Détente Adiabatique Réversible d'un Gaz Parfait
Contexte : La détente adiabatique réversibleTransformation thermodynamique d'un système sans échange de chaleur avec le milieu extérieur (adiabatique) et effectuée de manière infiniment lente (réversible)..
Cet exercice explore l'un des processus fondamentaux de la thermodynamique, essentiel pour comprendre le fonctionnement de nombreux systèmes, des moteurs thermiques aux réfrigérateurs. Nous allons étudier le comportement d'un gaz parfaitModèle théorique d'un gaz où les interactions entre particules sont négligées. Il suit la loi PV=nRT. contenu dans un cylindre fermé par un piston mobile, subissant une détente sans aucun échange de chaleur avec l'extérieur.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les lois de Laplace, de calculer les variations des variables d'état (pression, température) et de quantifier les transferts d'énergie (travail, énergie interne) lors d'une transformation adiabatique réversible.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer les lois de Laplace pour une transformation adiabatique réversible.
- Calculer l'état final (\(P_2\), \(T_2\)) d'un gaz parfait après une détente.
- Déterminer le travail des forces de pression et la variation d'énergie interne.
- Vérifier le premier principe de la thermodynamique dans ce contexte.
Données de l'étude
Fiche Technique du Système
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Système | Cylindre-piston isolé thermiquement |
| Type de gaz | Gaz parfait monoatomique |
| Transformation | Adiabatique et réversible |
Schéma du système à l'état initial
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 1 | mol |
| Pression initiale | \(P_1\) | \(2 \cdot 10^5\) | Pa |
| Température initiale | \(T_1\) | 300 | K |
| Volume final | \(V_2\) | 25 | L |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
Questions à traiter
- Calculer le volume initial \(V_1\) du gaz.
- Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz après la détente.
- Calculer la température finale \(T_2\) du gaz.
- Calculer le travail \(W\) échangé par le gaz avec le milieu extérieur.
- Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz et commenter le résultat.
Les bases de la Thermodynamique
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques concepts clés concernant les gaz parfaits et les transformations adiabatiques.
1. Loi des Gaz Parfaits
L'état d'un gaz parfait est décrit par la relation entre sa pression \(P\), son volume \(V\), sa quantité de matière \(n\) et sa température absolue \(T\).
\[ P V = n R T \]
2. Transformation Adiabatique Réversible & Lois de Laplace
Une transformation est adiabatique s'il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur (\(Q=0\)). Pour un gaz parfait subissant une telle transformation de manière réversible, les variables d'état sont liées par les lois de Laplace :
\[ P V^\gamma = \text{constante} \quad | \quad T V^{\gamma-1} = \text{constante} \quad | \quad T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{constante} \]
où \(\gamma = C_p / C_v\) est l'indice adiabatiqueRapport des capacités thermiques à pression constante (\(C_p\)) et à volume constant (\(C_v\)). Il dépend de la nature du gaz.. Pour un gaz parfait monoatomique, \(\gamma = 5/3\).
3. Énergie Interne et Travail
Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interneSomme de toutes les énergies cinétiques des particules constituant le système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température. \(\Delta U\) ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_v \Delta T\). Le premier principe de la thermodynamique s'écrit \(\Delta U = W + Q\). Pour une transformation adiabatique (\(Q=0\)), on a donc \(\Delta U = W\).
Correction : Détente Adiabatique Réversible d'un Gaz Parfait
Question 1 : Calculer le volume initial \(V_1\) du gaz.
Principe
Pour trouver le volume initial, nous utilisons la loi des gaz parfaits qui lie la pression, le volume et la température pour un état d'équilibre donné. Toutes les grandeurs de l'état initial sont connues, sauf le volume.
Mini-Cours
La loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) est l'outil fondamental pour décrire l'état d'un gaz dans des conditions où les interactions entre molécules sont négligeables. Elle s'applique parfaitement à notre situation initiale, car l'état 1 est un état d'équilibre thermodynamique.
Remarque Pédagogique
En thermodynamique, la première étape est toujours d'identifier clairement les états (initial, final) et les données connues for each. Ici, l'état 1 est entièrement défini, sauf pour le volume. La loi des gaz parfaits est la clé pour compléter cette description.
