Calcul de la longueur focale d'une lentille

Contexte : La Formule des OpticiensÉgalement appelée "Lensmaker's equation", elle relie la focale d'une lentille à son indice de réfraction et aux rayons de courbure de ses faces..

En optique et en photonique, la capacité à concevoir des lentilles avec une longueur focale précise est fondamentale. Que ce soit pour des objectifs d'appareil photo, des microscopes, ou des télescopes, la puissance de la lentille (sa capacité à faire converger ou diverger la lumière) dépend directement de sa géométrie et du matériau qui la compose. Cet exercice explore cette relation cruciale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la formule des opticiens et, surtout, à maîtriser les conventions de signe cruciales en optique géométrique, qui sont souvent la principale source d'erreur.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la formule des opticiens (Lensmaker's equation).
Maîtriser la convention de signe pour les rayons de courbure des dioptres sphériques.
Calculer la vergencePuissance de convergence ou de divergence d'une lentille, mesurée en dioptries (m⁻¹). C'est l'inverse de la longueur focale. (en dioptries) et la longueur focale (en mm).
Distinguer une lentille convergente d'une lentille divergente sur la base de ses paramètres.

Données de l'étude

Nous allons étudier une lentille biconvexe mince, fabriquée en verre optique standard (type BK7), et supposée placée dans l'air (dont l'indice de réfraction \(n_{\text{air}}\) est approximé à 1.0).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Matériau de la lentille	Verre BK7
Indice de réfraction du verre (\(n\))	1.517
Milieu ambiant	Air (indice \(n_{\text{air}} \approx 1.0\))

Schéma de la Lentille Biconvexe

Paramètre Géométrique	Symbole	Valeur (Convention)	Unité
Rayon de courbure (Face 1)	\(R_1\)	+50	mm
Rayon de courbure (Face 2)	\(R_2\)	-80	mm

Questions à traiter

Expliquer la convention de signe utilisée qui mène aux valeurs \(R_1 = +50 \text{ mm}\) et \(R_2 = -80 \text{ mm}\) pour cette lentille biconvexe.
Calculer la vergencePuissance de convergence ou de divergence d'une lentille, mesurée en dioptries (m⁻¹). C'est l'inverse de la longueur focale. (puissance) \(C\) de la lentille en dioptries (\(\delta\), ou \(\text{m}^{-1}\)).
En déduire la longueur focaleDistance entre le centre optique de la lentille et le point (foyer) où convergent (ou semblent diverger) des rayons parallèles. \(f\) de la lentille en millimètres (mm).
Recalculer la vergence et la focale si la face 2 était plane (lentille plano-convexe, \(R_2 = \infty\)).
Cette lentille biconvexe est-elle convergente ou divergente ? Justifier votre réponse à l'aide des résultats obtenus.

Les bases sur l'Optique Géométrique

Pour résoudre cet exercice, la formule clé est celle des opticiens (ou "du fabricant de lentilles"), qui s'applique aux lentilles minces plongées dans un milieu d'indice \(n_0\) (ici, l'air, \(n_0 \approx 1\)).

1. La Formule des Opticiens
Elle relie la vergence \(C\) (et donc la focale \(f\)) d'une lentille à son indice de réfraction \(n\) et aux rayons de courbure de ses deux faces, \(R_1\) et \(R_2\). \[ C = \frac{1}{f} = \left(\frac{n}{n_0} - 1\right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \] Puisque la lentille est dans l'air (\(n_0 = 1\)), la formule se simplifie : \[ C = \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

2. Convention de Signe Algébrique (Essentiel !)
Nous utilisons la convention cartésienne :

La lumière se propage de la gauche vers la droite.
Le centre optique de la lentille est l'origine (0).
Un rayon de courbure \(R\) est positif si le centre de courbure \(C\) est à droite de la surface (dioptre).
Un rayon de courbure \(R\) est négatif si le centre de courbure \(C\) est à gauche de la surface.

