ÉTUDE DE PHYSIQUE

Étude d’une Transformation Isochore

Étude d’une Transformation Isochore d’un Gaz Idéal en Thermodynamique

Étude d’une Transformation Isochore d’un Gaz Idéal

Comprendre la Transformation Isochore d'un Gaz Idéal

En thermodynamique, une transformation isochore (ou isovolumique) est un processus au cours duquel le volume (\(V\)) du système reste constant (\(\Delta V = 0\)). Lorsqu'un gaz idéal subit une transformation isochore, aucun travail des forces de pression n'est effectué (\(W = -\int P dV = 0\)), car il n'y a pas de variation de volume. Selon le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = Q + W\)), si \(W = 0\), alors la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz est égale à la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée avec l'environnement (\(\Delta U = Q\)). Pour un gaz idéal, l'énergie interne est uniquement fonction de la température, et sa variation est donnée par \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\), où \(n\) est le nombre de moles, \(C_{v,m}\) la capacité thermique molaire à volume constant, et \(\Delta T\) la variation de température.

Données de l'étude

On chauffe \(3.00 \, \text{mol}\) d'un gaz idéal monoatomique dans un récipient rigide (volume constant).

Conditions initiales et finales :

  • Nombre de moles de gaz (\(n\)) : \(3.00 \, \text{mol}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(27 \, \text{°C}\)
  • Température finale (\(T_2\)) : \(127 \, \text{°C}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant pour un gaz idéal monoatomique (\(C_{v,m}\)) : \(\frac{3}{2}R\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
Schéma d'une Transformation Isochore (Chauffage)
Q > 0 Volume Constant Chauffage Isochore

Un gaz idéal est chauffé à volume constant.

Questions à traiter

  1. Convertir les températures initiale (\(T_1\)) et finale (\(T_2\)) en Kelvin (K).
  2. Calculer la variation de température (\(\Delta T\)) du gaz.
  3. Calculer la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz.
  4. Calculer le travail (\(W\)) reçu par le gaz lors de cette transformation.
  5. Calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée par le gaz avec l'environnement. La chaleur est-elle absorbée ou libérée par le gaz ?

Correction : Transformation Isochore d'un Gaz Idéal

Question 1 : Conversion des Températures en Kelvin

Principe :

La température en thermodynamique doit être exprimée en Kelvin (K). La conversion de degrés Celsius (°C) en Kelvin se fait en ajoutant 273.15 (ou 273 pour simplifier si les données initiales ne sont pas plus précises).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T(\text{K}) = T(\text{°C}) + 273.15\]
Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(27 \, \text{°C}\)
  • Température finale (\(T_2\)) : \(127 \, \text{°C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1 &= 27 + 273.15 = 300.15 \, \text{K} \\ T_2 &= 127 + 273.15 = 400.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

(Pour simplifier les calculs suivants, on peut utiliser \(T_1 = 300 \, \text{K}\) et \(T_2 = 400 \, \text{K}\) si la précision des températures initiales le permet. Ici, nous garderons la précision.)

Résultat Question 1 :
\(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
\(T_2 = 400.15 \, \text{K}\)

Question 2 : Calcul de la Variation de Température (\(\Delta T\))

Principe :

La variation de température est la différence entre la température finale et la température initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta T = T_2 - T_1\]
Données calculées :
  • \(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
  • \(T_2 = 400.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= 400.15 \, \text{K} - 300.15 \, \text{K} \\ &= 100.00 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La variation de température est \(\Delta T = 100.00 \, \text{K}\).

Question 3 : Calcul de la Variation de l'Énergie Interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz idéal, la variation d'énergie interne lors d'une transformation à volume constant (isochore) est donnée par \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\]

Avec \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\) pour un gaz idéal monoatomique.

Données spécifiques et calculées :
  • \(n = 3.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
  • \(C_{v,m} = \frac{3}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)} = 12.471 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
  • \(\Delta T = 100.00 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 3.00 \, \text{mol} \times 12.471 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)} \times 100.00 \, \text{K} \\ &= 3741.3 \, \text{J} \\ &\approx 3.74 \times 10^3 \, \text{J} \quad (\text{ou } 3.74 \, \text{kJ}, \text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La variation de l'énergie interne du gaz est \(\Delta U \approx 3740 \, \text{J}\) (ou \(3.74 \, \text{kJ}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour un gaz idéal, l'énergie interne dépend uniquement de :

Question 4 : Travail (\(W\)) Reçu par le Gaz

Principe :

Le travail des forces de pression reçu par un système lors d'une transformation est donné par \(W = -\int P_{\text{ext}} dV\). Pour une transformation isochore, la variation de volume \(dV\) est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = -\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}} dV\]

Puisque \(V_1 = V_2\), alors \(dV = 0\).

Calcul :
\[ W = 0 \, \text{J} \]

Aucun travail n'est effectué car le volume ne change pas.

Résultat Question 4 : Le travail reçu par le gaz est \(W = 0 \, \text{J}\).

Question 5 : Quantité de Chaleur (\(Q\)) Échangée

Principe :

Selon le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est égale à la somme de la chaleur \(Q\) échangée et du travail \(W\) reçu par le système : \(\Delta U = Q + W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = \Delta U - W\]
Données calculées :
  • \(\Delta U \approx 3741.3 \, \text{J}\)
  • \(W = 0 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 3741.3 \, \text{J} - 0 \, \text{J} \\ &= 3741.3 \, \text{J} \\ &\approx 3.74 \times 10^3 \, \text{J} \quad (\text{ou } 3.74 \, \text{kJ}) \end{aligned} \]

Puisque \(Q > 0\), la chaleur est absorbée par le gaz depuis l'environnement.

Résultat Question 5 : La quantité de chaleur échangée est \(Q \approx 3740 \, \text{J}\). La chaleur est absorbée par le gaz.

Quiz Intermédiaire 2 : Lors d'un refroidissement isochore d'un gaz idéal, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une transformation isochore se déroule à :

2. Le travail des forces de pression lors d'une transformation isochore d'un gaz idéal est :

3. Pour un gaz idéal subissant un chauffage isochore (augmentation de température) :

Glossaire

Transformation Isochore (ou Isovolumique)
Processus thermodynamique qui se déroule à volume constant (\(\Delta V = 0\)).
Gaz Idéal (ou Parfait)
Modèle théorique d'un gaz dont les particules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à la loi \(PV = nRT\).
Énergie Interne (\(U\))
Somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules constituant un système. Pour un gaz idéal, elle ne dépend que de la température.
Travail Thermodynamique (\(W\))
Énergie transférée entre un système et son environnement due à une variation de volume du système contre une pression extérieure. Lors d'une transformation isochore, \(W=0\).
Chaleur (\(Q\))
Énergie transférée entre un système et son environnement due à une différence de température. Par convention, \(Q > 0\) si la chaleur est absorbée par le système, \(Q < 0\) si la chaleur est libérée par le système.
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie appliqué aux systèmes thermodynamiques : \(\Delta U = Q + W\).
Capacité Thermique Molaire à Volume Constant (\(C_{v,m}\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance d'un Kelvin (ou d'un degré Celsius) à volume constant. Pour un gaz idéal monoatomique, \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\).
Transformation Isochore - Exercice d'Application en Thermodynamique

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