ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la Fréquence dans l’Espace

Calcul de la Fréquence dans l’Espace en Relativité Restreinte

Calcul de la Fréquence dans l’Espace en Relativité

Comprendre l'Effet Doppler Relativiste

L'effet Doppler est le changement de fréquence (ou de longueur d'onde) d'une onde perçu par un observateur qui est en mouvement relatif par rapport à la source de l'onde. En relativité restreinte, l'effet Doppler pour la lumière (ondes électromagnétiques) est plus complexe que l'effet Doppler classique pour les ondes sonores, car il doit tenir compte de la dilatation du temps et du fait que la vitesse de la lumière est constante pour tous les observateurs inertiels. Lorsque la source lumineuse s'éloigne de l'observateur, la fréquence observée diminue (décalage vers le rouge ou redshift). Lorsque la source se rapproche, la fréquence observée augmente (décalage vers le bleu ou blueshift). Ce phénomène est crucial en astrophysique pour déterminer la vitesse des étoiles et des galaxies, et a des implications dans diverses technologies de communication et de mesure.

Données du Problème

Un vaisseau spatial s'éloigne de la Terre à une vitesse relativiste. Il émet un signal lumineux (par exemple, d'un laser) vers la Terre.

  • Fréquence propre du signal lumineux émis par le vaisseau (\(f_{\text{source}}\)) : \(6.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) (lumière visible verte)
  • Vitesse du vaisseau spatial par rapport à la Terre (\(v\)) : \(0.60c\) (où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide)

Constante utile :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Constante de Planck (\(h\)) : \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
Schéma : Effet Doppler Relativiste pour une Source s'éloignant
Terre (Observateur) Vaisseau v = 0.6c fsource fobs

Illustration de l'effet Doppler relativiste : un vaisseau s'éloigne de la Terre, la fréquence observée est plus faible (redshift).

Questions à traiter

  1. Calculer le facteur \(\beta = v/c\).
  2. Calculer la fréquence observée (\(f_{\text{obs}}\)) du signal lumineux sur Terre, en Hertz (Hz).
  3. Calculer la longueur d'onde propre (\(\lambda_{\text{source}}\)) du signal émis par le vaisseau, en nanomètres (nm).
  4. Calculer la longueur d'onde observée (\(\lambda_{\text{obs}}\)) du signal sur Terre, en nanomètres (nm).
  5. S'agit-il d'un décalage vers le rouge (redshift) ou vers le bleu (blueshift) ? Justifiez.
  6. Calculer l'énergie d'un photon tel qu'émis par la source, en Joules (J) et en électronvolts (eV). (\(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\))
  7. Calculer l'énergie d'un photon tel qu'observé sur Terre, en Joules (J) et en électronvolts (eV).

Correction : Calcul de la Fréquence dans l’Espace en Relativité

Question 1 : Calcul du facteur \(\beta\)

Principe :

Le facteur \(\beta\) est le rapport de la vitesse de la source \(v\) à la vitesse de la lumière \(c\).

Données spécifiques :
  • \(v = 0.60c\)
Calcul :
\[ \beta = \frac{v}{c} = \frac{0.60c}{c} = 0.60 \]
Résultat Question 1 : Le facteur \(\beta = 0.60\).

Question 2 : Fréquence observée (\(f_{\text{obs}}\))

Principe :

Pour une source s'éloignant de l'observateur, la formule de l'effet Doppler relativiste pour la fréquence est \(f_{\text{obs}} = f_{\text{source}} \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_{\text{obs}} = f_{\text{source}} \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \]
Données spécifiques :
  • \(f_{\text{source}} = 6.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
  • \(\beta = 0.60\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} &= \sqrt{\frac{1 - 0.60}{1 + 0.60}} \\ &= \sqrt{\frac{0.40}{1.60}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{0.25} = 0.50 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{\text{obs}} &= (6.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}) \times 0.50 \\ &= 3.00 \times 10^{14} \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La fréquence observée sur Terre est \(f_{\text{obs}} = 3.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\).