Correction : Calcul de la Longueur Focale d’une Lentille (Formule des Opticiens)

Question 1 : Expliquer la convention de signe pour \(R_1\) et \(R_2\).

Principe

Le signe d'un rayon de courbure en optique n'est pas arbitraire. Il dépend de la position du centre de la sphère (dont la surface est une partie) par rapport à cette surface, dans le sens de propagation de la lumière.

Mini-Cours

Rappel de la convention : la lumière voyage de gauche à droite.

Face 1 (gauche) : La lumière rencontre cette face en premier. C'est une surface convexe. Son centre de courbure, \(C_1\), est situé à droite de la surface. Par conséquent, \(R_1 > 0\).
Face 2 (droite) : La lumière quitte la lentille par cette face. C'est aussi une surface convexe (vue de droite). Son centre de courbure, \(C_2\), est situé à gauche de la surface. Par conséquent, \(R_2 < 0\).

Remarque Pédagogique

Une lentille biconvexe aura toujours un \(R_1 > 0\) et un \(R_2 < 0\). À l'inverse, une lentille biconcave (creusée des deux côtés) aura \(R_1 < 0\) et \(R_2 > 0\).

Formule(s)

Il s'agit d'appliquer une convention, basée sur la position algébrique du centre de courbure \(C\) par rapport à la surface \(S\) (le sommet) :

\text{Si } \text{SC} > 0 \text{ (centre C après la surface S), alors } R > 0

\text{Si } \text{SC} < 0 \text{ (centre C avant la surface S), alors } R < 0

Hypothèses

On suppose que la lumière se propage de la gauche vers la droite, et que l'axe optique est l'axe horizontal.

Donnée(s)

Nous analysons les données de l'énoncé pour justifier les signes.

Paramètre	Description	Valeur	Justification du Signe
Face 1	Biconvexe	\(R_1 = +50 \text{ mm}\)	Centre C₁ à droite de la face 1.
Face 2	Biconvexe	\(R_2 = -80 \text{ mm}\)	Centre C₂ à gauche de la face 2.

Astuces

Visualisez la sphère complète. Si la lentille est une "bosse" (convexe), le centre est de l'autre côté (positif pour la face d'entrée). Si c'est un "creux" (concave), le centre est du même côté (négatif pour la face d'entrée).

Schéma (Analyse)

Visualisons les centres de courbure pour confirmer les signes.

Analyse des Centres de Courbure

Réflexions

La face 1, d'entrée, est convexe et son centre C₁ est à 50 mm à droite. Le signe est donc positif. La face 2, de sortie, est également convexe, mais son centre C₂ est à 80 mm à gauche. Le signe est donc négatif. Les données de l'énoncé (\(R_1 = +50 \text{ mm}\) et \(R_2 = -80 \text{ mm}\)) sont cohérentes avec la convention.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de considérer la "forme" de la face 2 sans la replacer dans le sens de la propagation. Bien que la face 2 soit "convexe", son centre est *avant* elle (à gauche), d'où le signe négatif.

Points à retenir

La convention de signe est la clé. Centre à droite \(\rightarrow R > 0\). Centre à gauche \(\rightarrow R < 0\).
Pour une lentille biconvexe standard, on a \(R_1 > 0\) et \(R_2 < 0\).

Le saviez-vous ?

Cette convention de signe a été popularisée en France (convention "française" ou cartésienne) et est utilisée par la majorité des standards internationaux (ISO) pour l'optique. D'autres conventions existent mais sont moins courantes.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Les signes \(R_1 > 0\) et \(R_2 < 0\) sont corrects pour une lentille biconvexe selon la convention optique standard.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Lumière : Gauche \(\rightarrow\) Droite.
\(R_1\) (Face 1) : Centre C₁ à droite \(\implies R_1 > 0\).
\(R_2\) (Face 2) : Centre C₂ à gauche \(\implies R_2 < 0\).

