Calcul de la longueur focale d'une lentille

Comprendre le Calcul de la Longueur Focale d'une Lentille

Les lentilles sont des composants optiques fondamentaux qui réfractent la lumière pour former des images. La longueur focale ($f$) d'une lentille est une caractéristique essentielle qui détermine sa capacité à faire converger ou diverger la lumière. Une lentille convergente a une longueur focale positive, tandis qu'une lentille divergente a une longueur focale négative. La formule des opticiens (ou "lensmaker's equation") relie la longueur focale d'une lentille à son indice de réfraction, à l'indice de réfraction du milieu environnant, et aux rayons de courbure de ses deux surfaces. La formule de conjugaison des lentilles minces relie ensuite la position de l'objet, la position de l'image et la longueur focale. Cet exercice se concentre sur ces calculs pour une lentille biconvexe.

Données de l'étude

On étudie une lentille mince biconvexe en verre.

Caractéristiques de la Lentille :

Matériau de la lentille : Verre
Indice de réfraction du verre ($n_{\text{lentille}}$) : $1.52$
Milieu environnant : Air
Indice de réfraction de l'air ($n_{\text{milieu}}$) : $1.00$
Rayon de courbure de la première face (face d'entrée de la lumière) ($R_1$) : $+10.0 \, \text{cm}$
Rayon de courbure de la seconde face (face de sortie de la lumière) ($R_2$) : $-15.0 \, \text{cm}$ (convention : négatif car le centre de courbure est du même côté que la lumière incidente après avoir traversé la première face, ou positif si on considère la convexité par rapport à l'intérieur de la lentille et que la lumière vient de gauche). Pour la formule des opticiens, si le centre de courbure est à droite de la surface pour une lumière incidente de gauche, R est positif. Si le centre est à gauche, R est négatif.

Convention de signe pour les rayons de courbure :

Surface convexe vue par la lumière incidente : $R > 0$.
Surface concave vue par la lumière incidente : $R < 0$.

Schéma : Lentille Biconvexe et Rayons de Courbure

Schéma d'une lentille biconvexe avec indication des rayons de courbure et du foyer image F'.

Questions à traiter

Calculer la vergence ($C$) de la lentille en dioptries ($\delta$).
Calculer la longueur focale ($f$) de la lentille en centimètres.
La lentille est-elle convergente ou divergente ? Justifier votre réponse en fonction du signe de la longueur focale.
Si un objet réel est placé à $p = 30 \, \text{cm}$ devant le centre optique de cette lentille, calculer la position de l'image ($p'$) formée par la lentille.
Calculer le grandissement transversal ($\gamma$) de l'image. L'image est-elle droite ou renversée ? Agrandie, rétrécie ou de même taille que l'objet ?

Correction : Calcul de la Longueur Focale d’une Lentille

Question 1 : Calculer la vergence ($C$) de la lentille

Principe :

La vergence d'une lentille mince est donnée par la formule des opticiens (ou du fabricant de lentilles) : $C = \frac{1}{f} = (n_{\text{lentille}} - n_{\text{milieu}}) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$, où $n_{\text{lentille}}$ est l'indice de réfraction de la lentille, $n_{\text{milieu}}$ celui du milieu environnant, et $R_1$ et $R_2$ sont les rayons de courbure des faces de la lentille. Les rayons doivent être exprimés en mètres pour obtenir une vergence en dioptries.

Convention de signe pour les rayons : $R_1$ est positif si le centre de courbure de la première face est du côté de la sortie de la lumière (face convexe). $R_2$ est positif si le centre de courbure de la seconde face est du côté de l'entrée de la lumière (face concave vue de l'extérieur). Pour une lentille biconvexe avec lumière incidente de gauche : $R_1 > 0$, $R_2 < 0$.

Formule(s) utilisée(s) :

C = (n_{\text{rel}} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \text{avec } n_{\text{rel}} = \frac{n_{\text{lentille}}}{n_{\text{milieu}}}

Ou directement :

C = \left(\frac{n_{\text{lentille}}}{n_{\text{milieu}}} - 1\right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)

Ici, $n_{\text{milieu}} = 1$ (air).

