Analyse des Interférences Lumineuses

Analyse des Interférences Lumineuses : L'Expérience des Fentes de Young

Contexte : Le phénomène des interférences lumineusesPhénomène résultant de la superposition de plusieurs ondes lumineuses cohérentes, entraînant une modulation de l'intensité lumineuse (franges brillantes et sombres)..

L'expérience des fentes de Young, réalisée par Thomas Young en 1801, est une expérience fondamentale en optique. Elle démontre la nature ondulatoire de la lumière. Lorsqu'une onde lumineuse cohérenteSe dit de deux sources d'ondes qui maintiennent une relation de phase constante dans le temps et dans l'espace. traverse deux fentes très fines et rapprochées, les deux nouvelles ondes qui en émergent interfèrent. Sur un écran placé à distance, on n'observe pas deux taches lumineuses, mais une alternance de bandes brillantes et sombres appelées "franges d'interférence".

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser mathématiquement ce phénomène. Vous appliquerez les principes de superposition des ondes pour calculer la position des franges brillantes et sombres, et pour déterminer l'interfrange, une mesure clé de ce dispositif.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et calculer la différence de marcheDifférence de distance parcourue par deux ondes issues de sources différentes avant de se superposer en un point donné. entre deux ondes.
Appliquer les conditions d'interférences constructives (franges brillantes) et destructives (franges sombres).
Dériver et calculer la formule de l'interfrangeDistance qui sépare le milieu de deux franges brillantes consécutives ou de deux franges sombres consécutives..
Analyser l'influence des paramètres (longueur d'onde, distance, écartement) sur la figure d'interférence.

Données de l'étude

On étudie un dispositif de fentes de Young classique, éclairé par une source laser monochromatique. Un écran est placé parallèlement au plan des fentes.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type d'expérience	Fentes de Young (modèle de Fraunhofer)
Source lumineuse	Laser Hélium-Néon (Monochromatique, Cohérente)
Objectif	Calculer les caractéristiques de la figure d'interférence.

Schéma du dispositif des Fentes de Young

[Nom du Paramètre]	[Description ou Formule]	[Valeur]	[Unité]
Longueur d'onde	\(\lambda\)	633	nm (nanomètres)
Distance fentes-écran	\(D\)	2.0	m (mètres)
Écartement des fentes	\(a\)	0.5	mm (millimètres)

Questions à traiter

Exprimer la différence de marche \(\delta = S_2M - S_1M\) en fonction de \(a\), \(x\) et \(D\), dans l'approximation où \(D \gg a\) et \(D \gg x\) (petits angles).
Donner la condition sur \(\delta\) pour obtenir des interférences constructives (franges brillantes). En déduire l'expression de la position \(x_k\) de ces franges (où \(k\) est un entier, l'ordre d'interférence).
Donner la condition sur \(\delta\) pour obtenir des interférences destructives (franges sombres). En déduire l'expression de la position \(x'_k\) de ces franges.
Définir et calculer l'interfrange \(i\) (distance entre deux franges brillantes consécutives) pour ce dispositif.
Calculer la position \(x_3\) de la 3ème frange brillante (correspondant à \(k=3\)) par rapport au centre de l'écran.

Les bases sur l'Optique Ondulatoire

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux principes fondamentaux de l'optique ondulatoire :

1. Principe de Superposition et Cohérence
Lorsque deux ondes lumineuses (ou plus) issues de sources cohérentes se rencontrent en un point M, l'amplitude totale est la somme des amplitudes individuelles. L'intensité lumineuse en M (ce que l'on voit) dépend du déphasage entre les ondes. Ce déphasage est directement lié à la différence de marcheDifférence de distance parcourue par deux ondes issues de sources différentes avant de se superposer en un point donné. \(\delta\).

2. Conditions d'Interférence
Soit \(\delta\) la différence de marche :

Interférences Constructives (Frange Brillante) : Les ondes arrivent en phase. L'intensité est maximale. Cela se produit lorsque la différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde \(\lambda\). \[ \delta = k \cdot \lambda \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Interférences Destructives (Frange Sombre) : Les ondes arrivent en opposition de phase. L'intensité est minimale (nulle si les amplitudes sont égales). Cela se produit lorsque la différence de marche est un multiple demi-entier de la longueur d'onde. \[ \delta = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Correction : Analyse des Interférences Lumineuses : L'Expérience des Fentes de Young

Question 1 : Expression de la différence de marche \(\delta\)

Principe

La différence de marche, \(\delta = S_2M - S_1M\), est la différence de distance physique que la lumière doit parcourir depuis les deux fentes (S₁ et S₂) pour atteindre le même point M sur l'écran. C'est cette différence de trajet qui crée un déphasage à l'arrivée.