Question 2 : Calculer la vergence \(C\) de la lentille en dioptries (\(\delta\)).

Principe

Nous allons appliquer directement la formule des opticiens en utilisant les données fournies. L'étape la plus importante est la conversion des unités pour assurer la cohérence du calcul.

Mini-Cours

La vergence, notée \(C\), est une mesure de la "puissance" d'une lentille : sa capacité à faire converger ou diverger la lumière. Elle est définie comme l'inverse de la longueur focale (\(C = 1/f\)). Son unité, la dioptrie (\(\delta\)), est l'inverse du mètre (\(1 \delta = 1 \text{ m}^{-1}\)). Une vergence positive indique une lentille convergente.

Remarque Pédagogique

La conversion des unités est la source d'erreur n°1. Puisque les dioptries sont des \(\text{m}^{-1}\), tous vos rayons (\(R_1\), \(R_2\)) doivent être en mètres avant de commencer le calcul. N'utilisez jamais de millimètres directement dans cette formule !

Normes

En optique, la convention de signe (expliquée à la Q1) et l'utilisation du Système International (mètres pour les longueurs, dioptries pour la vergence) sont les "normes" à suivre pour garantir des résultats corrects et universellement compris.

Formule(s)

La vergence \(C\) (en dioptries, \(\text{m}^{-1}\)) est donnée par la formule des opticiens (pour une lentille dans l'air) :

C = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)

Hypothèses

On suppose que la lentille est "mince" (son épaisseur au centre est négligeable par rapport aux rayons de courbure) et qu'elle est dans l'air (\(n_0 = 1.0\)).

Donnée(s)

Nous reprenons les données de l'énoncé pour ce calcul :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Indice de réfraction	\(n\)	1.517	(sans unité)
Rayon 1	\(R_1\)	+50	mm
Rayon 2	\(R_2\)	-80	mm

Astuces

Pour un calcul rapide, vous pouvez laisser les rayons en mm, calculer \(X = (n-1)(1/R_{1,\text{mm}} - 1/R_{2,\text{mm}})\), puis multiplier ce résultat intermédiaire \(X\) par 1000 pour obtenir la vergence \(C\) en dioptries. Cependant, la conversion préalable en mètres (comme ci-dessous) est plus rigoureuse et moins source d'erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul applique la formule des opticiens en utilisant les 3 composantes clés : \(n\), \(R_1\), et \(R_2\).

Composantes de la Formule

Calcul(s)

Nous décomposons le calcul en étapes claires pour tracer l'origine de chaque valeur.

Étape 1 : Préparation des termes de la formule

La formule est : \( C = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \). Nous avons besoin de 3 valeurs : \((n-1)\), \(1/R_1\), et \(1/R_2\).

Terme (n-1) : On prend \(n = 1.517\) (de l'énoncé) et \(n_0 = 1.0\) (l'air).

\[ (n - 1) = 1.517 - 1.0 = 0.517 \]

Étape 2 : Conversion des rayons et calcul des inverses

La vergence \(C\) est en dioptries (\(\text{m}^{-1}\)), donc \(R_1\) et \(R_2\) doivent être en mètres.

Pour R₁ : On prend \(R_1 = +50 \text{ mm}\) (de l'énoncé).

R_1 = +50 \text{ mm} = +0.050 \text{ m} \] \[ \text{Donc, } \frac{1}{R_1} = \frac{1}{0.050} = 20.0 \text{ m}^{-1}

Pour R₂ : On prend \(R_2 = -80 \text{ mm}\) (de l'énoncé).

