ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la Vitesse Relativiste des Protons

Calcul de la Vitesse Relativiste des Protons en Physique des Particules

Calcul de la Vitesse Relativiste des Protons

Comprendre la Vitesse et l'Énergie Relativistes

En physique des particules, les accélérateurs peuvent amener des particules subatomiques, comme les protons, à des vitesses très proches de celle de la lumière (\(c\)). À de telles vitesses, les lois de la mécanique classique ne sont plus valables et il faut utiliser les principes de la relativité restreinte d'Einstein. L'énergie cinétique (\(K\)) d'une particule n'est plus simplement \(\frac{1}{2}m_0v^2\), mais est liée à son énergie totale (\(E\)) et à son énergie de masse au repos (\(E_0 = m_0c^2\)) par la relation \(K = E - E_0\). L'énergie totale est aussi donnée par \(E = \gamma m_0c^2\), où \(\gamma\) est le facteur de Lorentz. Connaître l'énergie cinétique d'une particule permet de déterminer sa vitesse relativiste.

Données du Problème

Un proton est accéléré dans un grand collisionneur de hadrons.

  • Masse au repos du proton (\(m_0\)) : \(1.6726 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • Énergie cinétique du proton (\(K\)) : \(7.00 \, \text{TeV}\) (Téraélectronvolts)

Constantes utiles :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Conversion d'énergie : \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
  • \(1 \, \text{TeV} = 10^{12} \, \text{eV}\)
  • Énergie de masse au repos du proton (\(m_0c^2\)) \(\approx 938.27 \, \text{MeV/c}^2\) (Note : \(1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}\))
Schéma : Proton Accéléré à une Vitesse Relativiste
Accélérateur de Particules Proton (initial) Proton (accéléré) v ≈ c

Illustration d'un proton accéléré à une vitesse proche de celle de la lumière.

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie de masse au repos (\(E_0\)) du proton en Joules (J).
  2. Convertir l'énergie cinétique (\(K\)) du proton de TeV en Joules (J).
  3. Calculer l'énergie relativiste totale (\(E\)) du proton en Joules (J).
  4. Calculer le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) pour ce proton.
  5. Calculer la vitesse (\(v\)) du proton. Exprimer cette vitesse comme une fraction de la vitesse de la lumière (\(c\)), c'est-à-dire calculer \(\beta = v/c\).
  6. Calculer la quantité de mouvement (moment) relativiste (\(p\)) du proton en \(\text{kg} \cdot \text{m/s}\).
  7. Si l'on utilisait la formule classique de l'énergie cinétique (\(K = \frac{1}{2}m_0v^2\)) avec la vitesse relativiste trouvée, quelle énergie cinétique obtiendrait-on ? Commenter la différence.

Correction : Calcul de la Vitesse Relativiste des Protons

Question 1 : Énergie de masse au repos (\(E_0\)) du proton en Joules

Principe :

L'énergie de masse au repos est donnée par \(E_0 = m_0 c^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_0 = m_0 c^2 \]
Données spécifiques :
  • \(m_0 = 1.6726 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • \(c = 2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} c^2 &= (2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s})^2 \\ &\approx 8.987404 \times 10^{16} \, \text{m}^2/\text{s}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_0 &= (1.6726 \times 10^{-27} \, \text{kg}) \times (8.987404 \times 10^{16} \, \text{m}^2/\text{s}^2) \\ &\approx 1.50327 \times 10^{-10} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie de masse au repos du proton est \(E_0 \approx 1.503 \times 10^{-10} \, \text{J}\).

Question 2 : Conversion de l'énergie cinétique (\(K\)) en Joules

Principe :

On utilise les facteurs de conversion \(1 \, \text{TeV} = 10^{12} \, \text{eV}\) et \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\).

Données spécifiques :
  • \(K = 7.00 \, \text{TeV}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} K (\text{eV}) &= 7.00 \, \text{TeV} \times 10^{12} \, \text{eV/TeV} \\ &= 7.00 \times 10^{12} \, \text{eV} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} K (\text{J}) &= (7.00 \times 10^{12} \, \text{eV}) \times (1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}) \\ &= 11.214 \times 10^{-7} \, \text{J} \\ &= 1.1214 \times 10^{-6} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'énergie cinétique du proton est \(K \approx 1.121 \times 10^{-6} \, \text{J}\).

Question 3 : Énergie relativiste totale (\(E\)) en Joules

Principe :

L'énergie relativiste totale est la somme de l'énergie de masse au repos et de l'énergie cinétique relativiste.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E = K + E_0 \]
Données spécifiques :
  • \(K \approx 1.1214 \times 10^{-6} \, \text{J}\)
  • \(E_0 \approx 1.50327 \times 10^{-10} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E &\approx (1.1214 \times 10^{-6} \, \text{J}) + (0.000150327 \times 10^{-6} \, \text{J}) \\ &\approx 1.121550327 \times 10^{-6} \, \text{J} \end{aligned} \]

Note : L'énergie cinétique est beaucoup plus grande que l'énergie de masse au repos, donc \(E \approx K\). Pour plus de précision, on peut utiliser l'énergie de masse au repos en MeV : \(E_0 \approx 938.27 \, \text{MeV}\). \(K = 7.00 \, \text{TeV} = 7000000 \, \text{MeV}\). \(E = K + E_0 = 7000000 \, \text{MeV} + 938.27 \, \text{MeV} = 7000938.27 \, \text{MeV}\). Convertissons cela en Joules : \(E \approx 7000938.27 \, \text{MeV} \times (1.602 \times 10^{-13} \, \text{J/MeV}) \approx 1.12155 \times 10^{-6} \, \text{J}\).

