Étude d’une Transformation Isochore
Contexte : La thermodynamique des gaz parfaits.
Cet exercice porte sur l'étude d'un gaz parfaitModèle théorique décrivant le comportement des gaz réels à basse pression. Les particules sont considérées comme ponctuelles et sans interaction entre elles, sauf lors des collisions. subissant une transformation isochoreUne transformation thermodynamique au cours de laquelle le volume du système reste constant.. Nous allons analyser les échanges d'énergie (travail et chaleur) et la variation de l'énergie interne du système, en appliquant les principes fondamentaux de la thermodynamique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour vous aider à maîtriser le Premier Principe de la thermodynamique dans le cas simple mais fondamental d'un processus à volume constant. Vous apprendrez à faire la distinction entre la chaleur, le travail et l'énergie interne.
Objectifs Pédagogiques
- Définir et reconnaître une transformation isochore.
- Appliquer la loi de Gay-Lussac pour les gaz parfaits.
- Calculer le travail, la quantité de chaleur et la variation d'énergie interne pour un processus isochore.
- Vérifier la validité du Premier Principe de la thermodynamique.
Données de l'étude
Schéma de la situation
Chauffage d'un gaz à volume constant
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 2 | \(\text{mol}\) |
| Volume (constant) | \(V\) | 50 | \(\text{L}\) |
| Température initiale | \(T_{\text{1}}\) | 300 | \(\text{K}\) |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | \(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) |
| Capacité thermique molaire à volume constant (gaz monoatomique) | \(C_{v,m}\) | \(\frac{3}{2}R\) | \(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) |
Questions à traiter
On chauffe ce gaz jusqu'à ce qu'il atteigne une température finale de 400 K.
- Calculer la pression initiale \(P_{\text{1}}\) du gaz.
- Calculer la pression finale \(P_{\text{2}}\) du gaz à 400 K.
- Calculer le travail \(W\) des forces de pression reçu par le gaz au cours de cette transformation.
- Calculer la quantité de chaleur \(Q\) reçue par le gaz.
- En déduire la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz et vérifier le Premier Principe de la thermodynamique.
Les bases sur la Thermodynamique
1. Loi des Gaz Parfaits
L'état d'un gaz parfait est décrit par la relation entre sa pression \(P\), son volume \(V\), sa quantité de matière \(n\) et sa température absolue \(T\).
\[ PV = nRT \]
2. Transformation Isochore (Loi de Gay-Lussac)
Lors d'une transformation à volume constant (\(V=\text{cste}\)), le rapport de la pression sur la température absolue reste constant.
\[ \frac{P_{\text{1}}}{T_{\text{1}}} = \frac{P_{\text{2}}}{T_{\text{2}}} \]
3. Premier Principe de la Thermodynamique
La variation de l'énergie interne \(\Delta U\) d'un système est égale à la somme du travail \(W\) et de la chaleur \(Q\) échangés avec le milieu extérieur.
\[ \Delta U = Q + W \]
Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\).
Le travail des forces de pression est donné par \(W = -\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}} dV\).
Correction : Étude d’une Transformation Isochore
Question 1 : Calculer la pression initiale \(P_1\).
Principe
Le concept physique ici est que l'état d'un gaz (supposé parfait) est entièrement déterminé si l'on connaît sa température, son volume et la quantité de matière. La loi des gaz parfaits relie ces grandeurs à la pression.
Mini-Cours
La loi des gaz parfaits, \(PV = nRT\), est une équation d'état qui modélise le comportement des gaz à faible pression. \(P\) est la pression (en Pascals), \(V\) le volume (en \(m^3\)), \(n\) la quantité de matière (en moles), \(R\) la constante des gaz parfaits, et \(T\) la température absolue (en Kelvin). Elle découle de la théorie cinétique des gaz, qui décrit un gaz comme un ensemble de particules en mouvement aléatoire.
Remarque Pédagogique
La clé pour résoudre ce type de question est d'identifier l'équation d'état appropriée (ici, la loi des gaz parfaits) et de s'assurer que toutes les variables sont exprimées dans le Système International d'unités (SI) avant de procéder à l'application numérique. C'est la source d'erreur la plus commune.
Normes
En physique fondamentale, les "normes" sont les lois physiques elles-mêmes, universellement acceptées. Ici, la norme est la loi des gaz parfaits. Il n'y a pas de code réglementaire comme en ingénierie civile.
Formule(s)
Loi des gaz parfaits
Hypothèses
L'hypothèse principale est que l'Argon, bien qu'étant un gaz réel, peut être modélisé avec une précision suffisante par un gaz parfait dans les conditions de l'exercice (pression et température ambiantes).
