Désintégration du pion chargé en repos

Contexte : La Cinématique RelativisteL'étude du mouvement des particules à des vitesses proches de celle de la lumière, où les effets de la relativité restreinte d'Einstein deviennent significatifs..

En physique des particules, le pionUne particule subatomique (un méson) qui joue un rôle clé dans la transmission de l'interaction forte entre les nucléons. chargé (\(\pi^+\)) est une particule instable qui se désintègre principalement en un muonUne particule élémentaire similaire à l'électron, mais environ 200 fois plus massive. (\(\mu^+\)) et un neutrino muonique (\(\nu_\mu\)). Ce processus est gouverné par l'interaction faible. Lorsque le pion est initialement au repos, l'analyse de cette désintégration devient un excellent exemple d'application des lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement dans un cadre relativiste.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas d'école pour appliquer la cinématique relativiste à une désintégration à deux corps. Il vous apprendra à manipuler les quadrivecteurs impulsion-énergie pour déterminer complètement l'état final du système à partir de son état initial.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer les principes de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement relativistes.
Calculer les énergies et les quantités de mouvement des particules produites dans une désintégration.
Utiliser la relation énergie-impulsion relativiste pour des particules massives et sans masse.
Déterminer l'énergie cinétique et la vitesse des produits de la désintégration.

Données de l'étude

On considère un pion chargé positif (\(\pi^+\)) initialement au repos dans le référentiel du laboratoire. Il se désintègre selon la réaction : \(\pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_\mu\).

Masses au repos des particules

Caractéristique	Symbole	Valeur (en \(MeV/c^2\))
Masse du pion chargé	\(m_\pi\)	139.57
Masse du muon	\(m_\mu\)	105.66
Masse du neutrino muonique	\(m_\nu\)	\(\approx 0\) (négligée)

Schéma de la désintégration

Questions à traiter

Déterminer la norme de la quantité de mouvement (impulsion) \(p\), commune au muon et au neutrino.
Calculer l'énergie totale \(E_\mu\) du muon.
Calculer l'énergie \(E_\nu\) du neutrino.
En déduire l'énergie cinétique \(K_\mu\) du muon.
Calculer la vitesse \(v_\mu\) du muon (exprimée en fonction de la vitesse de la lumière \(c\)).

Les bases de la Cinématique Relativiste

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons le formalisme des quadrivecteurs et les lois de conservation fondamentales.

1. Quadrivecteur Impulsion-Énergie
En relativité restreinte, on combine l'énergie \(E\) et le vecteur quantité de mouvement \(\vec{p}\) en un seul objet mathématique à quatre dimensions, le quadrivecteur impulsion-énergie, noté \(P^\mu\): \[ P^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z) = (E/c, \vec{p}) \] Le carré de la norme de ce vecteur est un invariant de Lorentz : \[ P^2 = (E/c)^2 - |\vec{p}|^2 = (m_0 c)^2 \] Où \(m_0\) est la masse au repos de la particule. Ceci mène à la célèbre relation énergie-impulsion : \[ E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2 \]

2. Conservation du Quadrivecteur
Dans toute interaction ou désintégration, le quadrivecteur impulsion-énergie total est conservé. Si un système initial (contenant les particules A, B,...) se transforme en un système final (C, D,...), alors : \[ P^\mu_{\text{tot, initial}} = P^\mu_{\text{tot, final}} \] \[ \sum P^\mu_i = \sum P^\mu_f \] Cela implique que l'énergie totale et chaque composante de la quantité de mouvement sont conservées séparément.

Correction : Désintégration du Pion Chargé au Repos

Question 1 : Déterminer la norme de la quantité de mouvement \(p\).

Principe

La clé de la résolution est la conservation du quadrivecteur impulsion-énergie. Le pion étant au repos, sa quantité de mouvement initiale est nulle. Par conservation, la quantité de mouvement totale finale doit aussi être nulle, ce qui implique que le muon et le neutrino partent dans des directions opposées avec des quantités de mouvement de même norme.

Mini-Cours

Invariant de Lorentz : Le carré de la norme d'un quadrivecteur, comme \(P^\mu\), est un "invariant de Lorentz". Cela signifie que sa valeur est la même quel que soit le référentiel d'inertie choisi pour le calculer. Pour le quadrivecteur impulsion-énergie, cette norme est liée à la masse au repos de la particule : \(P^2 = (m_0c)^2\). C'est une propriété extrêmement puissante qui simplifie de nombreux calculs en relativité.

