Étude des Aberrations Chromatiques

Optique : Étude des Aberrations Chromatiques d'une Lentille Simple

Étude des Aberrations Chromatiques d'une Lentille Simple

Contexte : Pourquoi les Images ont-elles des Franges Colorées ?

Dans un monde idéal, une lentille simple ferait converger toutes les couleurs de la lumière en un seul et même point. En réalité, l'indice de réfraction du verre (et de la plupart des matériaux transparents) dépend de la longueur d'onde de la lumière. Ce phénomène, appelé dispersionPhénomène physique dans lequel la vitesse de propagation d'une onde dépend de sa fréquence (ou longueur d'onde). Pour la lumière, cela se traduit par la séparation des couleurs par un prisme., fait que la lentille ne possède pas une distance focale unique, mais une distance focale légèrement différente pour chaque couleur. Le bleu, plus dévié que le rouge, focalise plus près de la lentille. Cette "défaillance" est l'une des plus importantes aberrations optiques : l'aberration chromatiqueDéfaut optique d'une lentille qui produit des images avec des franges colorées, car la lentille ne focalise pas toutes les couleurs au même point., visible sous forme de franges colorées sur les bords des images.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il relie une propriété du matériau (la dispersion, décrite par la loi de Cauchy) à une propriété de la lentille (la distance focale, via la formule des lunetiers), pour enfin quantifier un défaut de performance du système (l'aberration chromatique). C'est un exemple parfait de la chaîne de causalité en physique appliquée.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le phénomène de dispersion dans un matériau.
Utiliser une loi de dispersion (Cauchy) pour calculer des indices de réfraction.
Appliquer la formule des lunetiers pour une lentille mince.
Calculer la variation de la distance focale en fonction de la longueur d'onde.
Définir et quantifier l'aberration chromatique axiale.

Données de l'étude

On étudie une lentille mince biconvexe, symétrique, fabriquée en verre de type "Crown". L'indice de réfraction $n$ du verre suit la loi de dispersion de Cauchy (simplifiée) : $n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2}$.

Schéma de la Lentille et de l'Aberration

Données :

Rayons de courbure : $R_1 = -R_2 = 20 \, \text{cm}$
Constantes de Cauchy pour le verre Crown : $A = 1.5046$, $B = 4200 \, \text{nm}^2$
Longueur d'onde pour le bleu (raie F) : $\lambda_b = 486.1 \, \text{nm}$
Longueur d'onde pour le rouge (raie C) : $\lambda_r = 656.3 \, \text{nm}$

Questions à traiter

Calculer les indices de réfraction du verre pour la lumière bleue ($n_b$) et la lumière rouge ($n_r$).
Calculer les distances focales de la lentille pour le bleu ($f'_b$) et pour le rouge ($f'_r$).
En déduire l'aberration chromatique axiale (ou longitudinale) $\Delta f' = f'_r - f'_b$.

Correction : Étude des Aberrations Chromatiques

Question 1 : Indices de Réfraction $n_b$ et $n_r$

Principe :

La dispersion est le phénomène par lequel l'indice de réfraction $n$ d'un matériau dépend de la longueur d'onde $\lambda$ de la lumière. La loi de Cauchy est une relation empirique qui modélise bien ce comportement pour de nombreux verres dans le domaine visible. On l'applique directement pour trouver l'indice pour chaque couleur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ montre que lorsque la longueur d'onde $\lambda$ diminue (on va du rouge vers le bleu), le terme $B/\lambda^2$ augmente, et donc l'indice de réfraction $n$ augmente. Un indice plus élevé signifie une déviation plus forte. C'est pourquoi le bleu est plus dévié que le rouge par un prisme ou une lentille.

