ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la Déviation de la Lumière

Calcul de la Déviation de la Lumière par un Corps Massif en Relativité

Calcul de la Déviation de la Lumière par un Corps Massif

Comprendre la Déviation de la Lumière en Relativité Générale

La théorie de la relativité générale d'Albert Einstein prédit que la trajectoire de la lumière est courbée lorsqu'elle passe à proximité d'un corps massif. Cet effet est dû à la courbure de l'espace-temps induite par la masse. Une des premières confirmations expérimentales de cette théorie fut l'observation de la déviation de la lumière des étoiles lointaines passant près du Soleil lors d'une éclipse solaire. Cet exercice vise à calculer cet angle de déviation.

Données de l'étude

On souhaite calculer l'angle de déviation (\(\alpha\)) d'un rayon lumineux provenant d'une étoile lointaine et frôlant la surface du Soleil.

Constantes et Valeurs de Référence :

  • Constante gravitationnelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)
  • Masse du Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) : \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Rayon du Soleil (\(R_{\text{Soleil}}\)) : \(6.957 \times 10^8 \, \text{m}\). Ce sera notre paramètre d'impact \(b\).
  • Conversion : \(1 \, \text{radian} = (180/\pi) \, \text{degrés}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{degré} = 3600 \, \text{secondes d'arc}\) (notées \('')\))

Formule de l'angle de déviation (approximation pour un faible angle, en radians) :

\[\alpha = \frac{4GM}{bc^2}\]
Schéma : Déviation de la Lumière par le Soleil
Soleil (M) Étoile lointaine Lumière incidente Lumière déviée Observateur b ≈ R α Déviation de la Lumière par un Corps Massif

Schéma illustrant la courbure de la trajectoire d'un rayon lumineux passant près du Soleil.

Questions à traiter

  1. Indiquer la valeur du paramètre d'impact \(b\) en mètres, en considérant que le rayon lumineux frôle la surface du Soleil.
  2. Calculer la valeur du terme \(4GM_{\text{Soleil}}\).
  3. Calculer la valeur du terme \(bc^2\).
  4. Calculer l'angle de déviation \(\alpha\) en radians.
  5. Convertir cet angle \(\alpha\) en secondes d'arc (\('')\).
  6. Discuter brièvement la signification historique de ce résultat.

Correction : Calcul de la Déviation de la Lumière

Question 1 : Paramètre d'Impact (\(b\))

Principe :

Le paramètre d'impact \(b\) est la distance de plus proche approche du centre du corps massif par le rayon lumineux si sa trajectoire n'était pas déviée. Si le rayon lumineux frôle la surface du Soleil, ce paramètre est égal au rayon du Soleil.

Donnée :

Rayon du Soleil (\(R_{\text{Soleil}}\)) : \(6.957 \times 10^8 \, \text{m}\)

Valeur :
\[b = R_{\text{Soleil}} = 6.957 \times 10^8 \, \text{m}\]
Résultat Question 1 : Le paramètre d'impact est \(b = 6.957 \times 10^8 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon lumineux passait plus loin du Soleil (paramètre d'impact \(b\) plus grand), l'angle de déviation \(\alpha\) serait :

Question 2 : Calcul du Terme \(4GM_{\text{Soleil}}\)

Principe :

Ce terme représente une partie du numérateur dans la formule de déviation. Il combine la constante gravitationnelle et la masse du corps déviateur.

Données spécifiques :
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)
  • \(M_{\text{Soleil}} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} 4GM_{\text{Soleil}} &= 4 \times (6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}) \times (1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}) \\ &= 4 \times (1.3279506 \times 10^{20} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}) \\ &\approx 5.3118 \times 10^{20} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le terme \(4GM_{\text{Soleil}} \approx 5.3118 \times 10^{20} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}\).

Question 3 : Calcul du Terme \(bc^2\)

Principe :

Ce terme représente le dénominateur dans la formule de déviation. Il combine le paramètre d'impact et le carré de la vitesse de la lumière.

Données spécifiques :
  • \(b = 6.957 \times 10^8 \, \text{m}\) (de la question 1)
  • \(c = 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} c^2 &= (2.998 \times 10^8 \, \text{m/s})^2 \\ &= (2.998)^2 \times (10^8)^2 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \\ &\approx 8.988004 \times 10^{16} \, \text{m}^2/\text{s}^2 \\ bc^2 &= (6.957 \times 10^8 \, \text{m}) \times (8.988004 \times 10^{16} \, \text{m}^2/\text{s}^2) \\ &\approx 62.530 \times 10^{24} \, \text{m}^3/\text{s}^2 \\ &\approx 6.2530 \times 10^{25} \, \text{m}^3/\text{s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le terme \(bc^2 \approx 6.2530 \times 10^{25} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}\).