Remarque Pédagogique

Face à un problème de désintégration, le premier réflexe doit toujours être de poser les lois de conservation. En cinématique relativiste, la conservation du quadrivecteur impulsion-énergie est la plus directe car elle contient à la fois l'énergie et la quantité de mouvement. Isoler le quadrivecteur d'une particule inconnue et utiliser l'invariance de sa norme est une technique de résolution standard et très efficace.

Normes

En physique des particules, les "normes" sont les lois fondamentales de la nature. Cet exercice repose entièrement sur les principes de la Relativité Restreinte d'Einstein, en particulier la conservation de l'énergie et de l'impulsion, unifiées dans la conservation du quadrivecteur \(P^\mu\).

Formule(s)

Conservation du quadrivecteur

P^\mu_\pi = P^\mu_\mu + P^\mu_\nu

Relation Énergie-Impulsion

\[ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \]

Hypothèses

Le cadre du calcul est défini par les hypothèses suivantes :

Le pion \(\pi^+\) est initialement au repos (\(\vec{p}_\pi = 0\)).
Le système est isolé, donc l'énergie et la quantité de mouvement sont conservées.
La masse du neutrino \(\nu_\mu\) est considérée comme nulle (\(m_\nu = 0\)), une approximation excellente pour ce calcul.

Donnée(s)

Les chiffres d'entrée pour cette question sont les masses au repos des particules impliquées.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse du pion	\(m_\pi\)	139.57	MeV/c²
Masse du muon	\(m_\mu\)	105.66	MeV/c²

Astuces

Pour éviter des calculs vectoriels complexes, la stratégie consistant à isoler le quadrivecteur de la particule la plus "simple" (ici le neutrino de masse nulle, \(P_\nu^2=0\)) avant de mettre l'équation au carré est un raccourci puissant. Cela transforme un problème vectoriel en une équation scalaire beaucoup plus simple à résoudre.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma conceptuel montre le pion au repos avant la désintégration et les deux particules filles s'éloignant dos à dos après, pour conserver une impulsion totale nulle.

État initial et final de la désintégration

Calcul(s)

La conservation du quadrivecteur impulsion-énergie s'écrit \(P_\pi = P_\mu + P_\nu\). Réarrangeons pour isoler le neutrino : \(P_\nu = P_\pi - P_\mu\). On prend ensuite le carré de la norme de chaque côté.

Développement du carré de la différence

\begin{aligned} P_\nu^2 &= (P_\pi - P_\mu)^2 \\ &= P_\pi^2 + P_\mu^2 - 2 P_\pi \cdot P_\mu \end{aligned}

Nous utilisons l'invariance de la norme \(P^2 = (mc)^2\) et le produit scalaire \(P_\pi \cdot P_\mu = E_\pi E_\mu / c^2 - \vec{p}_\pi \cdot \vec{p}_\mu\). Dans le référentiel du pion au repos, \(\vec{p}_\pi = 0\) et \(E_\pi = m_\pi c^2\). Comme \(m_\nu \approx 0\), on a \(P_\nu^2 = 0\).

Substitution des termes

0 = (m_\pi c)^2 + (m_\mu c)^2 - 2 m_\pi E_\mu

De l'équation ci-dessus, on peut directement trouver l'énergie totale du muon.

Expression de l'énergie du muon

E_\mu = \frac{(m_\pi^2 + m_\mu^2)c^2}{2 m_\pi}

Maintenant, on utilise la relation énergie-impulsion pour le muon, \(E_\mu^2 = (p_\mu c)^2 + (m_\mu c^2)^2\), et on isole \(p_\mu c\).

Expression de l'impulsion au carré

\begin{aligned} (p_\mu c)^2 &= E_\mu^2 - (m_\mu c^2)^2 \\ &= \left( \frac{(m_\pi^2 + m_\mu^2)c^2}{2 m_\pi} \right)^2 - (m_\mu c^2)^2 \end{aligned}

Simplification de l'expression

(p_\mu c)^2 = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)^2 c^4}{4m_\pi^2}

En prenant la racine carrée, on obtient l'expression de \(p_\mu c\). Par conservation, \(p_\mu = p_\nu = p\).