Mini-Cours

Pour trouver \(\delta\), on utilise le théorème de Pythagore pour exprimer les distances \(S_1M\) et \(S_2M\). En se référant au schéma :

La fente S₁ est en \(y \approx +a/2\) (par rapport à l'axe). La distance au point M(x) est \(S_1M^2 = D^2 + (x - a/2)^2\).
La fente S₂ est en \(y \approx -a/2\). La distance au point M(x) est \(S_2M^2 = D^2 + (x + a/2)^2\).

On cherche \(\delta = S_2M - S_1M\). On utilise l'astuce \(S_2M^2 - S_1M^2 = (S_2M - S_1M)(S_2M + S_1M) = \delta \cdot (S_2M + S_1M)\).

Remarque Pédagogique

Le calcul direct est complexe. L'approximation des "petits angles" (\(D \gg a\) et \(D \gg x\)) est fondamentale. Elle nous permet de considérer que les rayons \(S_1M\) et \(S_2M\) sont presque parallèles et que \(S_1M + S_2M \approx 2D\). C'est l'approximation de Fraunhofer.

Normes

Il ne s'agit pas de "normes" au sens industriel, mais de "lois" et "approximations" fondamentales de l'optique physique :

Approximation des petits angles (Fraunhofer).
Principe de Huygens-Fresnel (chaque fente agit comme une nouvelle source).

Formule(s)

Distances par Pythagore

S_1M = \sqrt{D^2 + (x - a/2)^2} \]\[ S_2M = \sqrt{D^2 + (x + a/2)^2}

Approximation (Développement Limité)

\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{u}{2} \quad \text{pour } u \ll 1

Hypothèses

Nous sommes dans le cadre de l'approximation de Fraunhofer (observation à grande distance) :

\(D \gg a\) (l'écran est très loin par rapport à l'écartement des fentes).
\(D \gg x\) (on regarde près du centre de l'écran).
Les fentes sont infiniment fines (on néglige les phénomènes de diffraction par une fente unique).

Donnée(s)

Pour cette question, nous n'avons pas besoin des valeurs numériques, mais des variables géométriques :

Paramètre	Symbole	Description
Écartement fentes	\(a\)	Distance entre S₁ et S₂
Position sur l'écran	\(x\)	Distance du point M au centre O
Distance fentes-écran	\(D\)	Distance perpendiculaire

Astuces

Une méthode géométrique plus rapide (voir schéma de calcul) consiste à tracer une perpendiculaire de S₁ à S₂M. Dans l'approximation des petits angles \(\theta\), le petit triangle rectangle ainsi formé a pour hypoténuse \(a\) et le côté opposé (la différence de marche \(\delta\)) vaut \(a \sin \theta\). De plus, \(\tan \theta = x/D\). Comme \(\theta\) est petit, \(\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta\). Donc \(\delta \approx a \cdot (x/D)\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'approximation géométrique. On zoome sur les fentes S₁ et S₂ en supposant les rayons vers M parallèles (faisant un angle \(\theta\)).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'approximation géométrique. On zoome sur les fentes S₁ et S₂ en supposant les rayons vers M parallèles (faisant un angle \(\theta\)).

Approximation géométrique de \(\delta\)

Calcul(s)

Le but ici est de trouver une expression littérale (une formule) pour \(\delta\). Nous n'utilisons pas encore de chiffres, mais nous manipulons les expressions algébriques vues dans le "Mini-Cours" et les "Formule(s)".

Étape 1 : Calcul de \(S_2M^2 - S_1M^2\)

On soustrait les deux expressions au carré. C'est une astuce qui utilise l'identité remarquable \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\), mais ici avec \(x\) et \(a/2\).

\begin{aligned} S_2M^2 - S_1M^2 &= \left(D^2 + (x + a/2)^2\right) - \left(D^2 + (x - a/2)^2\right) \\ &= \left(D^2 + x^2 + ax + a^2/4\right) - \left(D^2 + x^2 - ax + a^2/4\right) \\ &= D^2 - D^2 + x^2 - x^2 + ax - (-ax) + a^2/4 - a^2/4 \\ &= 2ax \end{aligned}

Étape 2 : Utilisation de l'identité \(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\)

On sait que \(S_2M^2 - S_1M^2 = 2ax\). On utilise l'identité remarquable avec \(A=S_2M\) et \(B=S_1M\). Le terme \((S_2M - S_1M)\) est exactement \(\delta\).

