Analyse Pratique des Lentilles Minces

Contexte : L'étude de la Lentille Mince ConvergenteUn composant optique, mince au centre, qui fait converger les rayons lumineux parallèles vers un point focal..

En optique géométrique, la lentille mince est le composant de base pour comprendre la formation des images. Qu'il s'agisse d'un appareil photo, d'un microscope ou de l'œil humain, les principes restent les mêmes. Cet exercice vous guidera dans le calcul et l'analyse de l'image d'un objet formée par une lentille convergente simple, en utilisant les relations fondamentales de l'optique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer méthodiquement les formules de conjugaison de Descartes et du grandissement transversal pour caractériser complètement une image (position, taille, nature).

Objectifs Pédagogiques

Maîtriser et appliquer la formule de conjugaison des lentilles minces (relation de Descartes).
Calculer et interpréter le grandissement transversal (\(\gamma\)).
Déterminer la hauteur et la nature complète d'une image (réelle ou virtuelle, droite ou inversée).
Utiliser la formule de Newton comme méthode de vérification.

Données de l'étude

On étudie un système optique simple composé d'une unique lentille mince convergente \(L\), de centre optique \(O\) et de distance focale image \(f'\). Un objet lumineux \(AB\) de hauteur \(h = \overline{AB} = 5,0 \text{ cm}\) est placé perpendiculairement à l'axe optique.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de lentille	Convergente
Distance focale image (\(f'\))	+20,0 cm
Hauteur de l'objet (\(\overline{AB}\))	+5,0 cm

Schéma de Principe du Montage Optique

Paramètre de l'Étude	Description ou Formule	Valeur	Unité
Distance Focale Image	\(f' = \overline{OF'}\)	+20,0	cm
Position de l'Objet	\(p = \overline{OA}\)	-30,0	cm
Hauteur de l'Objet	\(h = \overline{AB}\)	+5,0	cm

Questions à traiter

Calculer la position de l'image, notée \(p' = \overline{OA'}\).
Calculer le grandissement transversal \(\gamma\).
Calculer la hauteur de l'image, notée \(h' = \overline{A'B'}\).
Déduire des calculs précédents la nature, le sens et la taille de l'image \(A'B'\).
Vérifier la position de l'image en utilisant la formule de conjugaison de Newton (avec origine aux foyers).

Les bases sur les Lentilles Minces

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons les conventions et formules de l'optique géométrique pour les lentilles minces dans l'approximation de Gauss (rayons proches de l'axe et peu inclinés).

1. Formule de Conjugaison (Relation de Descartes)
Cette formule relie la position de l'objet \(p = \overline{OA}\), la position de l'image \(p' = \overline{OA'}\) et la distance focale image \(f' = \overline{OF'}\). L'origine est au centre optique \(O\). \[ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \quad \text{ou} \quad \frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'} \]

2. Grandissement Transversal (\(\gamma\))
Le grandissement est le rapport de la taille de l'image (\(h' = \overline{A'B'}\)) à la taille de l'objet (\(h = \overline{AB}\)). Il est aussi égal au rapport des positions. \[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \quad \text{ou} \quad \gamma = \frac{h'}{h} = \frac{p'}{p} \]

Correction : Analyse Pratique des Lentilles Minces

Question 1 : Calculer la position de l'image \(p' = \overline{OA'}\)

Principe

L'objectif est de trouver où l'image se forme par rapport à la lentille. Pour cela, nous utilisons la relation mathématique qui lie la position de l'objet, la position de l'image et la propriété intrinsèque de la lentille (sa distance focale). C'est la "formule de conjugaison".

Mini-Cours

La relation de Descartes (ou formule de conjugaison des lentilles minces) est l'outil fondamental. Elle établit que pour une lentille donnée (f' fixe), il existe une relation unique entre la position d'un objet (p) et la position de son image (p'). Nous allons isoler \(p'\) (l'inconnue) à partir de \(p\) et \(f'\) (les données).