Question 4 : Angle de Déviation \(\alpha\) en Radians

Principe :

L'angle de déviation \(\alpha\) est obtenu en divisant les deux termes calculés précédemment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha = \frac{4GM_{\text{Soleil}}}{bc^2}\]
Données des calculs précédents :
  • \(4GM_{\text{Soleil}} \approx 5.3118 \times 10^{20} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}\)
  • \(bc^2 \approx 6.2530 \times 10^{25} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{5.3118 \times 10^{20} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}}{6.2530 \times 10^{25} \, \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}} \\ &\approx 0.84947 \times 10^{-5} \, \text{radians} \\ &\approx 8.4947 \times 10^{-6} \, \text{radians} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'angle de déviation est \(\alpha \approx 8.495 \times 10^{-6} \, \text{radians}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'unité de l'angle \(\alpha\) calculé avec cette formule est :

Question 5 : Conversion de \(\alpha\) en Secondes d'Arc

Principe :

Pour une meilleure appréciation astronomique, l'angle de déviation est souvent exprimé en secondes d'arc. On utilise les facteurs de conversion entre radians, degrés et secondes d'arc.

Formule(s) de conversion :
\[\alpha_{\text{secondes d'arc}} = \alpha_{\text{radians}} \times \frac{180}{\pi} \frac{\text{degrés}}{\text{radian}} \times 3600 \frac{\text{secondes d'arc}}{\text{degré}}\]
Données spécifiques :
  • \(\alpha_{\text{radians}} \approx 8.4947 \times 10^{-6} \, \text{radians}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{secondes d'arc}} &\approx (8.4947 \times 10^{-6}) \times \frac{180}{3.14159} \times 3600 \\ &\approx (8.4947 \times 10^{-6}) \times 57.2958 \times 3600 \\ &\approx (8.4947 \times 10^{-6}) \times 206264.8 \\ &\approx 1.752 \, \text{secondes d'arc} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'angle de déviation est \(\alpha \approx 1.75 \, \text{secondes d'arc}\).

Question 6 : Signification Historique

Discussion :

Ce résultat d'environ \(1.75\) secondes d'arc est extrêmement significatif. Avant Einstein, la physique newtonienne prédisait une déviation de la lumière par la gravité, mais d'une valeur deux fois moindre (environ \(0.875\) secondes d'arc pour le Soleil).

  • La prédiction d'Einstein, basée sur la courbure de l'espace-temps, donnait une valeur double.
  • Des expéditions furent organisées pour observer des éclipses solaires totales, notamment celle de 1919 dirigée par Sir Arthur Eddington. Lors d'une éclipse, les étoiles proches du limbe solaire deviennent visibles en plein jour.
  • En comparant la position apparente des étoiles pendant l'éclipse (lumière déviée) à leur position connue (observée la nuit, sans l'effet du Soleil), on pouvait mesurer l'angle de déviation.
  • Les résultats de l'expédition de 1919, bien que sujets à des incertitudes expérimentales, furent en meilleur accord avec la prédiction d'Einstein qu'avec la prédiction newtonienne. Cela constitua l'une des premières et des plus spectaculaires confirmations de la théorie de la relativité générale, propulsant Einstein au rang de célébrité mondiale.
  • Des mesures ultérieures, plus précises, notamment avec des radiotélescopes observant la déviation des ondes radio provenant de quasars lointains, ont confirmé la prédiction d'Einstein avec une grande exactitude.
Résultat Question 6 : La mesure de la déviation de la lumière par le Soleil a été une confirmation cruciale de la théorie de la relativité générale d'Einstein, la distinguant de la gravitation newtonienne.