R_2 = -80 \text{ mm} = -0.080 \text{ m} \] \[ \text{Donc, } \frac{1}{R_2} = \frac{1}{-0.080} = -12.5 \text{ m}^{-1}

Étape 3 : Substitution et calcul final

Maintenant, on remplace les valeurs calculées \((n-1) = 0.517\), \(1/R_1 = 20.0\), et \(1/R_2 = -12.5\) dans la formule de base :

\begin{aligned} C &= (n - 1) \times \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \\ C &= 0.517 \times \left( 20.0 - (-12.5) \right) \\ \end{aligned}

Attention à la double négation (\(- \times - = +\)) :

\begin{aligned} C &= 0.517 \times ( 20.0 + 12.5 ) \\ C &= 0.517 \times ( 32.5 ) \\ C &\approx +16.8025 \text{ m}^{-1} \end{aligned}

On arrondit le résultat à deux décimales pour la réponse.

Schéma (Après les calculs)

Une vergence positive \(C \approx +16.80 \delta\) signifie que la lentille est "puissante" et fait converger les rayons rapidement, sur une courte distance.

Visualisation d'une Vergence Positive Élevée

Réflexions

Le résultat est une vergence positive (\(C > 0\)), ce qui est attendu pour une lentille biconvexe (plus épaisse au centre). L'erreur classique aurait été d'oublier le signe négatif de \(R_2\), ce qui aurait donné \(0.517 \times (20.0 - 12.5) = 3.88 \text{ \delta}\), un résultat très différent et incorrect.

Points de vigilance

Attention aux unités ! La vergence \(C\) est en dioptries (\(\text{m}^{-1}\)). Par conséquent, les rayons \(R_1\) et \(R_2\) doivent impérativement être convertis en mètres (m) avant le calcul.

Points à retenir

Pour trouver la vergence d'une lentille mince dans l'air :

Convertir \(R_1\) et \(R_2\) en mètres, en respectant la convention de signe.
Appliquer \(C = (n - 1) (1/R_1 - 1/R_2)\).
Le résultat \(C\) est directement en dioptries (\(\text{m}^{-1}\)).

Le saviez-vous ?

Le terme "dioptrie" a été proposé par l'ophtalmologiste français Ferdinand Monoyer en 1872. C'est également lui qui a inventé l'échelle de Monoyer, un test d'acuité visuelle (l'échelle commençant par un grand "N" ou "Z") que l'on voit encore aujourd'hui.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La vergence de la lentille est \(C \approx +16.80 \text{ dioptries } (\delta)\).

A vous de jouer

Quelle serait la vergence si la lentille était faite d'un verre plus "puissant" (Flint) d'indice \(n = 1.620\), en gardant la même géométrie ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Formule : \(C = (n - 1) (1/R_1 - 1/R_2)\).
Vigilance : Convertir \(R\) en mètres.
Signes : Ne pas oublier le double négatif : \(- (1/R_2)\).

Question 3 : En déduire la longueur focale \(f\) en millimètres (mm).

Principe

La longueur focale \(f\) est, par définition, l'inverse de la vergence \(C\). Le calcul est donc une simple inversion du résultat de la question précédente, suivie d'une conversion d'unités.

Mini-Cours

La longueur focale (ou "focale"), notée \(f\), est la distance la plus importante d'une lentille. C'est la distance (en mètres) à laquelle des rayons lumineux parallèles à l'axe optique convergent (pour une lentille convergente) après avoir traversé la lentille. Elle est directement liée à la vergence par \(f = 1/C\).

Remarque Pédagogique

Notez la relation inverse : une vergence \(C\) élevée (lentille "puissante") donne une focale \(f\) courte (elle converge très vite). Une vergence \(C\) faible donne une focale \(f\) longue.

Normes

Le standard est de calculer \(f\) en mètres (car \(f=1/C\) et \(C\) est en \(\text{m}^{-1}\)). La conversion finale en millimètres (mm) est une convention pratique, car la plupart des lentilles optiques courantes ont des focales de l'ordre du mm ou cm.