Remarque Pédagogique

La stratégie est simple : réécrire la formule pour isoler le terme que l'on cherche (\(1/p'\)), puis substituer les valeurs numériques en faisant très attention aux signes. Enfin, on inverse le résultat pour trouver \(p'\) (et non \(1/p'\)).

Normes

Nous utilisons la convention de signes "algébrique" :

L'origine des positions est le centre optique \(O\).
L'axe optique est orienté positivement dans le sens de propagation de la lumière (gauche vers droite).
Les distances vers la droite sont positives (\(>0\)).
Les distances vers la gauche sont négatives (\(<0\)).

Formule(s)

La formule de base est celle de Descartes. Nous la réarrangeons pour trouver \(1/p'\).

Formule de base

\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}

Pour trouver \(1/p'\), on fait passer \(1/p\) de l'autre côté, ce qui change son signe.

Formule réarrangée (pour le calcul)

\frac{1}{p'} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}

Hypothèses

Nous sommes dans les conditions de l'optique géométrique (pas de diffraction) et de l'approximation de Gauss (rayons paraxiaux), ce qui justifie l'utilisation de ces formules simples.

La lentille est considérée comme "mince" (son épaisseur est négligeable).
L'objet \(AB\) est petit et proche de l'axe optique.

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs algébriques (avec signe) de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position ObjetDistance algébrique \(\overline{OA}\) du centre optique O au point objet A. Négative car l'objet est à gauche de O.	\(p = \overline{OA}\)	-30,0	cm
Distance FocaleDistance algébrique \(\overline{OF'}\) du centre optique O au foyer image F'. Positive pour une lentille convergente.	\(f'\)	+20,0	cm

Astuces

L'erreur la plus fréquente est l'oubli du signe 'moins' pour la position de l'objet \(p\). Un objet réel placé avant la lentille a toujours une position \(p < 0\). Une autre erreur est d'additionner les distances (\(p'\)) au lieu des inverses (\(1/p'\)). Calculez d'abord \(1/p'\), puis inversez.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre la situation : l'objet est placé avant le foyer objet \(F\) (car \(|p| = 30 \text{ cm}\) et \(|f| = 20 \text{ cm}\)). On s'attend donc à une image réelle de l'autre côté.

Situation Initiale (de l'énoncé)

Calcul(s)

Nous partons de la formule réarrangée : \(\frac{1}{p'} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}\). Nous allons maintenant substituer les valeurs algébriques connues.

Étape 1 : Substitution des valeurs (p = -30,0 cm, f' = +20,0 cm)

\frac{1}{p'} = \frac{1}{-30,0 \text{ cm}} + \frac{1}{+20,0 \text{ cm}}

Maintenant que les valeurs sont posées, nous devons additionner ces deux fractions en les mettant sur un dénominateur commun.

Étape 2 : Mise au même dénominateur (le plus petit commun multiple de 30 et 20 est 60)

\begin{aligned} \frac{1}{p'} &= \frac{1 \times 2}{-30,0 \times 2} + \frac{1 \times 3}{+20,0 \times 3} \\ &= \frac{-2}{60,0 \text{ cm}} + \frac{3}{60,0 \text{ cm}} \\ &= \frac{-2 + 3}{60,0 \text{ cm}} \\ &= \frac{1}{60,0 \text{ cm}} \end{aligned}

Le calcul nous donne \(\frac{1}{p'} = \frac{1}{60,0 \text{ cm}}\). Ce n'est pas le résultat final, car nous cherchons \(p'\), et non son inverse.

Étape 3 : Inversion du résultat pour trouver p'

C'est une étape cruciale. Si \(\frac{1}{p'} = \frac{1}{60,0 \text{ cm}}\), alors en "retournant" les deux fractions, on obtient :

\begin{aligned} p' &= \frac{60,0 \text{ cm}}{1} \\ p' &= +60,0 \text{ cm} \end{aligned}

La position de l'image \(p'\) est donc de +60,0 cm.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(p' = +60 \text{ cm}\) confirme que l'image est à droite. Un tracé de rayons le confirmerait :

Construction de l'Image (Tracé de Rayons)

Réflexions

Le résultat \(p' = +60,0 \text{ cm}\) est positif. Conformément à notre convention de signes, cela signifie que l'image se forme *après* la lentille (du côté droit). Une image qui se forme dans l'espace "image" (après la lentille) est une Image RéelleUne image formée par la convergence réelle des rayons lumineux. Elle peut être projetée sur un écran. Sa position p' est positive.. Elle peut être captée sur un écran.