Question 3 : Longueur d'onde propre (\(\lambda_{\text{source}}\))

Principe :

La longueur d'onde est reliée à la fréquence par \(c = \lambda f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \lambda_{\text{source}} = \frac{c}{f_{\text{source}}} \]
Données spécifiques :
  • \(c = 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(f_{\text{source}} = 6.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{source}} &= \frac{2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}}{6.00 \times 10^{14} \, \text{s}^{-1}} \\ &\approx 0.49966... \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &\approx 4.997 \times 10^{-7} \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en nanomètres (\(1 \, \text{nm} = 10^{-9} \, \text{m}\)) :

\[ \lambda_{\text{source}} \approx 4.997 \times 10^{-7} \, \text{m} \times \frac{10^9 \, \text{nm}}{1 \, \text{m}} \approx 499.7 \, \text{nm} \]

Arrondi à \(500 \, \text{nm}\) (ou \(499.7 \, \text{nm}\) pour plus de précision dans les étapes suivantes).

Résultat Question 3 : La longueur d'onde propre du signal est \(\lambda_{\text{source}} \approx 499.7 \, \text{nm}\).

Question 4 : Longueur d'onde observée (\(\lambda_{\text{obs}}\))

Principe :

On peut utiliser \(c = \lambda_{\text{obs}} f_{\text{obs}}\) ou la formule de l'effet Doppler pour les longueurs d'onde : \(\lambda_{\text{obs}} = \lambda_{\text{source}} \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}\).

Formule(s) utilisée(s) (méthode 1) :
\[ \lambda_{\text{obs}} = \frac{c}{f_{\text{obs}}} \]
Formule(s) utilisée(s) (méthode 2) :
\[ \lambda_{\text{obs}} = \lambda_{\text{source}} \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \]
Données spécifiques :
  • \(c = 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(f_{\text{obs}} = 3.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
  • \(\lambda_{\text{source}} \approx 4.9966 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
  • \(\beta = 0.60\)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{obs}} &= \frac{2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}}{3.00 \times 10^{14} \, \text{s}^{-1}} \\ &\approx 0.99933... \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &\approx 9.993 \times 10^{-7} \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en nanomètres : \(\lambda_{\text{obs}} \approx 999.3 \, \text{nm}\).

Calcul (méthode 2) :
\[ \begin{aligned} \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} &= \sqrt{\frac{1 + 0.60}{1 - 0.60}} = \sqrt{\frac{1.60}{0.40}} = \sqrt{4} = 2.00 \\ \lambda_{\text{obs}} &\approx (4.9966 \times 10^{-7} \, \text{m}) \times 2.00 \\ &\approx 9.9932 \times 10^{-7} \, \text{m} \approx 999.3 \, \text{nm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La longueur d'onde observée sur Terre est \(\lambda_{\text{obs}} \approx 999.3 \, \text{nm}\).

Question 5 : Nature du décalage (redshift ou blueshift)

Principe :

Un décalage vers le rouge (redshift) se produit lorsque la longueur d'onde observée est plus grande que la longueur d'onde émise (fréquence observée plus faible). Un décalage vers le bleu (blueshift) se produit lorsque la longueur d'onde observée est plus courte (fréquence observée plus élevée).

Analyse :

Fréquence émise : \(f_{\text{source}} = 6.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\).

Fréquence observée : \(f_{\text{obs}} = 3.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\).

Puisque \(f_{\text{obs}} < f_{\text{source}}\) (et \(\lambda_{\text{obs}} > \lambda_{\text{source}}\)), il s'agit d'un décalage vers le rouge (redshift). Cela est attendu car la source s'éloigne de l'observateur.

Résultat Question 5 : Il s'agit d'un décalage vers le rouge (redshift), car la fréquence observée est inférieure à la fréquence émise (et la longueur d'onde observée est supérieure à la longueur d'onde émise).

