Analyse de l'Agrandissement d'une Image

Contexte : La Lentille mince convergenteUn composant optique qui fait converger les rayons lumineux parallèles en un point focal. Sa distance focale est positive..

Nous allons étudier un système optique simple, similaire à celui d'un appareil photo ou d'un projecteur. Un objet lumineux est placé devant une lentille mince convergente de distance focale connue. L'objectif est de déterminer par le calcul la position, la taille et la nature de l'image formée par cette lentille.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la relation de conjugaison (formule de Descartes) et la formule du grandissement pour caractériser une image optique, en utilisant la convention des signes algébriques.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la position d'une image (\(q\)) formée par une lentille.
Déterminer le grandissement transversal (\(\gamma\)).
Qualifier la nature de l'image (réelle ou virtuelle, droite ou inversée, agrandie ou réduite).
Comprendre l'influence de la position de l'objet par rapport au foyer.

Données de l'étude

On considère une lentille mince convergente (L) de centre optique O et de distance focale image \(f' = +20 \text{ cm}\). Un objet réel AB de hauteur \(\overline{AB} = 5 \text{ cm}\) est placé perpendiculairement à l'axe optique.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de lentille	Convergente
Distance focale image (\(f'\))	+20 cm
Hauteur de l'objet (\(\overline{AB}\))	+5 cm (objet droit)
Position initiale de l'objet (\(p\))	30 cm avant la lentille

Modélisation du système optique

Paramètre (Notation Algébrique)	Description	Valeur	Unité
\(f' = \overline{OF'}\)	Distance focale image	+20	cm
\(p = \overline{OA}\)	Position de l'objet (A)	-30	cm
\(\overline{AB}\)	Hauteur de l'objet	+5	cm

Questions à traiter

Calculer la position de l'image \(q = \overline{OA'}\) formée par la lentille.
En déduire la nature de l'image (réelle ou virtuelle).
Calculer le grandissement transversal \(\gamma\).
Déterminer la hauteur de l'image \(\overline{A'B'}\) et son sens (droite ou inversée).
Si l'objet est rapproché à 15 cm de la lentille (\(p = -15 \text{ cm}\)), que deviennent la position et la nature de l'image ?

Les bases de l'Optique Géométrique (Lentilles Minces)

Pour résoudre cet exercice, nous utilisons les conventions et formules des lentilles minces dans l'approximation de Gauss. L'axe optique est orienté positivement de gauche à droite.

1. Relation de Conjugaison (Formule de Descartes)
Elle lie la position de l'objet \(p = \overline{OA}\), la position de l'image \(q = \overline{OA'}\) et la distance focale image \(f' = \overline{OF'}\). \[ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF'}} \quad \text{ou} \quad \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'} \]

2. Grandissement Transversal (\(\gamma\))
Il compare la taille et le sens de l'image (\(\overline{A'B'}\)) à celle de l'objet (\(\overline{AB}\)). \[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \quad \text{ou} \quad \gamma = \frac{q}{p} \]

Correction : Analyse de l'Agrandissement d'une Image

Question 1 : Calculer la position de l'image \(q = \overline{OA'}\)

Principe

Pour trouver la position de l'image \(q\), nous devons utiliser la relation de conjugaison, qui est l'outil principal liant la position de l'objet, de l'image et la focale.

Mini-Cours

La formule de Descartes \(\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}\) est au cœur du problème. Notre inconnue est \(q\). Nous allons donc réarranger la formule pour isoler \(1/q\), puis inverser le résultat pour trouver \(q\).

Remarque Pédagogique

L'étape la plus importante est la correcte application des signes. En convention algébrique, l'axe est orienté vers la droite. L'objet AB est réel, placé 30 cm *avant* le centre optique O. Par conséquent, sa position algébrique est négative : \(p = \overline{OA} = -30 \text{ cm}\).

Normes

Nous utilisons la convention AFNOR/ISO pour l'optique : l'axe optique est orienté positivement dans le sens de propagation de la lumière (gauche à droite). Les positions sont mesurées algébriquement depuis le centre optique O.

Formule(s)

Nous avons besoin de la formule de conjugaison, que nous réécrivons pour isoler notre inconnue \(q\).

Relation de Conjugaison

\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}

Formule réarrangée pour trouver \(q\)

\frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}

Hypothèses

Nous supposons que la lentille est "mince" (son épaisseur est négligeable) et que nous sommes dans les "conditions de Gauss" (les rayons sont paraxiaux, c'est-à-dire peu inclinés et proches de l'axe).

