Transfert de Chaleur dans un Système Fermé
Contexte : Le Premier Principe de la ThermodynamiqueUne loi de conservation de l'énergie qui stipule que la variation de l'énergie interne d'un système est égale à la différence entre la chaleur échangée et le travail échangé..
Cet exercice est une application directe du premier principe de la thermodynamique pour un système ferméUn système thermodynamique qui peut échanger de l'énergie (sous forme de chaleur et de travail) avec son environnement, mais qui n'échange pas de matière.. Nous analysons un système piston-cylindre, un modèle fondamental utilisé pour comprendre le fonctionnement des moteurs thermiques, des compresseurs et d'autres machines. L'objectif est de quantifier les échanges d'énergie (travail et chaleur) subis par un gaz lors d'une transformation.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de thermodynamique en étapes logiques : définition de l'état initial et final, calcul du travail échangé, calcul de la variation d'énergie interne, et enfin, application du bilan énergétique pour trouver la chaleur.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le premier principe de la thermodynamique à un système fermé.
- Calculer le travail de frontière mobile \($W$\) pour un processus isobare.
- Déterminer la variation d'énergie interne \($\Delta U$\) d'un gaz parfait.
- Calculer la quantité de chaleur transférée \($Q$\) durant une transformation.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Système | Piston-Cylindre |
| Fluide | Air (assimilé à un gaz parfait) |
| Transformation | Échauffement et détente isobare |
Schéma du Système Piston-Cylindre
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de l'air | \(m\) | 0.5 | kg |
| Pression (constante) | \(P\) | 200 | kPa |
| Température initiale | \(T_1\) | 27 | °C |
| Température finale | \(T_2\) | 227 | °C |
| Capacité thermique massique à volume constant | \(c_v\) | 0.718 | kJ/kg·K |
| Constante spécifique du gaz parfait pour l'air | \(R\) | 0.287 | kJ/kg·K |
Questions à traiter
- Convertir les températures initiale et finale en Kelvin.
- Calculer le volume de l'air à l'état initial (\(V_1\)) et à l'état final (\(V_2\)).
- Déterminer le travail de frontière mobile (\(W_{1 \to 2}\)) effectué par le système durant la transformation.
- Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du système.
- En déduire la quantité de chaleur (\(Q_{1 \to 2}\)) transférée au système pour réaliser cette transformation.
Les bases de la Thermodynamique
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois outils fondamentaux : la loi des gaz parfaits pour décrire l'état du système, le premier principe de la thermodynamique pour faire le bilan d'énergie, et les définitions du travail et de la variation d'énergie interne.
1. Premier Principe (Système Fermé)
Pour un système fermé subissant une transformation, la variation de son énergie interne \(\Delta U\) est égale à la somme de la chaleur \(Q\) reçue et du travail \(W\) reçu. La convention la plus courante en ingénierie est de compter \(W\) comme positif lorsque le travail est fourni par le système. L'équation s'écrit alors :
\[ \Delta U = Q - W \]
2. Loi des Gaz Parfaits
L'état d'un gaz parfait est décrit par la relation entre sa pression \(P\), son volume \(V\), sa masse \(m\), sa température absolue \(T\) et la constante spécifique du gaz \(R\) :
\[ PV = mRT \]
Correction : Transfert de Chaleur dans un Système Fermé
Question 1 : Convertir les températures initiale et finale en Kelvin.
Principe
En thermodynamique, l'utilisation d'une échelle de température absolue est indispensable pour que les lois physiques (comme la loi des gaz parfaits) soient valides. Le Kelvin est l'unité de base du Système International pour la température, son origine (0 K) correspondant au zéro absolu, l'état de plus basse énergie possible.
Mini-Cours
Les échelles Celsius et Kelvin sont des échelles linéaires, mais leurs points de référence sont différents. L'échelle Celsius est basée sur les points de fusion (\(0^\circ\text{C}\)) et d'ébullition (\(100^\circ\text{C}\)) de l'eau à pression atmosphérique. L'échelle Kelvin est une échelle absolue dont le point zéro est théorique. Une variation de \(1^\circ\text{C}\) est strictement égale à une variation de 1 K.
Remarque Pédagogique
Prenez toujours le réflexe de vérifier et de convertir les températures en Kelvin dès le début d'un exercice de thermodynamique. C'est l'une des erreurs les plus fréquentes et elle invalide tous les calculs qui suivent.