Points de vigilance

Attention à l'inversion finale ! Une erreur commune est de conclure que \(p' = 1/60\). Non, c'est \(1/p'\) qui vaut \(1/60\). Pensez toujours à inverser la fraction pour obtenir le résultat final. Vérifiez aussi que toutes vos unités sont homogènes (ici, tout est en cm).

Points à retenir

Pour trouver une position d'image, la méthode est toujours :

Identifier les données avec leurs signes (\(p < 0\), \(f' > 0\)).
Poser la relation de Descartes : \(\frac{1}{p'} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}\).
Résoudre pour \(1/p'\), puis inverser pour \(p'\).

Le saviez-vous ?

Cette formule est aussi appelée "relation de conjugaison" car elle "conjugue" un point objet A avec un point image A'. Si vous placez l'objet à la position \(A'\) (\(p = +60 \text{ cm}\)), l'image se formera à la position \(A\) (\(p' = -30 \text{ cm}\)), en inversant le sens de la lumière ! C'est le principe du retour inverse de la lumière.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La position de l'image est \(p' = \overline{OA'} = +60,0 \text{ cm}\).

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Recalculez \(p'\) si l'objet est placé à \(p = -40,0 \text{ cm}\) (toujours avec \(f' = +20,0 \text{ cm}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Relation de conjugaison de Descartes.
Formule Essentielle : \(\frac{1}{p'} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}\).
Point de Vigilance Majeur : Les signes algébriques (\(p<0\), \(f'>0\)).

Question 2 : Calculer le grandissement transversal \(\gamma\)

Principe

Le grandissement (\(\gamma\)) est un nombre sans unité qui nous dit combien de fois l'image est plus grande (ou plus petite) que l'objet, et si elle est droite ou inversée.

Mini-Cours

Le grandissement transversal est défini par \(\gamma = p'/p\). Il relie les positions à la taille.

Si \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie.
Si \(|\gamma| < 1\), l'image est réduite.
Si \(\gamma < 0\), l'image est inversée (par rapport à l'objet).
Si \(\gamma > 0\), l'image est droite (dans le même sens que l'objet).

Remarque Pédagogique

Maintenant que nous avons calculé \(p'\) (Q1) et que nous connaissons \(p\) (énoncé), le calcul de \(\gamma\) est une simple division. Encore une fois, l'attention aux signes est primordiale.

Normes

La définition \(\gamma = p'/p\) est directe et découle de l'application du théorème de Thalès sur les rayons passant par le centre optique \(O\) (voir schéma Q1).

Formule(s)

Formule du grandissement

\gamma = \frac{p'}{p} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

Hypothèses

Les mêmes que pour la question 1 (conditions de Gauss).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de base et le résultat de la Q1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position Image (calculée)	\(p' = \overline{OA'}\)	+60,0	cm
Position Objet (donnée)	\(p = \overline{OA}\)	-30,0	cm

Astuces

Le résultat est un ratio, les unités (cm/cm) s'annulent. Le signe est l'information la plus importante : un \(\gamma\) négatif est attendu pour une image réelle formée par une seule lentille convergente.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de construction (voir Q1) montre visuellement une image qui est plus grande que l'objet et qui est "tête en bas". On s'attend donc à trouver \(|\gamma| > 1\) et \(\gamma < 0\). Ce schéma illustre les grandeurs \(h\) et \(h'\) dont \(\gamma\) est le rapport.

Illustration des hauteurs h et h'

Calcul(s)

Nous partons de la formule de grandissement \(\gamma = \frac{p'}{p}\). Nous substituons la valeur de \(p'\) calculée à la Q1 et la valeur de \(p\) donnée dans l'énoncé.

