Calcul de la Fréquence dans l’Espace
Contexte : Le Décalage Doppler RelativisteModification de la fréquence d'une onde, observée lorsque la source et le récepteur sont en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre, en tenant compte des effets de la relativité restreinte comme la dilatation du temps..
Imaginez un futur où les voyages spatiaux sont monnaie courante. Une station spatiale internationale, fixe dans un référentiel inertielUn système de coordonnées dans lequel un corps, sur lequel n'agit aucune force, est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. C'est le cadre de la relativité restreinte., émet un signal de communication sous forme d'onde électromagnétique à une fréquence précise. Un astronef s'éloigne de cette station à une vitesse très élevée, proche de celle de la lumière. En raison de cette vitesse, la fréquence du signal perçue par l'équipage de l'astronef sera différente de celle émise. Ce phénomène, essentiel en astrophysique pour mesurer l'expansion de l'Univers (RedshiftLe décalage vers le rouge est l'augmentation de la longueur d'onde (et donc la diminution de la fréquence) de la lumière provenant d'objets qui s'éloignent de l'observateur.), est au cœur de cet exercice.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer concrètement la formule de l'effet Doppler relativiste, un concept fondamental qui illustre directement les conséquences des postulats d'Einstein, notamment la dilatation du temps.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la formule du décalage Doppler relativiste.
- Distinguer l'effet Doppler classique de sa contrepartie relativiste.
- Calculer la fréquence perçue d'une onde pour un observateur en mouvement rapide.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de problème | Physique Relativiste |
| Cadre d'étude | Relativité Restreinte |
| Phénomène étudié | Effet Doppler Relativiste |
Schéma de la situation
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse relative de l'astronef | \( v \) | 0,6 c | - |
| Fréquence propre du signal | \( f_0 \) | 100 | MHz |
| Vitesse de la lumière | \( c \) | \( 3 \times 10^8 \) | m/s |
Questions à traiter
- Rappeler la formule du décalage Doppler relativiste pour une source qui s'éloigne de l'observateur.
- Calculer le facteur de Lorentz \( \gamma \) associé à la vitesse de l'astronef.
- Calculer la fréquence \( f' \) du signal telle que perçue par l'équipage de l'astronef.
- Quelle serait la fréquence perçue \( f'_{\text{classique}} \) en utilisant la formule de l'effet Doppler classique pour une source qui s'éloigne ?
- Comparer les fréquences \( f' \) et \( f'_{\text{classique}} \) et conclure sur l'importance de la correction relativiste.
Les bases sur l'Effet Doppler Relativiste
L'effet Doppler décrit comment la fréquence d'une onde est perçue différemment selon le mouvement relatif de la source et de l'observateur. En physique classique, cet effet dépend des vitesses par rapport au milieu de propagation. Cependant, pour la lumière et les ondes électromagnétiques qui n'ont pas de milieu, la relativité restreinte apporte une correction cruciale qui dépend uniquement de la vitesse relative et prend en compte la dilatation du temps.
1. Postulats de la Relativité Restreinte
La théorie d'Einstein repose sur deux postulats :
- Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels.
- La vitesse de la lumière dans le vide, \(c\), est constante pour tous les observateurs, quel que soit leur mouvement ou celui de la source.
2. Formule du Décalage Doppler Relativiste
La fréquence perçue \(f'\) est liée à la fréquence émise \(f_0\) par :
\[ f' = f_0 \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \quad \text{(La source s'éloigne)} \]
\[ f' = f_0 \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \quad \text{(La source s'approche)} \]
Où \( \beta = v/c \).
Correction : Calcul de la Fréquence dans l’Espace
Question 1 : Formule du décalage Doppler relativiste (éloignement)
Principe (le concept physique)
Cette première étape consiste à énoncer le principe physique fondamental. Quand une source d'onde (lumineuse, radio, etc.) s'éloigne d'un observateur, l'onde semble "étirée" du point de vue de l'observateur. Cet étirement se traduit par une augmentation de sa longueur d'onde et, corrélativement, une diminution de sa fréquence. C'est l'essence du décalage vers le rouge.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Contrairement à l'effet Doppler pour le son, qui dépend des vitesses de la source et de l'observateur par rapport à l'air, l'effet Doppler pour la lumière est plus subtil. D'après le second postulat d'Einstein, la vitesse de la lumière \(c\) est la même pour tous les observateurs. La formule relativiste doit donc prendre en compte un autre effet : la dilatation du temps. Le temps pour l'observateur en mouvement (dans le vaisseau) ne s'écoule pas au même rythme que pour l'observateur fixe (à la station).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour cette formule, l'essentiel est de bien identifier le cas de figure : éloignement ou rapprochement. Une bonne astuce est de se rappeler que l'éloignement cause un "Redshift" (décalage vers le rouge), ce qui signifie une fréquence perçue \(f'\) plus faible que la fréquence émise \(f_0\). La structure de la formule doit donc donner un résultat inférieur à 1.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule générale
Formule simplifiée avec \(\beta\)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Cette formule est valide sous les hypothèses de la relativité restreinte :
- Les référentiels de la source (station) et de l'observateur (astronef) sont inertiels.
