ÉTUDE DE PHYSIQUE

Problème des Deux Corps

Problème des Deux Corps et Réduction à un Corps Fictif

Problème des Deux Corps et Réduction à un Corps Fictif

Comprendre le Problème des Deux Corps

En mécanique classique, le problème des deux corps consiste à déterminer le mouvement de deux corps ponctuels qui n'interagissent qu'entre eux (par exemple, via la force de gravitation). Bien que chaque corps influence l'autre, rendant leurs mouvements couplés et complexes, il est possible de simplifier radicalement le problème. On le décompose en deux problèmes indépendants plus simples : le mouvement du centre de masse du système et le mouvement relatif d'un corps par rapport à l'autre. Ce mouvement relatif est équivalent à celui d'une particule fictive, de masse réduite \(\mu\), dans un champ de force central.

Données de l'étude

On considère un système isolé de deux corps ponctuels, de masses \(m_1\) et \(m_2\), situés aux positions \(\vec{r}_1\) et \(\vec{r}_2\) dans un référentiel galiléen. Ils sont en interaction gravitationnelle mutuelle.

Force gravitationnelle exercée par \(m_1\) sur \(m_2\) :

\[\vec{F}_{1 \to 2} = G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3} (\vec{r}_2 - \vec{r}_1)\]

Données numériques pour une application :

  • Masse de l'étoile (\(m_1\)) : \(2.0 \times 10^{30} \, \text{kg}\) (analogue au Soleil)
  • Masse de la planète (\(m_2\)) : \(6.0 \times 10^{24} \, \text{kg}\) (analogue à la Terre)
  • Constante gravitationnelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
Schéma : Système à Deux Corps
O m₁ m₂ CM r₁ r₂ R_CM r = r₂ - r₁

Représentation des vecteurs position dans le problème à deux corps.

Questions à traiter

  1. Écrire les équations du mouvement pour \(m_1\) et \(m_2\) en utilisant le Principe Fondamental de la Dynamique.
  2. Définir le vecteur position du centre de masse \(\vec{R}_{\text{CM}}\) et le vecteur position relative \(\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1\).
  3. Montrer que le mouvement du centre de masse est rectiligne et uniforme.
  4. Dériver l'équation du mouvement pour le vecteur \(\vec{r}\). Montrer qu'elle est équivalente à celle d'une particule de masse réduite \(\mu\). Donner l'expression de \(\mu\).
  5. Calculer la valeur numérique de \(\mu\) pour le système Soleil-Terre et la comparer à la masse de la Terre \(m_2\). Conclure.
  6. Montrer que le moment cinétique \(\vec{L}\) de la particule fictive (de masse \(\mu\)) est conservé. Quelle est la conséquence pour la trajectoire ?
  7. Donner l'expression de l'énergie mécanique \(E\) de la particule fictive.

Correction : Problème des Deux Corps

Question 1 : Équations du Mouvement

Principe :

On applique le Principe Fondamental de la Dynamique (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)) à chaque masse. La seule force agissant sur \(m_1\) est \(\vec{F}_{2 \to 1}\) (force exercée par \(m_2\)), et sur \(m_2\) c'est \(\vec{F}_{1 \to 2}\). D'après la troisième loi de Newton, \(\vec{F}_{2 \to 1} = -\vec{F}_{1 \to 2}\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} m_1 \ddot{\vec{r}}_1 &= \vec{F}_{2 \to 1} = -G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3} (\vec{r}_2 - \vec{r}_1) \\ m_2 \ddot{\vec{r}}_2 &= \vec{F}_{1 \to 2} = +G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3} (\vec{r}_2 - \vec{r}_1) \end{aligned} \]

Question 2 : Définition des Vecteurs

Principe :

On introduit deux nouveaux vecteurs pour découpler le problème : le vecteur \(\vec{R}_{\text{CM}}\) qui décrit le mouvement global du système, et le vecteur \(\vec{r}\) qui décrit le mouvement interne (relatif).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \vec{R}_{\text{CM}} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2} \] \[ \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 \]

Question 3 : Mouvement du Centre de Masse

Principe :

Pour étudier le mouvement du centre de masse, on additionne les deux équations du mouvement obtenues à la question 1.