Formule(s)

f = \frac{1}{C}

Hypothèses

Ce calcul suppose que la lentille est toujours dans l'air et que la vergence \(C \approx +16.80 \text{ \delta}\) calculée à la Q2 est correcte.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question 2 :

Paramètre	Symbole	Valeur (de Q2)	Unité
Vergence	\(C\)	+16.8025	\(\delta\) (ou \(\text{m}^{-1}\))

Astuces

Puisque \(C\) est en \(\text{m}^{-1}\), le calcul de \(f = 1/C\) donnera un résultat directement en mètres. Pour obtenir des millimètres, il suffit de multiplier ce résultat par 1000.

Schéma (Avant les calculs)

Cette étape est une simple inversion mathématique : la focale \(f\) est l'inverse de la vergence \(C\).

Relation Inverse f = 1/C

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de f en mètres

On utilise la formule \(f = 1/C\). On prend la valeur exacte de \(C\) calculée à la Q2, \(C \approx 16.8025 \text{ m}^{-1}\), pour plus de précision. Le résultat \(f\) sera en mètres.

f_{\text{m}} = \frac{1}{C} \] \[ f_{\text{m}} = \frac{1}{16.8025} \] \[ f_{\text{m}} \approx 0.059515 \text{ m}

Étape 2 : Conversion en millimètres

Pour convertir les mètres en millimètres, on multiplie la valeur par 1000 (car 1 m = 1000 mm).

\begin{aligned} f_{\text{mm}} &= f_{\text{m}} \times 1000 \\ f_{\text{mm}} &= 0.059515 \text{ m} \times 1000 \text{ mm/m} \\ f_{\text{mm}} &\approx 59.515 \text{ mm} \end{aligned}

On arrondit le résultat final à une décimale, ce qui est une précision courante pour les focales.

Schéma (Après les calculs)

Ce résultat signifie que des rayons parallèles entrant dans la lentille convergeront en un point (le foyer image \(F'\)) situé à 59.5 mm après la lentille.

Visualisation du Foyer Image F'

Réflexions

Une longueur focale de +59.5 mm est une valeur très typique pour une petite lentille de focalisation, par exemple dans un système d'imagerie simple ou un collimateur. Le signe positif confirme la nature convergente de la lentille.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est de mal gérer la conversion. N'écrivez jamais \(f = 1000 / C\). Faites toujours le calcul en mètres d'abord (\(f = 1 / C\)), puis convertissez le résultat final en millimètres en multipliant par 1000. Cela préserve la logique des unités.

Points à retenir

La focale (en mètres) est l'inverse de la vergence (en dioptries).
\(f = 1/C\).
Le signe de la focale \(f\) est toujours le même que le signe de la vergence \(C\).

Le saviez-vous ?

En photographie, une focale "standard" (par exemple 50 mm sur un appareil 24x36) est appelée ainsi car elle produit un champ de vision et une perspective qui semblent "naturels", proches de ce que l'œil humain perçoit. Les focales plus courtes (ex: 24 mm) sont des "grands angles", tandis que les focales plus longues (ex: 200 mm) sont des "téléobjectifs".

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La longueur focale de la lentille est \(f \approx +59.5 \text{ mm}\).

A vous de jouer

Si une lentille a une vergence de -5 \(\delta\), quelle est sa focale en mm ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Relation Clé : \(f = 1/C\).
Unités : Si \(C\) est en [\(\text{m}^{-1}\)], \(f\) est en [\(\text{m}\)].
Conversion : \(f_{\text{mm}} = f_{\text{m}} \times 1000\).

Question 4 : Recalculer si la face 2 était plane (plano-convexe).

Principe

Une surface "plane" est considérée en optique comme une sphère de rayon infini. Nous reprenons donc le calcul de la Question 2, mais en modifiant la valeur de \(R_2\).

Mini-Cours

Une lentille plano-convexe n'a qu'une seule face courbée (convexe) et une face plane. C'est un cas particulier de la formule des opticiens où l'un des rayons de courbure est infini (\(R = \infty\)). Mathématiquement, cela signifie que le terme \(1/R\) devient \(1/\infty\), ce qui est égal à 0.