Normes
Le Kelvin (K) est l'unité de base de la température thermodynamique dans le Système International d'unités (SI). Son utilisation est standardisée dans tous les domaines scientifiques et techniques pour garantir l'universalité des calculs et des résultats.
Formule(s)
La conversion de degrés Celsius (\(^\circ\text{C}\)) en Kelvin (K) est une simple translation.
Donnée(s)
Les données suivantes sont issues de l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température initiale | \(T_1\) | 27 | °C |
| Température finale | \(T_2\) | 227 | °C |
Astuces
Pour des calculs rapides ou des estimations, il est souvent acceptable d'utiliser l'approximation \(273\) au lieu de \(273.15\). Cependant, pour des calculs de précision, la valeur complète est recommandée.
Schéma (Avant les calculs)
Conversion de Température
Calcul(s)
Calcul de la température initiale \(T_1\)
Calcul de la température finale \(T_2\)
Schéma (Après les calculs)
Résultats de la Conversion
Réflexions
La conversion est une étape préparatoire cruciale. Les valeurs en Kelvin, étant absolues, peuvent maintenant être utilisées dans les équations d'état comme la loi des gaz parfaits, où la proportionnalité entre les grandeurs physiques est fondamentale.
Points de vigilance
Ne jamais utiliser de températures en Celsius ou Fahrenheit dans les formules de gaz parfaits (\(PV=mRT\)) ou les calculs de variation d'entropie. La seule exception concerne les différences de température (\(\Delta T\)), où \(\Delta T_\text{K} = \Delta T_{^\circ \text{C}}\).
Points à retenir
L'essentiel à maîtriser est la formule de conversion \(T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\) et de comprendre que la température en thermodynamique doit être exprimée sur une échelle absolue.
Le saviez-vous ?
L'échelle Kelvin a été proposée par William Thomson, plus connu sous le nom de Lord Kelvin, en 1848. Il a basé son échelle sur le concept du "zéro absolu", la température la plus froide théoriquement possible où tout mouvement moléculaire cesserait.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la température en Kelvin si la température initiale était de \(100^\circ\text{C}\) ?
Question 2 : Calculer le volume de l'air à l'état initial (\(V_1\)) et à l'état final (\(V_2\)).
Principe
L'état d'un gaz parfait est défini par ses propriétés (P, V, T, m). La loi des gaz parfaits est une équation d'état qui relie ces propriétés. En connaissant trois d'entre elles, on peut déterminer la quatrième. Ici, nous utilisons P, m, et T pour trouver V.
Mini-Cours
La loi \(PV=mRT\) montre que pour une masse de gaz donnée, le volume est directement proportionnel à la température absolue et inversement proportionnel à la pression. Dans notre cas (processus isobare), la pression est constante, donc le volume ne dépendra que de la variation de température.
Remarque Pédagogique
Il est utile de traiter chaque état (initial et final) comme un problème distinct. Appliquez la loi des gaz parfaits une fois pour l'état 1 avec les données de l'état 1, puis une seconde fois pour l'état 2. Ne mélangez pas les données des deux états.
Normes
L'utilisation de la loi des gaz parfaits est une modélisation standard pour les gaz réels à des pressions basses et des températures modérées, ce qui est le cas pour l'air dans de nombreuses applications d'ingénierie, y compris cet exercice.
Formule(s)
En isolant le volume dans l'équation d'état des gaz parfaits, on obtient :
Hypothèses
L'hypothèse principale est que l'air se comporte comme un gaz parfait. C'est une approximation qui néglige les interactions intermoléculaires et le volume propre des molécules, ce qui est très précis dans les conditions de l'exercice.
Donnée(s)
Les données suivantes proviennent de l'énoncé et du résultat de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 0.5 | kg |
| Pression | \(P\) | 200 | kPa |
| Constante de l'air | \(R\) | 0.287 | kJ/kg·K |
| Température 1 | \(T_1\) | 300.15 | K |
| Température 2 | \(T_2\) | 500.15 | K |
Astuces
Pour un processus isobare, on peut utiliser la relation de Charles : \(V_2/V_1 = T_2/T_1\). Une fois que \(V_1\) est calculé, on peut trouver \(V_2\) rapidement : \(V_2 = V_1 \times (T_2/T_1)\).