Normes
La thermodynamique repose sur des principes fondamentaux (comme le premier principe) et des lois physiques (comme la loi des gaz parfaits) plutôt que sur des normes réglementaires de type Eurocode. La "norme" ici est l'application rigoureuse de ces lois universelles.
Formule(s)
Équation d'état du gaz parfait
Hypothèses
Le système est à l'équilibre thermodynamique à l'état initial et le gaz se comporte comme un gaz parfait.
Donnée(s)
Les données suivantes sont extraites de l'énoncé de l'exercice pour calculer le volume initial.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 1 | mol |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Température initiale | \(T_1\) | 300 | K |
| Pression initiale | \(P_1\) | \(2 \cdot 10^5\) | Pa |
Astuces
Vérifiez toujours la cohérence des unités avant tout calcul. Ici, \(P\) est en Pascals (N/m²), \(T\) en Kelvin et \(R\) en J·mol⁻¹·K⁻¹. Le volume obtenu sera donc directement en mètres cubes (m³), l'unité du Système International.
Schéma (Avant les calculs)
État Initial (1)
Calcul(s)
Application numérique pour V₁ en m³
Conversion du volume en litres
Schéma (Après les calculs)
État Initial (1) - Complet
Réflexions
Le volume calculé est d'environ 12.5 litres. Ce résultat est cohérent : une mole de gaz parfait à 0°C (273 K) et 1 atm (~10⁵ Pa) occupe 22.4 L. Ici, à une température légèrement plus élevée (300 K) mais à une pression double, le volume est logiquement plus faible.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier d'utiliser les unités du Système International : la pression en Pascals (Pa) et la température en Kelvin (K). L'utilisation de bars, d'atmosphères ou de degrés Celsius mènerait à un résultat incorrect.
Points à retenir
Pour un état d'équilibre d'un gaz parfait, si trois des quatre variables (\(P, V, n, T\)) sont connues, la quatrième peut toujours être déterminée grâce à la loi des gaz parfaits \(PV=nRT\). C'est le point de départ de nombreux problèmes de thermodynamique.
Le saviez-vous ?
La loi des gaz parfaits a été formulée pour la première fois par Émile Clapeyron en 1834. Elle combine plusieurs lois empiriques découvertes précédemment, comme la loi de Boyle-Mariotte (\(PV=\) cste à T cste) et la loi de Charles (\(V/T=\) cste à P cste).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le volume initial si le cylindre contenait 2 moles de gaz dans les mêmes conditions de pression et de température.
Question 2 : Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz après la détente.
Principe
La transformation est adiabatique et réversible. Le concept physique clé ici est que le produit \(P V^\gamma\) reste constant tout au long de la transformation. En connaissant ce produit à l'état initial, on peut déterminer la pression à l'état final puisque le volume final est donné.
Mini-Cours
La loi de Laplace \(P V^\gamma = \text{constante}\) découle du premier principe de la thermodynamique appliqué à un gaz parfait pour une transformation réversible sans échange de chaleur. L'exposant \(\gamma\) (gamma) est crucial et dépend de la nature moléculaire du gaz (monoatomique, diatomique, etc.).
Remarque Pédagogique
Face à une transformation adiabatique réversible, ayez le réflexe "Lois de Laplace". Identifiez les variables connues au début et à la fin (ici \(P_1, V_1, V_2\)) et choisissez la loi qui relie ces variables à l'inconnue (ici \(P_2\)). La loi en \(P\) et \(V\) est donc la plus directe.
Normes
Comme pour la question précédente, nous n'appliquons pas de norme réglementaire mais une loi fondamentale de la physique, la loi de Laplace, dérivée des principes de la thermodynamique.
Formule(s)
Loi de Laplace (relation P-V)
Hypothèses
La transformation est adiabatique, réversible et le gaz est parfait et monoatomique (ce qui fixe \(\gamma=5/3\)).
Donnée(s)
On utilise la pression initiale de l'énoncé, le volume final de l'énoncé, et le volume initial calculé à la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_1\) | \(2 \cdot 10^5\) | Pa |
| Volume initial | \(V_1\) | 12.47 | L |
| Volume final | \(V_2\) | 25 | L |
| Indice adiabatique (monoatomique) | \(\gamma\) | 5/3 | - |
Astuces
Dans le rapport \((V_1/V_2)\), les unités de volume s'annulent. Il n'est donc pas nécessaire de les convertir en m³, on peut directement utiliser les litres, ce qui simplifie le calcul du rapport.