Donnée(s)
Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé pour ce calcul :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 2 | \(\text{mol}\) |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | \(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) |
| Température initiale | \(T_{\text{1}}\) | 300 | \(\text{K}\) |
| Volume | \(V\) | 50 | \(\text{L}\) |
Astuces
Avant de calculer, estimez l'ordre de grandeur. Une mole de gaz parfait à température et pression ambiantes occupe environ 24 L. Ici, 2 moles occupent 50 L, donc la pression devrait être proche de la pression atmosphérique (environ \(10^5\) Pa).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons l'état initial : le gaz est contenu dans un volume fixe V, avec une température T1 et une pression P1 inconnue.
État initial du système
Calcul(s)
Conversion du volume
Calcul de la pression initiale
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est une valeur de pression, que l'on peut représenter sur un manomètre.
Résultat pour la Pression Initiale
Réflexions
La pression obtenue, environ 99.8 kPa, est très proche de la pression atmosphérique normale (101.3 kPa), ce qui est une valeur cohérente pour un gaz dans des conditions proches des conditions ambiantes, validant notre estimation initiale.
Points de vigilance
La principale erreur à éviter est l'oubli de la conversion du volume de litres en mètres cubes. Une autre erreur courante serait d'utiliser la température en degrés Celsius au lieu de Kelvin, ce qui est incorrect car la loi des gaz parfaits ne fonctionne qu'avec des températures absolues.
Points à retenir
Pour trouver une variable d'état (\(P, V, T, n\)), utilisez l'équation d'état des gaz parfaits. Assurez-vous toujours de la cohérence des unités (le plus sûr est de tout convertir en SI).
Le saviez-vous ?
La constante des gaz parfaits, \(R\), est parfois appelée constante de Boltzmann molaire. Elle est le produit de la constante de Boltzmann (\(k_B\)), qui relie l'énergie cinétique moyenne des particules à la température, et du nombre d'Avogadro (\(N_A\)).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la pression initiale si le récipient contenait 3 moles d'Argon au lieu de 2.
Question 2 : Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz à 400 K.
Principe
Le concept ici est que pour une quantité de gaz donnée dans un volume fixe, la pression est directement proportionnelle à la température absolue. Chauffer le gaz augmente l'agitation des particules, qui frappent les parois plus fort et plus souvent, augmentant ainsi la pression.
Mini-Cours
La loi de Gay-Lussac (ou deuxième loi de Charles) est un cas particulier de la loi des gaz parfaits pour une transformation isochore (\(V=\text{cste}\)) et une quantité de matière constante (\(n=\text{cste}\)). De \(PV=nRT\), on tire \(P/T = nR/V\). Comme \(n, R, V\) sont constants, le rapport \(P/T\) est lui-même constant : \(P_1/T_1 = P_2/T_2\).
Remarque Pédagogique
Plutôt que de réutiliser la loi des gaz parfaits, il est plus direct et élégant d'utiliser la loi de Gay-Lussac. Cela met en évidence la relation de proportionnalité et simplifie le calcul en utilisant un rapport. C'est une méthode très efficace pour comparer deux états d'un même système.
Normes
La loi de Gay-Lussac est la "norme" ou le principe directeur pour cette question.
Formule(s)
Loi de Gay-Lussac
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la question précédente et les données de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_{\text{1}}\) | 99768 | \(\text{Pa}\) |
| Température initiale | \(T_{\text{1}}\) | 300 | \(\text{K}\) |
| Température finale | \(T_{\text{2}}\) | 400 | \(\text{K}\) |
Astuces
Le calcul se résume à une "règle de trois". La température augmente d'un facteur 400/300 = 4/3. La pression doit donc aussi augmenter de ce même facteur. Cela permet de vérifier rapidement la cohérence du résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons la transformation dans un diagramme Pression-Température. Pour un processus isochore, la trajectoire est une ligne droite passant par l'origine.
Trajectoire sur un diagramme (P, T)
Calcul(s)
Calcul de la pression finale
Schéma (Après les calculs)
Visualisons l'état final du système avec la pression calculée.
État final du système
Réflexions
Comme prévu, l'augmentation de la température a entraîné une augmentation proportionnelle de la pression. Le gaz "pousse" plus fort sur les parois du récipient rigide.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente serait d'utiliser des températures en degrés Celsius. Si on calculait \(P_{\text{2}} = P_{\text{1}} \times (127°\text{C} / 27°\text{C})\), on obtiendrait un résultat complètement faux. La proportionnalité n'existe qu'avec l'échelle absolue Kelvin.
