Interaction Quark-Antiquark
Comprendre l’Interaction Quark-Antiquark
Les quarks sont des particules élémentaires qui constituent les protons et les neutrons, entre autres. Ils sont soumis à l’interaction forte et ne peuvent exister isolément en raison du phénomène de confinement de couleur. Les quarks se regroupent pour former des hadrons (protons, neutrons, mésons, etc.) via les gluons, les porteurs de la force forte. Nous allons étudier un événement hypothétique dans un accélérateur de particules où un quark up (\(u\)) et un antiquark up (\(\bar{u}\)) s’annihilent pour former un méson rho (\(\rho^0\)), qui se désintègre ensuite en une paire de pions (\(\pi^+\) et \(\pi^-\)).
Données:
- Masse du quark up (\(m_u\)): \(2.2 \, \text{MeV}/c^2\)
- Masse de l’antiquark up (\(m_{\bar{u}}\)): \(2.2 \, \text{MeV}/c^2\)
- Masse du méson rho (\(\rho^0\)) (\(m_{\rho}\)): \(775.26 \, \text{MeV}/c^2\)
- Masse des pions (\(\pi^+\), \(\pi^-\)) (\(m_{\pi}\)): \(139.57 \, \text{MeV}/c^2\) chacun
- Énergie totale du système initial (\(E_{\text{total}}\)): \(800 \, \text{MeV}\)
Questions:
1. Conservation de l’énergie:
Calculez l’énergie cinétique initiale (\(E_{\text{kin}}\)) du quark et de l’antiquark avant l’annihilation.
2. Masse du méson rho:
Déterminez si l’énergie totale disponible après l’annihilation est suffisante pour former un méson rho. Comparez l’énergie totale du système après l’annihilation (\(E_{\text{total}} – 2m_u c^2\)) avec la masse en repos du méson rho.
3. Désintégration en pions:
Supposons que le méson rho formé se désintègre immédiatement en une paire de pions. Calculez l’énergie cinétique de chaque pion après la désintégration si la désintégration est isotrope (les pions sont émis dans des directions opposées avec des impulsions égales). Utilisez la conservation de l’impulsion et de l’énergie pour trouver leurs énergies cinétiques.
4. Vérification des lois de conservation:
Vérifiez la conservation de l’énergie et de l’impulsion tout au long de l’événement, de l’annihilation à la désintégration. Assurez-vous que les énergies totales et les impulsions avant et après chaque étape sont égales.
Correction : Interaction Quark-Antiquark
1. Calcul de l’énergie cinétique initiale
Données de départ :
- Masse du quark up : \( m_u = 2{,}2\,\mathrm{MeV}/c^2 \)
- Masse de l’antiquark up : \( m_{\bar{u}} = 2{,}2\,\mathrm{MeV}/c^2 \)
- Énergie totale du système : \( E_{\text{total}} = 800\,\mathrm{MeV} \)
Calculs :
1. Calcul des énergies de repos combinées :
\[ E_{\text{repos (total)}} = m_u c^2 + m_{\bar{u}} c^2 \] \[ E_{\text{repos (total)}} = 2{,}2 + 2{,}2 \] \[ E_{\text{repos (total)}} = 4{,}4\,\mathrm{MeV} \]
2. Énergie cinétique totale disponible :
On soustrait les énergies de repos du total :
\[ E_{\text{kin (total)}} = E_{\text{total}} – E_{\text{repos (total)}} \] \[ E_{\text{kin (total)}} = 800 – 4{,}4 \] \[ E_{\text{kin (total)}} = 795{,}6\,\mathrm{MeV} \]
3. Répartition (si symétrie, même énergie pour chacun) :
\[ E_{\text{kin (quark)}} = E_{\text{kin (antiquark)}} = \frac{795{,}6}{2} \approx 397{,}8\,\mathrm{MeV} \]
Conclusion (1) : L’énergie cinétique initiale du quark et de l’antiquark est de \(397{,}8\,\mathrm{MeV}\) chacun.
2. Formation du méson rho
Données de départ :
- Masse du méson rho : \( m_{\rho} = 775{,}26\,\mathrm{MeV}/c^2 \)
Caculs :
1. Énergie disponible pour former le méson :
Après annihilation, on considère que l’énergie mise à contribution est l’énergie totale moins l’énergie de repos des quarks :
\[ E_{\text{dispo}} = E_{\text{total}} – 2m_u c^2 \] \[ E_{\text{dispo}} = 800 – 4{,}4 \] \[ E_{\text{dispo}} = 795{,}6\,\mathrm{MeV} \]
2. Comparaison avec la masse en repos du méson :
\[ E_{\text{dispo}} = 795{,}6\,\mathrm{MeV} \quad \text{et} \quad m_{\rho} = 775{,}26\,\mathrm{MeV} \]
La condition \(795{,}6\,\mathrm{MeV} > 775{,}26\,\mathrm{MeV}\) est satisfaite.