Expression finale de l'impulsion-énergie

pc = p_\mu c = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2 m_\pi}

Application numérique

\begin{aligned} pc &= \frac{(139.57^2 - 105.66^2)}{2 \times 139.57} \text{ MeV} \\ &= \frac{19479.78 - 11164.04}{279.14} \text{ MeV} \\ &= \frac{8315.74}{279.14} \text{ MeV} \\ &\approx 29.79 \text{ MeV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme représente l'équilibre des quantités de mouvement dans l'état final. Les deux vecteurs sont de même longueur (norme) et de sens opposés, leur somme vectorielle est donc nulle, comme l'était le vecteur impulsion du pion initial.

Vecteurs quantité de mouvement dans l'état final

Réflexions

Le résultat de 29.79 MeV/c représente l'impulsion emportée par chacune des particules filles. Ce n'est ni l'énergie, ni l'énergie cinétique. Cette valeur est unique et fixée par les masses des particules. C'est une conséquence directe du fait que la désintégration se fait à partir d'un état initial au repos vers un état final à seulement deux corps.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de confondre la quantité de mouvement \(p\) (en MeV/c) et l'impulsion-énergie \(pc\) (en MeV). Les formules relativistes utilisent souvent le terme \(pc\) qui a la dimension d'une énergie, ce qui simplifie les calculs. Assurez-vous de bien distinguer les deux et de donner le résultat dans l'unité demandée.

Points à retenir

Pour une désintégration A \(\rightarrow\) B + C à partir du repos, la norme de l'impulsion des produits est toujours donnée par la formule :

\[ pc = \frac{\sqrt{[m_A^2 - (m_B+m_C)^2][m_A^2 - (m_B-m_C)^2]}c^2}{2m_A} \]

Dans notre cas, avec \(m_C = m_\nu = 0\), on retrouve bien la formule utilisée.

Le saviez-vous ?

Le pion a été prédit théoriquement par Hideki Yukawa en 1935 pour expliquer la force nucléaire forte, ce qui lui valut le prix Nobel. Il n'a été découvert expérimentalement qu'en 1947 par Cecil Powell, également lauréat du prix Nobel pour cette découverte, dans des rayons cosmiques en utilisant des émulsions photographiques.

FAQ

Résultat Final

La norme de la quantité de mouvement des deux particules filles est \(p \approx 29.79 \text{ MeV/c}\).

A vous de jouer

Si le pion se désintégrait en un positron (\(m_e \approx 0.511\) MeV/c²) et un neutrino électronique (masse nulle), quelle serait l'impulsion du positron ? (Masse du pion : 139.57 MeV/c²)

Question 2 : Calculer l'énergie totale \(E_\mu\) du muon.

Principe

L'énergie totale d'une particule en mouvement est la somme de son énergie de masse au repos et de son énergie cinétique. Elle peut être calculée directement à partir de sa masse et de sa quantité de mouvement grâce à la relation fondamentale énergie-impulsion de la relativité restreinte.

Mini-Cours

L'énergie totale relativiste \(E\) est une notion centrale. Contrairement à la mécanique classique, une particule au repos possède déjà une énergie intrinsèque, son énergie de masse \(E_0=m_0c^2\). Toute énergie supplémentaire due à son mouvement est l'énergie cinétique \(K\). L'énergie totale est donc \(E = K + m_0c^2\). La relation \(E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\) relie cette énergie totale à la quantité de mouvement, montrant que masse, énergie et impulsion sont intimement liées.

Remarque Pédagogique

Pour cette question, nous avons deux chemins : utiliser la formule littérale trouvée à l'étape 2 de la question 1, ou repartir de la relation énergie-impulsion avec le résultat numérique de \(p\). Les deux méthodes sont valides. Utiliser la formule littérale est souvent plus précis car elle ne propage pas les erreurs d'arrondi du calcul précédent.

Normes

La relation \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) est une conséquence directe des postulats de la Relativité Restreinte et est universellement applicable à toutes les particules dans un référentiel inertiel.

Formule(s)

Expression directe

E_\mu = \frac{(m_\pi^2 + m_\mu^2)c^2}{2 m_\pi}

Relation Énergie-Impulsion

E_\mu = \sqrt{(pc)^2 + (m_\mu c^2)^2}

Donnée(s)

Nous utilisons les masses connues et le résultat de la question précédente.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impulsion-énergie	\(pc\)	29.79	MeV
Énergie de masse du muon	\(m_\mu c^2\)	105.66	MeV

Astuces

Comme vérification rapide, l'énergie totale d'une particule en mouvement (\(E_\mu\)) doit toujours être supérieure à son énergie de masse au repos (\(m_\mu c^2\)). Si vous trouvez une valeur inférieure, il y a certainement une erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Le "triangle relativiste" est une aide visuelle pour se souvenir de la relation \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\). L'énergie totale \(E\) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont l'impulsion (\(pc\)) et l'énergie de masse (\(mc^2\)).