Lentille mince.
Rayons paraxiaux (approximation de Gauss).

Donnée(s)

Nous reprenons les données de l'énoncé en nous assurant de leurs signes algébriques.

Paramètre (Notation Algébrique)	Description	Valeur	Unité
Distance focale imagePosition du point F' où convergent les rayons venant de l'infini. Positive pour une lentille convergente.	\(f' = \overline{OF'}\)	+20	cm
Position objetPosition de l'objet (point A) par rapport au centre optique O. Négative car l'objet est réel (placé avant O).	\(p = \overline{OA}\)	-30	cm

Astuces

L'objet est placé au-delà du foyer objet F (qui est à -20 cm). Pour une lentille convergente, on s'attend donc logiquement à former une image réelle (donc \(q > 0\)) et inversée.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre la configuration : objet réel (\(p < 0\)) et lentille convergente (\(f' > 0\)), avec l'objet plus éloigné que le foyer objet.

Configuration initiale

Calcul(s)

Nous appliquons la formule en remplaçant les valeurs algébriques. L'unité commune est le cm, il n'y a pas de conversion à faire.

Étape 1 : Poser l'équation pour \(1/q\)

On part de la relation de conjugaison \(\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}\) et on isole l'inconnue \(\frac{1}{q}\) en faisant passer \(\frac{1}{p}\) de l'autre côté :

\frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}

Étape 2 : Remplacer les valeurs (en cm)

On remplace \(p\) par \(-30 \text{ cm}\) et \(f'\) par \(+20 \text{ cm}\) :

\frac{1}{q} = \frac{1}{-30} + \frac{1}{+20}

Étape 3 : Mettre au même dénominateur

Pour additionner les fractions \(\frac{1}{-30}\) et \(\frac{1}{20}\), on cherche un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de 30 et 20 est 60.
Pour passer de -30 à 60, on multiplie par -2. On a donc :

\[ \frac{1}{-30} = \frac{-1}{30} \] \[ = \frac{-1 \times 2}{30 \times 2} = \frac{-2}{60}\].

Pour passer de 20 à 60, on multiplie par 3. On a donc :

\[ \frac{1}{20} \] \[ = \frac{1 \times 3}{20 \times 3} = \frac{3}{60} \].

\frac{1}{q} = \frac{-2}{60} + \frac{3}{60} \]\[ = \frac{-2 + 3}{60} = \frac{1}{60}

Étape 4 : Inverser pour trouver \(q\)

Maintenant que nous avons \(\frac{1}{q} = \frac{1}{60}\), nous prenons l'inverse des deux côtés pour trouver \(q\) :

q = \frac{60}{1} = +60 \text{ cm}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(q = +60 \text{ cm}\) confirme que l'image se forme à droite, après le foyer image F'.

Tracé de rayons (Résultat)

Réflexions

Le résultat \(q = +60 \text{ cm}\) est une valeur positive. Physiquement, cela signifie que l'image se forme à 60 cm *après* le centre optique O, dans ce qu'on appelle "l'espace image". C'est cohérent avec notre intuition d'une lentille convergente formant une image à partir d'un objet réel.

Points de vigilance

Le piège N°1 est l'oubli du signe négatif pour la position de l'objet réel. Si vous aviez utilisé \(p = +30\), le calcul aurait donné \(1/q = 1/30 + 1/20 = 5/60 \Rightarrow q = +12 \text{ cm}\), ce qui est incorrect. Toujours vérifier les signes avant de calculer !

Points à retenir

Pour une lentille mince, la formule de conjugaison est la clé.

Objet réel \(\Rightarrow p < 0\)
Lentille convergente \(\Rightarrow f' > 0\)
Lentille divergente \(\Rightarrow f' < 0\)

Le saviez-vous ?

Cette formule (et celle du grandissement) est la base de la conception de tous les instruments d'optique : lunettes de vue, microscopes, télescopes, objectifs d'appareil photo. En ajustant \(p\) ou \(f'\), on contrôle la position et la taille de l'image.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La position de l'image est \(q = \overline{OA'} = +60 \text{ cm}\).