Étape 1 : Substitution des valeurs (p' = +60,0 cm, p = -30,0 cm)

\begin{aligned} \gamma &= \frac{p'}{p} \\ &= \frac{+60,0 \text{ cm}}{-30,0 \text{ cm}} \end{aligned}

Un nombre positif divisé par un nombre négatif donnera un résultat négatif.

Étape 2 : Calcul du ratio

\gamma = -2,0

Le grandissement \(\gamma\) est de -2,0. Notez que les unités (cm) se sont annulées, le grandissement est un nombre sans dimension.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme l'observation du schéma : \(\gamma = -2,0\). Le schéma ci-dessous illustre cette conclusion.

Illustration du Grandissement γ = -2.0

Réflexions

Nous avons \(\gamma = -2,0\). L'analyse de ce résultat nous donne deux informations cruciales :

Le signe est négatif (\(\gamma < 0\)), ce qui signifie que l'image est inversée.
La valeur absolue est 2,0 (\(|\gamma| > 1\)), ce qui signifie que l'image est deux fois plus grande que l'objet.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\gamma = p'/p\) avec \(\gamma = p/p'\). L'image (\(p'\)) est au numérateur, l'objet (\(p\)) au dénominateur.

Points à retenir

\(\gamma = p'/p\)
Signe de \(\gamma\) \(\rightarrow\) Sens (droit/inversé)
Valeur de \(|\gamma|\) \(\rightarrow\) Taille (agrandie/réduite)

Le saviez-vous ?

Le grandissement \(\gamma\) peut aussi être calculé sans connaître \(p'\), en utilisant la formule : \(\gamma = f' / (f' + p)\). Vérifions : \(\gamma = 20 / (20 + (-30)) = 20 / (-10) = -2\). Ça marche !

FAQ

Voici les questions fréquentes concernant le grandissement.

Résultat Final

Le grandissement transversal est \(\gamma = -2,0\).

A vous de jouer

Si un objet à \(p = -60 \text{ cm}\) donne une image à \(p' = +30 \text{ cm}\) (avec une autre lentille), quel est le grandissement \(\gamma\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Grandissement transversal.
Formule Essentielle : \(\gamma = p'/p\).
Interprétation : \(\gamma = -2,0\) \(\rightarrow\) Image inversée et 2x plus grande.

Question 3 : Calculer la hauteur de l'image \(h' = \overline{A'B'}\)

Principe

Maintenant que nous savons que l'image est 2x plus grande et inversée (\(\gamma = -2,0\)), nous pouvons calculer sa taille réelle en centimètres en appliquant ce facteur à la taille de l'objet.

Mini-Cours

La deuxième partie de la définition du grandissement est \(\gamma = h'/h\), où \(h = \overline{AB}\) est la hauteur de l'objet et \(h' = \overline{A'B'}\) est la hauteur de l'image. Les deux sont des mesures algébriques (positives si vers le haut, négatives si vers le bas).

Remarque Pédagogique

Nous allons simplement réarranger la formule \(\gamma = h'/h\) pour isoler l'inconnue \(h'\). C'est un simple produit en croix : \(h' = \gamma \times h\).

Normes

La convention de signe pour les hauteurs est : positif (\(>0\)) vers le haut, négatif (\(<0\)) vers le bas.

Formule(s)

Formule de base

\gamma = \frac{h'}{h}

Formule réarrangée (pour le calcul)

h' = \gamma \times h

Hypothèses

Les mêmes que pour les questions précédentes.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q2 et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Grandissement (calculé)	\(\gamma\)	-2,0	(sans unité)
Hauteur Objet (donnée)	\(h = \overline{AB}\)	+5,0	cm

Astuces

Vérifiez la cohérence : l'objet est "droit" (\(h > 0\)), le grandissement est négatif (\(\gamma < 0\)). Le résultat \(h'\) doit donc être négatif (image "inversée"). Si vous obtenez un signe positif, il y a une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Nous avons un objet de +5,0 cm et un facteur de grandissement de -2,0. Nous nous attendons à une image qui pointe vers le bas (signe -) et qui mesure 2 fois 5,0 cm.