(S_2M - S_1M)(S_2M + S_1M) = \delta \cdot (S_2M + S_1M) = 2ax

Étape 3 : Approximation de \(S_1M + S_2M\)

C'est le point clé de l'approximation des petits angles. Puisque l'écran est très loin (\(D\)) par rapport à la position \(x\) et à l'écartement \(a\), les deux chemins \(S_1M\) et \(S_2M\) sont "presque" égaux à \(D\). Leur somme vaut donc "presque" \(2D\).

\begin{aligned} \text{Avec } D \gg a \text{ et } D \gg x, \text{ on a } S_1M \approx D \text{ et } S_2M \approx D \\ \Rightarrow S_1M + S_2M \approx 2D \end{aligned}

Étape 4 : Isoler \(\delta\)

On reprend le résultat de l'Étape 2 et on y injecte l'approximation de l'Étape 3.

\begin{aligned} \delta \cdot (S_2M + S_1M) &= 2ax \\ \delta \cdot (2D) &\approx 2ax \\ \delta &\approx \frac{2ax}{2D} \\ \Rightarrow \delta &\approx \frac{ax}{D} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la relation linéaire trouvée. La différence de marche \(\delta\) est une fonction linéaire de la position \(x\) sur l'écran. La pente de cette droite est \((a/D)\).

Graphique de \(\delta\) en fonction de \(x\)

Réflexions

Ce résultat est fondamental. Il montre que la différence de marche \(\delta\), qui détermine si l'interférence est constructive ou destructive, est directement proportionnelle à la position \(x\) sur l'écran. C'est pour cela que les franges sont espacées régulièrement.

Points de vigilance

Cette formule \(\delta \approx ax/D\) n'est valable que dans l'approximation des petits angles. Si l'écran est proche ou si l'on regarde loin du centre (grands angles), le calcul est plus complexe et les franges ne sont plus équidistantes.

Points à retenir

La brique de base de l'interférométrie de Young est la relation linéaire entre la différence de marche \(\delta\) et la position \(x\) sur l'écran.

Formule Clé : \(\delta \approx \frac{ax}{D}\)

Le saviez-vous ?

Cette même approximation (considérer les rayons comme parallèles) est utilisée en astronomie pour l'interférométrie à très longue base (VLBI), où plusieurs télescopes distants simulent un télescope géant pour obtenir des images de trous noirs, comme celui de M87.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'expression de la différence de marche est : \(\delta \approx \frac{ax}{D}\)

A vous de jouer

Avec \(a = 0.8 \text{ mm}\), \(D = 1.0 \text{ m}\) et un point M à \(x = 5.0 \text{ mm}\), quelle est la différence de marche \(\delta\) en micromètres (\(\mu m\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Différence de marche géométrique.
Formule Essentielle : \(\delta \approx \frac{ax}{D}\).
Hypothèse Majeure : Petits angles (\(D \gg a, x\)).

Question 2 : Position des franges brillantes \(x_k\)

Principe

Une frange brillante (interférence constructive) apparaît lorsque les deux ondes (de S₁ et S₂) arrivent "en phase" au point M. C'est-à-dire que leurs pics et leurs creux coïncident. Cela se produit lorsque leur décalage, la différence de marche \(\delta\), est exactement un nombre entier de longueurs d'onde (\(0, \lambda, 2\lambda, 3\lambda, ...\)).

Mini-Cours

L'intensité lumineuse est maximale lorsque le déphasage \(\Delta\phi\) est un multiple de \(2\pi\). Le déphasage est lié à la différence de marche par la relation \(\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \delta\).
Donc, \(\frac{2\pi}{\lambda} \delta = 2\pi k\), ce qui se simplifie en \(\delta = k\lambda\), où \(k\) est un entier relatif (\(k = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)) appelé "ordre d'interférence".

Remarque Pédagogique

L'ordre \(k=0\) correspond à la frange centrale (en \(x=0\)). C'est une frange brillante car pour \(x=0\), on a \(\delta = 0\), ce qui satisfait la condition \(\delta = k\lambda\) pour \(k=0\). Les ondes parcourent la même distance.