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Recalculez la position de l'image \(q\) (en cm) si l'objet est placé à \(p = -40 \text{ cm}\) (toujours avec \(f' = +20 \text{ cm}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Objectif : Trouver \(q\).
Formule : \(\frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}\).
Application : \(\frac{1}{q} = \frac{1}{-30} + \frac{1}{20} = \frac{-2+3}{60} = \frac{1}{60}\).
Résultat : \(q = +60 \text{ cm}\).

Question 2 : En déduire la nature de l'image (réelle ou virtuelle)

Principe

La nature de l'image (réelle ou virtuelle) est directement déterminée par le signe de sa position algébrique \(q = \overline{OA'}\).

Mini-Cours

Par convention :

Si \(q > 0\), l'image se forme *après* la lentille (dans l'espace image). Les rayons lumineux s'y croisent *réellement*. L'image est dite Réelle. On peut la former sur un écran (ex: projecteur).
Si \(q < 0\), l'image se forme *avant* la lentille (dans l'espace objet). Les rayons semblent provenir de ce point, mais ne s'y croisent pas. L'image est dite Virtuelle. On ne peut pas la former sur un écran (ex: loupe).

Remarque Pédagogique

Le signe "+" de notre résultat \(q = +60 \text{ cm}\) n'est pas juste un nombre, il a une signification physique capitale. Il nous dit où et comment l'image existe.

Formule(s)

Critère de nature d'image

q > 0 \Rightarrow \text{Image Réelle} \\ q < 0 \Rightarrow \text{Image Virtuelle}

Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire, il s'agit d'une interprétation du résultat de Q1.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question précédente.

Paramètre (Notation Algébrique)	Description	Valeur	Unité
\(q = \overline{OA'}\)	Position de l'image (A')	+60	cm

Astuces

Un appareil photo forme une image sur un capteur (un écran). Il utilise donc nécessairement une image réelle. Notre montage (\(p = -30\), \(f' = +20\)) est celui d'un appareil photo simple.

Calcul(s)

Il s'agit d'un d'une analyse de signe basée sur le résultat de la Question 1.

q = +60 \text{ cm}

La valeur de \(q\) est positive (\(q > 0\)).
Par convention d'optique, l'axe est orienté de gauche à droite. L'espace à gauche de la lentille (O) est l'espace objet (\(p < 0\)), l'espace à droite est l'espace image (\(q > 0\)).
Un \(q\) positif signifie que l'image se forme *à droite* de la lentille. C'est là que les rayons lumineux convergent et se croisent *physiquement*. Une image formée par la convergence réelle des rayons est, par définition, une image réelle.

Schéma

Ce schéma illustre la différence fondamentale entre une image réelle, où les rayons convergent réellement, et une image virtuelle, où ils semblent diverger d'un point.

Concept : Image Réelle vs. Image Virtuelle

Réflexions

L'image est réelle. Cela signifie que si l'on place un écran de papier ou un capteur à 60 cm après la lentille, on verra une image nette de l'objet s'y former.

Points de vigilance

Ne pas confondre "réel" avec "droit" ou "agrandi". Une image réelle peut être agrandie, réduite ou inversée. Sa seule définition est \(q > 0\).

Points à retenir

\(q > 0 \Leftrightarrow\) Image Réelle (se forme sur un écran)
\(q < 0 \Leftrightarrow\) Image Virtuelle (se voit à travers la lentille)

Le saviez-vous ?

L'œil humain fonctionne sur ce principe ! Le cristallin (une lentille convergente) forme une image *réelle* et *inversée* sur la rétine (l'écran). C'est le cerveau qui "retourne" l'image pour que nous la percevions à l'endroit.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'image est Réelle.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Objectif : Nature de l'image.
Analyse : On regarde le signe de \(q\).
Résultat : \(q = +60 \text{ cm}\) est positif.
Conclusion : L'image est Réelle.

Question 3 : Calculer le grandissement transversal \(\gamma\)

Principe

Le principe est de quantifier le rapport de taille et d'orientation entre l'image et l'objet. On utilise pour cela la formule du grandissement, qui relie ce rapport aux positions \(p\) et \(q\).

Mini-Cours

Le grandissement transversal \(\gamma\) est défini comme le rapport de la position de l'image sur la position de l'objet. C'est un nombre sans unité qui décrit l'agrandissement et le sens de l'image. \(\gamma = q/p\). C'est une conséquence directe du théorème de Thalès appliqué aux rayons passant par le centre optique O.

