Détente adiabatique réversible d’un gaz parfait

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits : $PV=nRT$.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• $P_1=5.00\times {10}^5\text{Pa}$
• $V_1=0.0100{\text{m}}^3$
• $n=1.00\text{mol}$
• $R=8.314\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$

Calcul :

En arrondissant à trois chiffres significatifs : $T_1\approx 601\text{K}$.

Principe :

Le coefficient adiabatique $\gamma$ (gamma), aussi appelé indice de Laplace, est le rapport des capacités thermiques molaires à pression constante ($C_{p,m}$) et à volume constant ($C_{v,m}$).

Formule(s) utilisée(s) :

Pour un gaz parfait monoatomique : $C_{v,m}=\frac{3}{2}R$ et $C_{p,m}=C_{v,m}+R=\frac{3}{2}R+R=\frac{5}{2}R$.

Calcul :

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, la loi de Laplace s'applique : $P_1{V}_1^{\gamma }=P_2{V}_2^{\gamma }$.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• $P_1=5.00\times {10}^5\text{Pa}$
• $V_1=0.0100{\text{m}}^3$
• $V_2=0.0250{\text{m}}^3$
• $\gamma =5/3$

Calcul :

Principe :

On peut utiliser une autre forme de la loi de Laplace, $T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}$, ou l'équation d'état des gaz parfaits $P_2{V}_2=nR{T}_2$.

Formule(s) utilisée(s) :

Ici, $\gamma -1=5/3-1=2/3$.

Données spécifiques :

• $T_1\approx 601.395\text{K}$
• $V_1/V_2=0.400$
• $P_2\approx 1.0455\times {10}^5\text{Pa}$ (valeur plus précise)
• $V_2=0.0250{\text{m}}^3$
• $n=1.00\text{mol}$
• $R=8.314\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$

Calcul (avec loi de Laplace $T{V}^{\gamma -1}$) :

Calcul (avec $PV=nRT$) :

Les légères différences sont dues aux arrondis. On prendra $T_2\approx 314\text{K}$.

Principe :

Pour un gaz parfait, $\mathrm{\Delta }U=n{C}_{v,m}(T_2-T_1)$.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour un gaz parfait monoatomique, $C_{v,m}=\frac{3}{2}R$.

Données spécifiques :

• $n=1.00\text{mol}$
• $C_{v,m}=\frac{3}{2}\times 8.314\text{J/(mol}\cdot \text{K)}=12.471\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$
• $T_1\approx 601.395\text{K}$
• $T_2\approx 314.37\text{K}$
• $\mathrm{\Delta }T=T_2-T_1\approx 314.37\text{K}-601.395\text{K}\approx -287.025\text{K}$

Calcul :

On arrondit à $\mathrm{\Delta }U\approx -3580\text{J}$ ou $-3.58\text{kJ}$.

Principe :

Pour une transformation adiabatique, il n'y a pas d'échange de chaleur ($Q=0$). Selon le premier principe de la thermodynamique, $\mathrm{\Delta }U=Q+W$. Donc, pour une transformation adiabatique, $\mathrm{\Delta }U=W$.

Formule(s) utilisée(s) :

Alternativement, pour une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait : $W=\frac{P_2{V}_2-P_1{V}_1}{1-\gamma }=\frac{nR(T_2-T_1)}{1-\gamma }$

Données spécifiques :

• $\mathrm{\Delta }U\approx -3579.6\text{J}$

Calcul :

Le travail est négatif, ce qui signifie qu'il est effectué par le système (le gaz) sur l'extérieur, ce qui est cohérent avec une détente.

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie est donnée par $\mathrm{\Delta }H=n{C}_{p,m}\mathrm{\Delta }T$.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour un gaz parfait monoatomique, $C_{p,m}=\frac{5}{2}R$.

Données spécifiques :

• $n=1.00\text{mol}$
• $C_{p,m}=\frac{5}{2}\times 8.314\text{J/(mol}\cdot \text{K)}=20.785\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$
• $\mathrm{\Delta }T\approx -287.025\text{K}$

Calcul :

On arrondit à $\mathrm{\Delta }H\approx -5970\text{J}$ ou $-5.97\text{kJ}$.

Note : On peut aussi utiliser $\mathrm{\Delta }H=\gamma \mathrm{\Delta }U=(5/3)\times (-3579.6\text{J})\approx -5966\text{J}$.