Remarque Pédagogique

Pourquoi R = \(\infty\) ? Une ligne droite (un plan) peut être vue comme un arc de cercle dont le centre de courbure est rejeté à l'infini. Le terme \(1/R\) (la "courbure") devient donc nul, ce qui simplifie grandement le calcul.

Normes

La convention de signe s'applique toujours. Pour un plan, \(R = \infty\). Le signe n'a pas d'importance car \(+1/\infty\) et \(-1/\infty\) valent tous les deux 0. Si la face 1 était plane (plano-convexe "inversée"), on aurait \(R_1 = \infty\).

Formule(s)

Nous utilisons la même formule que pour la Q2 :

C' = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)

Hypothèses

La face 1 (\(R_1\)) reste inchangée. La face 2 (\(R_2\)) est maintenant plane.

Donnée(s)

Les données d'entrée pour ce nouveau calcul :

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Indice de réfraction	\(n\)	1.517	Énoncé
Terme (n-1)	\((n-1)\)	0.517	Q2
Rayon 1 (en m)	\(R_1\)	+0.050 m	Énoncé
Inverse de R1	\(1/R_1\)	20.0 \(\text{m}^{-1}\)	Q2
Rayon 2	\(R_2\)	\(\infty\)	Hypothèse Q4

Astuces

Pour une lentille plano-convexe (face 1 courbée), la formule se simplifie toujours en \(C = (n-1) / R_1\). Pour une plano-concave (face 1 courbée), \(C = (n-1) / R_1\) (mais comme \(R_1 < 0\), C sera négatif). C'est un raccourci très utile à connaître.

Schéma (Avant les calculs)

La lentille ressemble maintenant à ceci :

Schéma d'une Lentille Plano-Convexe

Calcul(s)

Étape 1 : Analyser les nouveaux termes

La formule de base est toujours \( C' = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \).

Le terme \((n-1)\) ne change pas : \((n - 1) = 0.517\).

Le terme \(1/R_1\) ne change pas : \(1/R_1 = 20.0 \text{ m}^{-1}\).

Le terme \(R_2\) change : \(R_2 = \infty\) (car la face 2 est plane).

Étape 2 : Calcul du terme \(1/R_2\)

Mathématiquement, 1 divisé par un nombre infiniment grand tend vers 0.

\frac{1}{R_2} = \frac{1}{\infty} = 0

Étape 3 : Calcul de la nouvelle vergence \(C'\)

On remplace nos termes dans la formule. Le terme \(1/R_2\) devient 0.

\begin{aligned} C' &= (n - 1) \times \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \\ C' &= 0.517 \times ( 20.0 - 0 ) \\ C' &= 0.517 \times 20.0 \\ \Rightarrow C' &= +10.34 \delta \end{aligned}

Étape 4 : Calcul de la nouvelle focale \(f'\)

On utilise la même méthode qu'à la Q3, en inversant la nouvelle vergence \(C'\).

\begin{aligned} f'_{\text{m}} &= \frac{1}{C'} = \frac{1}{10.34} \approx 0.09671 \text{ m} \\ f'_{\text{mm}} &= f'_{\text{m}} \times 1000 \approx 96.7 \text{ mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

En comparant avec la lentille biconvexe (Q3), la focale de la plano-convexe est plus longue. La lentille est moins "puissante".

Comparaison des Focales

Réflexions

En rendant la deuxième face plane, nous avons réduit la "puissance" de la lentille (la vergence a diminué de 16.80 à 10.34 \(\delta\)). Logiquement, la longueur focale a augmenté (de 59.5 mm à 96.7 mm) : la lentille converge moins rapidement. La face 2 (plane) ne contribue plus à la convergence.

Points de vigilance

Ne confondez pas "plan" (\(R = \infty\)) avec "centre à l'origine" (\(R = 0\)). \(R=0\) n'a pas de sens physique pour un rayon de courbure dans cette formule, et \(1/0\) est mathématiquement indéfini.