Remarque Pédagogique

Encore une fois, les signes sont cruciaux. Il faut bien diviser \(q = +60 \text{ cm}\) par \(p = -30 \text{ cm}\). Le signe du résultat final est aussi important que sa valeur, car il indiquera le sens de l'image.

Normes

La définition \(\gamma = q/p\) est la convention standard en optique algébrique pour les systèmes centrés.

Formule(s)

Formule du Grandissement Transversal

\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{q}{p}

Hypothèses

On reste dans les conditions de Gauss, où le grandissement est le même pour tous les points de l'objet (l'image n'est pas déformée).

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et le résultat de Q1.

Paramètre (Notation Algébrique)	Description	Valeur	Unité
\(q = \overline{OA'}\)	Position de l'image (A')	+60	cm
\(p = \overline{OA}\)	Position de l'objet (A)	-30	cm

Astuces

Puisque \(q\) est positif et \(p\) est négatif, le résultat \(\gamma\) sera forcément négatif. Cela indique déjà que l'image sera inversée (renversée), ce qui correspond à l'intuition d'une image réelle formée par une lentille convergente.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre le théorème de Thalès avec le rayon passant par le centre optique O. Les deux triangles (formés par l'objet AB et l'axe, et par l'image A'B' et l'axe) sont semblables. C'est de là que vient la formule \(\gamma = \overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}\).

Illustration (Théorème de Thalès)

Calcul(s)

Nous utilisons la formule du grandissement en substituant les valeurs algébriques de \(q\) (calculée en Q1) et \(p\) (donnée).

Étape 1 : Poser la formule

\gamma = \frac{q}{p}

Étape 2 : Remplacer les valeurs

On insère \(q = +60 \text{ cm}\) et \(p = -30 \text{ cm}\). Les unités (cm) vont s'annuler, laissant un nombre sans dimension.

\gamma = \frac{+60 \text{ cm}}{-30 \text{ cm}} \] \[ \gamma = - \left( \frac{60}{30} \right) \] \[ \gamma = -2

Le résultat est un nombre pur, \(\gamma = -2\).

Schéma (Après les calculs)

Le calcul \(\gamma = -2\) est un nombre pur. Ce schéma illustre ce que signifient différentes valeurs de \(\gamma\).

Visualisation du Grandissement (\(\gamma\))

Réflexions

Le grandissement est \(\gamma = -2\). C'est un nombre sans unité. L'analyse de ce nombre (signe et valeur) fait l'objet de la question suivante.

Points de vigilance

Ne pas inverser la formule (\(p/q\)) ! C'est une erreur fréquente. C'est toujours (Image / Objet).

Points à retenir

La formule du grandissement est \(\gamma = q/p\).
Le grandissement n'a pas d'unité.

Le saviez-vous ?

Dans un projecteur de cinéma, on veut une image très grande (\(|\gamma| \gg 1\)) et réelle (projetée sur l'écran). L'image sur la pellicule est donc placée juste un peu au-delà du foyer F (très proche de F) et... à l'envers ! Puisque \(\gamma\) est négatif, l'image projetée est inversée par rapport à la pellicule.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le grandissement transversal est \(\gamma = -2\).

A vous de jouer

En utilisant vos résultats de "A vous de jouer" de Q1 (\(p = -40 \text{ cm}\) et \(q = +40 \text{ cm}\)), calculez le nouveau grandissement \(\gamma\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Objectif : Trouver \(\gamma\).
Formule : \(\gamma = q/p\).
Application : \(\gamma = \frac{+60}{-30}\).
Résultat : \(\gamma = -2\).

Question 4 : Déterminer la hauteur de l'image \(\overline{A'B'}\) et son sens

Principe

Le grandissement \(\gamma\) que nous venons de calculer contient deux informations : son signe (\(-\)) et sa valeur absolue (\(2\)). Nous utilisons ces deux informations, ainsi que la formule de définition de \(\gamma\), pour trouver la taille et le sens de l'image.

Mini-Cours

Interprétation de \(\gamma = -2\) :

Signe (\(-\)) : Le signe est négatif (\(\gamma < 0\)). Cela signifie que l'image est inversée (ou "renversée") par rapport à l'objet.
Valeur absolue (\(2\)) : La valeur absolue est \(|\gamma| = 2\). Comme \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie. Elle est 2 fois plus grande que l'objet.

Pour trouver la hauteur exacte, on utilise \(\gamma = \overline{A'B'} / \overline{AB}\).