- Le mouvement est rectiligne et se fait le long de l'axe reliant la source et l'observateur (pas de mouvement transverse).
- L'espace est considéré comme plat (on néglige les effets de la relativité générale / gravitation).
Astuces (Pour aller plus vite)
C'est une formule fondamentale à mémoriser. Pour la retenir, pensez "moins en haut pour l'éloignement" (\(1-\beta\)), car la fréquence doit diminuer.
Schéma (Visualisation du phénomène)
Ce schéma illustre le concept de "Redshift" : l'onde émise (en haut) est perçue par l'observateur en éloignement comme une onde "étirée" (en bas), avec une plus grande longueur d'onde et donc une plus faible fréquence.
Visualisation Conceptuelle du Redshift
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La formule montre que la fréquence perçue \(f'\) ne dépend que de la fréquence initiale \(f_0\) et du rapport \(v/c\). Elle illustre que l'espace et le temps sont intrinsèquement liés : le décalage de fréquence est une manifestation de la géométrie de l'espace-temps.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale erreur est de confondre la formule de l'éloignement avec celle du rapprochement. Pour le rapprochement, les signes sont inversés : \( \sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)} \).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : L'éloignement "étire" les ondes, diminuant leur fréquence (Redshift).
- Formule Essentielle : \( f' = f_0 \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \).
- Point de Vigilance Majeur : Bien identifier le signe (-) au numérateur pour l'éloignement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
C'est grâce à cette formule qu'Edwin Hubble a découvert en 1929 que l'Univers est en expansion. Il a observé que la lumière de la plupart des galaxies était décalée vers le rouge, et que ce décalage était d'autant plus grand que la galaxie était lointaine, signifiant qu'elles s'éloignent toutes de nous.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 2 : Calcul du facteur de Lorentz \( \gamma \)
Principe (le concept physique)
Le facteur de Lorentz, \( \gamma \), est un coefficient fondamental en relativité. Il n'a pas d'équivalent en physique classique. Il quantifie à quel point les mesures de temps, de longueur et de masse sont affectées par le mouvement. Plus on s'approche de la vitesse de la lumière, plus ce facteur augmente, et plus les effets relativistes deviennent extrêmes.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le facteur \( \gamma \) est au cœur de la transformation de Lorentz, qui remplace la transformation de Galilée en relativité. Il apparaît dans les formules de la dilatation du temps (\( \Delta t' = \gamma \Delta t_0 \)) et de la contraction des longueurs (\( L' = L_0 / \gamma \)). Il montre que le temps et l'espace ne sont pas absolus mais relatifs au mouvement de l'observateur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Un bon réflexe est de toujours vérifier que votre calcul de \( \gamma \) donne un résultat supérieur ou égal à 1. Si vous trouvez \( \gamma < 1 \), il y a une erreur dans votre calcul. Pour un objet immobile (\(v=0\)), \( \gamma=1 \) et les effets relativistes disparaissent.
Normes (la référence réglementaire)
Tout comme la formule de Doppler, le facteur de Lorentz est une conséquence directe des postulats de la relativité restreinte. Il est une pierre angulaire de cette théorie.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du facteur de Lorentz
Hypothèses (le cadre du calcul)
La formule est valide pour tout objet en mouvement uniforme dans un référentiel inertiel.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
La seule donnée nécessaire est la vitesse de l'astronef.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Rapport de vitesse | \( \beta = v/c \) | 0,6 |
Astuces (Pour aller plus vite)
Les examinateurs aiment utiliser des vitesses qui correspondent à des triplets pythagoriciens. Pour \(v=0,6c\), on a \(v/c=3/5\). Alors \(1-(v/c)^2 = 1-(3/5)^2 = 1-9/25 = 16/25\). La racine carrée est \(4/5=0,8\). Donc \(\gamma = 1/0,8 = 1,25\). Pour \(v=0,8c\), on trouverait de même \(\gamma = 1/0,6 = 1,66...\).