Le triangle de l'énergie relativiste

Calcul(s)

Utilisons la première méthode (l'application numérique de la formule déjà trouvée).

Calcul de l'énergie totale du muon

\begin{aligned} E_\mu &= \frac{(139.57^2 + 105.66^2)c^2}{2 \times 139.57} \\ &= \frac{19479.78 + 11164.04}{279.14} \text{ MeV} \\ &= \frac{30643.82}{279.14} \text{ MeV} \\ &\approx 109.78 \text{ MeV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme compare la part de l'énergie de masse et de l'énergie cinétique dans l'énergie totale du muon. On voit que le muon n'est que légèrement relativiste, son énergie étant majoritairement constituée de sa masse au repos.

Réflexions

L'énergie totale du muon (109.78 MeV) est seulement 4% plus élevée que son énergie de masse au repos (105.66 MeV). Cela indique que le muon, bien qu'ayant une vitesse non négligeable, n'est pas dans un régime "ultra-relativiste" où son énergie cinétique dominerait son énergie de masse.

Points de vigilance

Une autre façon de trouver \(E_\mu\) est d'utiliser la conservation de l'énergie : \(m_\pi c^2 = E_\mu + E_\nu\). Comme \(E_\nu = pc\), on a \(E_\mu = m_\pi c^2 - pc = 139.57 - 29.79 = 109.78\) MeV. Les deux méthodes donnent bien le même résultat ! Cette redondance est un excellent moyen de vérifier ses calculs.

Points à retenir

L'énergie totale \(E\) d'une particule est la somme de son énergie de masse \(m c^2\) et de son énergie cinétique \(K\). Cette décomposition est fondamentale : \(E = K + mc^2\). Il faut bien la maîtriser.

Le saviez-vous ?

La plupart des muons que nous détectons sur Terre sont créés par l'interaction des rayons cosmiques avec la haute atmosphère, dans des réactions similaires à la désintégration du pion. Sans les effets de la relativité (dilatation du temps), la plupart d'entre eux se désintégreraient avant d'atteindre le sol en raison de leur courte durée de vie.

FAQ

Résultat Final

L'énergie totale du muon est \(E_\mu \approx 109.78 \text{ MeV}\).

A vous de jouer

Si un Kaon (\(m_K = 493.7\) MeV/c²) se désintégrait au repos en un muon (\(m_\mu=105.7\) MeV/c²) et un neutrino, quelle serait l'énergie totale du muon ?

Question 3 : Calculer l'énergie \(E_\nu\) du neutrino.

Principe

Puisque nous avons négligé la masse du neutrino, sa relation énergie-impulsion se simplifie grandement. Son énergie est directement proportionnelle à la norme de sa quantité de mouvement. Alternativement, on peut la trouver par la conservation de l'énergie totale.

Mini-Cours

Les particules sans masse (ou de masse négligeable) comme les photons et les neutrinos sont des cas particuliers en relativité. Leur énergie de masse au repos étant nulle, leur énergie totale est entièrement cinétique. La relation \(E^2=(pc)^2+(mc^2)^2\) devient \(E^2=(pc)^2\), soit \(E=pc\). Cela implique aussi que leur vitesse est toujours égale à \(c\), la vitesse de la lumière.

Remarque Pédagogique

Utiliser la conservation de l'énergie (\(E_\nu = E_\pi - E_\mu\)) est un excellent moyen de vérifier l'ensemble de vos calculs précédents. Si le résultat correspond à celui obtenu avec \(E_\nu = pc\), vous pouvez avoir une grande confiance dans vos réponses aux questions 1 et 2.

Normes

La conservation de l'énergie est un des principes les plus fondamentaux de la physique, valable aussi bien en mécanique classique qu'en relativité ou en mécanique quantique. C'est une "norme" immuable de l'Univers.