Remarque Pédagogique

On peut analyser \(\gamma\) en deux temps : d'abord le signe (sens), puis la valeur (taille). C'est une méthode robuste pour ne rien oublier. L'objet \(\overline{AB} = +5 \text{ cm}\) est "droit" (vers le haut).

Normes

Par convention, une hauteur \(\overline{A'B'}\) négative signifie que l'image est sous l'axe optique (inversée).

Formule(s)

Interprétation du grandissement

\gamma < 0 \Rightarrow \text{Image Inversée} \\ |\gamma| > 1 \Rightarrow \text{Image Agrandie}

Calcul de la hauteur d'image

\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}

Hypothèses

On utilise les résultats précédents.

Donnée(s)

On utilise la hauteur de l'objet et le \(\gamma\) calculé.

Paramètre (Notation Algébrique)	Description	Valeur	Unité
\(\gamma\)	Grandissement (calculé)	-2	(sans unité)
\(\overline{AB}\)	Hauteur objet (donnée)	+5	cm

Astuces

On peut trouver la conclusion en français d'abord, puis la vérifier par le calcul. \(\gamma = -2\) \(\Rightarrow\) "inversée" et "agrandie 2 fois". Objet = 5 cm. Donc Image = 10 cm, et inversée. Résultat attendu : -10 cm.

Schéma (Avant les calculs)

Nous partons des données : un objet \(\overline{AB}\) "droit" (positif) de 5 cm de hauteur, et un facteur d'échelle \(\gamma = -2\).

Données : Objet et Grandissement

Calcul(s)

Nous allons analyser le grandissement \(\gamma = -2\) en deux parties (son signe et sa valeur absolue), puis l'utiliser pour calculer la hauteur finale de l'image.

Étape 1 : Analyse du signe et de la valeur de \(\gamma\)

Le grandissement \(\gamma = -2\) nous donne deux informations :
1. Le signe est négatif (\(-\)) : \(\gamma < 0\). Cela signifie que l'image est inversée par rapport à l'objet. L'objet étant droit (vers le haut), l'image sera "tête en bas".
2. La valeur absolue est 2 : \(|\gamma| = 2\). Puisque \(|\gamma| > 1\), l'image est agrandie. Elle est 2 fois plus grande que l'objet.

\gamma = -2 \rightarrow \begin{cases} \text{Signe } (-) & \Rightarrow \text{Image Inversée} \\ |\gamma| = 2 > 1 & \Rightarrow \text{Image Agrandie} \end{cases}

Étape 2 : Calcul de la hauteur algébrique \(\overline{A'B'}\)

On utilise la définition complète du grandissement : \(\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}\). On isole \(\overline{A'B'}\) :

\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}

On remplace avec les valeurs connues : \(\gamma = -2\) (calculé en Q3) et \(\overline{AB} = +5 \text{ cm}\) (donnée, positif car l'objet est droit).

\overline{A'B'} = (-2) \times (+5 \text{ cm}) = -10 \text{ cm}

Le résultat \(-10 \text{ cm}\) confirme nos deux analyses : le signe \(-\) signifie "inversée" (sous l'axe) et la taille est de 10 cm (2 fois 5 cm).

Schéma (Après les calculs)

Le calcul \(\overline{A'B'} = -10 \text{ cm}\) donne l'image A'B' : une flèche partant de l'axe vers le bas, d'une longueur de 10 cm.

Résultat : Image A'B'

Réflexions

Nous avons maintenant une description complète de l'image : elle est **réelle**, **inversée**, et **agrandie** 2 fois, avec une hauteur de -10 cm. Elle est située à +60 cm de la lentille.

Points de vigilance

Ne pas oublier le signe de \(\overline{AB}\). L'objet est "droit", donc \(\overline{AB} = +5 \text{ cm}\). Si l'objet avait été "tête en bas" (inversé), on aurait eu \(\overline{AB} = -5 \text{ cm}\), et l'image aurait été \(\overline{A'B'} = (-2) \times (-5) = +10 \text{ cm}\) (droite !).

Points à retenir

Signe de \(\gamma\) : \(+ \Rightarrow\) droite, \(- \Rightarrow\) inversée.
Valeur de \(|\gamma|\) : \(> 1 \Rightarrow\) agrandie, \(< 1 \Rightarrow\) réduite.
\(\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB}\).

Le saviez-vous ?