Formule(s) utilisée(s) :

n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2}

Donnée(s) :

$A = 1.5046$, $B = 4200 \, \text{nm}^2$
$\lambda_b = 486.1 \, \text{nm}$
$\lambda_r = 656.3 \, \text{nm}$

Calcul(s) :

\begin{aligned} n_b &= 1.5046 + \frac{4200}{(486.1)^2} \\ &= 1.5046 + 0.01777 \\ &\approx 1.5224 \end{aligned}

\begin{aligned} n_r &= 1.5046 + \frac{4200}{(656.3)^2} \\ &= 1.5046 + 0.00975 \\ &\approx 1.5144 \end{aligned}

Points de vigilance :

Unités de B et $\lambda$ : La constante B est donnée en $\text{nm}^2$. Il est impératif d'utiliser la longueur d'onde $\lambda$ en nanomètres (nm) dans la formule pour que les unités s'annulent correctement. Convertir $\lambda$ en mètres sans convertir B est une erreur fréquente.

Le saviez-vous ?

Résultat : Les indices sont $n_b \approx 1.5224$ et $n_r \approx 1.5144$.

Question 2 : Distances Focales $f'_b$ et $f'_r$

Principe :

La formule des lunetiers (ou du fabricant de lentilles) relie la distance focale d'une lentille à son indice de réfraction et aux rayons de courbure de ses faces. Puisque l'indice de réfraction $n$ dépend de la couleur ($\lambda$), la distance focale $f'$ en dépendra aussi. Nous appliquons donc cette formule deux fois, une pour chaque indice calculé précédemment.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici que l'on voit directement l'origine de l'aberration. La distance focale est la "puissance" de la lentille. Comme $n_b > n_r$, la lentille est "plus puissante" pour le bleu que pour le rouge, et donc sa distance focale sera plus courte.

Formule(s) utilisée(s) :

\frac{1}{f'} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)

Donnée(s) :

$n_b \approx 1.5224$, $n_r \approx 1.5144$
$R_1 = 20 \, \text{cm}$, $R_2 = -20 \, \text{cm}$

Calcul(s) :

D'abord, calculons le terme géométrique : $\left(\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}\right) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \, \text{cm}^{-1}$.

\begin{aligned} \frac{1}{f'_b} &= (1.5224 - 1) \times \frac{1}{10} \\ &= 0.05224 \, \text{cm}^{-1} \\ \Rightarrow f'_b &= \frac{1}{0.05224} \approx 19.14 \, \text{cm} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{1}{f'_r} &= (1.5144 - 1) \times \frac{1}{10} \\ &= 0.05144 \, \text{cm}^{-1} \\ \Rightarrow f'_r &= \frac{1}{0.05144} \approx 19.44 \, \text{cm} \end{aligned}

Points de vigilance :

Convention de signe pour les rayons : La convention la plus courante est que le rayon de courbure est positif si le centre de courbure est après la face (dans le sens de la lumière), et négatif s'il est avant. Pour une lentille biconvexe, $R_1 > 0$ et $R_2 < 0$.

Le saviez-vous ?

Résultat : Les distances focales sont $f'_b \approx 19.14 \, \text{cm}$ et $f'_r \approx 19.44 \, \text{cm}$.

Question 3 : Aberration Chromatique Axiale ($\Delta f'$)

Principe :

L'aberration chromatique axiale (ou longitudinale) est la mesure quantitative de la séparation des foyers le long de l'axe optique. Elle est simplement définie comme la différence entre les distances focales pour les couleurs extrêmes considérées (ici, le rouge et le bleu).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette valeur $\Delta f'$ représente la "longueur de la tache de flou" sur l'axe. Si on place un capteur au foyer bleu, le rouge formera un petit disque flou autour, et vice-versa. Il n'y a aucune position où toutes les couleurs sont parfaitement nettes simultanément.

Formule(s) utilisée(s) :

\Delta f' = f'_r - f'_b

Donnée(s) :

$f'_b \approx 19.14 \, \text{cm}$ (de Q2)
$f'_r \approx 19.44 \, \text{cm}$ (de Q2)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \Delta f' &= 19.44 \, \text{cm} - 19.14 \, \text{cm} \\ &= 0.30 \, \text{cm} \\ &= 3 \, \text{mm} \end{aligned}

Points de vigilance :

Signification du signe : Pour une lentille convergente, $\Delta f' = f'_r - f'_b$ est toujours positif, car le rouge focalise plus loin que le bleu. Pour une lentille divergente, ce serait l'inverse ($\Delta f' < 0$).

