ÉTUDE DE PHYSIQUE

Roulement Sans Glissement d’une Sphère

Roulement Sans Glissement d'une Sphère sur un Plan Incliné

Roulement sans Glissement d'une Sphère sur un Plan Incliné

Comprendre le Roulement Sans Glissement

Le roulement sans glissement est un type de mouvement où un objet (comme une roue, un cylindre ou une sphère) roule sur une surface sans glisser. Ce mouvement est une combinaison de deux mouvements simultanés : une translation de son centre de masse et une rotation autour de ce même centre. La condition clé pour le roulement sans glissement est que le point de contact entre l'objet et la surface soit instantanément au repos. Cela implique une relation directe entre la vitesse du centre de masse (\(v_{CM}\)) et la vitesse angulaire (\(\omega\)) : \(v_{CM} = \omega R\).

Ce mouvement est rendu possible par la force de frottement statique. C'est elle qui "agrippe" la surface pour initier la rotation et empêcher le glissement. Contrairement au frottement cinétique, le frottement statique ne dissipe pas d'énergie, ce qui permet d'utiliser le principe de conservation de l'énergie mécanique pour analyser le système.

Données de l'étude

Une sphère pleine et homogène est lâchée du repos en haut d'un plan incliné et roule sans glisser le long de ce plan.

Données :

  • Masse de la sphère (\(M\)) : \(1.5 \, \text{kg}\)
  • Rayon de la sphère (\(R\)) : \(0.1 \, \text{m}\)
  • Angle d'inclinaison du plan (\(\theta\)) : \(30^\circ\)
  • Hauteur de départ (verticale) (\(h\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Moment d'inertie d'une sphère pleine par rapport à son centre : \(I_{CM} = \frac{2}{5}MR^2\)
Schéma : Sphère Roulant sur un Plan Incliné
{/* Plan incliné */} theta {/* Sphère */} G {/* Forces */} Mg N f_s {/* Hauteur */} h

Questions à traiter

  1. En utilisant les lois de la dynamique de Newton, établir les deux équations du mouvement : une pour la translation du centre de masse et une pour la rotation autour du centre de masse.
  2. En utilisant la condition de roulement sans glissement, combiner les équations pour trouver l'expression littérale de l'accélération du centre de masse (\(a_{CM}\)).
  3. Calculer la valeur numérique de cette accélération.
  4. En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, trouver l'expression littérale de la vitesse finale (\(v_f\)) du centre de masse en bas du plan.
  5. Calculer la valeur numérique de cette vitesse finale.
  6. Déterminer la condition sur le coefficient de frottement statique \(\mu_s\) pour que le roulement se fasse effectivement sans glissement.

Correction : Roulement Sans Glissement d'une Sphère

Question 1 : Équations de la Dynamique

Principe :

On applique la deuxième loi de Newton pour la translation et pour la rotation. Pour la translation, on projette les forces le long du plan incliné. Pour la rotation, on calcule le couple des forces par rapport au centre de masse G.

Équations :

1. Translation (selon l'axe du plan incliné) : La composante du poids qui tire la sphère vers le bas est \(Mg\sin\theta\). La force de frottement statique \(f_s\) s'y oppose.

\[\Sigma F_x = Mg\sin\theta - f_s = M a_{CM}\]

2. Rotation (autour du centre de masse G) : Seule la force de frottement \(f_s\) exerce un couple, car le poids et la force normale s'appliquent au centre de masse (ou sur une ligne passant par lui). Le couple est \(\tau = f_s R\).

\[\Sigma \tau_G = f_s R = I_{CM} \alpha\]

Question 2 : Expression de l'Accélération (\(a_{CM}\))

Principe :

On utilise la condition de roulement sans glissement, \(a_{CM} = \alpha R\), pour relier les deux équations. Cela nous permet d'éliminer la force de frottement \(f_s\) et l'accélération angulaire \(\alpha\) pour ne garder que \(a_{CM}\).

Calcul :

De l'équation de rotation, on tire \(f_s = \frac{I_{CM}\alpha}{R}\). En utilisant \(a_{CM} = \alpha R\), on a \(\alpha = a_{CM}/R\), donc :

\[f_s = \frac{I_{CM} a_{CM}}{R^2}\]

On substitue cette expression de \(f_s\) dans l'équation de translation :

\[ \begin{aligned} Mg\sin\theta - \frac{I_{CM} a_{CM}}{R^2} &= M a_{CM} \\ Mg\sin\theta &= M a_{CM} + \frac{I_{CM} a_{CM}}{R^2} \\ Mg\sin\theta &= a_{CM} \left( M + \frac{I_{CM}}{R^2} \right) \end{aligned} \]

Maintenant, on remplace \(I_{CM} = \frac{2}{5}MR^2\) :

\[ \begin{aligned} Mg\sin\theta &= a_{CM} \left( M + \frac{\frac{2}{5}MR^2}{R^2} \right) \\ Mg\sin\theta &= a_{CM} \left( M + \frac{2}{5}M \right) = a_{CM} \left( \frac{7}{5}M \right) \\ a_{CM} &= \frac{Mg\sin\theta}{\frac{7}{5}M} = \frac{5}{7}g\sin\theta \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'accélération du centre de masse est \(a_{CM} = \frac{5}{7}g\sin\theta\).