La "diapositive" dans un projecteur est insérée à l'envers et tête en bas. L'objectif (lentille convergente) produit une image réelle et inversée (\(\gamma < 0\)) sur l'écran. En inversant la diapositive, l'image sur l'écran apparaît droite !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'image est Inversée et Agrandie. Sa hauteur est \(\overline{A'B'} = -10 \text{ cm}\).

A vous de jouer

Pour le cas \(\gamma = -1\) (de Q3-jouer) et un objet \(\overline{AB} = +5 \text{ cm}\), que vaut la hauteur de l'image \(\overline{A'B'}\) (en cm) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Objectif : Taille et sens de l'image.
Analyse : \(\gamma = -2\). Signe \((-)\) \(\Rightarrow\) Inversée. \(|\gamma|=2 > 1\) \(\Rightarrow\) Agrandie.
Calcul : \(\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -2 \times (+5 \text{ cm})\).
Résultat : \(\overline{A'B'} = -10 \text{ cm}\).

Question 5 : Si \(p = -15 \text{ cm}\), nouvelle position et nature ?

Principe

Nous devons refaire les calculs des questions 1 et 2 avec cette nouvelle position d'objet. La méthode est identique, seules les données d'entrée changent.

Mini-Cours

L'objet est maintenant placé à \(p = -15 \text{ cm}\). La distance focale objet est \(F\), à \(p = -f' = -20 \text{ cm}\). L'objet est donc maintenant situé *entre* le foyer objet F et le centre optique O. C'est la configuration typique de la loupe.

Remarque Pédagogique

Puisque l'objet est dans la "zone de la loupe" (\(|p| < f'\)), on s'attend à un résultat très différent : une image virtuelle (\(q < 0\)), droite (\(\gamma > 0\)) et agrandie (\(|\gamma| > 1\)). Vérifions-le.

Normes

Les formules de Descartes et du grandissement sont toujours valables.

Formule(s)

Relation de Conjugaison

\frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}

Hypothèses

Lentille mince, conditions de Gauss.

Donnée(s)

Les nouvelles données pour cette question.

Paramètre (Notation Algébrique)	Description	Valeur	Unité
\(f' = \overline{OF'}\)	Focale de la lentille	+20	cm
\(p = \overline{OA}\)	Nouvelle position de A	-15	cm

Astuces

Attention au calcul avec les fractions : \(1/(-15)\) est plus grand (en valeur absolue) que \(1/(+20)\). Le résultat de \(1/q\) sera donc négatif, ce qui implique \(q < 0\).

Schéma (Avant les calculs)

On imagine l'objet (AB) placé à -15 cm, donc à l'intérieur du foyer F (qui est à -20 cm). C'est la configuration "loupe".

Configuration "Loupe" (Avant calcul)

Calcul(s)

Nous répétons le même processus que pour la Question 1, mais avec la nouvelle valeur de \(p = -15 \text{ cm}\).

Étape 1 : Calcul de la position \(q\)

On repart de la formule de conjugaison réarrangée :

\frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f'}

On remplace \(p = -15 \text{ cm}\) and \(f' = +20 \text{ cm}\) :

\frac{1}{q} = \frac{1}{-15} + \frac{1}{+20}

Étape 2 : Dénominateur commun (60)

Le plus petit multiple commun de 15 et 20 est 60.
Pour passer de -15 à 60, on multiplie par -4. On a donc :

\[\frac{1}{-15} = \frac{-1}{15} \] \[ = \frac{-1 \times 4}{15 \times 4} = \frac{-4}{60}\].

Pour passer de 20 à 60, on multiplie par 3. On a donc :

\[ \frac{1}{20} = \frac{1 \times 3}{20 \times 3} = \frac{3}{60}\].

\frac{1}{q} = \frac{-4}{60} + \frac{3}{60} \] \[ = \frac{-4 + 3}{60} = \frac{-1}{60}

Étape 3 : Inverser pour trouver \(q\)

Nous avons \(\frac{1}{q} = \frac{-1}{60}\). En inversant les deux côtés, on obtient :

q = \frac{60}{-1} = -60 \text{ cm}

Étape 4 : Analyse de la nature

La position de l'image \(q = -60 \text{ cm}\) est négative (\(q < 0\)).
Cela signifie que l'image se forme *à gauche* de la lentille, dans l'espace objet. Les rayons ne s'y croisent pas réellement, ils *semblent* en provenir. Par définition, c'est une image virtuelle.

q = -60 \text{ cm} \text{ est négatif } (q < 0) \Rightarrow \text{Image Virtuelle}

Schéma (Après les calculs)

Les rayons issus de A, après avoir traversé la lentille, divergent. Leurs prolongements (en pointillés) se croisent à A' (q = -60 cm) pour former une image virtuelle, droite et agrandie.