Formule(s)

Pour une particule de masse nulle

E_\nu = p_\nu c

Par conservation de l'énergie

E_\nu = E_\pi - E_\mu = m_\pi c^2 - E_\mu

Hypothèses

Nous utilisons l'hypothèse cruciale que la masse du neutrino est nulle (\(m_\nu = 0\)).

Donnée(s)

Nous réutilisons les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impulsion-énergie	\(pc\)	29.79	MeV
Énergie totale du pion	\(E_\pi = m_\pi c^2\)	139.57	MeV
Énergie totale du muon	\(E_\mu\)	109.78	MeV

Astuces

La méthode la plus rapide ici est simplement de constater que \(E_\nu=pc\), une valeur que nous avons déjà calculée. Pas besoin de calculs supplémentaires !

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la conservation de l'énergie comme un bilan. L'énergie du pion est le "total" qui est ensuite distribué entre le muon et le neutrino.

Bilan Énergétique

Calcul(s)

La conservation de la quantité de mouvement impose \(p_\nu = p_\mu = p\). Nous avons déjà calculé \(pc\) à la première question.

Calcul de l'énergie du neutrino

E_\nu = pc \approx 29.79 \text{ MeV}

Schéma (Après les calculs)

Le même bilan énergétique, mais avec les valeurs numériques qui montrent la répartition.

Bilan Énergétique Chiffré

Réflexions

On constate que le neutrino, bien que sans masse, emporte une part non négligeable de l'énergie (environ 21%). Dans les désintégrations, les particules les plus légères tendent à emporter plus d'énergie cinétique, et ici, toute l'énergie du neutrino est cinétique.

Points de vigilance

Ne soyez pas surpris qu'une particule sans masse puisse avoir une énergie. C'est une des prédictions fondamentales de la relativité. L'énergie n'est pas seulement liée à la masse, mais aussi à la quantité de mouvement. Pour un neutrino ou un photon, l'énergie vient exclusivement de son mouvement.

Points à retenir

La conservation de l'énergie est un outil puissant, à la fois pour trouver des inconnues et pour vérifier la cohérence des résultats. L'énergie totale avant doit être strictement égale à l'énergie totale après.

Le saviez-vous ?

Le "déficit" d'énergie observé dans certaines désintégrations nucléaires au début du 20ème siècle a conduit Wolfgang Pauli à postuler l'existence du neutrino en 1930 pour "sauver" la loi de conservation de l'énergie. Il a fallu attendre 1956 pour le détecter expérimentalement !

FAQ

Résultat Final

L'énergie du neutrino est \(E_\nu \approx 29.79 \text{ MeV}\).

A vous de jouer

Dans la désintégration du Kaon (\(m_K=493.7\) MeV/c²) en muon (\(m_\mu=105.7\) MeV/c²) et neutrino, quelle est l'énergie du neutrino (en MeV) ?

Question 4 : En déduire l'énergie cinétique \(K_\mu\) du muon.

Principe

L'énergie totale \(E\) d'une particule est la somme de son énergie de masse au repos (\(mc^2\)) et de son énergie cinétique (\(K\)). Par conséquent, l'énergie cinétique est la différence entre son énergie totale et son énergie de masse.

Mini-Cours

En relativité, l'énergie cinétique n'est PAS donnée par la formule classique \(\frac{1}{2}mv^2\). La définition correcte est \(K = E - m_0c^2\). En utilisant \(E = \gamma m_0c^2\), on obtient \(K = (\gamma - 1)m_0c^2\). On peut montrer qu'à faible vitesse (\(\beta \ll 1\)), cette expression se réduit bien à \(\frac{1}{2}m_0v^2\), mais pour des vitesses non négligeables devant \(c\), il est impératif d'utiliser la définition relativiste.

Remarque Pédagogique

C'est une étape cruciale pour comprendre la "libération" d'énergie. La masse n'est pas conservée dans cette réaction (\(m_\pi > m_\mu + m_\nu\)). La "masse manquante", appelée défaut de masse, est convertie en énergie cinétique des produits, selon \(E=mc^2\). L'énergie cinétique totale est \(K_{\text{tot}} = (m_\pi - m_\mu - m_\nu)c^2\).

Normes

La définition de l'énergie cinétique comme \(K = E - m_0c^2\) est une des pierres angulaires de la dynamique relativiste, issue directement de la théorie d'Einstein.

Formule(s)

Définition de l'énergie cinétique relativiste

K_\mu = E_\mu - m_\mu c^2

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse n'est requise. Nous nous basons sur les résultats précédents.