Application du Grandissement

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(h' = \gamma \times h\) avec les valeurs connues.

Étape 1 : Substitution des valeurs (γ = -2,0, h = +5,0 cm)

\begin{aligned} h' &= \gamma \times h \\ &= (-2,0) \times (+5,0 \text{ cm}) \end{aligned}

Étape 2 : Calcul final

h' = -10,0 \text{ cm}

La hauteur de l'image \(h'\) est donc de -10,0 cm. Le signe négatif indique qu'elle est orientée vers le bas.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de construction (Q1) est cohérent avec ce résultat. L'image \(A'B'\) est bien située à 60 cm (Q1), elle est inversée (Q2) et mesure 10 cm de haut (Q3). Le schéma suivant compare directement les tailles.

Comparaison des Hauteurs h et h'

Réflexions

Le résultat \(h' = -10,0 \text{ cm}\) est cohérent. Le signe 'moins' confirme que l'image est inversée (elle pointe vers le bas), et la valeur de 10,0 cm est bien le double de la hauteur de l'objet (5,0 cm), comme \(\gamma = -2,0\) le prédisait.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la hauteur algébrique de l'objet \(h = +5,0 \text{ cm}\). Si l'objet avait été "tête en bas" (\(h = -5,0 \text{ cm}\)), l'image aurait été \(h' = (-2,0) \times (-5,0) = +10,0 \text{ cm}\), c'est-à-dire "droite" !

Points à retenir

La hauteur de l'image \(h'\) se déduit directement du grandissement \(\gamma\).
\(h' = \gamma \times h\).

Le saviez-vous ?

Dans un projecteur de diapositives (qui utilise une lentille convergente), c'est exactement ce qui se passe. Pour que l'image sur l'écran soit à l'endroit, la diapositive doit être insérée "tête en bas" (\(h\) négatif), pour que l'image inversée (\(h' = \gamma \times h\), avec \(\gamma < 0\)) soit positive (vers le haut).

FAQ

Questions courantes sur la hauteur de l'image.

Résultat Final

La hauteur de l'image est \(h' = \overline{A'B'} = -10,0 \text{ cm}\).

A vous de jouer

Si un objet de \(h = +4 \text{ cm}\) a un grandissement \(\gamma = +1,5\) (cas d'une loupe), quelle est la hauteur de l'image \(h'\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Hauteur de l'image.
Formule Essentielle : \(h' = \gamma \times h\).
Résultat : \((-2,0) \times (+5,0 \text{ cm}) = -10,0 \text{ cm}\).

Question 4 : Déduire des calculs précédents la nature, le sens et la taille de l'image \(A'B'\).

Principe

Cette étape est une synthèse. Il s'agit de traduire les résultats numériques des questions 1, 2 et 3 (\(p'\), \(\gamma\), \(h'\)) en une description qualitative complète de l'image (sa "nature").

Mini-Cours

La nature d'une image est définie par trois caractéristiques :

Nature (Réelle/Virtuelle) : Donnée par le signe de \(p'\). Si \(p' > 0 \implies\) Réelle. Si \(p' < 0 \implies\) Virtuelle.
Sens (Droite/Inversée) : Donné par le signe de \(\gamma\). Si \(\gamma > 0 \implies\) Droite. Si \(\gamma < 0 \implies\) Inversée.
Taille (Agrandie/Réduite) : Donnée par la valeur absolue de \(\gamma\). Si \(|\gamma| > 1 \implies\) Agrandie. Si \(|\gamma| < 1 \implies\) Réduite.

Remarque Pédagogique

C'est une étape d'interprétation pure. Prenez chaque résultat numérique (\(p'\) et \(\gamma\)) et "traduisez-le" en mots en utilisant les règles du mini-cours. C'est essentiel pour communiquer un résultat d'optique.

Normes

Pas de norme spécifique ici, c'est du vocabulaire d'optique fondamental.

Formule(s)

Pas de nouveaux calculs, juste une analyse des résultats précédents.

Hypothèses

Les calculs précédents sont supposés corrects.