Le saviez-vous ?

Résultat : L'aberration chromatique axiale de la lentille est $\Delta f' = 3 \, \text{mm}$.

Simulation de l'Aberration Chromatique

Faites varier les paramètres de la lentille (courbure et type de verre) pour voir comment l'aberration chromatique est affectée.

Paramètres de la Lentille

Rayon de Courbure (R1) : 20.0 cm

Type de Verre (Dispersion)

Résultats Calculés

Focale Bleue ($f'_b$)

Focale Rouge ($f'_r$)

Aberration ($\Delta f'$)

Pour Aller Plus Loin : Le Doublet Achromatique

Comment corriger le défaut ? Pour annuler l'aberration chromatique, on utilise un doublet achromatiqueSystème optique composé de deux lentilles (généralement une convergente en verre Crown et une divergente en verre Flint) accolées, conçu pour corriger l'aberration chromatique axiale pour deux longueurs d'onde.. Il est composé d'une lentille convergente en verre peu dispersif (comme le Crown) accolée à une lentille divergente en verre très dispersif (comme le Flint). En choisissant judicieusement les courbures, on peut faire en sorte que la dispersion de la lentille divergente compense exactement celle de la lentille convergente. Le système a alors la même distance focale pour le rouge et le bleu, éliminant l'aberration chromatique axiale.

Le Saviez-Vous ?

Isaac Newton pensait qu'il était impossible de corriger l'aberration chromatique des lentilles. Cette conviction l'a poussé à inventer le télescope à miroir (le télescope de Newton), car les miroirs réfléchissent toutes les couleurs de la même manière et ne souffrent donc pas de ce défaut. Ce n'est que plus tard que Chester Moore Hall a inventé le doublet achromatique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Existe-t-il d'autres types d'aberrations chromatiques ?

Oui. L'aberration chromatique axiale (ou longitudinale) que nous avons étudiée concerne la position des foyers sur l'axe. Il existe aussi l'aberration chromatique latérale (ou de grandissement), qui fait que le grandissement de la lentille est différent pour chaque couleur. Une image formée hors de l'axe aura donc des franges colorées, même si elle est nette au centre.

Comment définit-on la distance focale d'une lentille qui a ce défaut ?

Par convention, la distance focale "nominale" d'une lentille est généralement spécifiée pour une longueur d'onde de référence au milieu du spectre visible, souvent la raie d de l'hélium (jaune, 587.6 nm).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour une lentille convergente simple, quelle couleur a la distance focale la plus courte ?

Le rouge.
Le bleu.
Toutes les couleurs ont la même.

2. Un matériau avec une forte dispersion (constante B de Cauchy élevée) produira une aberration chromatique :

Plus importante.
Plus faible.
Identique.

Glossaire

Aberration Chromatique: Défaut optique d'une lentille qui l'empêche de focaliser toutes les couleurs au même point, créant des franges colorées.
Dispersion: Phénomène par lequel l'indice de réfraction d'un milieu dépend de la longueur d'onde de la lumière.
Formule des Lunetiers: Relation qui lie la distance focale d'une lentille à son indice de réfraction et aux rayons de courbure de ses faces.
Loi de Cauchy: Relation empirique qui décrit comment l'indice de réfraction d'un matériau varie en fonction de la longueur d'onde.

D’autres exercices d’Optique et photonique :

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la Lentille et de l'Aberration

Questions à traiter

Correction : Étude des Aberrations Chromatiques

Question 1 : Indices de Réfraction \(n_b\) et \(n_r\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Distances Focales \(f'_b\) et \(f'_r\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Aberration Chromatique Axiale (\(\Delta f'\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation de l'Aberration Chromatique

Paramètres de la Lentille

Résultats Calculés

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