Analyse de l’Interaction Leptonique
Comprendre l’Analyse de l’Interaction Leptonique
Nous allons examiner une collision entre un électron et un positron qui aboutit à la création d’une paire muon-antimuon. Cet événement est fréquent dans les accélérateurs de particules où des énergies élevées permettent de telles transformations., Vous utiliserez les lois de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement pour analyser l’interaction et déterminer les paramètres finaux des particules produites.
Données :
- Masse de l’électron/positron, \(m_e = 0.511 \, \text{MeV/c}^2\).
- Masse du muon, \(m_{\mu} = 105.7 \, \text{MeV/c}^2\).
- Énergie totale du système (énergie du centre de masse), \(E_{cm} = 220 \, \text{MeV}\).
- Les électrons et les positrons sont injectés avec des quantités de mouvement égales et opposées.
Question :
Calculer la quantité de mouvement et l’énergie des muons après la collision, en supposant que la collision est parfaitement élastique et que l’énergie est totalement convertie en particules muon-antimuon.
Correction : Analyse de l’Interaction Leptonique
1. Calcul de l'énergie des muons
En travaillant dans le référentiel du centre de masse, l'énergie totale du système est donnée par
\[ E_{cm} = 220\, \text{MeV} \]
Cette énergie est répartie entre les deux muons produits. Comme le processus est parfaitement symétrique (les deux muons sont identiques), chaque muon se voit attribuer une énergie égale. On note l’énergie de chaque muon \( E_{\mu} \).
Formule
\[ E_{\mu} = \frac{E_{cm}}{2} \]
Données
Calcul
\[ E_{\mu} = \frac{220\, \text{MeV}}{2} = 110\, \text{MeV} \]
2. Calcul de la quantité de mouvement des muons
Pour chaque muon, l'énergie totale est donnée par la relation relativiste
\[ E_{\mu} = \sqrt{p_{\mu}^2 + m_\mu^2} \]
où
Notre objectif est de déterminer \( p_{\mu} \).
Formule
\[ p_{\mu} = \sqrt{E_{\mu}^2 - m_\mu^2} \]
Données
Calcul
1. Calcul de \( E_{\mu}^2 \) et \( m_\mu^2 \) :
\[ E_{\mu}^2 = (110\, \text{MeV})^2 = 12100\, \text{MeV}^2 \]
\[ m_\mu^2 = (105.7\, \text{MeV})^2 \approx 11170\, \text{MeV}^2 \]
2. Différence entre \( E_{\mu}^2 \) et \( m_\mu^2 \) :
\[ E_{\mu}^2 - m_\mu^2 \approx 12100\, \text{MeV}^2 - 11170\, \text{MeV}^2 = 930\, \text{MeV}^2 \]
3. La quantité de mouvement est alors :
\[ p_{\mu} = \sqrt{930\, \text{MeV}^2} \approx 30.5\, \text{MeV} \]
3. Résumé de la solution
\[ p_{\mu} \approx 30.5\, \text{MeV} \, ( \text{en unités } \text{MeV}/c) \]
Commentaires complémentaires
Conservation des quantités :
Dans le référentiel du centre de masse, la quantité de mouvement totale est nulle. Ainsi, si un muon a une quantité de mouvement de \( +30.5\, \text{MeV} \), l’antimuon aura \( -30.5\, \text{MeV} \), assurant la conservation de la quantité de mouvement.
Vérification de la conservation de l'énergie :
La somme des énergies des deux muons (110 MeV chacune) donne bien \( 220\, \text{MeV} \), ce qui est cohérent avec l’énergie totale initiale.
Analyse de l’Interaction Leptonique
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