Résultat : Tracé des rayons (Loupe)

Réflexions

Comme attendu, le résultat est radicalement différent. L'image se forme à 60 cm *avant* la lentille (du même côté que l'objet). Elle n'est pas projetable sur un écran. Pour la voir, il faut placer son œil à droite de la lentille et regarder à travers : on verra l'objet, comme s'il était à -60 cm, agrandi.

Points de vigilance

Le changement de signe de \(q\) est l'élément clé. Le passage de l'objet à travers le point focal F (\(p = -20 \text{ cm}\)) change complètement le comportement du système, passant d'un formateur d'image réelle (type appareil photo) à un formateur d'image virtuelle (type loupe).

Points à retenir

Si \(|p| > f'\) (objet au-delà de F), l'image est réelle (\(q > 0\)).
Si \(|p| < f'\) (objet entre F et O), l'image est virtuelle (\(q < 0\)).

Le saviez-vous ?

Que se passe-t-il si \(p = -f' = -20 \text{ cm}\) ? Le calcul donne \(\frac{1}{q} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{+20} = 0\). Cela implique \(q = 1/0 \rightarrow \infty\). L'image se forme... à l'infini ! Les rayons sortent de la lentille parfaitement parallèles. C'est le principe d'un projecteur de diapositives bien réglé ou d'un phare.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La nouvelle position de l'image est \(q = -60 \text{ cm}\). Puisque \(q < 0\), l'image est Virtuelle.

A vous de jouer

Pour ce nouveau cas (\(p = -15 \text{ cm}\) et \(q = -60 \text{ cm}\)), calculez le nouveau grandissement \(\gamma = q/p\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Objectif : Cas loupe (\(p = -15 \text{ cm}\)).
Calcul : \(\frac{1}{q} = \frac{1}{-15} + \frac{1}{20} = \frac{-4+3}{60} = \frac{-1}{60}\).
Résultat : \(q = -60 \text{ cm}\).
Conclusion : \(q < 0 \Rightarrow\) Image Virtuelle.

Outil Interactif : Simulateur de Lentille Mince

Explorez comment la position de l'image (\(q\)) et le grandissement (\(\gamma\)) changent en fonction de la position de l'objet (\(p\)) et de la distance focale (\(f'\)).

Paramètres d'Entrée

Distance focale \(f'\) (cm) 20 cm

Position objet \(p\) (cm) -30 cm

Résultats Clés

Position image \(q\) (cm) -

Grandissement \(\gamma\) -

Glossaire

Relation de Conjugaison: Formule mathématique (\(\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}\)) qui lie la position de l'objet (\(p\)), de l'image (\(q\)) et la focale (\(f'\)) d'une lentille mince.
Grandissement Transversal (\(\gamma\)): Rapport (\(\gamma = q/p\)) qui indique si une image est agrandie/réduite (\(|\gamma|\)) et droite/inversée (signe de \(\gamma\)).
Image Réelle: Image formée par la convergence réelle des rayons lumineux (\(q > 0\)). Elle peut être projetée sur un écran.
Image Virtuelle: Image qui ne peut être vue qu'à travers l'instrument d'optique (\(q < 0\)). Les rayons semblent provenir de sa position, mais ne s'y croisent pas.
Distance Focale (\(f'\)): Distance entre le centre optique O et le foyer image F'. Elle est positive pour une lentille convergente et négative pour une divergente.

Analyse de l’Agrandissement d’une Image

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Modélisation du système optique

Questions à traiter

Les bases de l'Optique Géométrique (Lentilles Minces)

Correction : Analyse de l'Agrandissement d'une Image

Question 1 : Calculer la position de l'image \(q = \overline{OA'}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Configuration initiale

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Tracé de rayons (Résultat)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : En déduire la nature de l'image (réelle ou virtuelle)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

Schéma

Concept : Image Réelle vs. Image Virtuelle

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer le grandissement transversal \(\gamma\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Illustration (Théorème de Thalès)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Grandissement (\(\gamma\))

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Déterminer la hauteur de l'image \(\overline{A'B'}\) et son sens

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)