Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits \(PV = nRT\) pour calculer la pression initiale. Il faut s'assurer que les unités sont cohérentes (Volume en m³ pour obtenir des Pascals si R est en J/(mol·K)).

Conversion du volume initial en m³ :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
• \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
• \(T = 300 \, \text{K}\)
• \(V_1 = 0.0100 \, \text{m}^3\)

Calcul :

Principe :

Pour une transformation isotherme d'un gaz idéal, \(P_1V_1 = P_2V_2\) (Loi de Boyle-Mariotte). On peut aussi utiliser \(P_2 = \frac{nRT}{V_2}\).

Conversion du volume final en m³ :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
• \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
• \(T = 300 \, \text{K}\)
• \(V_2 = 0.0250 \, \text{m}^3\)

Calcul :

Vérification avec Boyle-Mariotte : \(P_2 = P_1 \frac{V_1}{V_2} = (4.9884 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times \frac{0.0100 \, \text{m}^3}{0.0250 \, \text{m}^3} = 1.99536 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

Principe :

Pour une transformation isotherme réversible d'un gaz idéal, le travail effectué PAR le gaz est donné par \(W_{\text{par le gaz}} = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\). Si l'on utilise la convention où \(W\) est le travail REÇU par le système, alors \(W = -nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\).

Nous calculerons ici le travail effectué PAR le gaz (\(W_{\text{par}}\)). Si \(W_{\text{par}} > 0\), le système effectue du travail sur l'extérieur.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
• \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
• \(T = 300 \, \text{K}\)
• \(V_1 = 10.0 \, \text{L}\)
• \(V_2 = 25.0 \, \text{L}\)
• \(\ln\left(\frac{25.0}{10.0}\right) = \ln(2.5) \approx 0.91629\)

Calcul :

Puisque \(W_{\text{par le gaz}} > 0\), le travail est effectué par le système sur l'extérieur (expansion).

Si l'on utilise la convention \(W = \text{travail reçu par le système}\), alors \(W = -4570 \, \text{J}\).

Principe :

Pour une transformation isotherme d'un gaz idéal, la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) est nulle. D'après le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = Q + W_{\text{reçu}}\). Si \(W_{\text{reçu}} = -W_{\text{par le gaz}}\), alors \(0 = Q - W_{\text{par le gaz}}\), donc \(Q = W_{\text{par le gaz}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données calculées :

• \(W_{\text{par le gaz}} \approx 4570.9 \, \text{J}\)

Calcul :

Puisque \(Q > 0\), la chaleur est absorbée par le gaz depuis l'environnement pour maintenir sa température constante pendant l'expansion.

Principe :

Pour un gaz idéal, l'énergie interne (\(U\)) ne dépend que de sa température. Lors d'une transformation isotherme, la température reste constante (\(\Delta T = 0\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Où \(C_{v,m}\) est la capacité thermique molaire à volume constant.

Données :

• \(\Delta T = 0 \, \text{K}\) (processus isotherme)

Calcul et Justification :

La variation d'énergie interne d'un gaz idéal lors d'une transformation isotherme est nulle car son énergie interne ne dépend que de la température, et celle-ci ne change pas.