Points à retenir
Pour une transformation isochore d'un gaz parfait, \(P\) et \(T\) sont directement proportionnels. La relation \(P_{\text{1}}/T_{\text{1}} = P_{\text{2}}/T_{\text{2}}\) est un outil puissant pour comparer deux états.
Le saviez-vous ?
Joseph Louis Gay-Lussac était un physicien et chimiste français du début du XIXe siècle. Il est célèbre pour ses travaux sur les gaz, mais aussi pour avoir réalisé des ascensions en ballon afin d'étudier l'atmosphère terrestre.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la pression finale \(P_{\text{2}}\) si le gaz était chauffé jusqu'à 600 K ?
Question 3 : Calculer le travail \(W\) des forces de pression reçu par le gaz.
Principe
Le concept physique du travail en thermodynamique est un transfert d'énergie mécanique lié à la déformation de la frontière du système. Si les parois du récipient ne bougent pas, le gaz ne peut ni pousser (se détendre), ni être poussé (comprimé). Aucun échange d'énergie par travail n'est donc possible.
Mini-Cours
Le travail élémentaire \(dW\) reçu par un gaz est défini par \(dW = -P_{\text{ext}} dV\), où \(P_{\text{ext}}\) est la pression extérieure et \(dV\) est la variation infinitésimale de volume. Pour une transformation finie, on intègre cette expression. Dans un diagramme (P, V), le travail correspond à l'opposé de l'aire sous la courbe de la transformation. Pour une transformation isochore, \(dV=0\) à chaque instant, donc l'intégrale est nulle.
Remarque Pédagogique
Il est crucial de comprendre la signification physique du mot "isochore" (volume constant). Dès que vous identifiez une telle transformation, vous devez avoir le réflexe : travail des forces de pression = 0. C'est une conclusion directe qui ne nécessite aucun calcul.
Normes
La définition intégrale du travail thermodynamique est le principe fondamental applicable ici.
Formule(s)
Définition du travail
Hypothèses
L'hypothèse clé est que le récipient est "rigide et indéformable", ce qui se traduit mathématiquement par \(V = \text{constante}\).
Donnée(s)
La seule donnée pertinente est la nature de la transformation : isochore.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Volume initial | \(V_{\text{1}}\) | 50 | \(\text{L}\) |
| Volume final | \(V_{\text{2}}\) | 50 | \(\text{L}\) |
Astuces
Le mot "isochore" dans un énoncé de thermodynamique est un signal fort que la partie "travail" du problème sera simple : \(W=0\).
Schéma (Avant les calculs)
Dans le diagramme (P, V), une transformation isochore est représentée par un segment de droite vertical. L'aire sous ce segment est nulle.
Diagramme de Clapeyron (P, V)
Calcul(s)
La transformation est isochore, ce qui signifie que le volume est constant (\(V_{\text{1}} = V_{\text{2}}\)). La variation de volume \(dV\) est donc nulle tout au long du processus.
Calcul du travail
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme P-V illustre que pour une transformation à volume constant (ligne verticale), l'aire sous la courbe est nulle, ce qui signifie un travail nul.
Illustration du Travail Nul
Réflexions
Le résultat \(W=0\) a une signification physique directe : le système n'a échangé aucune énergie avec l'extérieur sous forme de travail mécanique. Toute l'énergie échangée devra donc l'être sous forme de chaleur.
Points de vigilance
Il ne faut pas confondre l'absence de travail avec l'absence d'échange d'énergie. Le système peut (et va, dans cet exercice) échanger de l'énergie sous forme de chaleur même si le travail est nul.
Points à retenir
Pour toute transformation isochore, le travail des forces de pression est toujours nul. C'est une propriété fondamentale de ces transformations.
Le saviez-vous ?
Le moteur à combustion interne de nos voitures fonctionne selon un cycle (le cycle de Beau de Rochas ou Otto) qui contient deux transformations isochores : la combustion (explosion) et le refroidissement des gaz brûlés.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le travail reçu par le gaz s'il était refroidi de 400 K à 300 K dans le même récipient rigide ?
Question 4 : Calculer la quantité de chaleur \(Q\) reçue par le gaz.
Principe
Le concept physique est celui de la capacité thermique : c'est la "résistance" d'un corps à changer de température. La quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'un corps dépend de sa masse (ou quantité de matière), de sa nature (sa capacité thermique), et de la variation de température souhaitée.