Points à retenir

Une surface plane a un rayon de courbure infini (\(R = \infty\)).
Par conséquent, sa contribution à la vergence est nulle (\(1/R = 0\)).

Le saviez-vous ?

Les lentilles plano-convexes sont souvent préférées aux biconvexes pour focaliser un faisceau parallèle (comme un laser). Pour minimiser les aberrations sphériquesDéfaut optique où les rayons passant par les bords de la lentille ne convergent pas au même point que ceux passant par le centre., on oriente toujours la face convexe vers le faisceau parallèle.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Pour une lentille plano-convexe (\(R_2 = \infty\)), la vergence est \(C' = +10.34 \text{ \delta}\) et la focale est \(f' = +96.7 \text{ mm}\).

A vous de jouer

Calculez la focale (en mm) de la lentille plano-convexe "inversée" de la FAQ (R₁ = \(\infty\), R₂ = -80 mm).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept : Lentille Plano-Convexe.
Valeur Clé : Face plane \(\implies R = \infty\).
Conséquence : Le terme \(1/R\) pour cette face devient 0.

Question 5 : Cette lentille biconvexe est-elle convergente ou divergente ?

Principe

La nature d'une lentille (convergente ou divergente) est directement donnée par le signe de sa vergence \(C\) ou de sa longueur focale \(f\). Cette question est une conclusion logique des calculs précédents.

Mini-Cours

Règles de base (pour une lentille dans l'air, \(n > 1\)) :

Convergente : Fait converger les rayons parallèles en un foyer réel. Sa vergence est positive (\(C > 0\)) et sa focale est positive (\(f > 0\)).
Divergente : Fait diverger les rayons parallèles. Ils semblent provenir d'un foyer virtuel. Sa vergence est négative (\(C < 0\)) et sa focale est négative (\(f < 0\)).

Remarque Pédagogique

La physique et la mathématique sont liées. Une lentille biconvexe (plus épaisse au centre) aura toujours (dans l'air) un \(C > 0\). Une lentille biconcave (plus épaisse aux bords) aura toujours un \(C < 0\). Le signe de votre calcul doit correspondre à la forme de la lentille !

Formule(s)

Il ne s'agit pas d'une formule de calcul, mais d'une règle d'interprétation :

\text{Si } C > 0 \text{ (ou } f > 0 \text{) } \Rightarrow \text{Lentille Convergente} \] \[ \text{Si } C < 0 \text{ (ou } f < 0 \text{) } \Rightarrow \text{Lentille Divergente}

Hypothèses

Nous supposons que la lentille (\(n=1.517\)) est plongée dans un milieu d'indice plus faible (l'air, \(n_0=1.0\)). Si la lentille était plongée dans un liquide plus réfringent (ex: \(n_0=1.6\)), elle deviendrait divergente !

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats finaux des questions 2 et 3 :

Paramètre	Symbole	Valeur Calculée	Signe
Vergence	\(C\)	+16.80 \(\delta\)	Positif
Focale	\(f\)	+59.5 mm	Positif

Astuces

Un simple coup d'œil à la lentille suffit : est-elle plus épaisse au centre ou sur les bords ? Si elle est épaisse au centre (comme une loupe), elle est convergente. Si elle est mince au centre (comme les lunettes pour myopes), elle est divergente. Utilisez cela pour vérifier votre calcul.

Schéma

Le signe positif de la focale (\(f = +59.5 \text{ mm}\)) signifie que les rayons parallèles convergent en un point réel \(F'\) situé *après* la lentille. C'est la définition d'une lentille convergente.

Cas 1 : Lentille Convergente (Notre exercice, f > 0)

Réflexions / Analyse et Conclusion

Les deux valeurs (vergence et focale) sont strictement positives.
1. \(C = +16.80 \delta \) est positif.
2. \(f = +59.5 \text{ mm}\) est positif.
Selon la règle d'interprétation, un signe positif pour \(C\) et \(f\) caractérise sans ambiguïté une lentille convergente.