3. Excédent d’énergie (converti en énergie cinétique du méson) :
\[ \Delta E = E_{\text{dispo}} – m_{\rho} \] \[ \Delta E = 795{,}6 – 775{,}26 \] \[ \Delta E = 20{,}34\,\mathrm{MeV} \]
Ce surplus se traduit par l’énergie cinétique du méson rho après sa formation.
Conclusion (2) : L’énergie disponible après l’annihilation (795,6 MeV) est suffisante pour former le méson rho de masse 775,26 MeV, le surplus de \(20{,}34\,\mathrm{MeV}\) étant converti en énergie cinétique du méson.
3. Désintégration du méson rho en pions
Le méson rho se désintègre en une paire de pions, \( \pi^+ \) et \( \pi^- \). Deux approches peuvent être envisagées :
a) Dans le référentiel de repos du méson rho
Données de départ :
- \( m_{\rho} = 775{,}26\,\mathrm{MeV}/c^2 \)
- \( m_{\pi} = 139{,}57\,\mathrm{MeV}/c^2 \) pour chacun des pions
Étapes :
1. Énergie totale disponible en repos du méson :
La totalité de l’énergie du méson (son énergie de repos) est convertie en énergie totale (repos + cinétique) des deux pions :
\[ E_{\rho}^{*} = m_{\rho} = 775{,}26\,\mathrm{MeV} \]
2. Partage égal de l’énergie :
En supposant une désintégration isotrope, chaque pion reçoit :
\[ E_{\pi}^{*} = \frac{m_{\rho}}{2} \] \[ E_{\pi}^{*} = \frac{775{,}26}{2} \approx 387{,}63\,\mathrm{MeV} \]
3. Calcul de l’énergie cinétique de chaque pion :
L’énergie cinétique (dans ce référentiel) est :
\[ KE_{\pi}^{*} = E_{\pi}^{*} – m_{\pi} \] \[ = 387{,}63 – 139{,}57 \approx 248{,}06\,\mathrm{MeV} \]
Conclusion (3a) : Dans le référentiel de repos du méson, chaque pion possède une énergie cinétique d’environ \(248{,}06\,\mathrm{MeV}\).
b) Dans le référentiel du laboratoire (où le méson a une énergie cinétique de \(20{,}34\,\mathrm{MeV}\))
Ici, le méson rho est en mouvement (avec une énergie cinétique de \(20{,}34\,\mathrm{MeV}\)). On doit alors effectuer une transformation de Lorentz pour obtenir les énergies des pions dans le laboratoire.
1. Calcul du facteur de Lorentz pour le méson :
L’énergie totale du méson dans le lab est :
\[ E_{\rho} = m_{\rho} + KE_{\rho} \] \[ E_{\rho} = 775{,}26 + 20{,}34 \] \[ E_{\rho} = 795{,}6\,\mathrm{MeV} \]
Le facteur de Lorentz est donc :
\[ \gamma = \frac{E_{\rho}}{m_{\rho}} \] \[ \gamma \approx \frac{795{,}6}{775{,}26} \approx 1{,}0259 \]
La vitesse relative (en unités de \(c\)) est :
\[ \beta = \sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}} \] \[ \beta \approx \sqrt{1 – \frac{1}{(1{,}0259)^2}} \] \[ \beta \approx 0{,}221 \]
2. Transformation des énergies des pions :
Dans le référentiel du méson, chaque pion a :
- Énergie : \(E_{\pi}^{*} \approx 387{,}63\,\mathrm{MeV}\)
Impulsion :
\[ p^{*} = \sqrt{(E_{\pi}^{*})^2 – m_{\pi}^2} \] \[ p^{*} \approx \sqrt{387{,}63^2 – 139{,}57^2}\,\mathrm{MeV} \] \[ p^{*} \approx 361{,}80\,\mathrm{MeV}/c \]
Pour un pion émis dans la direction du mouvement du méson (angle \( \theta^* = 0 \)) :
\[ E_{\pi}^{\text{(avant)}} = \gamma \left(E_{\pi}^{*} + \beta\,p^{*}\right) \]
Substitution numérique :
\[ E_{\pi}^{\text{(avant)}} \approx 1{,}0259 \times \left(387{,}63 + 0{,}221 \times 361{,}80\right) \] \[ E_{\pi}^{\text{(avant)}} \approx 1{,}0259 \times (387{,}63 + 79{,}80) \] \[ E_{\pi}^{\text{(avant)}}\approx 1{,}0259 \times 467{,}43 \] \[ E_{\pi}^{\text{(avant)}} \approx 479{,}14\,\mathrm{MeV} \]
Son énergie cinétique dans le lab sera :