Schéma (Avant les calculs)
Détermination des Volumes
Calcul(s)
Calcul du volume initial \(V_1\)
Calcul du volume final \(V_2\)
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Volumes Calculés
Réflexions
Comme attendu, le volume a augmenté (\(V_2 > V_1\)) car le gaz a été chauffé à pression constante. L'augmentation du volume est significative, ce qui est la base de la production de travail dans les moteurs thermiques.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est l'incohérence des unités. Si vous utilisez \(P\) en Pascals (200 000 Pa), vous devez utiliser \(R\) en Joules/kg·K (287 J/kg·K). Le résultat sera le même. \(V_1 = (0.5 \times 287 \times 300.15) / 200000 \approx 0.2154 \text{ m}^3\).
Points à retenir
La maîtrise de la loi des gaz parfaits (\(PV=mRT\)) est essentielle pour définir les états d'un système. Il faut savoir l'appliquer et être vigilant sur les unités et l'utilisation de la température absolue.
Le saviez-vous ?
La loi des gaz parfaits est une synthèse des travaux de plusieurs scientifiques. Robert Boyle a montré la relation inverse entre pression et volume (1662), tandis que Jacques Charles (1787) et Joseph Louis Gay-Lussac (1802) ont établi la relation directe entre volume et température.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pression était de \(400 \text{ kPa}\) au lieu de \(200 \text{ kPa}\), quel serait le volume initial \(V_1\) ?
Question 3 : Déterminer le travail de frontière mobile (\(W_{1 \to 2}\)) effectué par le système.
Principe
Le travail de frontière mobile représente l'énergie transférée par le système à son environnement sous forme mécanique, via le déplacement de ses frontières. Dans notre cas, c'est l'énergie que le gaz utilise pour pousser le piston vers le haut contre la pression extérieure constante.
Mini-Cours
Graphiquement, le travail échangé lors d'une transformation quasi-statique correspond à l'aire sous la courbe du processus sur un diagramme Pression-Volume (P-V). Pour un processus isobare (pression constante), cette aire est simplement un rectangle de hauteur \(P\) et de largeur \((V_2 - V_1)\).
Remarque Pédagogique
Le signe du travail est crucial. Une détente (augmentation de volume) produit un travail positif (le système fournit du travail). Une compression (diminution de volume) produit un travail négatif (le système reçoit du travail). Pensez "le gaz travaille pour pousser" ou "on travaille sur le gaz pour le comprimer".
Normes
La convention de signe utilisée ici (\(W > 0\) pour un travail fourni par le système) est courante en ingénierie et en thermodynamique appliquée (moteurs, turbines). En chimie et physique fondamentale, la convention inverse (\(W > 0\) pour un travail reçu) est souvent préférée. Il est essentiel de toujours vérifier la convention utilisée.
Formule(s)
Pour une transformation isobare quasi-statique, le travail est calculé par :
Hypothèses
On suppose que la transformation est "quasi-statique", c'est-à-dire suffisamment lente pour que la pression soit uniforme dans le cylindre à tout instant. On suppose aussi que le piston se déplace sans frottement, sinon une partie du travail serait dissipée en chaleur.
Donnée(s)
Les données suivantes proviennent de l'énoncé et des résultats de la question 2.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression constante | \(P\) | 200 | kPa |
| Volume initial | \(V_1\) | 0.2154 | m³ |
| Volume final | \(V_2\) | 0.3589 | m³ |
Astuces
Puisque \(PV = mRT\), pour une détente isobare d'un gaz parfait, on peut aussi écrire \(P(V_2 - V_1) = mR(T_2 - T_1)\). On peut donc calculer le travail directement à partir des températures, sans passer par les volumes : \(W = 0.5 \times 0.287 \times (500.15 - 300.15) \approx 28.7 \text{ kJ}\).
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme P-V d'un Processus Isobare
Calcul(s)
Calcul du travail de frontière mobile \(W_{1 \to 2}\)
Schéma (Après les calculs)
Travail Calculé sur le Diagramme P-V
Réflexions
Un travail de 28.7 kJ a été produit. Cette énergie n'est pas créée, elle est transférée par le gaz vers l'extérieur. Le premier principe nous aidera à comprendre d'où vient cette énergie (en partie de la chaleur fournie).
Points de vigilance
Assurez-vous que la pression est bien en Pascals (ou kPa) et le volume en m³. Utiliser des litres pour le volume ou des bars pour la pression sans conversion est une erreur fréquente qui conduit à des résultats incorrects.
Points à retenir
Pour un processus isobare, le travail est simplement \(W = P \cdot \Delta V\). C'est une formule fondamentale et très courante dans les applications pratiques.
Le saviez-vous ?