C = (n_{\text{lentille}} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)

Données spécifiques (converties en mètres) :

$n_{\text{lentille}} = 1.52$
$R_1 = +10.0 \, \text{cm} = +0.10 \, \text{m}$
$R_2 = -15.0 \, \text{cm} = -0.15 \, \text{m}$

Calcul :

\begin{aligned} C &= (1.52 - 1) \left( \frac{1}{0.10 \, \text{m}} - \frac{1}{-0.15 \, \text{m}} \right) \\ &= 0.52 \left( 10 \, \text{m}^{-1} - (-6.6667 \, \text{m}^{-1}) \right) \\ &= 0.52 \left( 10 \, \text{m}^{-1} + 6.6667 \, \text{m}^{-1} \right) \\ &= 0.52 \times 16.6667 \, \text{m}^{-1} \\ &\approx 8.666684 \, \text{m}^{-1} \end{aligned}

Une vergence en $\text{m}^{-1}$ est exprimée en dioptries ($\delta$).

Résultat Question 1 : La vergence de la lentille est $C \approx +8.67 \, \delta$.

Question 2 : Calculer la longueur focale ($f$) de la lentille

Principe :

La longueur focale est l'inverse de la vergence.

Formule(s) utilisée(s) :

f = \frac{1}{C}

Données spécifiques :

$C \approx 8.666684 \, \delta$ (ou $\text{m}^{-1}$)

Calcul :

\begin{aligned} f &\approx \frac{1}{8.666684 \, \text{m}^{-1}} \\ &\approx 0.11538 \, \text{m} \end{aligned}

Conversion en centimètres : $f \approx 0.11538 \, \text{m} \times 100 \, \text{cm/m} \approx 11.54 \, \text{cm}$.

Résultat Question 2 : La longueur focale de la lentille est $f \approx +11.54 \, \text{cm}$.

Question 3 : La lentille est-elle convergente ou divergente ?

Principe :

Le signe de la longueur focale (ou de la vergence) détermine si une lentille est convergente ou divergente.

Justification :

La longueur focale calculée $f \approx +11.54 \, \text{cm}$ est positive. Une longueur focale positive caractérise une lentille convergente.

De même, la vergence calculée $C \approx +8.67 \, \delta$ est positive, ce qui confirme également que la lentille est convergente.

Résultat Question 3 : La lentille est convergente car sa longueur focale (et sa vergence) est positive.

Quiz Intermédiaire 1 : Une lentille biconcave (deux faces concaves) plongée dans l'air aura typiquement une longueur focale :

Positive
Négative
Nulle
Infinie

Question 4 : Position de l'image ($p'$) pour un objet à $p = 30 \, \text{cm}$

Principe :

La formule de conjugaison des lentilles minces (ou relation de Descartes) relie la position de l'objet ($p$), la position de l'image ($p'$), et la longueur focale ($f$). Pour un objet réel placé devant la lentille, $p$ est généralement négatif si l'on utilise la convention où la lumière se propage de gauche à droite et l'origine est au centre optique. Cependant, il est aussi courant d'utiliser $p$ comme une distance positive et d'ajuster la formule. Ici, nous utiliserons la convention où $p$ est la distance objet (positive si l'objet est réel et à gauche de la lentille) et $p'$ est la distance image (positive si l'image est réelle et à droite). La formule est $\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f}$ si l'on utilise la convention des distances algébriques avec origine au centre optique et $p$ négatif pour un objet réel à gauche. Si $p$ est la distance objet (positive), la formule devient $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$ pour une lentille convergente et un objet réel donnant une image réelle, ou plus généralement $\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}$ avec la convention des objets à gauche (p < 0) et images à droite (p' > 0) pour une lentille convergente. Utilisons la convention de l'Europhysique : origine au centre optique, axe orienté dans le sens de propagation de la lumière. Objet réel : $\overline{OA} = p < 0$. Image réelle : $\overline{OA'} = p' > 0$. Formule : $\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}$.

Nous utiliserons la convention où $p$ est la distance de l'objet (positive) et $p'$ la distance de l'image. La formule de conjugaison des lentilles minces est : $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$. Attention, cette formule est souvent écrite avec des distances algébriques. Pour éviter la confusion, utilisons la formule avec les distances algébriques $\overline{OA}$ et $\overline{OA'}$ et $f' = f$. $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$. Avec objet à gauche, $\overline{OA} = -p = -30 \, \text{cm}$.

Formule(s) utilisée(s) :

\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}

Où $p$ est la position algébrique de l'objet (négative si à gauche) et $p'$ la position algébrique de l'image.