Normes

C'est la définition même de l'interférence constructive pour des ondes scalaires en phase à la source (ce qui est le cas pour S₁ et S₂ qui proviennent de la même onde incidente).

Formule(s)

Condition d'interférence constructive

\delta = k \cdot \lambda \quad (k \in \mathbb{Z})

Résultat de la Question 1

\delta \approx \frac{ax}{D}

Hypothèses

On conserve les mêmes hypothèses que la Question 1 (petits angles).

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est requise, c'est un calcul littéral.

Astuces

Il suffit de combiner les deux formules de la section "Formule(s)". C'est une simple égalité à résoudre pour trouver \(x\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre l'interférence constructive. Les deux ondes (de S₁ et S₂) parcourent une distance qui diffère d'un nombre entier de longueurs d'onde (\(\delta = k\lambda\)). Elles arrivent en phase à M, leurs crêtes s'additionnent.

Condition Constructive (\(\delta = k\lambda\))

Calcul(s)

Nous allons maintenant combiner le résultat physique (condition pour une frange brillante) et le résultat géométrique (formule de \(\delta\)) pour trouver la position \(x_k\) de ces franges.

Étape 1 : Égaliser les expressions de \(\delta\)

D'un côté (physique, Q2), \(\delta = k\lambda\). De l'autre (géométrie, Q1), \(\delta = ax/D\). Pour une frange brillante à la position \(x_k\), ces deux expressions doivent être égales.

\underbrace{\frac{ax_k}{D}}_{\text{Géométrie (Q1)}} = \underbrace{k\lambda}_{\text{Physique (Q2)}}

Étape 2 : Isoler la position \(x_k\)

Pour trouver \(x_k\), on manipule l'équation : on multiplie les deux côtés par \(D\) et on divise les deux côtés par \(a\).

\frac{ax_k}{D} \cdot \left(\frac{D}{a}\right) = k\lambda \cdot \left(\frac{D}{a}\right) \Rightarrow x_k = k \cdot \frac{\lambda D}{a}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la figure d'intensité sur l'écran. Les franges brillantes correspondent aux pics d'intensité (maximums).

Profil d'Intensité et Franges Brillantes (k)

Réflexions

Cette formule montre que les franges brillantes sont régulièrement espacées. La distance entre la frange \(k=0\) et \(k=1\) est la même que celle entre \(k=1\) et \(k=2\), etc. Cette distance constante sera l'interfrange.

Points de vigilance

Ne pas oublier que \(k\) est un entier *relatif*. \(k=1\) est la première frange brillante *au-dessus* du centre, \(k=-1\) est la première *en-dessous*.

Points à retenir

Condition constructive : \(\delta = k\lambda\)
Position des franges brillantes : \(x_k = k \frac{\lambda D}{a}\)

Le saviez-vous ?

Dans un arc-en-ciel, les couleurs sont séparées par *dispersion* (la vitesse de la lumière dans l'eau dépend de \(\lambda\)). Dans les irisations vues sur une bulle de savon ou une tache d'huile, les couleurs sont séparées par *interférence* : la formule \(x_k\) dépend de \(\lambda\), donc la position des franges brillantes change pour chaque couleur !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La position des franges brillantes est donnée par \(x_k = k \frac{\lambda D}{a}\), pour \(k \in \mathbb{Z}\).

A vous de jouer

Si la 2ème frange brillante (\(k=2\)) est à 5 mm du centre, que vaut la quantité \(\frac{\lambda D}{a}\) (l'interfrange \(i\)) en mm ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Interférence constructive.
Formule : \(\delta = k\lambda \Rightarrow x_k = k (\lambda D / a)\).

Question 3 : Position des franges sombres \(x'_k\)

Principe

Une frange sombre (interférence destructive) apparaît lorsque les deux ondes arrivent "en opposition de phase". C'est-à-dire que le pic d'une onde coïncide avec le creux de l'autre. Elles s'annulent mutuellement. Cela se produit lorsque leur décalage, \(\delta\), est un nombre demi-entier de longueurs d'onde (\(\lambda/2, 3\lambda/2, 5\lambda/2, ...\)).