Le concept de travail thermodynamique a été essentiel au développement de la machine à vapeur par James Watt. Comprendre comment transformer la chaleur en travail utile a été la clé de la Révolution Industrielle.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le volume final était de \(0.5 \text{ m}^3\) (à la même pression), quel serait le travail produit ?
Question 4 : Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du système.
Principe
L'énergie interne (\(U\)) est une mesure de l'énergie contenue dans un système au niveau microscopique (agitation thermique des molécules). Pour un gaz parfait, cette énergie ne dépend que de la température. Une augmentation de température implique une augmentation de l'agitation moléculaire, et donc une augmentation de l'énergie interne.
Mini-Cours
La première loi de Joule stipule que l'énergie interne d'une masse fixe d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. Cela signifie que peu importe le chemin suivi entre deux températures \(T_1\) et \(T_2\) (isobare, isochore, etc.), la variation d'énergie interne \(\Delta U\) sera toujours la même.
Remarque Pédagogique
Attention à ne pas confondre énergie interne et chaleur. L'énergie interne est une fonction d'état (elle dépend de l'état du système, ici sa température). La chaleur est un transfert d'énergie, un mode d'échange qui dépend du chemin suivi.
Normes
Pas de norme réglementaire ici, mais l'équation \(\Delta U = m c_v \Delta T\) est une définition fondamentale issue des lois de la thermodynamique pour les gaz parfaits.
Formule(s)
La variation d'énergie interne pour un gaz parfait avec une capacité thermique massique constante est :
Hypothèses
Outre l'hypothèse du gaz parfait, on suppose ici que la capacité thermique \(c_v\) est constante sur l'intervalle de température \([27^\circ C, 227^\circ C]\). Pour de plus grandes variations de température, \(c_v\) peut varier et il faudrait l'intégrer.
Donnée(s)
Les données suivantes proviennent de l'énoncé et des résultats de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 0.5 | kg |
| Capacité thermique | \(c_v\) | 0.718 | kJ/kg·K |
| Température initiale | \(T_1\) | 300.15 | K |
| Température finale | \(T_2\) | 500.15 | K |
Astuces
Comme il s'agit d'une différence de température (\(\Delta T = T_2 - T_1\)), il n'est pas nécessaire de convertir les températures en Kelvin si elles sont toutes les deux en Celsius. \(\Delta T(\text{K}) = (T_2+273.15) - (T_1+273.15) = T_2 - T_1 = \Delta T(^\circ \text{C})\).
Schéma (Avant les calculs)
Énergie Interne en fonction de la Température
Calcul(s)
Calcul de la différence de température \(\Delta T\)
Calcul de la variation d'énergie interne \(\Delta U\)
Schéma (Après les calculs)
Variation d'Énergie Interne sur le Diagramme U-T
Réflexions
L'énergie interne du système a augmenté de 71.8 kJ. Cette énergie a été "stockée" par le gaz sous forme d'agitation thermique. Cette énergie provient de la chaleur qui a été fournie au système.
Points de vigilance
Utilisez bien la capacité thermique à volume constant (\(c_v\)) pour calculer la variation d'énergie interne, et non celle à pression constante (\(c_p\)). L'énergie interne est liée à l'énergie "stockée", qui ne dépend pas du travail de frontière, d'où l'utilisation de \(c_v\).
Points à retenir
Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne est TOUJOURS \(\Delta U = m c_v \Delta T\), quel que soit le type de transformation (isobare, isochore, isotherme, etc.).
Le saviez-vous ?
James Prescott Joule a démontré expérimentalement vers 1845 que l'énergie interne d'un gaz ne dépendait que de sa température. Son expérience (la détente de Joule) a montré qu'un gaz se détendant dans le vide ne change pas de température, prouvant qu'aucun travail interne n'était effectué.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la variation d'énergie interne si la température finale n'était que de \(127^\circ\text{C}\) ?
Question 5 : En déduire la quantité de chaleur (\(Q_{1 \to 2}\)) transférée au système.
Principe
Le premier principe de la thermodynamique est l'application de la loi de conservation de l'énergie à un système thermodynamique. Il stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite. La chaleur fournie à un système doit se retrouver quelque part : soit en augmentant l'énergie interne du système, soit en étant convertie en travail fourni par le système.
Mini-Cours
L'équation \(\Delta U = Q - W\) est un bilan énergétique. \(Q\) est l'énergie qui "entre" sous forme de chaleur. Une partie de cette énergie est stockée (c'est \(\Delta U\)), l'autre partie "ressort" sous forme de travail mécanique (\(W\)). La chaleur est donc la source d'énergie qui a permis à la fois de chauffer le gaz et de le faire se détendre.