Donnée(s)

Les chiffres dont nous avons besoin ont déjà été calculés ou donnés.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie totale du muon	\(E_\mu\)	109.78	MeV
Énergie de masse du muon	\(m_\mu c^2\)	105.66	MeV

Astuces

Un calcul simple mais une étape conceptuellement importante. Assurez-vous de bien soustraire l'énergie DE MASSE (\(m_\mu c^2\)) de l'énergie TOTALE (\(E_\mu\)), et non une autre quantité.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons l'énergie totale du muon comme une barre. Pour trouver l'énergie cinétique, nous "retirons" la partie correspondant à l'énergie de masse.

Décomposition de l'Énergie Totale

Calcul(s)

L'application numérique est directe.

Calcul de l'énergie cinétique du muon

\begin{aligned} K_\mu &\approx 109.78 \text{ MeV} - 105.66 \text{ MeV} \\ &= 4.12 \text{ MeV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme à barres illustre la composition de l'énergie totale du muon, montrant la part majoritaire de l'énergie de masse et la plus petite part d'énergie cinétique.

Réflexions

L'énergie cinétique de 4.12 MeV est l'énergie qui sera déposée par le muon dans un détecteur avant qu'il ne s'arrête ou se désintègre à son tour. C'est une quantité directement mesurable, et sa valeur unique est une preuve expérimentale de la nature de cette désintégration à deux corps.

Points de vigilance

Ne pas confondre l'énergie cinétique \(K\) avec l'énergie totale \(E\) ou l'impulsion \(p\). Ce sont trois quantités physiques distinctes, avec des significations et des valeurs différentes.

Points à retenir

La définition de l'énergie cinétique relativiste, \(K = E - m_0c^2\), est fondamentale. Elle représente l'énergie libérée sous forme de mouvement, issue de la conversion de la masse au repos de l'état initial.

Le saviez-vous ?

En radiothérapie, des faisceaux de protons ou d'ions lourds sont utilisés pour traiter des tumeurs. C'est précisément leur énergie cinétique qui, en étant déposée dans les tissus, détruit les cellules cancéreuses. Le contrôle précis de cette énergie permet de cibler la tumeur en profondeur tout en épargnant les tissus sains.

FAQ

Résultat Final

L'énergie cinétique du muon est \(K_\mu \approx 4.12 \text{ MeV}\).

A vous de jouer

Pour la désintégration du Kaon (\(E_\mu = 258.4\) MeV, \(m_\mu=105.7\) MeV/c²), quelle est l'énergie cinétique du muon (en MeV) ?

Question 5 : Calculer la vitesse \(v_\mu\) du muon.

Principe

En relativité, la vitesse d'une particule est intrinsèquement liée à son énergie totale et à sa quantité de mouvement. En connaissant ces deux dernières, on peut déterminer la vitesse sans ambiguïté. La vitesse est souvent exprimée par le facteur \(\beta = v/c\), un nombre sans dimension entre 0 et 1.

Mini-Cours

Les définitions relativistes de l'énergie et de l'impulsion sont \(E = \gamma m c^2\) et \(\vec{p} = \gamma m \vec{v}\). Si l'on divise la norme de la seconde équation par la première, on obtient : \(\frac{|\vec{p}|}{E} = \frac{\gamma m |\vec{v}|}{\gamma m c^2} = \frac{v}{c^2}\). En multipliant par \(c\), on trouve la relation très utile : \(\frac{pc}{E} = \frac{v}{c} = \beta\). Cette formule permet de calculer directement la vitesse à partir de l'impulsion-énergie (\(pc\)) et de l'énergie totale (\(E\)).

Remarque Pédagogique

Il est toujours bon de s'assurer que le résultat pour \(\beta\) est inférieur à 1. Un résultat supérieur à 1 est physiquement impossible et signale une erreur de calcul. Dans notre cas, comme \(E_\mu > pc\) (car le muon a une masse), on est assuré d'obtenir \(\beta < 1\).

Normes

Les relations utilisées découlent des transformations de Lorentz, qui sont le fondement mathématique de la Relativité Restreinte.

Formule(s)

Méthode 1 : via la relation \(pc/E\)

\beta = \frac{v}{c} = \frac{pc}{E}

Méthode 2 : via le facteur de Lorentz

\gamma = \frac{E}{mc^2} \Rightarrow \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse.