Mini-Cours

L'intensité lumineuse est minimale (nulle) lorsque le déphasage \(\Delta\phi\) est un multiple impair de \(\pi\) (soit \(\Delta\phi = (2k+1)\pi\)).
En utilisant \(\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \delta\), on a \(\frac{2\pi}{\lambda} \delta = (2k+1)\pi\).
En simplifiant par \(\pi\), on obtient \(\frac{2}{\lambda} \delta = 2k+1\), soit \(\delta = (k + \frac{1}{2})\lambda\).

Remarque Pédagogique

Notez qu'il n'y a pas de "frange sombre d'ordre 0". La première frange sombre (pour \(k=0\)) se trouve à \(x'_0 = (1/2) \frac{\lambda D}{a}\), c'est-à-dire à mi-chemin entre la frange brillante centrale (\(k=0\)) et la première frange brillante (\(k=1\)).

Normes

C'est la définition de l'interférence destructive pour des ondes scalaires en phase à la source.

Formule(s)

Condition d'interférence destructive

\delta = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \quad (k \in \mathbb{Z})

Résultat de la Question 1

\delta \approx \frac{ax}{D}

Hypothèses

On conserve les mêmes hypothèses que la Question 1 (petits angles).

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est requise, c'est un calcul littéral.

Astuces

Le calcul est identique à celui de la Q2, il suffit de remplacer \(k\lambda\) par \((k + 1/2)\lambda\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre l'interférence destructive. Les deux ondes parcourent une distance qui diffère d'un demi-entier de longueurs d'onde (\(\delta = (k+1/2)\lambda\)). Elles arrivent en opposition de phase : la crête de l'une rencontre le creux de l'autre, et elles s'annulent.

Condition Destructive (\(\delta = (k+1/2)\lambda\))

Calcul(s)

La logique est identique à la Question 2, mais en utilisant cette fois la condition d'interférence destructive (frange sombre).

Étape 1 : Égaliser les expressions de \(\delta\)

On part de la condition physique pour une frange sombre \(\delta = (k + 1/2)\lambda\) et on l'égale à l'expression géométrique \(\delta = ax/D\). On note la position \(x'_k\).

\underbrace{\frac{ax'_k}{D}}_{\text{Géométrie (Q1)}} = \underbrace{(k + \frac{1}{2})\lambda}_{\text{Physique (Q3)}}

Étape 2 : Isoler la position \(x'_k\)

Comme pour Q2, on multiplie par \(D\) et on divise par \(a\).

x'_k = (k + \frac{1}{2}) \cdot \lambda \cdot \left(\frac{D}{a}\right) \Rightarrow x'_k = (k + \frac{1}{2}) \cdot \frac{\lambda D}{a}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la figure d'interférence complète, montrant l'alternance des franges brillantes (pics) et sombres (zéros).

Profil d'Intensité et Franges Sombres (k')

Réflexions

Cette formule confirme que les franges sombres sont intercalées exactement à mi-distance entre les franges brillantes. La distance entre deux franges sombres consécutives est aussi \(\frac{\lambda D}{a}\), la même que pour les franges brillantes.

Points de vigilance

Attention à la notation. Certains cours utilisent \((k-1/2)\lambda\) ou \((2k+1)\lambda/2\). Toutes ces formes sont équivalentes à un décalage d'un demi-entier, tant que \(k\) reste un entier.

Points à retenir

Condition destructive : \(\delta = (k + 1/2)\lambda\)
Position des franges sombres : \(x'_k = (k + 1/2) \frac{\lambda D}{a}\)

Le saviez-vous ?

Les casques à réduction de bruit active utilisent exactement ce principe ! Un microphone capte le bruit ambiant, un processeur l'inverse (créant une "onde" en opposition de phase) et un haut-parleur l'émet. Les deux ondes sonores (le bruit et l'anti-bruit) s'annulent par interférence destructive.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La position des franges sombres est donnée par \(x'_k = (k + \frac{1}{2}) \frac{\lambda D}{a}\), pour \(k \in \mathbb{Z}\).

A vous de jouer

Si l'interfrange \(i = \frac{\lambda D}{a}\) vaut 3 mm, à quelle position se trouve la première frange sombre (\(k=0\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Interférence destructive.
Formule : \(\delta = (k+1/2)\lambda \Rightarrow x'_k = (k+1/2) (\lambda D / a)\).

Question 4 : Définition et calcul de l'interfrange \(i\)

Principe

L'interfrange, noté \(i\), est une caractéristique essentielle de la figure d'interférence. Il représente la "taille" d'une frange. On le définit comme la distance qui sépare les centres de deux franges brillantes consécutives (par exemple, la distance entre la frange d'ordre \(k\) et celle d'ordre \(k+1\)).