Remarque Pédagogique
Cette dernière question est une synthèse des précédentes. Elle montre comment les différents concepts (travail, énergie interne, chaleur) sont interconnectés. Un problème de thermodynamique se résout souvent en calculant deux des trois termes de l'équation pour en déduire le troisième.
Normes
La formulation du premier principe est une loi fondamentale de la physique, universellement acceptée et appliquée.
Formule(s)
En isolant la chaleur dans l'équation du premier principe, on obtient :
Hypothèses
On suppose que le système est fermé (pas d'échange de matière) et que les seules formes d'énergie échangées sont le travail de frontière mobile et la chaleur. Les variations d'énergie cinétique et potentielle du système dans son ensemble sont négligées.
Donnée(s)
Ces données sont les résultats finaux des questions 3 et 4.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Variation d'énergie interne | \(\Delta U\) | 71.8 | kJ |
| Travail fourni | \(W_{1 \to 2}\) | 28.7 | kJ |
Astuces
Comme mentionné plus tôt, pour un processus isobare, la chaleur peut être calculée directement avec la capacité thermique à pression constante (\(c_p\)). \(c_p = c_v + R\) pour un gaz parfait. Donc \(c_p = 0.718 + 0.287 = 1.005\) kJ/kg·K. Alors \(Q = m c_p \Delta T = 0.5 \times 1.005 \times 200 = 100.5 \text{ kJ}\). C'est une excellente façon de vérifier le résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique (Diagramme de Sankey)
Calcul(s)
Calcul de la chaleur transférée \(Q_{1 \to 2}\)
Schéma (Après les calculs)
Bilan Énergétique Chiffré
Réflexions
Sur les 100.5 kJ de chaleur fournis, environ 71% (\(71.8 / 100.5\)) ont servi à augmenter la température du gaz (stockage d'énergie interne), et les 29% restants ont été convertis en travail mécanique utile. Ce ratio est une mesure de l'efficacité de la conversion d'énergie pour cette transformation.
Points de vigilance
Soyez très prudent avec les signes dans l'équation. Si le travail avait été reçu par le système (compression), son signe aurait été négatif (\(W < 0\)), et la chaleur nécessaire aurait été plus faible (\(Q = \Delta U - |W|\)).
Points à retenir
Le premier principe \(\Delta U = Q - W\) est l'outil central pour relier les échanges de chaleur et de travail à la variation d'une propriété du système (l'énergie interne). C'est la pierre angulaire de toute l'analyse thermodynamique.
Le saviez-vous ?
Le premier principe de la thermodynamique a été formulé par plusieurs scientifiques indépendamment, dont Rudolf Clausius et Julius von Mayer, dans les années 1840. Il a généralisé des observations sur l'équivalence entre le travail mécanique et la chaleur, formalisant la conservation de l'énergie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le travail produit était de \(40 \text{ kJ}\) et la variation d'énergie interne de \(80 \text{ kJ}\), quelle serait la chaleur transférée ?
Outil Interactif : Simulateur d'Échanges Énergétiques
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la masse d'air et la température finale. Observez comment le travail, la variation d'énergie interne et la chaleur nécessaire sont affectés. Le graphique montre l'évolution de la chaleur transférée en fonction de la température finale pour la masse choisie.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'expression du premier principe de la thermodynamique pour un système fermé (avec W > 0 si le travail est fourni par le système) ?
2. Lors d'une détente isobare (pression constante, volume qui augmente), le travail de frontière mobile est...
3. Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) ne dépend que de...
4. Que se passe-t-il si on double la masse de gaz tout en gardant les mêmes températures initiale et finale ?
5. L'unité du Système International pour l'énergie (chaleur, travail, énergie interne) est :
Glossaire
- Système Fermé
- Un système thermodynamique qui peut échanger de l'énergie (sous forme de chaleur et de travail) avec son environnement, mais qui n'échange pas de matière.
- Processus Isobare
- Une transformation thermodynamique qui se déroule à pression constante.
- Énergie Interne (U)
- La somme de toutes les énergies microscopiques (cinétique et potentielle) des particules constituant le système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
- Travail de Frontière Mobile
- Le travail associé au déplacement de la frontière d'un système, comme le mouvement d'un piston dans un cylindre. Il est calculé par l'intégrale de P dV.
D’autres exercices de thermodynamique:
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