ÉTUDE DE PHYSIQUE

Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal

Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal en Thermodynamique

Transformation Isotherme d’un Gaz Idéal

Comprendre la Transformation Isotherme d'un Gaz Idéal

En thermodynamique, une transformation isotherme est un processus au cours duquel la température (\(T\)) d'un système reste constante. Pour un gaz idéal, l'énergie interne (\(U\)) ne dépend que de la température. Par conséquent, lors d'une transformation isotherme d'un gaz idéal, la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) est nulle. Selon le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = Q + W\), où \(Q\) est la chaleur échangée et \(W\) le travail reçu par le système), si \(\Delta U = 0\), alors \(Q = -W\). Cela signifie que toute la chaleur absorbée par le gaz est convertie en travail effectué par le gaz sur l'extérieur (expansion), ou inversement, tout le travail effectué sur le gaz est libéré sous forme de chaleur (compression).

Données de l'étude

On considère \(2.00 \, \text{mol}\) d'un gaz idéal qui subit une expansion isotherme réversible à une température constante de \(300 \, \text{K}\).

Conditions initiales et finales :

  • Nombre de moles de gaz (\(n\)) : \(2.00 \, \text{mol}\)
  • Température constante (\(T\)) : \(300 \, \text{K}\)
  • Volume initial (\(V_1\)) : \(10.0 \, \text{L}\)
  • Volume final (\(V_2\)) : \(25.0 \, \text{L}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
Schéma d'une Expansion Isotherme d'un Gaz Idéal
Piston (V₁) (V₂) Q W T = constante

Un gaz idéal se détend de manière isotherme, effectuant un travail et absorbant de la chaleur.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression initiale (\(P_1\)) du gaz en Pascals (Pa).
  2. Calculer la pression finale (\(P_2\)) du gaz en Pascals (Pa).
  3. Calculer le travail (\(W\)) effectué par le gaz lors de cette expansion isotherme réversible. Le travail est-il effectué par le système ou sur le système ?
  4. Calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée avec l'environnement pendant cette transformation. La chaleur est-elle absorbée ou libérée par le gaz ?
  5. Quelle est la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz durant cette transformation ? Justifier.

Correction : Transformation Isotherme d'un Gaz Idéal

Question 1 : Calcul de la Pression Initiale (\(P_1\))

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits \(PV = nRT\) pour calculer la pression initiale. Il faut s'assurer que les unités sont cohérentes (Volume en m³ pour obtenir des Pascals si R est en J/(mol·K)).

Conversion du volume initial en m³ :
\[ V_1 = 10.0 \, \text{L} \times \frac{1 \, \text{m}^3}{1000 \, \text{L}} = 0.0100 \, \text{m}^3 \]
Formule(s) utilisée(s) :
\[P_1 V_1 = nRT \quad \Rightarrow \quad P_1 = \frac{nRT}{V_1}\]
Données spécifiques :
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
  • \(T = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_1 = 0.0100 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{2.00 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)} \times 300 \, \text{K}}{0.0100 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{J}}{0.0100 \, \text{m}^3} \\ &= 498840 \, \text{Pa} \\ &= 4.99 \times 10^5 \, \text{Pa} \quad (\text{ou } 499 \, \text{kPa}, \text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression initiale du gaz est \(P_1 \approx 4.99 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Calcul de la Pression Finale (\(P_2\))

Principe :

Pour une transformation isotherme d'un gaz idéal, \(P_1V_1 = P_2V_2\) (Loi de Boyle-Mariotte). On peut aussi utiliser \(P_2 = \frac{nRT}{V_2}\).

Conversion du volume final en m³ :
\[ V_2 = 25.0 \, \text{L} \times \frac{1 \, \text{m}^3}{1000 \, \text{L}} = 0.0250 \, \text{m}^3 \]
Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = \frac{nRT}{V_2}\]
Données spécifiques :
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
  • \(T = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_2 = 0.0250 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= \frac{2.00 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)} \times 300 \, \text{K}}{0.0250 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{J}}{0.0250 \, \text{m}^3} \\ &= 199536 \, \text{Pa} \\ &= 2.00 \times 10^5 \, \text{Pa} \quad (\text{ou } 200 \, \text{kPa}, \text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]

Vérification avec Boyle-Mariotte : \(P_2 = P_1 \frac{V_1}{V_2} = (4.9884 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times \frac{0.0100 \, \text{m}^3}{0.0250 \, \text{m}^3} = 1.99536 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

Résultat Question 2 : La pression finale du gaz est \(P_2 \approx 2.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une expansion isotherme d'un gaz idéal, si le volume double, la pression :

Question 3 : Travail (\(W\)) Effectué par le Gaz

Principe :

Pour une transformation isotherme réversible d'un gaz idéal, le travail effectué PAR le gaz est donné par \(W_{\text{par le gaz}} = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\). Si l'on utilise la convention où \(W\) est le travail REÇU par le système, alors \(W = -nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\).