Mini-Cours

L'interfrange est une mesure directe de la périodicité spatiale de la figure d'interférence. Plus l'interfrange est grand, plus les franges sont larges et faciles à distinguer. Il se calcule simplement en faisant la différence entre les positions de deux franges brillantes (ou sombres) successives.

Remarque Pédagogique

L'interfrange \(i\) regroupe tous les paramètres de l'expérience en une seule valeur. Remarquez que \(i\) est proportionnel à la longueur d'onde \(\lambda\) (la lumière rouge donne des franges plus larges que la bleue) et à la distance \(D\) (plus l'écran est loin, plus les franges s'étalent), et inversement proportionnel à \(a\) (plus les fentes sont serrées, plus les franges sont larges).

Normes

C'est une définition standard en optique ondulatoire.

Formule(s)

Définition de l'interfrange

i = x_{k+1} - x_k

Position des franges brillantes (de Q2)

x_k = k \cdot \frac{\lambda D}{a}

Hypothèses

On conserve les mêmes hypothèses que la Question 1 (petits angles).

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs numériques de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur d'onde	\(\lambda\)	633	nm
Distance fentes-écran	\(D\)	2.0	m
Écartement des fentes	\(a\)	0.5	mm

Astuces

Le point de vigilance majeur ici est la conversion des unités. Pour que la formule \(i = \lambda D / a\) fonctionne, toutes les unités doivent être cohérentes. Le plus simple est de tout convertir en mètres (le standard du Système International).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma montrant la signification de \(i\).

Définition de l'interfrange \(i\)

Calcul(s)

L'interfrange \(i\) est la distance entre deux franges brillantes *consécutives*, par exemple entre celle d'ordre \(k\) et celle d'ordre \(k+1\).

Étape 1 : Calcul littéral de \(i\)

On utilise la formule de la position \(x_k\) trouvée en Q2 et on calcule \(i = x_{k+1} - x_k\).

\begin{aligned} i &= x_{k+1} - x_k \\ i &= \left( (k+1) \cdot \frac{\lambda D}{a} \right) - \left( k \cdot \frac{\lambda D}{a} \right) \\ i &= \left( k\frac{\lambda D}{a} + 1\frac{\lambda D}{a} \right) - \left( k \frac{\lambda D}{a} \right) \\ i &= (k-k) \frac{\lambda D}{a} + \frac{\lambda D}{a} \\ \Rightarrow i &= \frac{\lambda D}{a} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion des unités en S.I. (mètres)

Pour que le calcul numérique soit correct, toutes les longueurs doivent être dans la même unité. Le standard scientifique est le mètre (m). Les valeurs viennent de la section "Données de l'étude".

\begin{aligned} \lambda \text{ (nm} \rightarrow \text{m)}: & \quad 633 \text{ nm} = 633 \times 10^{-9} \text{ m} \\ D \text{ (m)}: & \quad 2.0 \text{ m (déjà en S.I.)} \\ a \text{ (mm} \rightarrow \text{m)}: & \quad 0.5 \text{ mm} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ m} \end{aligned}

Étape 3 : Application numérique

On remplace les symboles par leurs valeurs numériques en mètres dans la formule \(i = \lambda D / a\).

\begin{aligned} i &= \frac{(633 \times 10^{-9} \text{ m}) \times (2.0 \text{ m})}{0.5 \times 10^{-3} \text{ m}} \end{aligned}

On calcule le numérateur :

\begin{aligned} i &= \frac{1266 \times 10^{-9}}{0.5 \times 10^{-3}} \text{ m} \end{aligned}

On sépare les nombres et les puissances :

\begin{aligned} i & = \left(\frac{1266}{0.5}\right) \times \left(\frac{10^{-9}}{10^{-3}}\right) \text{ m} \end{aligned}

Résultat :

\begin{aligned} i &= 2532 \times 10^{-6} \text{ m} \end{aligned}

Notation scientifique :

\begin{aligned} i &= 2.532 \times 10^{-3} \text{ m} \end{aligned}

Étape 4 : Résultat en millimètres

Une valeur de \(10^{-3} \text{ m}\) est par définition 1 millimètre (mm).

i = 2.532 \text{ mm}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma compare l'influence de \(\lambda\) sur l'interfrange \(i\). Conformément à la formule \(i = \lambda D / a\), une longueur d'onde plus grande (lumière rouge) produit un interfrange plus grand (franges plus espacées) qu'une longueur d'onde plus courte (lumière bleue/verte).