Données spécifiques :

$f \approx +11.54 \, \text{cm}$
$p = -30 \, \text{cm}$ (objet réel à gauche de la lentille)

Calcul :

\begin{aligned} \frac{1}{p'} &= \frac{1}{f} + \frac{1}{p} \\ &= \frac{1}{11.54 \, \text{cm}} + \frac{1}{-30 \, \text{cm}} \\ &\approx 0.086655 - 0.033333 \, (\text{cm}^{-1}) \\ &\approx 0.053322 \, \text{cm}^{-1} \\ p' &\approx \frac{1}{0.053322 \, \text{cm}^{-1}} \\ &\approx 18.754 \, \text{cm} \end{aligned}

Puisque $p'$ est positif, l'image est réelle et se forme à droite de la lentille.

Résultat Question 4 : La position de l'image est $p' \approx +18.75 \, \text{cm}$. L'image est réelle.

Question 5 : Calcul du grandissement transversal ($\gamma$)

Principe :

Le grandissement transversal est le rapport de la taille de l'image à la taille de l'objet. Il est aussi égal au rapport des positions de l'image et de l'objet (avec la convention de signe appropriée).

Formule(s) utilisée(s) :

\gamma = \frac{p'}{p}

(Avec $p$ et $p'$ comme distances algébriques)

Données spécifiques :

$p' \approx +18.754 \, \text{cm}$
$p = -30 \, \text{cm}$

Calcul :

\begin{aligned} \gamma &\approx \frac{18.754 \, \text{cm}}{-30 \, \text{cm}} \\ &\approx -0.625 \end{aligned}

Signification :

Le signe négatif ($\gamma < 0$) indique que l'image est renversée par rapport à l'objet.
La valeur absolue $|\gamma| \approx 0.625 < 1$ indique que l'image est rétrécie (plus petite que l'objet).

Résultat Question 5 : Le grandissement transversal est $\gamma \approx -0.625$. L'image est renversée et rétrécie.

Quiz Intermédiaire 2 : Si un objet est placé exactement au foyer objet d'une lentille convergente, l'image se forme :

Au foyer image, réelle et de même taille.
Au centre optique de la lentille.
Derrière l'objet, virtuelle et agrandie.
À l'infini.

Glossaire

Lentille: Milieu transparent limité par deux surfaces dont l'une au moins n'est pas plane. Elle modifie la direction des rayons lumineux par réfraction.
Longueur Focale ($f$): Distance entre le centre optique d'une lentille mince et son foyer principal. Positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente.
Vergence ($C$): Inverse de la longueur focale ($C = 1/f$), exprimée en dioptries ($\delta$) si $f$ est en mètres. Mesure la capacité d'une lentille à faire converger ou diverger la lumière.
Indice de Réfraction ($n$): Rapport de la vitesse de la lumière dans le vide à sa vitesse dans un milieu donné. Il caractérise la manière dont la lumière se propage dans ce milieu.
Rayon de Courbure ($R$): Rayon de la sphère dont la surface de la lentille fait partie. La convention de signe est importante pour les calculs.
Lentille Convergente: Lentille qui fait converger un faisceau de rayons lumineux parallèles en un point appelé foyer image. Sa longueur focale est positive.
Lentille Divergente: Lentille qui fait diverger un faisceau de rayons lumineux parallèles comme s'ils provenaient d'un point appelé foyer image virtuel. Sa longueur focale est négative.
Formule des Opticiens (Lensmaker's Equation): Relation qui lie la vergence (ou la longueur focale) d'une lentille à son indice de réfraction, à celui du milieu environnant, et aux rayons de courbure de ses faces.
Formule de Conjugaison des Lentilles Minces: Relation qui lie la position de l'objet ($p$), la position de l'image ($p'$), et la longueur focale ($f$) d'une lentille mince. (Ex: $\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}$ avec la convention des distances algébriques).
Grandissement Transversal ($\gamma$): Rapport de la hauteur de l'image à la hauteur de l'objet ($\gamma = \frac{A'B'}{AB} = \frac{p'}{p}$). Un signe négatif indique une image renversée.

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Données de l'étude

Schéma : Lentille Biconvexe et Rayons de Courbure

Questions à traiter

Correction : Calcul de la Longueur Focale d’une Lentille

Question 1 : Calculer la vergence (\(C\)) de la lentille

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques (converties en mètres) :

Calcul :

Question 2 : Calculer la longueur focale (\(f\)) de la lentille

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 3 : La lentille est-elle convergente ou divergente ?

Principe :

Justification :

Question 4 : Position de l'image (\(p'\)) pour un objet à \(p = 30 \, \text{cm}\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 5 : Calcul du grandissement transversal (\(\gamma\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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