quantique brise cette indépendance statistique et introduit des corrélations même en l'absence de forces directes.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est le point crucial qui différencie le monde quantique du monde classique. En classique, si je lance deux dés, le résultat de l'un n'influence pas l'autre. En quantique, deux électrons, même sans interagir, "savent" ce que l'autre fait à cause de la contrainte globale de symétrie sur leur fonction d'onde commune. C'est une idée très contre-intuitive mais fondamentale.
Normes (la référence réglementaire)
Cette distinction entre particules discernables et indiscernables est à la base des deux types de statistiques en physique statistique : la statistique de Maxwell-Boltzmann pour les particules classiques discernables, et les statistiques de Fermi-Dirac (fermions) et Bose-Einstein (bosons) pour les particules quantiques indiscernables.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La probabilité de trouver une particule dans l'état \(\psi_n\) dans la région \([0, L/2]\) est \(P_n = \int_0^{L/2} |\psi_n(x)|^2 \text{d}x\). La probabilité jointe est \(P_{\text{discernable}} = P_1 \times P_2\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les deux événements "trouver la particule 1 dans [0, L/2]" et "trouver la particule 2 dans [0, L/2]" sont statistiquement indépendants, ce qui est la définition même de particules discernables sans interaction.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fonctions d'onde \(\psi_1(x)\) et \(\psi_2(x)\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Par symétrie, pour n'importe quel état \(n\) dans un puits infini, la probabilité de trouver la particule dans la moitié gauche est exactement 1/2. Il n'est même pas nécessaire de faire le calcul de l'intégrale pour le savoir, même si le calcul le confirme.
Schéma (Avant les calculs)
Événements Indépendants
Calcul(s) (l'application numérique)
La probabilité de trouver une particule dans l'état \(\psi_n\) dans la première moitié du puits est :
Ce résultat est vrai pour n'importe quel état \(n\). La probabilité de trouver les deux particules (indépendantes) dans cette région est le produit des probabilités individuelles :
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Probabilités
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On trouve que \(P_{\text{singulet}} \approx 0.295 > P_{\text{discernable}} = 0.25\). La symétrie de la fonction d'onde spatiale a augmenté la probabilité de trouver les deux particules dans la même région. C'est une "attraction" effective qui n'est pas due à une force, mais uniquement aux contraintes quantiques de symétrie. À l'inverse, si on faisait le même calcul pour l'état triplet (spatialement antisymétrique), on trouverait une probabilité inférieure à 0.25, illustrant la "répulsion" d'échange.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Il ne faut pas confondre indépendance statistique (cas discernable) et absence d'interaction (force nulle). Dans notre exercice, les particules n'interagissent pas par une force, mais les fermions ne sont jamais statistiquement indépendants à cause du postulat de symétrisation.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Particules discernables = Probabilités indépendantes, on multiplie.
- Particules indiscernables (fermions) = Probabilités corrélées par la symétrie.
- La symétrie spatiale (singulet) augmente la probabilité de présence jointe.
- L'antisymétrie spatiale (triplet) diminue la probabilité de présence jointe.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les étoiles à neutrons, la gravité est si intense qu'elle force les électrons et les protons à fusionner en neutrons. Ces neutrons sont des fermions et sont tassés à des densités extrêmes. C'est la "pression de dégénérescence", une conséquence directe du principe de Pauli qui empêche les neutrons de s'effondrer davantage, qui stabilise l'étoile contre l'effondrement gravitationnel total.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la probabilité de trouver deux particules discernables dans deux moitiés opposées du puits (l'une dans [0, L/2] et l'autre dans [L/2, L]) ?
Le Saviez-Vous ?
La "force d'échange" qui semble attirer ou repousser les fermions n'est pas une force fondamentale de la nature comme l'électromagnétisme. C'est une conséquence directe du postulat de symétrisation. Cette interaction d'échange est cependant cruciale pour expliquer des phénomènes comme le ferromagnétisme, où les spins des électrons s'alignent préférentiellement (état triplet spatialement antisymétrique) pour minimiser leur répulsion coulombienne en s'évitant dans l'espace.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la fonction d'onde doit-elle être normalisée ?
L'interprétation de Born stipule que le carré du module de la fonction d'onde, \(|\Psi|^2\), est une densité de probabilité. La probabilité totale de trouver la particule quelque part dans l'univers doit être de 1 (soit 100%). La normalisation consiste à multiplier la fonction d'onde par une constante telle que l'intégrale de \(|\Psi|^2\) sur tout l'espace soit égale à 1, garantissant ainsi une interprétation probabiliste cohérente.
Tous les électrons de l'univers sont-ils corrélés par ce principe ?
En théorie, oui. La fonction d'onde de l'univers devrait être antisymétrique par rapport à l'échange de n'importe quelle paire d'électrons. En pratique, si deux électrons sont très éloignés et que leurs fonctions d'onde ne se chevauchent pas de manière significative, les effets de cette antisymétrisation deviennent complètement négligeables pour cette paire. On peut alors les traiter comme des systèmes quasi-indépendants.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Deux électrons sont dans un état de spin triplet. Leur fonction d'onde spatiale doit être :
2. Le principe d'exclusion de Pauli est une conséquence directe du fait que la fonction d'onde totale des fermions est...
- Fermion
- Particule de spin demi-entier (ex: électron) qui obéit au principe d'exclusion de Pauli. La fonction d'onde d'un système de fermions doit être antisymétrique.
- Boson
- Particule de spin entier (ex: photon) qui n'obéit pas au principe d'exclusion. La fonction d'onde d'un système de bosons doit être symétrique.