Donnée(s)

Les résultats des questions 1, 2 et 3.

Paramètre	Symbole	Valeur
Position Image	\(p' = \overline{OA'}\)	+60,0 cm
Grandissement	\(\gamma\)	-2,0
Hauteur Image	\(h' = \overline{A'B'}\)	-10,0 cm

Astuces

Vous n'avez besoin que de \(p'\) et \(\gamma\) pour tout déduire. \(h'\) n'est qu'une confirmation. \(p'\) donne la nature, \(\gamma\) donne le sens et la taille.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de construction complet (réalisé à la Q1) montre déjà visuellement toutes les caractéristiques que nous allons lister. L'image est à droite, tête en bas, et plus grande.

Construction de l'Image (Rappel Q1)

Calcul(s)

C'est une analyse, pas un calcul. Nous prenons les valeurs finales de Q1, Q2 et Q3 et nous les traduisons en langage descriptif basé sur les règles du mini-cours.

Analyse de \(p' = +60,0 \text{ cm}\) : Le signe est positif (\(p' > 0\)), ce qui signifie que l'image se forme *après* la lentille. C'est donc une image RÉELLE.
Analyse de \(\gamma = -2,0\) : Le signe est négatif (\(\gamma < 0\)), ce qui signifie que l'image est INVERSÉE (tête en bas).
Analyse de \(|\gamma| = 2,0\) : La valeur absolue est supérieure à 1 (\(|\gamma| > 1\)), ce qui signifie que l'image est AGRANDIE (elle est 2 fois plus grande que l'objet).

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de construction complet (vu à la Q1) est la meilleure visualisation de cette conclusion. Il montre une image (\(A'B'\)) qui est bien à droite (réelle), orientée vers le bas (inversée), et plus grande que l'objet (\(AB\)).

Confirmation Visuelle des Caractéristiques

Réflexions

La description complète est donc : L'image \(A'B'\) est réelle, inversée, et agrandie. C'est le cas typique d'un objet placé entre F et 2F (puisque F est à -20 cm et 2F à -40 cm ; notre objet est à -30 cm).

Points de vigilance

Ne confondez pas "réduite" et "inversée", ou "agrandie" et "droite". Ce sont deux caractéristiques indépendantes. Une image peut être agrandie et inversée (notre cas), ou agrandie et droite (cas de la loupe).

Points à retenir

\(p' > 0 \implies\) Réelle
\(\gamma < 0 \implies\) Inversée
\(|\gamma| > 1 \implies\) Agrandie

Le saviez-vous ?

C'est exactement ce type d'image (réelle, inversée, agrandie) qui est formée sur la rétine de votre œil lorsque vous regardez un objet de près. Votre cerveau "apprend" ensuite à la ré-inverser pour que vous la perceviez à l'endroit !

FAQ

Questions récapitulatives sur la nature des images.

Résultat Final

L'image A'B' est : Réelle, Inversée et Agrandie (2 fois).

A vous de jouer

Si une analyse donne \(p' = -20 \text{ cm}\), quelle est la nature de l'image ? (1 pour Réelle, 2 pour Virtuelle)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Caractérisation de l'image.
Analyse : \(p'>0 \rightarrow\) Réelle, \(\gamma<0 \rightarrow\) Inversée, \(|\gamma|>1 \rightarrow\) Agrandie.

Question 5 : Vérifier la position avec la formule de Newton

Principe

La formule de Newton est une alternative à celle de Descartes. Elle n'utilise pas le centre optique \(O\) comme origine, mais les foyers objet \(F\) et image \(F'\). Elle est très utile pour vérifier la cohérence des calculs.

Mini-Cours

La formule de Newton s'écrit : \(\overline{FA} \times \overline{F'A'} = -f'^2\).

\(\overline{FA}\) est la position de l'objet par rapport au foyer objet \(F\).
\(\overline{F'A'}\) est la position de l'image par rapport au foyer image \(F'\).

On peut les calculer avec la relation de Chasles : \(\overline{FA} = \overline{FO} + \overline{OA} = -f' + p\). Et \(\overline{F'A'} = \overline{F'O} + \overline{OA'} = -f' + p'\).

