Application du Principe de Moindre Action
Le principe de moindre action est un principe variationnel fondamental en mécanique et en physique théorique. Il stipule que la trajectoire réellement suivie par un système physique entre deux points est celle qui minimise (ou plus généralement, rend stationnaire) une quantité appelée "action". L'action est définie comme l'intégrale temporelle du Lagrangien, \(S = \int L(q, \dot{q}, t) dt\). Le Lagrangien, \(L\), est une fonction scalaire qui caractérise la dynamique du système, généralement définie comme la différence entre l'énergie cinétique (\(T\)) et l'énergie potentielle (\(U\)). L'application de ce principe mène aux équations d'Euler-Lagrange, qui sont une reformulation élégante et puissante des lois de Newton.
Données de l'étude : Chute Libre d'une Particule
Schéma du système
Particule de masse \(m\) soumise à la force de pesanteur \(\vec{P}\), se déplaçant le long de l'axe vertical \(y\).
Questions à traiter
- Exprimer l'énergie cinétique \(T\) de la particule en fonction de sa masse \(m\) et de sa vitesse \(\dot{y}\).
- Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur \(U\) de la particule en fonction de \(m\), \(g\) et sa position \(y\).
- Former le Lagrangien \(L = T - U\) du système.
- Écrire l'équation d'Euler-Lagrange pour la coordonnée \(y\).
- Résoudre cette équation pour obtenir l'équation du mouvement de la particule (\(\ddot{y}\)).
- Vérifier que le résultat obtenu est identique à celui donné par la deuxième loi de Newton.
Correction : Application du Principe de Moindre Action
Question 1 : Énergie Cinétique (\(T\))
Principe :
L'énergie cinétique d'une particule ponctuelle est donnée par la moitié du produit de sa masse par le carré de sa vitesse.
Formule(s) utilisée(s) :
Pour un mouvement purement vertical, la vitesse est \(v = \dot{y} = \frac{dy}{dt}\).
Expression :
Question 2 : Énergie Potentielle (\(U\))
Principe :
L'énergie potentielle de pesanteur d'un objet de masse \(m\) dans un champ de pesanteur uniforme \(g\) est proportionnelle à son altitude. L'axe \(y\) étant orienté vers le haut, l'énergie potentielle augmente avec \(y\).
Formule(s) utilisée(s) :
Question 3 : Lagrangien (\(L\))
Principe :
Le Lagrangien est défini comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle du système.
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : Le Lagrangien d'un système...
Question 4 : Équation d'Euler-Lagrange
Principe :
L'équation d'Euler-Lagrange est le résultat du principe de moindre action. Pour une coordonnée généralisée \(q\), elle s'écrit \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\).
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul des termes :
On calcule d'abord les dérivées partielles du Lagrangien \(L = \frac{1}{2} m \dot{y}^2 - mgy\) :
- Dérivée par rapport à \(\dot{y}\) : \(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = \frac{\partial}{\partial \dot{y}}\left(\frac{1}{2} m \dot{y}^2\right) = m\dot{y}\)
- Dérivée par rapport à \(y\) : \(\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(- mgy) = -mg\)
On applique ensuite la dérivée temporelle au premier terme :
\(m\ddot{y} - (-mg) = 0\), ce qui donne \(m\ddot{y} + mg = 0\).
Question 5 : Résolution et équation du mouvement
Principe :
On résout l'équation d'Euler-Lagrange obtenue pour trouver l'accélération de la particule, qui est l'équation du mouvement.
Résolution :
L'équation est \(m\ddot{y} + mg = 0\). On peut la réarranger :
Ce résultat indique que l'accélération de la particule est constante et égale à \(-g\), ce qui est la caractéristique d'une chute libre dans un champ de pesanteur uniforme.
Question 6 : Vérification avec la loi de Newton
Principe :
La deuxième loi de Newton stipule que la somme des forces externes appliquées à un système est égale au produit de sa masse par son accélération (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)).
Analyse :
Dans notre cas :
- La seule force externe agissant sur la particule est son poids \(\vec{P}\), dirigé vers le bas. Dans notre repère avec l'axe \(y\) orienté vers le haut, sa composante est \(F_y = -mg\).
- L'accélération de la particule le long de l'axe est \(a_y = \ddot{y}\).
L'application de la loi de Newton \(\sum F_y = ma_y\) donne :
En simplifiant par \(m\), on retrouve :
Quiz Intermédiaire 2 : L'un des grands avantages du formalisme lagrangien par rapport à l'approche newtonienne est qu'il :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
7. Le Principe de Moindre Action stipule que la nature choisit la trajectoire qui minimise :
8. L'équation d'Euler-Lagrange est :
9. Dans le formalisme lagrangien, les coordonnées généralisées :
Glossaire
- Principe de Moindre Action
- Principe fondamental postulant que l'évolution d'un système physique entre deux états est telle que l'action est stationnaire (souvent un minimum). C'est un principe variationnel.
- Action (\(S\))
- Grandeur scalaire, définie comme l'intégrale du Lagrangien par rapport au temps, \(S = \int_{t_1}^{t_2} L dt\). Elle a la dimension d'une énergie multipliée par un temps.
- Lagrangien (\(L\))
- Fonction qui décrit la dynamique d'un système. Pour les systèmes conservatifs, il est défini comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle : \(L = T - U\).
- Équations d'Euler-Lagrange
- Ensemble d'équations différentielles du second ordre qui décrivent le mouvement du système. Elles sont obtenues en rendant l'action stationnaire et remplacent les lois de Newton dans ce formalisme.
- Coordonnées Généralisées (\(q_i\))
- Ensemble minimal de paramètres indépendants nécessaires pour spécifier la configuration d'un système mécanique à un instant donné. Il peut s'agir de distances, d'angles, etc.
- Vitesses Généralisées (\(\dot{q}_i\))
- Dérivées temporelles des coordonnées généralisées. Le Lagrangien est une fonction des coordonnées et des vitesses généralisées.
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