Question 6 : Énergie du photon émis par la source

Principe :

L'énergie d'un photon est donnée par \(E = hf\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{\text{source}} = h f_{\text{source}} \]
Données spécifiques :
  • \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(f_{\text{source}} = 6.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
  • \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Calcul en Joules :
\[ \begin{aligned} E_{\text{source}} &= (6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (6.00 \times 10^{14} \, \text{s}^{-1}) \\ &= 3.9756 \times 10^{-19} \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul en électronvolts :
\[ \begin{aligned} E_{\text{source}} (\text{eV}) &= \frac{3.9756 \times 10^{-19} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 2.4816 \, \text{eV} \end{aligned} \]

Arrondi à \(2.48 \, \text{eV}\).

Résultat Question 6 : L'énergie d'un photon émis par la source est \(E_{\text{source}} \approx 3.976 \times 10^{-19} \, \text{J} \approx 2.48 \, \text{eV}\).

Question 7 : Énergie du photon observé sur Terre

Principe :

L'énergie d'un photon observé est \(E_{\text{obs}} = h f_{\text{obs}}\).

Données spécifiques :
  • \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(f_{\text{obs}} = 3.00 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
  • \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Calcul en Joules :
\[ \begin{aligned} E_{\text{obs}} &= (6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (3.00 \times 10^{14} \, \text{s}^{-1}) \\ &= 1.9878 \times 10^{-19} \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul en électronvolts :
\[ \begin{aligned} E_{\text{obs}} (\text{eV}) &= \frac{1.9878 \times 10^{-19} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 1.2408 \, \text{eV} \end{aligned} \]

Arrondi à \(1.24 \, \text{eV}\). On note que \(E_{\text{obs}} = E_{\text{source}} / 2\), ce qui est cohérent avec \(f_{\text{obs}} = f_{\text{source}} / 2\).

Résultat Question 7 : L'énergie d'un photon observé sur Terre est \(E_{\text{obs}} \approx 1.988 \times 10^{-19} \, \text{J} \approx 1.24 \, \text{eV}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'effet Doppler relativiste pour la lumière se manifeste par un changement de :

2. Un "redshift" (décalage vers le rouge) signifie que la lumière observée a :

3. Si une source lumineuse s'approche d'un observateur à une vitesse relativiste, l'observateur percevra :

4. L'énergie d'un photon est inversement proportionnelle à :

Glossaire

Effet Doppler Relativiste
Changement de la fréquence (et de la longueur d'onde) de la lumière observé lorsqu'il y a un mouvement relatif entre la source lumineuse et l'observateur, en tenant compte des principes de la relativité restreinte.
Fréquence Propre (\(f_{\text{source}}\))
Fréquence d'une onde mesurée dans le référentiel de la source.
Fréquence Observée (\(f_{\text{obs}}\))
Fréquence d'une onde mesurée par un observateur qui est en mouvement par rapport à la source.
Longueur d'Onde (\(\lambda\))
Distance entre deux crêtes successives d'une onde.
Redshift (Décalage vers le Rouge)
Augmentation de la longueur d'onde (diminution de la fréquence) de la lumière observée, typiquement lorsque la source s'éloigne de l'observateur.
Blueshift (Décalage vers le Bleu)
Diminution de la longueur d'onde (augmentation de la fréquence) de la lumière observée, typiquement lorsque la source se rapproche de l'observateur.
Facteur \(\beta\)
Rapport de la vitesse \(v\) d'un objet à la vitesse de la lumière \(c\) (\(\beta = v/c\)).
Vitesse de la Lumière (\(c\))
Vitesse de la lumière dans le vide, une constante universelle (\(\approx 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)).
Photon
Quantum de rayonnement électromagnétique, porteur d'une énergie \(E=hf\).
Constante de Planck (\(h\))
Constante physique fondamentale qui relie l'énergie d'un photon à sa fréquence.
Électronvolt (eV)
Unité d'énergie couramment utilisée en physique atomique et des particules.
Calcul de la Fréquence dans l’Espace en Relativité - Exercice d'Application

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