Remarque Pédagogique

Notre but est de calculer le membre de gauche (\(\overline{FA} \times \overline{F'A'}\)) et le membre de droite (\(-f'^2\)) séparément, puis de vérifier s'ils sont égaux.

Normes

Les conventions de signes restent les mêmes, mais les origines changent ! \(\overline{FA}\) est mesurée depuis F, \(\overline{F'A'}\) depuis F'.

Formule(s)

Formule de Newton

\overline{FA} \times \overline{F'A'} = -f'^2

Pour utiliser cette formule, nous avons besoin des distances par rapport aux foyers, que l'on trouve avec la relation de Chasles.

Relations de Chasles (essentielles)

\overline{FA} = \overline{OA} - \overline{OF} \quad \text{et} \quad \overline{F'A'} = \overline{OA'} - \overline{OF'}

Hypothèses

Identiques aux questions précédentes.

Donnée(s)

Toutes les données précédentes sont nécessaires.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position Objet	\(p = \overline{OA}\)	-30,0	cm
Position Image	\(p' = \overline{OA'}\)	+60,0	cm
Focale Image	\(f' = \overline{OF'}\)	+20,0	cm
Focale Objet	\(\overline{OF} = -f'\)	-20,0	cm

Astuces

Le piège principal est de mal calculer \(\overline{FA}\) et \(\overline{F'A'}\). Utilisez toujours la relation de Chasles (\(\overline{XY} = \overline{OY} - \overline{OX}\)) pour éviter les erreurs. Donc \(\overline{FA} = \overline{OA} - \overline{OF}\) et \(\overline{F'A'} = \overline{OA'} - \overline{OF'}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul de Newton utilise les distances par rapport aux foyers F et F', et non par rapport au centre O. Ce schéma illustre les grandeurs \(\overline{FA}\) et \(\overline{F'A'}\) que nous devons calculer.

Distances pour la Formule de Newton

Calcul(s)

Nous devons vérifier l'égalité \(\overline{FA} \times \overline{F'A'} = -f'^2\). Pour cela, nous calculons chaque côté de l'équation séparément.

Partie 1 : Calcul du membre de gauche (\(\overline{FA} \times \overline{F'A'}\))

D'abord, \(\overline{FA}\) avec \(\overline{OA} = -30,0 \text{ cm}\) et \(\overline{OF} = -f' = -20,0 \text{ cm}\)

\begin{aligned} \overline{FA} &= \overline{OA} - \overline{OF} \\ &= (-30,0 \text{ cm}) - (-20,0 \text{ cm}) \\ &= -30,0 + 20,0 \\ &= -10,0 \text{ cm} \end{aligned}

L'objet se trouve donc 10 cm à gauche du foyer objet F (puisque \(\overline{FA}\) est négatif).

Ensuite, \(\overline{F'A'}\) avec \(\overline{OA'} = +60,0 \text{ cm}\) et \(\overline{OF'} = +f' = +20,0 \text{ cm}\)

\begin{aligned} \overline{F'A'} &= \overline{OA'} - \overline{OF'} \\ &= (+60,0 \text{ cm}) - (+20,0 \text{ cm}) \\ &= 60,0 - 20,0 \\ &= +40,0 \text{ cm} \end{aligned}

L'image se trouve donc 40 cm à droite du foyer image F' (puisque \(\overline{F'A'}\) est positif).

Enfin, le produit des deux :

\begin{aligned} \overline{FA} \times \overline{F'A'} &= (-10,0 \text{ cm}) \times (+40,0 \text{ cm}) \\ &= -400 \text{ cm}^2 \end{aligned}

La valeur du membre de gauche de l'équation de Newton est de -400 cm².

Partie 2 : Calcul du membre de droite (\(-f'^2\))

Avec \(f' = +20,0 \text{ cm}\)

\begin{aligned} -f'^2 &= - (f')^2 \\ &= -(+20,0 \text{ cm})^2 \\ &= -(400 \text{ cm}^2) \\ &= -400 \text{ cm}^2 \end{aligned}

La valeur du membre de droite de l'équation de Newton est également de -400 cm².