Mini-Cours
La capacité thermique molaire à volume constant, \(C_{v,m}\), est la quantité de chaleur à fournir à une mole de substance pour élever sa température de 1 Kelvin, tout en maintenant son volume constant. Pour un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne est purement cinétique (translation des atomes) et vaut \(U = \frac{3}{2}nRT\). Comme \(\Delta U = Q\) à volume constant, on en déduit que \(Q = \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\), ce qui implique \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\).
Remarque Pédagogique
Faites bien attention à utiliser la capacité thermique à volume constant (\(C_{v,m}\)) et non celle à pression constante (\(C_{p,m}\)). Comme le gaz ne peut pas se détendre, toute l'énergie thermique fournie sert à augmenter l'agitation interne (température), ce qui n'est pas le cas à pression constante où une partie de l'énergie sert à fournir un travail.
Normes
La définition de la capacité thermique et la théorie cinétique des gaz (pour la valeur de \(C_{v,m}\)) sont les principes de base.
Formule(s)
Définition de la chaleur à volume constant
Donnée(s)
Nous rassemblons les données nécessaires :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 2 | \(\text{mol}\) |
| Capacité thermique molaire | \(C_{v,m}\) | \(\frac{3}{2}R\) | \(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) |
| Température initiale | \(T_{\text{1}}\) | 300 | \(\text{K}\) |
| Température finale | \(T_{\text{2}}\) | 400 | \(\text{K}\) |
Astuces
Le signe de \(Q\) est facile à anticiper : si le système est chauffé (\(T_2 > T_1\)), alors \(Q\) doit être positif. S'il est refroidi, \(Q\) doit être négatif. C'est une vérification simple et efficace.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre un apport de chaleur (flèches rouges) au système à volume constant.
Chauffage du gaz à volume constant
Calcul(s)
Calcul de la capacité thermique molaire
Calcul de la quantité de chaleur
Schéma (Après les calculs)
On peut représenter le transfert d'énergie par un diagramme de flux.
Bilan d'énergie (Chaleur)
Réflexions
Le signe de \(Q\) est positif, ce qui confirme que le système a bien reçu de la chaleur du milieu extérieur, conformément à l'énoncé qui parle d'un "chauffage". L'énergie thermique du milieu extérieur a été transférée au gaz.
Points de vigilance
Veillez à bien utiliser \(C_{v,m}\) (volume constant) et non \(C_{p,m}\) (pression constante). Pour un gaz parfait monoatomique, \(C_{p,m} = \frac{5}{2}R\), ce qui aurait donné un résultat incorrect. Le type de transformation dicte la capacité thermique à utiliser.
Points à retenir
La chaleur échangée à volume constant est \(Q = n C_{v,m} \Delta T\). La valeur de \(C_{v,m}\) dépend de la nature du gaz (monoatomique, diatomique...).
Le saviez-vous ?
La relation de Mayer, \(C_{p,m} - C_{v,m} = R\), montre qu'il faut toujours fournir plus de chaleur pour élever la température d'un gaz à pression constante qu'à volume constant. La différence, \(R\), correspond à l'énergie supplémentaire que le gaz doit dépenser en travail pour se détendre contre la pression extérieure.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la chaleur \(Q\) reçue si le gaz était diatomique (\(C_{v,m} = \frac{5}{2}R\)) ?
Question 5 : Variation d'énergie interne \(\Delta U\) et vérification du Premier Principe.
Principe
Le Premier Principe de la thermodynamique est une loi de conservation de l'énergie. Il stipule que la variation de l'énergie stockée dans un système (\(\Delta U\)) est égale à la somme des énergies qu'il a échangées avec l'extérieur (chaleur \(Q\) et travail \(W\)). C'est un bilan comptable de l'énergie.
Mini-Cours
L'énergie interne \(U\) est une fonction d'état : sa variation ne dépend que de l'état initial et de l'état final, pas du chemin suivi. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température. \(Q\) et \(W\), en revanche, ne sont pas des fonctions d'état ; leurs valeurs dépendent du chemin de la transformation. Le Premier Principe (\(\Delta U = Q+W\)) relie ces grandeurs.
Remarque Pédagogique
Cette question a pour but de synthétiser l'exercice. Nous allons calculer \(\Delta U\) de deux manières indépendantes : une fois en utilisant sa définition (liée à \(\Delta T\)) et une autre fois en utilisant le bilan (\(Q+W\)). Obtenir le même résultat est une excellente façon de vérifier la cohérence de tous les calculs précédents.
Normes
Le Premier Principe de la Thermodynamique est une loi fondamentale de la physique, c'est la "norme" suprême pour cette question.