Quiz Intermédiaire 3 : L'observation de la déviation de la lumière des étoiles par le Soleil est plus facile lors :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Selon la relativité générale, la déviation de la lumière par un corps massif est due à :

2. L'angle de déviation de la lumière par un corps massif est proportionnel à :

3. La valeur de l'angle de déviation de la lumière d'une étoile frôlant le Soleil, prédite par la relativité générale, est d'environ :

Glossaire

Relativité Générale
Théorie de la gravitation publiée par Albert Einstein en 1915. Elle décrit la gravitation non pas comme une force, mais comme une manifestation de la courbure de l'espace-temps causée par la masse et l'énergie.
Espace-Temps
Concept fondamental en relativité, unifiant l'espace à trois dimensions et le temps en une seule entité à quatre dimensions. La présence de masse et d'énergie courbe l'espace-temps.
Déviation de la Lumière
Phénomène par lequel la trajectoire de la lumière est courbée lorsqu'elle passe à proximité d'un objet massif, en raison de la courbure de l'espace-temps.
Paramètre d'Impact (\(b\))
En physique de la diffusion, c'est la distance perpendiculaire entre la trajectoire d'un projectile (ici, un rayon lumineux) et le centre d'un champ potentiel (créé par le corps massif), si le projectile continuait sa route sans interaction.
Constante Gravitationnelle (\(G\))
Constante physique fondamentale qui apparaît dans la loi de la gravitation universelle de Newton et dans les équations de champ d'Einstein. Elle quantifie la force de l'interaction gravitationnelle.
Radian
Unité de mesure d'angle du Système International. Un angle d'un radian intercepté sur un cercle un arc de longueur égale au rayon du cercle.
Seconde d'Arc (\('')\))
Unité de mesure d'angle, égale à 1/3600 de degré. Utilisée en astronomie pour mesurer de très petits angles.
Calcul de la Déviation de la Lumière - Exercice d'Application

D’autres exercices de Rélativité:

Diagramme d’Espace-Temps (Minkowski)
Diagramme d’Espace-Temps (Minkowski)

Construction et Interprétation d'un Diagramme d'Espace-Temps Construction et Interprétation d'un Diagramme d'Espace-Temps (Minkowski) Comprendre les Diagrammes d'Espace-Temps Un diagramme d'espace-temps, ou diagramme de Minkowski, est une représentation graphique de...

Effet Doppler Lumineux pour une Source
Effet Doppler Lumineux pour une Source

Effet Doppler Lumineux pour une Source en Mouvement Effet Doppler Lumineux pour une Source en Mouvement Comprendre l'Effet Doppler Relativiste L'effet Doppler est le changement de fréquence et de longueur d'onde d'une onde perçu par un observateur en mouvement relatif...

Défaut de Masse et l’Énergie de Liaison
Défaut de Masse et l’Énergie de Liaison

Défaut de Masse et Énergie de Liaison Nucléaire Défaut de Masse et Énergie de Liaison dans les Réactions Nucléaires Comprendre le Défaut de Masse et l'Énergie de Liaison L'une des conséquences les plus profondes de la théorie de la relativité d'Einstein est...

Composition Relativiste des Vitesses
Composition Relativiste des Vitesses

Composition Relativiste des Vitesses Composition Relativiste des Vitesses Comprendre la Composition des Vitesses en Relativité En mécanique classique (galiléenne), les vitesses s'additionnent simplement. Si une personne marche à 5 km/h dans un train qui roule à 100...

Calcul de la Dilatation du Temps
Calcul de la Dilatation du Temps

Calcul de la Dilatation du Temps en Relativité Calcul de la Dilatation du Temps pour un Voyageur Interstellaire Comprendre la Dilatation du Temps en Relativité Restreinte La théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein a bouleversé notre compréhension de...

Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule
Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule

Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule en Relativité Restreinte Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule Comprendre l'Énergie Relativiste La théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein a profondément modifié notre compréhension de l'énergie....

Calcul du Temps dans l’Espace
Calcul du Temps dans l’Espace

Calcul du Temps dans l’Espace en Relativité Restreinte Calcul du Temps dans l’Espace en Relativité Restreinte Comprendre la Dilatation du Temps en Relativité La théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein a révolutionné notre compréhension de l'espace et du...

Contraction des longueurs pour un objet
Contraction des longueurs pour un objet

Calcul de la Contraction des Longueurs en Relativité Restreinte Contraction des Longueurs en Relativité Restreinte Comprendre la Contraction des Longueurs La contraction des longueurs est l'un des phénomènes prédits par la théorie de la relativité restreinte d'Albert...

Calcul de la Fréquence dans l’Espace
Calcul de la Fréquence dans l’Espace

Calcul de la Fréquence dans l’Espace en Relativité Restreinte Calcul de la Fréquence dans l’Espace en Relativité Comprendre l'Effet Doppler Relativiste L'effet Doppler est le changement de fréquence (ou de longueur d'onde) d'une onde perçu par un observateur qui est...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *