Analyse des Modes de Vibration d'une Corde Tendue
Comprendre les Modes de Vibration d'une Corde
Le comportement d'une corde de guitare, d'un violon ou de piano est régi par la physique des ondes stationnaires. Lorsqu'une corde tendue entre deux points fixes est excitée (pincée, frottée ou frappée), des ondes se propagent le long de la corde et se réfléchissent à ses extrémités. L'interférence de ces ondes incidentes et réfléchies crée des modèles de vibration stables appelés ondes stationnaires ou modes normaux de vibration.
Chaque mode est caractérisé par une fréquence spécifique et un certain nombre de points immobiles (nœuds) et de points d'amplitude maximale (ventres). La fréquence la plus basse est appelée fréquence fondamentale (1er harmonique), et elle détermine la hauteur de la note perçue. Les autres fréquences possibles sont des multiples entiers de la fondamentale et sont appelées harmoniques, donnant au son son timbre unique.
Données de l'étude
- Longueur de la corde vibrante (\(L\)) : \(64.0 \, \text{cm}\)
- Masse totale de la corde (\(m\)) : \(2.56 \, \text{g}\)
- Tension appliquée à la corde (\(T\)) : \(77.44 \, \text{N}\)
Schéma : Mode de Vibration (n=3) d'une Corde Tendue
Questions à traiter
- Calculer la densité linéique de masse (\(\mu\)) de la corde en kg/m.
- Calculer la vitesse de propagation (\(v\)) d'une onde sur cette corde.
- Établir la relation entre la longueur de la corde \(L\) et les longueurs d'onde \(\lambda_n\) des ondes stationnaires qui peuvent s'y établir (où \(n\) est un entier positif).
- En déduire l'expression des fréquences propres \(f_n\) (fréquences des harmoniques) en fonction de \(n\), \(L\), \(T\) et \(\mu\).
- Calculer la fréquence fondamentale \(f_1\) (premier harmonique) de la corde.
- Calculer les fréquences des deux harmoniques suivants (\(f_2\) et \(f_3\)).
Correction : Analyse des Modes de Vibration d'une Corde
Question 1 : Densité Linéique de Masse (\(\mu\))
Principe :
La densité linéique de masse (\(\mu\)) est une mesure de la masse par unité de longueur d'un objet filiforme comme une corde. Elle se calcule en divisant la masse totale de la corde par sa longueur totale. Il est essentiel de convertir les unités en kg et en mètres pour être cohérent avec le Système International.
Formule et Calcul :
Conversions : \(m = 2.56 \, \text{g} = 0.00256 \, \text{kg}\) et \(L = 64.0 \, \text{cm} = 0.64 \, \text{m}\).
Question 2 : Vitesse de Propagation de l'Onde (\(v\))
Principe :
La vitesse de propagation d'une onde transversale sur une corde tendue ne dépend que des propriétés physiques de la corde : sa tension (\(T\)) et sa densité linéique de masse (\(\mu\)).
Formule :
Calcul :
Question 3 : Relation entre \(L\) et \(\lambda_n\)
Principe :
Pour qu'une onde stationnaire s'établisse sur une corde fixée à ses deux extrémités, ces extrémités doivent être des nœuds de vibration. Cela impose une condition géométrique : la longueur de la corde \(L\) doit être un multiple entier de la demi-longueur d'onde (\(\lambda/2\)).
Condition :
En isolant la longueur d'onde, on obtient les longueurs d'onde permises :
Question 4 : Expression des Fréquences Propres (\(f_n\))
Principe :
La fréquence, la longueur d'onde et la vitesse d'une onde sont liées par la relation fondamentale \(v = f \cdot \lambda\). En combinant cette relation avec la condition sur les longueurs d'onde permises, on peut trouver les fréquences propres.
Dérivation :
Question 5 : Calcul de la Fréquence Fondamentale (\(f_1\))
Principe :
La fréquence fondamentale correspond au premier mode de vibration, pour lequel \(n=1\). C'est la fréquence la plus basse que la corde peut produire.
Calcul :
Cette fréquence correspond approximativement à une note La₂ (A2).
Question 6 : Calcul des Harmoniques Suivants (\(f_2, f_3\))
Principe :
Les fréquences des harmoniques sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale : \(f_n = n \cdot f_1\).
Calcul :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Si on augmente la tension T de la corde, sa fréquence fondamentale :
2. Le troisième harmonique (\(n=3\)) d'une corde vibrante possède :
3. Pour jouer une note plus aiguë sur une guitare sans changer de corde, un musicien :
Glossaire
- Onde Stationnaire
- Onde résultant de la superposition de deux ondes de même fréquence se propageant en sens opposés. Elle est caractérisée par des points fixes (nœuds) et des points d'amplitude maximale (ventres).
- Mode Normal de Vibration
- Configuration de vibration stable d'un système oscillant (comme une corde), dans laquelle toutes les parties du système oscillent à la même fréquence propre.
- Nœud
- Point sur une onde stationnaire qui a une amplitude de vibration nulle en tout temps. Les extrémités d'une corde de guitare sont des nœuds.
- Ventre
- Point sur une onde stationnaire où l'amplitude de vibration est maximale.
- Fréquence Fondamentale (\(f_1\))
- La plus basse fréquence propre d'un système oscillant. Elle correspond au mode de vibration le plus simple (n=1 pour une corde) et détermine la hauteur perçue du son.
- Harmoniques
- Fréquences propres d'un système qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale (\(f_n = n \cdot f_1\)). La combinaison des harmoniques donne au son son timbre ou sa "couleur".
- Densité Linéique de Masse (\(\mu\))
- Masse par unité de longueur d'un objet filiforme, comme une corde. C'est une propriété intrinsèque qui influence la vitesse de propagation de l'onde.
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