Schéma (Avant les calculs)
Transformation 1 → 2
Calcul(s)
Calcul de la pression finale P₂
Schéma (Après les calculs)
Diagramme P-V avec Isotherme de comparaison
Réflexions
La pression a chuté à environ 63 kPa, soit moins d'un tiers de la pression initiale, alors que le volume a seulement doublé. Le schéma montre bien que la courbe d'une adiabatique est plus "pentue" que celle d'une isotherme : pour une même augmentation de volume, la pression chute davantage car le gaz se refroidit en même temps.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser l'exposant \(\gamma\) et non \(\gamma-1\). L'erreur est fréquente. De plus, assurez-vous que votre calculatrice gère correctement les exposants fractionnaires ou non entiers.
Points à retenir
Pour une détente adiabatique réversible, les lois de Laplace sont vos meilleurs outils. La relation \(P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma\) est la plus utilisée pour trouver une pression ou un volume final.
Le saviez-vous ?
Le mot "adiabatique" vient du grec "adiabatos", qui signifie "infranchissable". Cela illustre bien l'idée qu'aucune chaleur ne peut "franchir" les parois du système.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la pression finale si le gaz était diatomique (\(\gamma=7/5=1.4\)) ?
Question 3 : Calculer la température finale \(T_2\) du gaz.
Principe
Tout comme pour la pression, la température finale peut être déterminée grâce aux lois de Laplace. Le concept est que la quantité \(T V^{\gamma-1}\) reste constante pendant la transformation. Alternativement, on peut utiliser la loi des gaz parfaits sur l'état 2, maintenant que \(P_2\) et \(V_2\) sont connus.
Mini-Cours
La loi \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\) est très pratique pour lier directement la température au volume, sans passer par la pression. Elle est, comme les autres lois de Laplace, une conséquence directe du premier principe pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait.
Remarque Pédagogique
Même si vous pouviez utiliser \(P_2V_2=nRT_2\), il est souvent plus sûr d'utiliser une méthode qui repart des données initiales de l'énoncé (\(T_1, V_1, V_2\)) plutôt que d'une valeur que vous venez de calculer (\(P_2\)). Cela évite de propager une éventuelle erreur de calcul.
Normes
Ce calcul est régi par les lois fondamentales de la thermodynamique, pas par des normes de construction ou de sécurité spécifiques.
Formule(s)
Loi de Laplace (relation T-V)
Hypothèses
La transformation est adiabatique, réversible et le gaz est parfait monoatomique (\(\gamma=5/3\)).
Donnée(s)
On utilise la température initiale de l'énoncé, le volume final de l'énoncé, et le volume initial calculé à la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température initiale | \(T_1\) | 300 | K |
| Volume initial | \(V_1\) | 12.47 | L |
| Volume final | \(V_2\) | 25 | L |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 5/3 | - |
Astuces
L'exposant \(\gamma-1\) pour un gaz monoatomique est \(5/3 - 1 = 2/3\). Il est souvent plus facile de calculer d'abord le rapport des volumes, puis de l'élever à la puissance \(2/3\).
Schéma (Avant les calculs)
Transformation 1 → 2
Calcul(s)
Calcul de la température finale T₂
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Température-Volume
Réflexions
La température a fortement chuté. C'est la caractéristique principale d'une détente adiabatique : le gaz fournit un travail au milieu extérieur en puisant dans sa propre énergie interne (stockée sous forme d'agitation thermique), ce qui se traduit par une baisse de température.
Points de vigilance
Les calculs en thermodynamique doivent toujours être effectués avec la température en Kelvin (K). N'utilisez jamais les degrés Celsius dans les formules de type \(PV=nRT\) ou les lois de Laplace. L'exposant ici est \(\gamma-1\), ne l'oubliez pas.
Points à retenir
Une détente adiabatique est un processus de refroidissement. Un gaz qui se détend sans apport de chaleur se refroidit inévitablement. C'est le principe de base de nombreux systèmes de réfrigération et de liquéfaction des gaz.