Calcul :

Additionnons les deux équations :

\[ m_1 \ddot{\vec{r}}_1 + m_2 \ddot{\vec{r}}_2 = \vec{F}_{2 \to 1} + \vec{F}_{1 \to 2} = \vec{0} \]

On peut réécrire la somme des accélérations pondérées par les masses en fonction du centre de masse :

\[ \begin{aligned} (m_1+m_2) \ddot{\vec{R}}_{\text{CM}} &= \frac{d^2}{dt^2}((m_1+m_2)\vec{R}_{\text{CM}}) \\ &= \frac{d^2}{dt^2}(m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2) \\ &= m_1 \ddot{\vec{r}}_1 + m_2 \ddot{\vec{r}}_2 \end{aligned} \]

Puisque cette somme est nulle, on a :

\[ (m_1+m_2) \ddot{\vec{R}}_{\text{CM}} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \ddot{\vec{R}}_{\text{CM}} = \vec{0} \]
Résultat Question 3 : L'accélération du centre de masse est nulle. Par intégration, sa vitesse \(\dot{\vec{R}}_{\text{CM}}\) est constante et son mouvement est donc rectiligne et uniforme.

Question 4 : Mouvement Relatif et Masse Réduite

Principe :

Pour trouver l'équation du mouvement relatif, on calcule \(\ddot{\vec{r}} = \ddot{\vec{r}}_2 - \ddot{\vec{r}}_1\) à partir des équations de la question 1.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \ddot{\vec{r}} &= \ddot{\vec{r}}_2 - \ddot{\vec{r}}_1 \\ &= \frac{\vec{F}_{1 \to 2}}{m_2} - \frac{\vec{F}_{2 \to 1}}{m_1} \end{aligned} \]

En utilisant \(\vec{F}_{2 \to 1} = -\vec{F}_{1 \to 2}\) :

\[ \begin{aligned} \ddot{\vec{r}} &= \frac{\vec{F}_{1 \to 2}}{m_2} - \frac{(-\vec{F}_{1 \to 2})}{m_1} \\ &= \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \vec{F}_{1 \to 2} \\ &= \left( \frac{m_1+m_2}{m_1 m_2} \right) \vec{F}_{1 \to 2} \end{aligned} \]

En posant la masse réduite \(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\), on a \(\frac{1}{\mu} = \frac{m_1+m_2}{m_1 m_2}\). L'équation devient :

\[ \ddot{\vec{r}} = \frac{1}{\mu} \vec{F}_{1 \to 2} \quad \Rightarrow \quad \mu \ddot{\vec{r}} = \vec{F}_{1 \to 2} \]
Résultat Question 4 : L'équation du mouvement relatif est \(\mu \ddot{\vec{r}} = \vec{F}_{1 \to 2}\). Elle décrit le mouvement d'une particule fictive de masse réduite \(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\) soumise à la force d'interaction \(\vec{F}_{1 \to 2}\).

Question 5 : Calcul de la Masse Réduite

Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu &= \frac{(2.0 \times 10^{30} \, \text{kg}) \times (6.0 \times 10^{24} \, \text{kg})}{(2.0 \times 10^{30} \, \text{kg}) + (6.0 \times 10^{24} \, \text{kg})} \\ &= \frac{12.0 \times 10^{54}}{2.000006 \times 10^{30}} \, \text{kg} \\ &\approx 5.999982 \times 10^{24} \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La masse réduite \(\mu \approx 6.0 \times 10^{24} \, \text{kg}\), ce qui est quasiment identique à la masse de la Terre \(m_2\). Comme \(m_1 \gg m_2\), le centre de masse est très proche de \(m_1\) et la masse réduite est très proche de la masse la plus faible \(m_2\). C'est pourquoi on peut souvent approximer le système en considérant que la Terre orbite autour d'un Soleil fixe.