Influence de \(\lambda\) sur \(i\) (D et a constants)

Réflexions

Un interfrange de 2.5 mm est une taille tout à fait macroscopique, facilement observable à l'œil nu sur un écran. C'est ce qui rend l'expérience des fentes de Young si marquante : un phénomène ondulatoire microscopique (longueur d'onde de ~630 nm) produit un effet visible à l'échelle du millimètre/centimètre.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est la gestion des unités. Ne jamais mélanger des nm, des mm et des m dans un même calcul ! Convertissez tout au préalable en mètres.

Points à retenir

L'interfrange est la distance entre deux franges de même nature.
Formule de l'interfrange : \(i = \frac{\lambda D}{a}\)

Le saviez-vous ?

La formule \(i = \lambda D / a\) est un outil de mesure extrêmement précis. En mesurant \(i\), \(D\) et \(a\) (qui sont des distances macroscopiques), on peut "mesurer la lumière" et en déduire sa longueur d'onde \(\lambda\) avec une grande précision, même si \(\lambda\) est de l'ordre du nanomètre !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'interfrange est \(i = \frac{\lambda D}{a} \approx 2.53 \text{ mm}\).

A vous de jouer

Que deviendrait l'interfrange \(i\) (en mm) si on utilisait un laser vert (\(\lambda = 532 \text{ nm}\)) et qu'on rapprochait l'écran (\(D = 1.5 \text{ m}\)) ? (en gardant \(a=0.5 \text{ mm}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Interfrange (période spatiale).
Formule : \(i = \lambda D / a\).
Point de Vigilance : Unités (tout en mètres !).

Question 5 : Position de la 3ème frange brillante (\(k=3\))

Principe

Maintenant que nous avons calculé l'interfrange \(i\), qui est la "brique de base" de la figure d'interférence, trouver la position de n'importe quelle frange brillante devient très simple. La position de la frange d'ordre \(k\) est simplement \(k\) fois cette distance de base.

Mini-Cours

La position des franges brillantes est donnée par \(x_k = k \cdot \frac{\lambda D}{a}\).
Puisque nous avons défini \(i = \frac{\lambda D}{a}\) dans la question 4, nous pouvons réécrire cette formule de manière beaucoup plus simple : \[ x_k = k \cdot i \] Cette formule relie directement la position de la frange à son ordre \(k\) et à l'interfrange \(i\).

Remarque Pédagogique

Pour \(k=3\), on cherche la 3ème frange brillante en partant du centre (qui est \(k=0\)). Il s'agit donc de la distance de 3 "pas" (interfranges) depuis le centre de l'écran.

Normes

Application directe des formules établies précédemment.

Formule(s)

Position de la frange d'ordre k

x_k = k \cdot i

Valeur de l'interfrange (de Q4)

i \approx 2.532 \text{ mm}

Hypothèses

On conserve les mêmes hypothèses que la Question 1 (petits angles). On vérifie que le résultat est cohérent : \(x_3 \approx 7.6 \text{ mm}\) est bien très petit devant \(D = 2.0 \text{ m} = 2000 \text{ mm}\), donc l'approximation est valide.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Question 4 et la donnée de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Interfrange	\(i\)	2.532	mm
Ordre d'interférence	\(k\)	3	(sans unité)

Astuces

Le calcul est direct. Il n'y a pas de piège d'unité ici, car \(k\) est sans dimension. La position \(x_k\) sera dans la même unité que l'interfrange \(i\) (en millimètres).

Schéma (Avant les calculs)

Localisation de \(x_3\) sur l'axe de l'écran.

Position de \(x_3\)

Calcul(s)

Nous cherchons la position \(x_3\), c'est-à-dire la position de la frange brillante d'ordre \(k=3\). On peut utiliser la formule de la Question 2.

