Émission Spectrale d’un Corps Noir

Correction : Émission Spectrale d’un Corps Noir

1. Calcul de la longueur d’onde \(\lambda_{\max}\) pour laquelle le rayonnement est maximal

Un corps noir est un objet théorique qui absorbe toute la lumière qu’on lui envoie et émet ensuite de la lumière en fonction de sa température. La loi de déplacement de Wien permet de trouver la longueur d’onde pour laquelle l’émission est la plus intense. Plus simplement, elle nous dit « à quelle couleur la lumière est la plus forte » quand l’objet est chaud.

Cette loi s’écrit :

\[\lambda_{\max}\,T = b\]

Détails des symboles

• \(\lambda_{\max}\) est la longueur d’onde du pic d’émission (en mètres).
• \(T\) est la température (en kelvins, notée K).
• \(b\) est une constante expérimentale appelée constante de Wien.

Formule

Pour isoler \(\lambda_{\max}\), on divise \(b\) par \(T\) :

\[\lambda_{\max} = \frac{b}{T}\]

Données

• Constante de Wien : \(b = 2{,}898\times10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}\)
• Température du corps noir : \(T = 1500\ \mathrm{K}\)

Calcul

1. On remplace \(b\) par sa valeur : \(2{,}898\times10^{-3}\).
2. On remplace \(T\) par 1500.

\[ \lambda_{\max} = \frac{2{,}898\times10^{-3}}{1500} \]

\[ = 1{,}932\times10^{-6}\ \mathrm{m} = 1{,}932\ \mu\mathrm{m} \]

Résultat

\(\lambda_{\max} = 1{,}932\times10^{-6}\ \mathrm{m}\), ce qui correspond à une lumière infrarouge d’environ 1932 nm.

2. Calcul de la puissance totale rayonnée par unité de surface \(j^*\)

La loi de Stefan–Boltzmann indique combien d’énergie (sous forme de rayonnement) un corps noir émet par seconde et par mètre carré, en fonction de sa température. C’est l’intégrale de toutes les longueurs d’onde du spectre.

Elle se formule :

\[j^* = \sigma\,T^4\]

Détails des symboles

• \(j^*\) est la puissance par unité de surface (W/m²).
• \(\sigma\) est la constante de Stefan–Boltzmann.
• \(T\) est la température en kelvins.

Formule

\[j^* = \sigma\,T^4\]

Données

• Constante de Stefan–Boltzmann : \(\sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}\)
• Température : \(T = 1500\ \mathrm{K}\)

Calcul

1. Calculer \(T^4\) :

\[(1500)^4 = 1500 \times 1500 \times 1500 \times 1500 = 5{,}0625\times10^{12}\]

2. Multiplier par \(\sigma\) :

\[ j^* = 5{,}670374419\times10^{-8} \times 5{,}0625\times10^{12} \]

3. On effectue la multiplication :

\[ \approx 2{,}87\times10^{5}\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

Résultat

\(j^* \approx 2{,}87\times10^{5}\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)

3. Discussion de l’importance de ces résultats

Points clés expliqués

• Catastrophe ultraviolet : en physique classique, on attendait que l’émission augmente indéfiniment aux courtes longueurs d’onde, ce qui n’est pas observé. Cette divergence a poussé Planck à chercher une nouvelle explication.
• Quantification de l’énergie : Planck a proposé que l’énergie se transmette par paquets (quanta), chaque paquet ayant \(E = h\nu\). Cela a permis de dériver la loi de Planck, qui donne le bon spectre.
• Applications :
  • En astrophysique, on mesure \(\lambda_{\max}\) d’une étoile pour en déduire sa température.
  • Dans la conception de lampes, de capteurs infrarouges et de panneaux solaires, on utilise ces lois pour optimiser l’efficacité.
• Portée pédagogique : ces lois illustrent comment un problème pratique (spectre du corps noir) a conduit à la naissance de la mécanique quantique.

Émission Spectrale d’un Corps Noir