Formule(s)
Approche 1 (Définition)
Approche 2 (Bilan)
Hypothèses
On suppose un système fermé (pas d'échange de matière) pour que le Premier Principe dans cette forme s'applique.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats des questions précédentes et les données initiales :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Chaleur échangée | \(Q\) | 2494.2 | \(\text{J}\) |
| Travail échangé | \(W\) | 0 | \(\text{J}\) |
| Quantité de matière | \(n\) | 2 | \(\text{mol}\) |
| Capacité thermique molaire | \(C_{v,m}\) | 12.471 | \(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) |
| Température initiale | \(T_{\text{1}}\) | 300 | \(\text{K}\) |
| Température finale | \(T_{\text{2}}\) | 400 | \(\text{K}\) |
Astuces
Pour un gaz parfait, l'expression \(\Delta U = n C_{v,m} \Delta T\) est TOUJOURS vraie, quelle que soit la transformation (isochore, isobare, etc.). En revanche, \(Q = n C_{v,m} \Delta T\) n'est vrai QUE pour une transformation isochore. C'est pourquoi \(\Delta U\) et \(Q\) sont égaux dans ce cas précis.
Schéma (Avant les calculs)
Le bilan d'énergie peut être vu comme une boîte où l'on fait entrer \(Q\) et \(W\), et où l'on observe la variation du stock \(\Delta U\).
Bilan du Premier Principe
Calcul(s)
Calcul direct de la variation d'énergie interne
Vérification avec le bilan d'énergie
Schéma (Après les calculs)
On peut représenter le bilan final avec des barres d'énergie. Le travail W est nul, donc la chaleur Q est entièrement convertie en énergie interne ΔU.
Bilan Énergétique Final
Réflexions
Nous constatons que \(\Delta U = Q + W\) est bien vérifié. Pour une transformation isochore, toute la chaleur fournie au système est "stockée" sous forme d'énergie interne (augmentation de l'agitation thermique), car aucune énergie n'est "dépensée" sous forme de travail mécanique.
Points de vigilance
Attention aux conventions de signe. En physique, on compte généralement \(W\) et \(Q\) comme positifs s'ils sont reçus par le système. Dans certains domaines (chimie, ingénierie), \(W\) est parfois compté positif s'il est fourni par le système. Toujours clarifier la convention utilisée.
Points à retenir
Le Premier Principe \(\Delta U = Q + W\) est la pierre angulaire de la thermodynamique. Pour un gaz parfait, \(\Delta U\) ne dépend que de \(\Delta T\). Pour un processus isochore, \(W=0\) et donc \(\Delta U = Q\).
Le saviez-vous ?
Le Premier Principe de la thermodynamique est l'une des lois de conservation les plus fondamentales de la physique. Il implique notamment qu'il est impossible de créer un "mouvement perpétuel de première espèce", c'est-à-dire une machine qui produirait de l'énergie à partir de rien.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si 1000 J de chaleur sont retirés (\(Q = -1000\) J) d'un gaz parfait lors d'un processus isochore, quelle est la variation de son énergie interne \(\Delta U\) ?
Outil Interactif : Simulateur Isochore
Utilisez les curseurs pour faire varier la température initiale et finale du gaz. Observez en temps réel l'impact sur la pression finale et les transferts d'énergie pour nos 2 moles d'Argon dans 50 L.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle grandeur physique est constante lors d'une transformation isochore ?
2. Quelle est la valeur du travail (W) reçu par un gaz lors d'un chauffage à volume constant ?
3. Pour une transformation isochore, comment la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) se compare-t-elle à la chaleur reçue (Q) ?
4. Selon la loi de Gay-Lussac (à volume constant), si on double la température absolue d'un gaz parfait, sa pression...
5. L'énergie interne d'un gaz parfait dépend uniquement de...
Glossaire
- Transformation Isochore
- Une transformation thermodynamique au cours de laquelle le volume du système reste constant (\(\Delta V = 0\)).
- Énergie Interne (U)
- L'énergie totale contenue dans un système, correspondant à l'énergie cinétique et potentielle de ses particules au niveau microscopique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
- Travail des forces de pression (W)
- L'énergie échangée par un système avec l'extérieur via une variation de son volume. Si le système se détend, il fournit du travail (\(W < 0\)). S'il est comprimé, il reçoit du travail (\(W > 0\)).
- Chaleur (Q)
- Transfert d'énergie thermique entre le système et son environnement, dû à une différence de température. Si le système reçoit de la chaleur, \(Q > 0\).
- Gaz Parfait
- Un modèle idéal de gaz où les particules sont supposées n'avoir aucun volume propre et aucune interaction entre elles, sauf des collisions élastiques. Il obéit à la loi \(PV = nRT\).
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