Étape 1 : Application de la formule \(x_k = k \cdot i\)

De la Q2, nous savons que \(x_k = k \cdot (\lambda D / a)\).
De la Q4, nous savons que la partie \(i = \lambda D / a\) vaut \(2.532 \text{ mm}\).
On peut donc écrire \(x_k = k \cdot i\). La question demande la position pour \(k=3\).

\begin{aligned} x_k &= k \cdot i \\ x_3 &= 3 \cdot i \\ x_3 &= 3 \times (2.532 \text{ mm}) \\ x_3 &= 7.596 \text{ mm} \end{aligned}

Étape 2 (Alternative) : Calcul direct

On aurait aussi pu repartir de zéro sans utiliser \(i\), en reprenant la formule de Q2 et les valeurs de Q4. Les conversions de la Q4 sont identiques.

\begin{aligned} x_3 &= 3 \cdot \frac{\lambda D}{a} \\ x_3 &= 3 \times \left( \frac{(633 \times 10^{-9} \text{ m}) \times (2.0 \text{ m})}{0.5 \times 10^{-3} \text{ m}} \right) \\ x_3 &= 3 \times (2.532 \times 10^{-3} \text{ m}) \\ x_3 &= 7.596 \times 10^{-3} \text{ m} \\ x_3 &= 7.596 \text{ mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessous visualise la figure d'interférence et la position de la frange \(k=3\) avec la valeur numérique calculée.

Position du résultat \(x_3\)

Réflexions

La 3ème frange brillante se situe donc à 7.596 mm du centre de l'écran. C'est une position facilement mesurable avec une règle ou un capteur CCD, ce qui confirme le pouvoir de prédiction du modèle ondulatoire.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre "la 3ème frange" (qui pourrait être \(k=2\) si on commence à compter à \(k=1\)) avec "la frange d'ordre \(k=3\)". L'énoncé est clair ici (\(k=3\)), mais c'est un piège courant.

Points à retenir

La position d'une frange brillante d'ordre \(k\) est simplement \(k\) fois l'interfrange : \(x_k = k \cdot i\).

Le saviez-vous ?

Les hologrammes (comme ceux sur les billets de banque) sont des figures d'interférence complexes. Ils sont créés en enregistrant sur une plaque photographique l'interférence entre un faisceau laser de référence et le faisceau réfléchi par un objet. Lors de la "lecture" avec un autre laser, la figure d'interférence enregistrée recrée l'onde de l'objet, donnant une illusion de 3D.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La position de la 3ème frange brillante (\(k=3\)) est \(x_3 \approx 7.60 \text{ mm}\).

A vous de jouer

En utilisant \(i \approx 2.53 \text{ mm}\), quelle est la position (en mm) de la 2ème frange sombre (correspondant à \(k=1\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Localisation d'une frange spécifique.
Formule : \(x_k = k \cdot i\) pour les brillantes, \(x'_k = (k+1/2) \cdot i\) pour les sombres.

Outil Interactif : Simulateur d'Interfrange

Utilisez les curseurs pour voir comment la longueur d'onde \(\lambda\) et l'écartement des fentes \(a\) influencent l'interfrange \(i\) et la figure d'intensité. La distance à l'écran \(D\) est fixée à 2.0 m.

Paramètres d'Entrée

Longueur d'onde (\(\lambda\)) (nm) 630 nm

Écartement des fentes (\(a\)) (mm) 0.50 mm

Résultats Clés

Interfrange (\(i\)) - mm

Angle \(\theta_1\) (k=1) - mrad

Glossaire

Cohérence: Propriété de deux (ou plusieurs) ondes d'avoir une relation de phase stable dans le temps. C'est une condition nécessaire pour observer un phénomène d'interférence stable.
Différence de marche (\(\delta\)): Différence de distance parcourue par deux ondes issues de sources différentes (S₁ et S₂) avant de se superposer en un point (M). \(\delta = S_2M - S_1M\).
Interférence: Phénomène résultant de la superposition de plusieurs ondes (lumineuses, sonores, etc.). L'amplitude résultante peut être supérieure (constructive) ou inférieure (destructive) à celle des ondes individuelles.
Interfrange (\(i\)): Distance qui sépare le milieu de deux franges brillantes consécutives (ou de deux franges sombres consécutives). C'est la période spatiale de la figure d'interférence.
Longueur d'onde (\(\lambda\)): Période spatiale d'une onde, correspondant à la distance parcourue pendant une période temporelle. Elle est directement liée à la couleur de la lumière visible.
Ordre d'interférence (\(k\)): Nombre entier (\(k \in \mathbb{Z}\)) qui quantifie la différence de marche en unités de longueur d'onde. \(\delta = k\lambda\) pour les franges brillantes.

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