Schéma (Avant les calculs)
Un graphique montrant l'évolution de \( \gamma \) en fonction de la vitesse est très parlant. On voit que \( \gamma \) reste proche de 1 pour les faibles vitesses, puis augmente de façon exponentielle en s'approchant de \(c\).
Évolution du facteur de Lorentz en fonction de la vitesse
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \(\gamma\)
Schéma (Après les calculs)
Le calcul confirme que pour une vitesse de 60% celle de la lumière, les effets relativistes sont déjà bien présents, avec un facteur de 1,25. On peut le visualiser sur la courbe précédente.
Position de notre calcul sur la courbe de Lorentz
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un facteur \( \gamma \) de 1,25 signifie que pour chaque heure qui passe sur la station, seulement \(1/1,25 = 0,8\) heure (soit 48 minutes) s'écoule à bord de l'astronef. De même, si le vaisseau mesure 100m au repos, la station le mesurerait comme étant contracté à \(100 / 1,25 = 80\) mètres de long.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention aux erreurs de calcul classiques : ne pas oublier de mettre la vitesse au carré avant de la soustraire à 1, et ne pas oublier de prendre la racine carrée du dénominateur.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : \( \gamma \) mesure l'intensité des effets relativistes.
- Formule Essentielle : \( \gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2} \).
- Point de Vigilance Majeur : Le résultat de \( \gamma \) doit toujours être \(\ge 1\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les grands accélérateurs de particules comme le LHC au CERN, les protons sont accélérés à 99,9999991% de la vitesse de la lumière. Leur facteur de Lorentz \( \gamma \) atteint alors environ 7000 ! Leur temps propre est 7000 fois plus lent que le nôtre et leur masse apparente est 7000 fois plus grande.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez le facteur de Lorentz pour un astronef se déplaçant à \( v = 0,8c \).
Question 3 : Calcul de la fréquence perçue \( f' \)
Principe (le concept physique)
L'objectif est d'appliquer la loi physique énoncée à la question 1 à la situation concrète décrite dans l'énoncé. Il s'agit de passer du concept abstrait à une valeur numérique qui a un sens physique : la fréquence que lirait un instrument à bord de l'astronef.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule peut aussi s'écrire en fonction du facteur de Lorentz \( \gamma \). En effet, \( \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} = \sqrt{\frac{(1-\beta)^2}{1-\beta^2}} = (1-\beta) / \sqrt{1-\beta^2} = \gamma(1-\beta) \). La formule devient donc \( f' = f_0 \gamma (1-\beta) \). Cette forme met en évidence le rôle de la dilatation du temps via le facteur \(\gamma\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant de vous lancer dans le calcul, faites une estimation. Puisque le vaisseau s'éloigne, la fréquence doit être plus basse que 100 MHz. Si votre résultat est supérieur, vous avez probablement inversé les signes dans la formule.
Normes (la référence réglementaire)
On applique ici la loi du Doppler relativiste, dans le cadre de la relativité restreinte.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du décalage Doppler
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : référentiels inertiels, mouvement rectiligne le long de l'axe observateur-source.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons la fréquence propre et la vitesse relative données dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence propre | \( f_0 \) | 100 | \(\text{MHz}\) |
| Rapport de vitesse | \( \beta = v/c \) | 0,6 | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le calcul a été simplifié par le choix de la vitesse. Le rapport sous la racine devient \(0,4/1,6\), ce qui se simplifie en \(1/4\). La racine carrée de \(1/4\) est \(1/2\), un calcul qui peut se faire de tête. Cherchez toujours ce genre de simplification avant d'utiliser la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la situation physique : la station S émet des ondes qui sont ensuite perçues par le vaisseau S' en mouvement d'éloignement.
Schéma de la situation
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la fréquence perçue \(f'\)
Schéma (Après les calculs)
Le schéma compare la forme de l'onde émise (plus courte, haute fréquence) à celle de l'onde reçue (plus longue, basse fréquence), illustrant l'effet du décalage vers le rouge.
Visualisation du Redshift
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La fréquence perçue est de 50 MHz, soit la moitié de la fréquence émise. Ce décalage important est une conséquence directe de la vitesse élevée de l'astronef. La longueur d'onde, inversement proportionnelle à la fréquence (\(\lambda=c/f\)), a donc doublé.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que la fréquence finale est exprimée dans la même unité que la fréquence initiale (ici, MHz). Comme \( \beta \) est sans dimension, l'unité est conservée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : L'application numérique d'une loi physique permet de quantifier un phénomène.
- Formule Essentielle : Application de \( f' = f_0 \sqrt{(1 - \beta)/(1 + \beta)} \).