Le saviez-vous ?
Ce refroidissement par détente est la raison pour laquelle une bombe de déodorant ou d'air comprimé devient très froide lorsqu'on l'utilise. Le gaz sous pression se détend rapidement en sortant, et même si la transformation n'est pas parfaitement adiabatique ni réversible, elle est assez rapide pour que le refroidissement soit très net.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la température finale si le volume final n'était que de 20 L ?
Question 4 : Calculer le travail \(W\) échangé par le gaz avec le milieu extérieur.
Principe
Pour une transformation adiabatique, le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = W+Q\)) se simplifie car il n'y a pas de transfert de chaleur (\(Q=0\)). Le travail \(W\) est donc directement égal à la variation d'énergie interne \(\Delta U\). Le concept physique est que le travail fourni par le gaz provient entièrement de son énergie interne.
Mini-Cours
Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = n C_v \Delta T\). Puisque \(\Delta U = W\) dans notre cas, on a \(W = n C_v (T_2 - T_1)\). \(C_v\) est la capacité thermique molaire à volume constant.
Remarque Pédagogique
Plutôt que d'utiliser la formule intégrale du travail, qui peut être complexe, profitez de la simplicité du premier principe pour une adiabatique. Le calcul de la variation d'énergie interne via la température est souvent beaucoup plus direct.
Normes
Le premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie) est la "règle" fondamentale que nous appliquons ici.
Formule(s)
Capacité thermique molaire à volume constant
Premier principe et travail adiabatique
Hypothèses
Le gaz est parfait (pour que \(\Delta U\) ne dépende que de \(\Delta T\)) et la transformation est adiabatique (\(Q=0\)).
Donnée(s)
On utilise les données de l'énoncé ainsi que les températures initiale et finale (calculée à la question 3).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 1 | mol |
| Constante \(R\) | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 5/3 | - |
| Température initiale | \(T_1\) | 300 | K |
| Température finale | \(T_2\) | 188.6 | K |
Astuces
Notez que \(T_2 < T_1\), donc le terme \((T_2 - T_1)\) sera négatif. Le travail sera donc négatif, ce qui est cohérent avec une détente : le système fournit de l'énergie (travail) au milieu extérieur.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de Cᵥ
Étape 2 : Calcul du travail W
Schéma (Après les calculs)
Travail sur le Diagramme P-V
Réflexions
Le travail est négatif (\(W < 0\)). Selon la convention thermodynamique de l'ingénieur, cela signifie que le système (le gaz) a fourni du travail au milieu extérieur (il a "poussé" le piston). Cette énergie mécanique a été produite en consommant l'énergie interne du gaz.
Points de vigilance
Soyez très attentif au signe du travail. Un travail négatif signifie que le système se détend et perd de l'énergie au profit de l'extérieur. Un travail positif (compression) signifierait que l'extérieur a fourni de l'énergie au système.
Points à retenir
Pour une transformation adiabatique, le travail est égal à la variation d'énergie interne : \(W = \Delta U\). Comme \(\Delta U = n C_v \Delta T\) pour un gaz parfait, le calcul du travail se ramène à un calcul de variation de température.
Le saviez-vous ?
Dans un moteur diesel, la compression rapide du mélange air-carburant est quasi-adiabatique. Le travail fourni au gaz (\(W>0\)) augmente tellement sa température que le mélange s'enflamme spontanément, sans besoin de bougie d'allumage !
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la température finale n'avait chuté qu'à 250 K, quel aurait été le travail fourni ?
Question 5 : Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz et commenter le résultat.
Principe
Le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = W + Q\)) est le concept central ici. Pour une transformation adiabatique, il n'y a pas d'échange de chaleur (\(Q=0\)). Par conséquent, la variation d'énergie interne est simplement et directement égale au travail \(W\) calculé à la question précédente.
Mini-Cours
Le premier principe est une loi de conservation de l'énergie appliquée à la thermodynamique. Il dit que la variation de l'énergie stockée dans un système (\(\Delta U\)) est égale à la somme des énergies qu'il a échangées avec l'extérieur sous forme de travail (\(W\)) et de chaleur (\(Q\)).