Question 6 : Conservation du Moment Cinétique

Principe :

Le moment cinétique de la particule fictive est \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\), où \(\vec{p} = \mu \dot{\vec{r}}\) est sa quantité de mouvement. On montre qu'il est conservé en calculant sa dérivée par rapport au temps.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{d\vec{L}}{dt} &= \frac{d}{dt} (\vec{r} \times \mu \dot{\vec{r}}) \\ &= (\dot{\vec{r}} \times \mu \dot{\vec{r}}) + (\vec{r} \times \mu \ddot{\vec{r}}) \end{aligned} \]

Le premier terme \(\dot{\vec{r}} \times \mu \dot{\vec{r}}\) est nul car c'est le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires. Pour le second terme, on remplace \(\mu \ddot{\vec{r}}\) par la force \(\vec{F}_{1 \to 2}\) :

\[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}_{1 \to 2} \]

La force gravitationnelle \(\vec{F}_{1 \to 2}\) est une force centrale, ce qui signifie qu'elle est toujours dirigée le long du vecteur position \(\vec{r}\). Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires (\(\vec{r}\) et \(\vec{F}_{1 \to 2}\)) est donc nul.

\[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{L} = \text{constante} \]
Résultat Question 6 : Le moment cinétique \(\vec{L}\) est conservé. Puisque \(\vec{L} = \vec{r} \times \mu \dot{\vec{r}}\) est constant, le vecteur position \(\vec{r}\) et le vecteur vitesse \(\dot{\vec{r}}\) sont toujours dans un plan perpendiculaire au vecteur \(\vec{L}\). La trajectoire est donc plane.

Question 7 : Énergie Mécanique de la Particule Fictive

Principe :

L'énergie mécanique \(E\) est la somme de l'énergie cinétique \(E_{\text{c}}\) et de l'énergie potentielle \(U\). La force gravitationnelle étant conservative, on peut lui associer une énergie potentielle.

Formule(s) :

Énergie cinétique :

\[ E_{\text{c}} = \frac{1}{2}\mu |\dot{\vec{r}}|^2 \]

Énergie potentielle gravitationnelle (\(\vec{F}=-\vec{\nabla}U\)) :

\[ U(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r} = -G \frac{(m_1+m_2)\mu}{r} \]
Résultat Question 7 : L'énergie mécanique totale de la particule fictive est :
\[ E = E_{\text{c}} + U = \frac{1}{2}\mu v^2 - G \frac{m_1 m_2}{r} \]
où \(v=|\dot{\vec{r}}|\) et \(r=|\vec{r}|\). Cette énergie est également une constante du mouvement.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La masse réduite \(\mu\) est toujours :

2. Le mouvement du centre de masse d'un système isolé de deux corps est :

3. La conservation du moment cinétique dans le problème à un corps équivalent implique que :

Glossaire

Problème des deux corps
Problème de la mécanique qui consiste à décrire le mouvement de deux corps interagissant mutuellement, mais isolés de toute autre influence extérieure.
Centre de masse (CM)
Point fictif qui se déplace comme si toute la masse du système y était concentrée et que toutes les forces extérieures y étaient appliquées. Pour un système isolé, son mouvement est rectiligne uniforme.
Masse réduite (\(\mu\))
Masse fictive utilisée pour décrire le mouvement relatif dans un problème à deux corps. \(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\). Le problème à deux corps se ramène à un problème à un corps avec cette masse.
Force centrale
Force dont la direction passe toujours par un point fixe (le centre de force) et dont l'intensité ne dépend que de la distance à ce centre. La force de gravitation est une force centrale.
Moment cinétique (\(\vec{L}\))
Grandeur vectorielle qui caractérise la "quantité de rotation" d'un corps. Pour une particule, \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\). Il est conservé si le moment des forces est nul, ce qui est le cas pour une force centrale.
Énergie mécanique (E)
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système. Elle est conservée si les forces qui travaillent sont conservatives (comme la force de gravitation).
Problème des Deux Corps - Exercice d'Application

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