Question 3 : Calcul Numérique de l'Accélération

Calcul :
\[ \begin{aligned} a_{CM} &= \frac{5}{7} (9.81 \, \text{m/s}^2) \sin(30^\circ) \\ &= \frac{5}{7} \cdot 9.81 \cdot 0.5 \, \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 3.50 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'accélération de la sphère est \(a_{CM} \approx 3.50 \, \text{m/s}^2\).

Question 4 : Vitesse Finale par Conservation de l'Énergie

Principe :

Le frottement statique ne travaillant pas, l'énergie mécanique est conservée. On égale l'énergie potentielle initiale (\(E_{p,i} = Mgh\)) à l'énergie cinétique finale. L'énergie cinétique finale est la somme de l'énergie cinétique de translation (\(E_{c,trans} = \frac{1}{2}Mv_{CM}^2\)) et de l'énergie cinétique de rotation (\(E_{c,rot} = \frac{1}{2}I_{CM}\omega^2\)).

Calcul :
\[E_{\text{initiale}} = E_{\text{finale}}\] \[Mgh = \frac{1}{2}Mv_f^2 + \frac{1}{2}I_{CM}\omega_f^2\]

On utilise \(v_f = \omega_f R\) et \(I_{CM} = \frac{2}{5}MR^2\) :

\[ \begin{aligned} Mgh &= \frac{1}{2}Mv_f^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}MR^2\right)\left(\frac{v_f}{R}\right)^2 \\ Mgh &= \frac{1}{2}Mv_f^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}MR^2\right)\frac{v_f^2}{R^2} \\ Mgh &= \frac{1}{2}Mv_f^2 + \frac{1}{5}Mv_f^2 \\ gh &= \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)v_f^2 = \left(\frac{5+2}{10}\right)v_f^2 = \frac{7}{10}v_f^2 \\ v_f^2 &= \frac{10}{7}gh \\ v_f &= \sqrt{\frac{10}{7}gh} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse finale est \(v_f = \sqrt{\frac{10}{7}gh}\).

Question 5 : Calcul Numérique de la Vitesse Finale

Calcul :
\[ \begin{aligned} v_f &= \sqrt{\frac{10}{7} \cdot (9.81 \, \text{m/s}^2) \cdot (2.0 \, \text{m})} \\ &= \sqrt{\frac{10}{7} \cdot 19.62} \\ &= \sqrt{28.028} \, \, \text{m/s} \\ &\approx 5.29 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La vitesse finale de la sphère est \(v_f \approx 5.29 \, \text{m/s}\).

Question 6 : Condition sur le Coefficient de Frottement

Principe :

Pour qu'il y ait roulement sans glissement, la force de frottement statique nécessaire, \(f_s\), doit être inférieure ou égale à la force de frottement statique maximale possible, \(f_{s,max} = \mu_s N\), où \(N\) est la force normale.

Calcul :

D'après l'équilibre perpendiculaire au plan, \(N = Mg\cos\theta\).
On a trouvé \(f_s = \frac{I_{CM}a_{CM}}{R^2}\) et \(a_{CM} = \frac{5}{7}g\sin\theta\). En remplaçant \(I_{CM} = \frac{2}{5}MR^2\), on a :

\[f_s = \frac{\frac{2}{5}MR^2}{R^2} \cdot \left(\frac{5}{7}g\sin\theta\right) = \frac{2}{7}Mg\sin\theta\]

La condition \(f_s \le \mu_s N\) devient :

\[ \begin{aligned} \frac{2}{7}Mg\sin\theta &\le \mu_s Mg\cos\theta \\ \frac{2}{7}\sin\theta &\le \mu_s \cos\theta \\ \mu_s &\ge \frac{2}{7} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{2}{7}\tan\theta \end{aligned} \]

Numériquement : \(\mu_s \ge \frac{2}{7}\tan(30^\circ) \approx \frac{2}{7} \cdot 0.577 \approx 0.165\).

Résultat Question 6 : La condition est \(\mu_s \ge \frac{2}{7}\tan\theta\), soit \(\mu_s \ge 0.165\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans le roulement sans glissement, la force de frottement statique :

2. Si on remplace la sphère pleine par un cylindre plein (\(I = \frac{1}{2}MR^2\)), son accélération sur le même plan sera :

3. L'énergie cinétique totale d'un objet en roulement sans glissement est :

Glossaire

Roulement Sans Glissement
Mouvement combiné de translation et de rotation d'un objet sur une surface où le point de contact n'a pas de vitesse relative par rapport à la surface.
Centre de Masse (G)
Point théorique où toute la masse d'un objet peut être considérée comme concentrée pour analyser son mouvement de translation. Il suit les lois de Newton comme une particule ponctuelle.
Moment d'Inertie (I)
Mesure de l'inertie d'un corps en rotation, c'est-à-dire sa résistance à un changement de son état de rotation. Il dépend de la masse du corps et de la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation.
Force de Frottement Statique (\(f_s\))
Force qui s'oppose au début du glissement entre deux surfaces. Dans le roulement, elle fournit le couple nécessaire à la rotation.
Énergie Cinétique de Rotation
Énergie qu'un objet possède en raison de sa rotation, donnée par la formule \(E_{c,rot} = \frac{1}{2}I\omega^2\).
Roulement Sans Glissement - Exercice d'Application

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