Conclusion de la vérification

Puisque \(-400 \text{ cm}^2 = -400 \text{ cm}^2\), le membre de gauche est égal au membre de droite. L'égalité est vérifiée.

Schéma (Après les calculs)

Ce calcul ne produit pas un nouveau schéma, mais il confirme les *distances* relatives du schéma de construction. Nous avons confirmé que \(\overline{FA} = -10 \text{ cm}\) et \(\overline{F'A'} = +40 \text{ cm}\), ce qui est visuellement cohérent avec notre tracé de rayons.

Vérification des Distances (Newton)

Réflexions

Le membre de gauche (\(-400 \text{ cm}^2\)) est égal au membre de droite (\(-400 \text{ cm}^2\)). L'égalité est vérifiée. Cela confirme que nos calculs de \(p'\) et \(p\) sont cohérents entre eux.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le carré ou le signe 'moins' dans \(-f'^2\). Attention également à \(\overline{OF} = -f'\) et \(\overline{OF'} = +f'\). Les deux foyers sont symétriques par rapport à O, donc leurs positions algébriques sont opposées.

Points à retenir

La formule de Newton \(\overline{FA} \times \overline{F'A'} = -f'^2\) est une excellente méthode de vérification.
Elle est parfois plus rapide pour trouver \(p'\) si on vous donne \(p\) et \(f'\).

Le saviez-vous ?

Il existe aussi une formule de Newton pour le grandissement : \(\gamma = -f'/\overline{FA} = \overline{F'A'}/(-f')\). Vérifions :
\(\gamma = -20 / (-10) = -2\).
\(\gamma = 40 / (-20) = -2\).
Les deux calculs confirment notre \(\gamma = -2,0\).

FAQ

Questions sur la formule de Newton.

Résultat Final

La vérification est correcte : \(\overline{FA} \times \overline{F'A'} = -400 \text{ cm}^2\) et \(-f'^2 = -400 \text{ cm}^2\).

A vous de jouer

Si \(f' = +30 \text{ cm}\) et \(p = -60 \text{ cm}\), calculez \(\overline{FA}\) (juste ce terme).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Formule de Newton (origine aux foyers).
Formule Essentielle : \(\overline{FA} \times \overline{F'A'} = -f'^2\).
Utilité : Vérification de la cohérence des calculs.

Outil Interactif : Simulateur de Lentille

Utilisez les curseurs pour changer la position de l'objet (\(p = \overline{OA}\)) et la distance focale (\(f'\)) de la lentille. Observez en temps réel comment la position de l'image (\(p'\)) et le grandissement (\(\gamma\)) sont affectés. Le graphique montre la relation \(p'(p)\) pour la focale sélectionnée.

Paramètres d'Entrée

Position Objet \(p = \overline{OA}\) (cm) -30 cm

Distance Focale \(f'\) (cm) 20 cm

Résultats Clés

Position Image \(p' = \overline{OA'}\) (cm) -

Grandissement \(\gamma\) -

Glossaire

Distance Focale (\(f'\)): Distance algébrique \(\overline{OF'}\) entre le centre optique \(O\) et le foyer image \(F'\). Elle est positive pour une lentille convergente et négative pour une divergente.
Grandissement (\(\gamma\)): Rapport \(\gamma = p'/p = h'/h\). C'est un nombre sans dimension qui décrit le changement de taille (\(|\gamma|\)) et d'orientation (\(signe(\gamma)\)) de l'image.
Image Réelle: Image formée par la convergence effective des rayons lumineux. Elle se forme après la lentille (\(p' > 0\)) et peut être projetée sur un écran.
Image Virtuelle: Image qui ne peut pas être projetée sur un écran. Elle est formée par le prolongement des rayons qui semblent diverger. Elle se forme avant la lentille (\(p' < 0\)).
Position Algébrique (\(p, p'\)): Position sur l'axe optique mesurée depuis un point origine (souvent \(O\)), en tenant compte d'un sens positif (généralement celui de la lumière).