- Point de Vigilance Majeur : Vérifier que le résultat est cohérent (fréquence plus basse pour un éloignement).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'effet Doppler relativiste possède une composante unique : l'effet Doppler transverse. Même si un objet passe "à côté" de vous sans se rapprocher ni s'éloigner (mouvement purement transverse), vous mesurerez quand même un décalage vers le rouge ! Cet effet, dû uniquement à la dilatation du temps, est une preuve directe de la validité de la relativité.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la fréquence perçue si l'astronef s'éloignait à \( v = 0,8c \)?
Question 4 : Calcul de la fréquence classique \( f'_{\text{classique}} \)
Principe (le concept physique)
Pour mettre en évidence l'importance de la relativité, nous calculons la fréquence perçue en utilisant la formule de la physique classique (pré-relativiste). Ce modèle ignore les subtilités de l'espace-temps et traite le problème comme si la lumière était une onde mécanique se propageant dans un milieu.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En physique classique, le décalage Doppler dépend si c'est la source qui bouge ou l'observateur. Pour un observateur fixe et une source qui s'éloigne (cas d'une ambulance), la formule est \( f' = f_0 / (1 + v_s/v_{\text{onde}}) \). Pour une source fixe et un observateur qui s'éloigne, \( f' = f_0 (1 - v_o/v_{\text{onde}}) \). La relativité unifie ces deux cas. La formule \(f'_{\text{classique}} = f_0(1-v/c)\) est l'approximation du cas où l'observateur s'éloigne de la source fixe.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette étape est cruciale pour développer un sens critique. Un bon ingénieur ou scientifique doit non seulement savoir appliquer une formule, mais aussi connaître son domaine de validité et les ordres de grandeur où elle cesse d'être précise.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est basé sur la mécanique Newtonienne et la transformation de Galilée, qui constituent le cadre de la physique "classique", valable pour les vitesses faibles devant celle de la lumière.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du Doppler Classique (observateur s'éloigne)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Ce modèle suppose un temps et un espace absolus, identiques pour tous les observateurs. Il ne prend pas en compte la dilatation du temps, ce qui est la source principale de l'écart avec le résultat relativiste.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les données sont identiques à la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence propre | \( f_0 \) | 100 | \(\text{MHz}\) |
| Rapport de vitesse | \( \beta \) | 0,6 | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le calcul est une simple soustraction et multiplication, beaucoup plus direct que le calcul relativiste.
Schéma (Avant les calculs)
La situation physique est la même que précédemment, avec la station S émettant des ondes vers le vaisseau S' qui s'éloigne.
Schéma de la situation
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la fréquence perçue classique \(f'_{\text{classique}}\)
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre la différence de prédiction entre les deux modèles. Le modèle classique prédit un étirement de l'onde (et donc une baisse de fréquence) plus important que le modèle relativiste.
Comparaison des longueurs d'onde prédites
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le modèle classique prédit une fréquence de 40 MHz, ce qui est différent des 50 MHz prédits par la relativité. Le modèle classique, en ignorant la dilatation du temps, prédit un décalage de fréquence plus important (une fréquence perçue plus basse) qu'il ne l'est en réalité.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur principale serait d'utiliser cette formule pour des applications réelles à haute vitesse (par exemple, en astrophysique ou dans la technologie GPS). Elle n'est qu'une approximation pour \(v \ll c\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : La physique classique offre une approximation simple mais limitée de la réalité.
- Formule Essentielle : \( f'_{\text{classique}} = f_0(1-\beta) \).
- Point de Vigilance Majeur : Cette formule est incorrecte pour des vitesses relativistes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'expérience de Michelson-Morley en 1887 a été l'une des expériences les plus importantes de l'histoire de la physique. En essayant de mesurer la vitesse de la Terre par rapport à l'"éther luminifère" (le milieu supposé de propagation de la lumière), elle a obtenu un résultat nul. Cet échec a ouvert la voie à la théorie de la relativité d'Einstein, qui abandonne l'idée d'un éther.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la fréquence classique pour un astronef se déplaçant à \( v = 0,8c \).