- Antisymétrique
- Une fonction \(f(x_1, x_2)\) est antisymétrique si l'échange de ses variables en change le signe : \(f(x_2, x_1) = -f(x_1, x_2)\).
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Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini Particule Confinée dans une Boîte à Puits Infini Contexte : Le modèle fondamental de la quantification. Le problème de la particule dans une boîte est l'un des modèles les plus simples et les plus importants en...
Projection d’État Quantique et Mesure
Projection d’État Quantique et Mesure Projection d’État Quantique et Mesure Contexte : Le paradoxe de la mesure en physique quantique. En physique quantique, un système comme un QubitL'unité de base de l'information quantique. Contrairement à un bit classique (0 ou...
Analyse d’un état intriqué de Bell
Analyse d'un état intriqué de deux particules de spin 1/2 (état de Bell) Analyse d'un état intriqué de Bell Contexte : L'étrange connexion quantique. L'intrication quantiquePhénomène dans lequel deux particules ou plus forment un système lié, tel que l'état quantique...
Analyse Quantique des Électrons dans un Métal
Analyse Quantique des Électrons dans un Métal Analyse Quantique des Électrons dans un Métal Contexte : Le comportement étrange des électrons dans les solides. En physique du solide, comprendre pourquoi un matériau est un conducteur, un isolant ou un semi-conducteur...
Étude du Condensat dans Piège Harmonique
Étude du Condensat dans Piège Harmonique Étude du Condensat dans un Piège Harmonique Contexte : Un nouvel état de la matière aux portes du zéro absolu. En physique quantique, le condensat de Bose-EinsteinUn état de la matière formé par des bosons identiques refroidis...
Oscillations de Rabi dans un système à deux niveaux
Oscillations de Rabi dans un système à deux niveaux Oscillations de Rabi dans un système à deux niveaux Contexte : Le dialogue entre la lumière et la matière, fondement des technologies quantiques. L'interaction d'un atome avec un champ électromagnétique, comme la...
Précession de Larmor d’un Spin
Précession de Larmor d'un Spin Précession de Larmor d'un Spin Contexte : Le magnétisme quantique, au cœur de l'IRM et de l'informatique quantique. En mécanique quantique, le spinPropriété intrinsèque des particules, analogue à un moment cinétique. Pour un électron...
Commutation des opérateurs de moment cinétique
Commutation des opérateurs moment cinétique Lx, Ly, Lz Commutation des opérateurs de moment cinétique Lx, Ly, Lz Contexte : Les symétries de rotation et la quantification. Le moment cinétique est à la rotation ce que la quantité de mouvement est à la translation. En...
Application du principe d’incertitude de Heisenberg
Application du principe d'incertitude de Heisenberg à l'oscillateur harmonique Application du principe d'incertitude de Heisenberg à l'oscillateur harmonique Contexte : L'énergie du vide et la stabilité de la matière. En physique classique, un oscillateur (comme un...
Dualité Onde-Corpuscule
Dualité Onde-Corpuscule : L'Expérience des Fentes d'Young Dualité Onde-Corpuscule : L'Expérience des Fentes d'Young Contexte : Le cœur mystérieux de la mécanique quantique. L'une des idées les plus déconcertantes et profondes de la physique moderne est la dualité...
Particule dans un Puits de Potentiel
Particule dans un Puits de Potentiel Particule dans un Puits de Potentiel Contexte : Le modèle le plus simple pour comprendre la quantification. En physique quantique, le modèle de la particule dans une boîteAussi appelé puits de potentiel carré infini, c'est un...
Représentation Matricielle des Opérateurs de Spin
Exercice : Portes Quantiques et Opérateurs de Spin Représentation Matricielle des Opérateurs de Spin et Portes Quantiques Contexte : Le QubitUnité de base de l'information quantique, analogue au bit classique, mais qui peut exister dans une superposition de ses deux...
Modèle de Kronig-Penney et Bandes d’Énergie
Modèle de Kronig-Penney et Bandes d'Énergie Modèle de Kronig-Penney et Bandes d'Énergie Contexte : Le comportement des électrons dans un cristal. En physique du solide, comprendre pourquoi certains matériaux sont des conducteurs et d'autres des isolants est...
Calcul de la Section Efficace de Diffusion
Calcul de la Section Efficace de Diffusion pour un Potentiel Yukawa Calcul de la Section Efficace de Diffusion pour un Potentiel Yukawa Contexte : Modélisation des forces nucléaires. En physique subatomique, le potentiel de Coulomb ne suffit pas à décrire toutes les...
Superposition d’états dans un puits infini
Superposition d’états dans un puits de potentiel infini Superposition d’états dans un puits de potentiel infini Contexte : Le cœur de l'étrangeté quantique. Le puits de potentiel infiniModèle fondamental en mécanique quantique décrivant une particule confinée dans une...
Résolution de l’équation de Schrödinger
Résolution de l'équation de Schrödinger pour un rotateur rigide Résolution de l'équation de Schrödinger pour un rotateur rigide Contexte : La rotation des molécules, une fenêtre sur le monde quantique. En physique quantique, le rotateur rigideModèle idéalisé de deux...
Correction d’Énergie au Premier Ordre
Théorie des Perturbations Stationnaires : Correction d'Énergie Théorie des Perturbations : Correction d'Énergie au Premier Ordre Contexte : L'art de l'approximation en mécanique quantique. En mécanique quantique, très peu de systèmes physiques peuvent être résolus de...
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