Calcul de la longueur focale d’une lentille

Principe :

La vergence d'une lentille mince est donnée par la formule des opticiens (ou du fabricant de lentilles) : \(C = \frac{1}{f} = (n_{\text{lentille}} - n_{\text{milieu}}) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)\), où \(n_{\text{lentille}}\) est l'indice de réfraction de la lentille, \(n_{\text{milieu}}\) celui du milieu environnant, et \(R_1\) et \(R_2\) sont les rayons de courbure des faces de la lentille. Les rayons doivent être exprimés en mètres pour obtenir une vergence en dioptries.

Convention de signe pour les rayons : \(R_1\) est positif si le centre de courbure de la première face est du côté de la sortie de la lumière (face convexe). \(R_2\) est positif si le centre de courbure de la seconde face est du côté de l'entrée de la lumière (face concave vue de l'extérieur). Pour une lentille biconvexe avec lumière incidente de gauche : \(R_1 > 0\), \(R_2 < 0\).

Formule(s) utilisée(s) :

Ou directement :

Ici, \(n_{\text{milieu}} = 1\) (air).

Données spécifiques (converties en mètres) :

• \(n_{\text{lentille}} = 1.52\)
• \(R_1 = +10.0 \, \text{cm} = +0.10 \, \text{m}\)
• \(R_2 = -15.0 \, \text{cm} = -0.15 \, \text{m}\)

Calcul :

Une vergence en \(\text{m}^{-1}\) est exprimée en dioptries (\(\delta\)).

Principe :

La longueur focale est l'inverse de la vergence.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(C \approx 8.666684 \, \delta\) (ou \(\text{m}^{-1}\))

Calcul :

Conversion en centimètres : \(f \approx 0.11538 \, \text{m} \times 100 \, \text{cm/m} \approx 11.54 \, \text{cm}\).

Principe :

Le signe de la longueur focale (ou de la vergence) détermine si une lentille est convergente ou divergente.

Justification :

La longueur focale calculée \(f \approx +11.54 \, \text{cm}\) est positive. Une longueur focale positive caractérise une lentille convergente.

De même, la vergence calculée \(C \approx +8.67 \, \delta\) est positive, ce qui confirme également que la lentille est convergente.

Principe :

La formule de conjugaison des lentilles minces (ou relation de Descartes) relie la position de l'objet (\(p\)), la position de l'image (\(p'\)), et la longueur focale (\(f\)). Pour un objet réel placé devant la lentille, \(p\) est généralement négatif si l'on utilise la convention où la lumière se propage de gauche à droite et l'origine est au centre optique. Cependant, il est aussi courant d'utiliser \(p\) comme une distance positive et d'ajuster la formule. Ici, nous utiliserons la convention où \(p\) est la distance objet (positive si l'objet est réel et à gauche de la lentille) et \(p'\) est la distance image (positive si l'image est réelle et à droite). La formule est \(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f}\) si l'on utilise la convention des distances algébriques avec origine au centre optique et \(p\) négatif pour un objet réel à gauche. Si \(p\) est la distance objet (positive), la formule devient \(\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\) pour une lentille convergente et un objet réel donnant une image réelle, ou plus généralement \(\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}\) avec la convention des objets à gauche (p < 0) et images à droite (p' > 0) pour une lentille convergente. Utilisons la convention de l'Europhysique : origine au centre optique, axe orienté dans le sens de propagation de la lumière. Objet réel : \(\overline{OA} = p < 0\). Image réelle : \(\overline{OA'} = p' > 0\). Formule : \(\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}\).

Nous utiliserons la convention où \(p\) est la distance de l'objet (positive) et \(p'\) la distance de l'image. La formule de conjugaison des lentilles minces est : \(\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\). Attention, cette formule est souvent écrite avec des distances algébriques. Pour éviter la confusion, utilisons la formule avec les distances algébriques \(\overline{OA}\) et \(\overline{OA'}\) et \(f' = f\). \(\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}\). Avec objet à gauche, \(\overline{OA} = -p = -30 \, \text{cm}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Où \(p\) est la position algébrique de l'objet (négative si à gauche) et \(p'\) la position algébrique de l'image.

Données spécifiques :

• \(f \approx +11.54 \, \text{cm}\)
• \(p = -30 \, \text{cm}\) (objet réel à gauche de la lentille)

Calcul :

Puisque \(p'\) est positif, l'image est réelle et se forme à droite de la lentille.

Principe :

Le grandissement transversal est le rapport de la taille de l'image à la taille de l'objet. Il est aussi égal au rapport des positions de l'image et de l'objet (avec la convention de signe appropriée).

Formule(s) utilisée(s) :

(Avec \(p\) et \(p'\) comme distances algébriques)

Données spécifiques :

• \(p' \approx +18.754 \, \text{cm}\)
• \(p = -30 \, \text{cm}\)

Calcul :

Signification :

• Le signe négatif (\(\gamma < 0\)) indique que l'image est renversée par rapport à l'objet.
• La valeur absolue \(|\gamma| \approx 0.625 < 1\) indique que l'image est rétrécie (plus petite que l'objet).