Question 5 : Comparaison et conclusion
Principe (le concept physique)
Nous allons quantifier l'écart entre la prédiction du modèle classique et celle du modèle relativiste. Cela permet de juger de la pertinence d'un modèle physique dans un contexte donné et de comprendre pourquoi il est crucial de choisir le bon outil pour le bon problème.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Toute théorie physique a un domaine de validité. La mécanique de Newton est une théorie extraordinairement efficace pour décrire le monde à notre échelle de vitesses et de masses. Cependant, elle est une approximation d'une théorie plus générale, la relativité. De même, la relativité générale (qui inclut la gravité) est une vision encore plus complète, qui devient nécessaire près des objets très massifs comme les trous noirs.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Lorsque vous comparez deux valeurs, calculer l'erreur relative en pourcentage est souvent plus parlant qu'une simple différence. Une différence de 10 MHz est énorme si la fréquence de base est de 20 MHz, mais moins significative si la fréquence de base est de 10 000 MHz. Le pourcentage met cela en perspective.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de norme ici, mais une démarche scientifique standard : la comparaison d'un modèle approximatif (classique) à un modèle plus exact (relativiste) dans un domaine où leurs prédictions divergent.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de l'erreur relative
Hypothèses (le cadre du calcul)
On part de l'hypothèse, confirmée par un siècle d'expériences, que le calcul relativiste est la description correcte de la réalité.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes comme données d'entrée pour ce calcul.
| Fréquence | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Fréquence Relativiste (vraie) | \(f'\) | 50 MHz |
| Fréquence Classique (approchée) | \(f'_{\text{classique}}\) | 40 MHz |
Schéma (Avant les calculs)
Un diagramme à barres est un excellent moyen de visualiser la différence entre les deux valeurs calculées avant de calculer l'erreur relative.
Comparaison des fréquences calculées
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'erreur relative
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme à barres peut être complété pour montrer l'écart de 10 MHz, qui représente 20% de la valeur correcte.
Visualisation de l'erreur de 20%
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une erreur de 20% est très importante. Si les ingénieurs concevant les systèmes de communication de l'astronef avaient utilisé la formule classique, le récepteur aurait été réglé sur la mauvaise fréquence (40 MHz) et n'aurait pas pu capter le signal émis (qui arrive à 50 MHz). La communication aurait été impossible. Cela démontre que la relativité n'est pas qu'une curiosité théorique, mais un outil d'ingénierie indispensable dans certains domaines.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Lors du calcul de l'erreur, il faut être vigilant sur la valeur de référence utilisée au dénominateur. On se compare toujours à la valeur considérée comme la plus exacte, ici la valeur relativiste.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Les modèles physiques ont des domaines de validité ; négliger la relativité à haute vitesse conduit à des erreurs importantes.
- Formule Essentielle : Le calcul d'erreur relative permet de quantifier la pertinence d'une approximation.
- Point de Vigilance Majeur : L'erreur entre les modèles classique et relativiste n'est pas linéaire et augmente très rapidement près de \(c\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les systèmes de positionnement par satellite (GPS) doivent corriger en permanence les horloges atomiques à leur bord pour tenir compte des effets de la relativité restreinte (due à leur vitesse) et de la relativité générale (due à la différence de gravité). Sans ces corrections, le système GPS accumulerait des erreurs de positionnement de près de 10 kilomètres chaque jour !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant vos réponses aux "À vous de jouer" des questions 3 et 4, quelle est l'erreur relative du modèle classique pour une vitesse de \( v = 0,8c \)?
Outil Interactif : Simulateur de Décalage Doppler
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier la vitesse de l'astronef (en pourcentage de la vitesse de la lumière). Observez comment la fréquence perçue change et comment l'écart entre le calcul classique et le calcul relativiste se creuse à mesure que la vitesse augmente.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour \(f_0 = 100\) MHz)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quand un objet émettant de la lumière s'éloigne d'un observateur, la fréquence perçue...
2. Le facteur de Lorentz \( \gamma \) est toujours...
3. Pour des vitesses très faibles par rapport à \(c\), la formule du Doppler relativiste...
4. Lequel de ces phénomènes n'est PAS une conséquence directe de la relativité restreinte ?
5. Un astronome observe la lumière d'une galaxie lointaine et constate qu'elle est fortement "décalée vers le rouge". Qu'en conclut-il ?
Glossaire
- Décalage Doppler Relativiste
- Modification de la fréquence d'une onde, observée lorsque la source et le récepteur sont en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre, en tenant compte des effets de la relativité restreinte comme la dilatation du temps.
- Facteur de Lorentz (\( \gamma \))
- Un coefficient sans dimension, toujours supérieur ou égal à 1, qui quantifie l'ampleur des effets relativistes (dilatation du temps, contraction des longueurs) à une vitesse donnée.
- Référentiel inertiel
- Un système de coordonnées dans lequel un corps, sur lequel n'agit aucune force, est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. C'est le cadre d'application de la relativité restreinte.
- Redshift (Décalage vers le rouge)
- L'augmentation de la longueur d'onde (et donc la diminution de la fréquence et de l'énergie) de la lumière provenant d'objets qui s'éloignent de l'observateur.
D’autres exercices de rélativité:
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