Donnée(s)

On utilise les résultats finaux des questions 1 et 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impulsion-énergie du muon	\(p_\mu c\)	29.79	MeV
Énergie totale du muon	\(E_\mu\)	109.78	MeV

Astuces

La méthode 1 (\(pc/E\)) est la plus directe. Comme \(\beta\) est un ratio, tant que \(pc\) et \(E\) sont dans les mêmes unités (ici, MeV), les unités s'annulent et le calcul est simple. Pas besoin de convertir en Joules ou en kg.m/s !

Schéma (Avant les calculs)

On peut imaginer la vitesse du muon sur une jauge graduée de 0 à \(c\). Notre calcul va nous permettre de positionner l'aiguille.

Jauge de Vitesse Relativiste

Calcul(s)

La première méthode est la plus directe.

Calcul de la vitesse du muon (\(\beta\))

\begin{aligned} \beta_\mu &= \frac{p_\mu c}{E_\mu} \\ &\approx \frac{29.79 \text{ MeV}}{109.78 \text{ MeV}} \\ &\approx 0.2714 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La jauge de vitesse avec la position finale du muon, montrant qu'il se déplace à un peu plus d'un quart de la vitesse de la lumière.

Vitesse Calculée du Muon

Réflexions

Une vitesse de 27.1% de celle de la lumière est extrêmement rapide (environ 81 300 km/s), mais courante en physique des particules. Ce résultat est cohérent avec notre analyse précédente montrant que le muon est "légèrement" relativiste : sa vitesse est significative mais encore loin de la limite \(c\).

Points de vigilance

Ne jamais utiliser la formule classique \(p=mv\) pour trouver la vitesse, sauf si vous avez préalablement démontré que le régime est non-relativiste (\(\beta \ll 0.1\)). L'utilisation de \(p=\gamma mv\) ou \(\beta=pc/E\) est toujours correcte et donc plus sûre.

Points à retenir

La relation la plus efficace pour trouver la vitesse d'une particule relativiste est \(\beta = v/c = pc/E\). Elle relie directement les trois grandeurs cinématiques fondamentales : vitesse, impulsion et énergie.

Le saviez-vous ?

La vitesse de la lumière \(c\) n'est pas seulement une limite de vitesse, c'est une constante fondamentale qui relie l'espace et le temps. Dans les unités "naturelles" utilisées par les physiciens des particules, on pose souvent \(c=1\), ce qui simplifie les équations : \(E^2=p^2+m^2\), \(E=m\gamma\), \(p=m\gamma v\), et \(\beta = p/E\).

FAQ

Résultat Final

La vitesse du muon est \(v_\mu \approx 0.271c\).

A vous de jouer

Pour la désintégration du Kaon (\(p_\mu c = 235.3\) MeV, \(E_\mu = 258.4\) MeV), quelle est la vitesse du muon (en unités de \(c\)) ?

Outil Interactif : Cinématique de Désintégration

Utilisez ce simulateur pour voir comment l'énergie cinétique du muon varie en fonction de la masse de la particule mère (comme le pion) et de celle du muon. Observez comment la différence de masse disponible est partagée.

Paramètres d'Entrée

Masse particule mère (\(m_{\text{mère}}\)) [MeV/c²] 140 MeV/c²

Masse particule fille (\(m_{\text{fille}}\)) [MeV/c²] 106 MeV/c²

Résultats Clés

Impulsion des produits (\(pc\)) [MeV] -

Énergie cinétique fille (\(K_{\text{fille}}\)) [MeV] -

Pion (\(\pi\)): Un type de méson, une particule subatomique composée d'un quark et d'un antiquark. Les pions sont les médiateurs de l'interaction nucléaire forte à longue portée.
Muon (\(\mu\)): Une particule élémentaire de la famille des leptons, similaire à l'électron mais environ 200 fois plus massive. Il est instable et se désintègre rapidement.
Neutrino (\(\nu\)): Une particule élémentaire de masse quasi nulle et sans charge électrique, qui n'interagit que par l'interaction faible. Il en existe trois saveurs : électronique, muonique et tauique.
Quadrivecteur Impulsion-Énergie: Un vecteur à quatre dimensions en relativité restreinte qui unifie l'énergie (composante temporelle) et la quantité de mouvement (composantes spatiales) en un seul objet mathématique dont la norme au carré est invariante.