Points de vigilance

Ne concluez pas trop vite à partir de la forme ! Une lentille biconvexe (épaisse au centre) plongée dans un liquide d'indice \(n_0 > n\) (par exemple, du sulfure de carbone) se comporterait comme une lentille divergente. L'hypothèse "dans l'air" est donc cruciale.

Points à retenir

Une lentille plus épaisse au centre qu'aux bords (comme une biconvexe) est, dans l'air, toujours convergente.

Le saviez-vous ?

Les lentilles des lunettes pour hypermétropes (qui voient mal de près) sont convergentes (\(f > 0\)), pour aider l'œil à focaliser l'image sur la rétine. Celles pour myopes (qui voient mal de loin) sont divergentes (\(f < 0\)).

Résultat Final

La lentille est convergente, car sa vergence (\(C > 0\)) et sa longueur focale (\(f > 0\)) sont positives.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

\(f > 0\) ou \(C > 0\) \(\implies\) Convergente (ex: Biconvexe).
\(f < 0\) ou \(C < 0\) \(\implies\) Divergente (ex: Biconcave).

Outil Interactif : Simulateur de Focale

Utilisez les curseurs pour voir comment l'indice de réfraction (\(n\)) et le premier rayon (\(R_1\)) influencent la puissance (Vergence) et la focale de la lentille. Nous fixons \(R_2 = -80 \text{ mm}\) pour cette simulation.

Paramètres d'Entrée

Indice de réfraction (n) 1.517

Rayon R₁ (mm) 50 mm

Résultats Clés

Vergence (C) (dioptries) -

Focale (f) (mm) -

Glossaire

Dioptrie (\(\delta\)): Unité de mesure de la vergencePuissance de convergence ou de divergence d'une lentille, mesurée en dioptries (m⁻¹). C'est l'inverse de la longueur focale. (puissance) d'un système optique. Une dioptrie est l'inverse d'un mètre (\(1 \delta = 1 \text{ m}^{-1}\)).
Formule des Opticiens: Équation qui relie la longueur focale (\(f\)) d'une lentille à son indice de réfraction (\(n\)) et aux rayons de courbure de ses faces (\(R_1, R_2\)).
Indice de Réfraction (\(n\)): Nombre sans dimension qui décrit la vitesse de la lumière dans un matériau, par rapport au vide. Un indice plus élevé signifie que la lumière ralentit davantage.
Lentille Convergente: Lentille qui fait converger (rassemble) les rayons lumineux parallèles en un point appelé foyer. Sa focale \(f\) et sa vergence \(C\) sont positives.
Lentille Divergente: Lentille qui fait diverger (écarte) les rayons lumineux parallèles. Ils semblent provenir d'un point virtuel. Sa focale \(f\) et sa vergence \(C\) sont négatives.
Longueur Focale (\(f\)): Distance entre le centre optique de la lentille et le point (foyer) où convergent (ou semblent diverger) des rayons parallèles.
Vergence (\(C\)): Puissance d'une lentille, mesurée en dioptries (\(\text{m}^{-1}\)). C'est l'inverse de la longueur focale (\(C = 1/f\)). Plus la vergence est élevée, plus la lentille est "puissante".

Calcul de la longueur focale d’une lentille

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma de la Lentille Biconvexe

Questions à traiter

Les bases sur l'Optique Géométrique

Correction : Calcul de la Longueur Focale d’une Lentille (Formule des Opticiens)

Question 1 : Expliquer la convention de signe pour \(R_1\) et \(R_2\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Analyse)

Analyse des Centres de Courbure

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer la vergence \(C\) de la lentille en dioptries (\(\delta\)).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Composantes de la Formule

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Visualisation d'une Vergence Positive Élevée

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : En déduire la longueur focale \(f\) en millimètres (mm).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Relation Inverse f = 1/C

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Foyer Image F'

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Recalculer si la face 2 était plane (plano-convexe).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Schéma d'une Lentille Plano-Convexe