Nous calculerons ici le travail effectué PAR le gaz (\(W_{\text{par}}\)). Si \(W_{\text{par}} > 0\), le système effectue du travail sur l'extérieur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{par le gaz}} = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\]
Données spécifiques :
  • \(n = 2.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
  • \(T = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_1 = 10.0 \, \text{L}\)
  • \(V_2 = 25.0 \, \text{L}\)
  • \(\ln\left(\frac{25.0}{10.0}\right) = \ln(2.5) \approx 0.91629\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{par le gaz}} &= 2.00 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)} \times 300 \, \text{K} \times \ln\left(\frac{25.0 \, \text{L}}{10.0 \, \text{L}}\right) \\ &= 4988.4 \, \text{J} \times \ln(2.5) \\ &\approx 4988.4 \, \text{J} \times 0.91629 \\ &\approx 4570.9... \, \text{J} \\ &\approx 4570 \, \text{J} \quad (\text{ou } 4.57 \, \text{kJ}, \text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]

Puisque \(W_{\text{par le gaz}} > 0\), le travail est effectué par le système sur l'extérieur (expansion).

Si l'on utilise la convention \(W = \text{travail reçu par le système}\), alors \(W = -4570 \, \text{J}\).

Résultat Question 3 : Le travail effectué par le gaz est \(W_{\text{par le gaz}} \approx 4570 \, \text{J}\). Le travail est effectué par le système.

Question 4 : Quantité de Chaleur (\(Q\)) Échangée

Principe :

Pour une transformation isotherme d'un gaz idéal, la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) est nulle. D'après le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = Q + W_{\text{reçu}}\). Si \(W_{\text{reçu}} = -W_{\text{par le gaz}}\), alors \(0 = Q - W_{\text{par le gaz}}\), donc \(Q = W_{\text{par le gaz}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = 0 \quad \text{et} \quad Q = W_{\text{par le gaz}}\]
Données calculées :
  • \(W_{\text{par le gaz}} \approx 4570.9 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ Q \approx 4570.9 \, \text{J} \]

Puisque \(Q > 0\), la chaleur est absorbée par le gaz depuis l'environnement pour maintenir sa température constante pendant l'expansion.

Résultat Question 4 : La quantité de chaleur échangée est \(Q \approx 4570 \, \text{J}\). La chaleur est absorbée par le gaz.

Question 5 : Variation de l'Énergie Interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz idéal, l'énergie interne (\(U\)) ne dépend que de sa température. Lors d'une transformation isotherme, la température reste constante (\(\Delta T = 0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\]

Où \(C_{v,m}\) est la capacité thermique molaire à volume constant.

Données :
  • \(\Delta T = 0 \, \text{K}\) (processus isotherme)
Calcul et Justification :
\[ \Delta U = n C_{v,m} \times 0 = 0 \, \text{J} \]

La variation d'énergie interne d'un gaz idéal lors d'une transformation isotherme est nulle car son énergie interne ne dépend que de la température, et celle-ci ne change pas.

Résultat Question 5 : La variation de l'énergie interne du gaz est \(\Delta U = 0 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Lors d'une compression isotherme réversible d'un gaz idéal :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans une transformation isotherme d'un gaz idéal, quelle grandeur reste constante ?

2. Pour un gaz idéal subissant une transformation isotherme, la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) est :

3. Le travail effectué PAR un gaz idéal lors d'une expansion isotherme réversible est :

Glossaire

Transformation Isotherme
Processus thermodynamique qui se déroule à température constante (\(\Delta T = 0\)).
Gaz Idéal (ou Parfait)
Modèle théorique d'un gaz dont les particules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à la loi \(PV = nRT\).
Énergie Interne (\(U\))
Somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules constituant un système. Pour un gaz idéal, elle ne dépend que de la température.
Travail Thermodynamique (\(W\))
Énergie transférée entre un système et son environnement due à une variation de volume du système contre une pression extérieure (travail des forces de pression). Par convention, \(W > 0\) si le travail est reçu par le système, \(W < 0\) si le travail est effectué par le système.
Chaleur (\(Q\))
Énergie transférée entre un système et son environnement due à une différence de température. Par convention, \(Q > 0\) si la chaleur est absorbée par le système, \(Q < 0\) si la chaleur est libérée par le système.
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie appliqué aux systèmes thermodynamiques. Il stipule que la variation d'énergie interne d'un système (\(\Delta U\)) est égale à la somme de la chaleur (\(Q\)) échangée avec l'extérieur et du travail (\(W\)) reçu par le système : \(\Delta U = Q + W\).
Transformation Réversible
Transformation thermodynamique idéale qui peut être inversée en modifiant infiniment peu les conditions extérieures, ramenant le système et l'extérieur à leurs états initiaux sans laisser de changement net.
Transformation Isotherme - Exercice d'Application en Thermodynamique

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