Remarque Pédagogique
Cette question est avant tout une question de compréhension du premier principe. Il n'y a pas de calcul complexe, juste l'application directe de \(\Delta U = W\) dans le cas spécifique d'une transformation adiabatique. C'est une vérification de la cohérence de vos résultats.
Normes
Le premier principe de la thermodynamique est une loi fondamentale de la physique, non une norme réglementaire.
Formule(s)
Premier principe de la thermodynamique
Hypothèses
L'unique et principale hypothèse est que la transformation est adiabatique, c'est-à-dire que les parois sont parfaitement isolantes thermiquement (\(Q=0\)).
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire est le travail \(W\) calculé à la question précédente, en application du premier principe pour une transformation adiabatique.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Travail échangé | \(W\) | -1389 | J |
Astuces
Dans un exercice, si on vous demande \(\Delta U\) après avoir calculé \(W\) pour une adiabatique (ou inversement), rappelez-vous que c'est la même valeur ! C'est un moyen rapide de répondre à la question.
Schéma (Avant les calculs)
Conservation de l'Énergie
Calcul(s)
Application au cas adiabatique
Schéma (Après les calculs)
Bilan Énergétique Final
Réflexions
La variation d'énergie interne est négative (\(\Delta U \approx -1.39\) kJ), ce qui confirme que l'énergie interne du gaz a diminué. Cette diminution est la source de l'énergie mécanique fournie à l'extérieur sous forme de travail. Comme l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température, une \(\Delta U\) négative est parfaitement cohérente avec la baisse de température calculée (\(T_2 < T_1\)). Le bilan énergétique est bouclé.
Points de vigilance
Ne confondez pas "adiabatique" (\(Q=0\)) et "isotherme" (\(\Delta T=0\)). Pour une transformation isotherme d'un gaz parfait, \(\Delta U\) serait nulle, et on aurait \(W = -Q\). Les implications sont radicalement différentes.
Points à retenir
Le message clé est : pour toute transformation adiabatique, \(\Delta U = W\). Si le système se détend (\(W<0\)), son énergie interne diminue. S'il est comprimé (\(W>0\)), son énergie interne augmente.
Le saviez-vous ?
Le premier principe de la thermodynamique est l'une des lois les plus fondamentales de la physique. Il postule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite, seulement transformée. À ce jour, aucune expérience n'a jamais violé ce principe.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si une compression adiabatique avait nécessité un travail de +2000 J, quelle aurait été la variation d'énergie interne \(\Delta U\) ?
Outil Interactif : Simulateur de Détente Adiabatique
Utilisez les curseurs pour modifier le volume final de la détente et l'indice adiabatique du gaz. Observez en temps réel l'impact sur la pression finale, la température finale et le travail fourni par le gaz.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Lors d'une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait, que fait la température ?
2. Quelle grandeur est nulle lors d'une transformation adiabatique ?
3. La loi de Laplace \(P V^\gamma = \text{constante}\) s'applique à quelle transformation ?
4. Si le travail \(W\) est négatif, cela signifie que...
5. Pour un gaz parfait, de quoi dépend exclusivement sa variation d'énergie interne \(\Delta U\) ?
- Détente Adiabatique
- Une transformation durant laquelle un système se détend (son volume augmente) sans échanger de chaleur avec le milieu extérieur. L'énergie nécessaire pour le travail de détente est puisée dans l'énergie interne du système.
- Énergie Interne (U)
- Une fonction d'état macroscopique qui représente l'énergie contenue dans un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température et correspond à la somme des énergies cinétiques de toutes ses particules.
- Gaz Parfait
- Un modèle de gaz théorique dans lequel les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à la loi \(PV = nRT\).
- Indice Adiabatique (\(\gamma\))
- Le rapport de la capacité thermique à pression constante (\(C_p\)) sur la capacité thermique à volume constant (\(C_v\)). Il vaut 5/3 pour un gaz parfait monoatomique et 7/5 pour un diatomique.
- Transformation Réversible
- Une transformation idéale, infiniment lente, constituée d'une succession d'états d'équilibre. Elle peut être inversée pour ramener le système et l'environnement à leurs états initiaux.
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