\[ KE_{\pi}^{\text{(avant)}} = 479{,}14 – 139{,}57 \] \[ KE_{\pi}^{\text{(avant)}} \approx 339{,}57\,\mathrm{MeV} \]
Pour le pion émis en sens opposé (angle \( \theta^* = \pi \)) :
\[ E_{\pi}^{\text{(arrière)}} = \gamma \left(E_{\pi}^{*} – \beta\,p^{*}\right) \] \[ E_{\pi}^{\text{(arrière)}} \approx 1{,}0259 \times \left(387{,}63 – 79{,}80\right) \] \[ E_{\pi}^{\text{(arrière)}} \approx 1{,}0259 \times 307{,}83 \] \[ E_{\pi}^{\text{(arrière)}} \approx 315{,}53\,\mathrm{MeV} \]
\[ KE_{\pi}^{\text{(arrière)}} = 315{,}53 – 139{,}57 \] \[ KE_{\pi}^{\text{(arrière)}} \approx 175{,}96\,\mathrm{MeV} \]
Conclusion (3b) : Dans le référentiel du laboratoire, la transformation de Lorentz induit une asymétrie :
- Le pion émis dans le sens du mouvement du méson possède une énergie cinétique d’environ \(339{,}6\,\mathrm{MeV}\).
- Le pion émis en sens opposé possède une énergie cinétique d’environ \(176{,}0\,\mathrm{MeV}\).
4. Vérification des lois de conservation
Conservation de l’énergie :
- Avant annihilation :
\[ E_{\text{total}} = 4{,}4\,\mathrm{MeV}\ (\text{repos des quarks}) + 795{,}6\,\mathrm{MeV}\ (\text{KE}) \] \[ E_{\text{total}} = 800\,\mathrm{MeV} \]
- Après l’annihilation (formation du méson) :
Le méson rho se forme avec une masse de \(775{,}26\,\mathrm{MeV}/c^2\) et reçoit l’excédent d’énergie sous forme cinétique :
\[ KE_{\rho} = 20{,}34\,\mathrm{MeV} \quad \text{(car } 795{,}6 – 775{,}26 = 20{,}34\text{)} \]
La somme donne bien \(775{,}26 + 20{,}34 = 795{,}6\,\mathrm{MeV}\) (les 4,4 MeV de repos des quarks ayant été consommées dans le processus d’annihilation).
- Après désintégration en pions :
Dans le référentiel du méson, la somme des énergies des deux pions est :
\[ 2 \times 387{,}63 = 775{,}26\,\mathrm{MeV} \]
Dans le référentiel du laboratoire, la somme des énergies (repos + KE) des deux pions redonne l’énergie totale du système (après prise en compte de la transformation de Lorentz). La conservation de l’énergie est ainsi respectée à chaque étape.
Conservation de l’impulsion :
- Dans le référentiel du centre de masse (CM) des quarks initiaux, la somme des impulsions est nulle (les quarks ayant des impulsions égales et opposées).
- Lors de l’annihilation, le méson rho hérite de l’impulsion totale nulle ou de très faible valeur (si on tient compte du surplus d’énergie sous forme cinétique, il se déplace avec une impulsion qui correspond exactement à \( KE_{\rho} \) et au facteur de Lorentz calculé).
- Dans la désintégration isotrope du méson, les deux pions sont émis en directions opposées avec des impulsions de même module (dans le référentiel du méson) ce qui garantit que la somme vectorielle de leurs impulsions est nulle.
- En passant d’un référentiel à l’autre (via une transformation de Lorentz), la conservation de l’impulsion reste vérifiée.
Conclusion (4) : Les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion sont respectées :
- L’énergie totale initiale de \(800\,\mathrm{MeV}\) se retrouve, une fois décomposée en énergies de repos et énergies cinétiques, dans le système final (méson puis pions).
- La somme vectorielle des impulsions est nulle dans le référentiel CM et reste conservée lors de la transformation vers le référentiel du laboratoire.
Interaction Quark-Antiquark
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