Résultat Question 3 : L'énergie relativiste totale du proton est \(E \approx 1.122 \times 10^{-6} \, \text{J}\).

Question 4 : Facteur de Lorentz (\(\gamma\))

Principe :

Le facteur de Lorentz peut être calculé à partir du rapport entre l'énergie totale et l'énergie de masse au repos.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E = \gamma E_0 \Rightarrow \gamma = \frac{E}{E_0} \]
Données spécifiques (en MeV pour faciliter) :
  • \(E \approx 7000938.27 \, \text{MeV}\)
  • \(E_0 \approx 938.27 \, \text{MeV}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \gamma &\approx \frac{7000938.27 \, \text{MeV}}{938.27 \, \text{MeV}} \\ &\approx 7461.5 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le facteur de Lorentz pour le proton est \(\gamma \approx 7462\).

Question 5 : Vitesse (\(v\)) du proton

Principe :

La vitesse \(v\) peut être déduite du facteur de Lorentz \(\gamma\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \Rightarrow 1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2 = \frac{1}{\gamma^2} \Rightarrow \left(\frac{v}{c}\right)^2 = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \Rightarrow \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \]
Données spécifiques :
  • \(\gamma \approx 7461.5\)
Calcul :
\[ \frac{1}{\gamma^2} \approx \frac{1}{(7461.5)^2} \approx \frac{1}{55673942} \approx 1.7961 \times 10^{-8} \]
\[ \begin{aligned} \beta = \frac{v}{c} &= \sqrt{1 - 1.7961 \times 10^{-8}} \\ &\approx \sqrt{0.999999982039} \\ &\approx 0.999999991019 \end{aligned} \]

La vitesse est extrêmement proche de \(c\). Pour exprimer la différence par rapport à \(c\), on peut écrire \(v = (1-\delta)c\). Alors \(\beta = 1-\delta\), et \(\beta^2 \approx 1-2\delta\). \(1/\gamma^2 = 1-\beta^2 \approx 1-(1-2\delta) = 2\delta\). Donc \(\delta \approx \frac{1}{2\gamma^2} \approx \frac{1}{2 \times (7461.5)^2} \approx \frac{1}{111347884} \approx 8.981 \times 10^{-9}\). Ainsi, \(v \approx (1 - 8.981 \times 10^{-9})c\).

Résultat Question 5 : La vitesse du proton est \(v \approx 0.999999991 c\), soit \(v \approx (1 - 8.98 \times 10^{-9})c\).

Question 6 : Quantité de mouvement relativiste (\(p\))

Principe :

La quantité de mouvement relativiste est \(p = \gamma m_0 v\). On peut aussi utiliser la relation \(E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ p = \gamma m_0 v = \gamma m_0 (\beta c) \]

Ou, plus simplement ici, puisque \(v \approx c\), \(p \approx E/c\).

\[ (pc)^2 = E^2 - (m_0c^2)^2 \Rightarrow p = \frac{\sqrt{E^2 - E_0^2}}{c} \]
Données spécifiques :
  • \(E \approx 1.12155 \times 10^{-6} \, \text{J}\)
  • \(E_0 \approx 1.50327 \times 10^{-10} \, \text{J}\)
  • \(c = 2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :

Puisque \(E \gg E_0\), \(E^2 - E_0^2 \approx E^2\). Donc \(p \approx E/c\).

\[ \begin{aligned} p &\approx \frac{1.12155 \times 10^{-6} \, \text{J}}{2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s}} \\ &\approx 3.7411 \times 10^{-15} \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La quantité de mouvement relativiste du proton est \(p \approx 3.741 \times 10^{-15} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\).

Question 7 : Comparaison avec l'énergie cinétique classique

Principe :

On calcule \(K_{\text{classique}} = \frac{1}{2}m_0v^2\) en utilisant la vitesse relativiste \(v \approx c\).

Données spécifiques :
  • \(m_0 = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\) (Attention, il s'agit d'un proton, pas d'un électron. Utilisons la masse du proton)
  • \(m_0 (\text{proton}) = 1.6726 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • \(v \approx c = 2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (car \(\beta \approx 1\))
  • \(K (\text{relativiste}) \approx 1.1214 \times 10^{-6} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} K_{\text{classique}} &\approx \frac{1}{2} (1.6726 \times 10^{-27} \, \text{kg}) (2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s})^2 \\ &\approx \frac{1}{2} (1.6726 \times 10^{-27}) (8.9874 \times 10^{16}) \, \text{J} \\ &\approx 7.516 \times 10^{-11} \, \text{J} \end{aligned} \]
Commentaire :

L'énergie cinétique relativiste (\(K \approx 1.121 \times 10^{-6} \, \text{J}\)) est beaucoup plus grande que l'énergie cinétique classique calculée avec la même vitesse (\(K_{\text{classique}} \approx 7.516 \times 10^{-11} \, \text{J}\)).

\[ \text{Rapport} = \frac{K}{K_{\text{classique}}} \approx \frac{1.121 \times 10^{-6}}{7.516 \times 10^{-11}} \approx 14915 \]

L'énergie cinétique relativiste est environ 15000 fois plus grande. Cela souligne l'inadéquation totale de la formule classique à des vitesses aussi élevées. La formule classique n'est valable que pour \(v \ll c\).

Résultat Question 7 : \(K_{\text{classique}} \approx 7.516 \times 10^{-11} \, \text{J}\). Elle est extrêmement inférieure à l'énergie cinétique relativiste, montrant l'échec de la mécanique classique à ces vitesses.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'énergie totale relativiste d'une particule est donnée par :

2. Lorsque la vitesse d'une particule s'approche de \(c\), son énergie cinétique relativiste :

3. L'énergie de masse au repos d'un proton est d'environ :

4. Si le facteur de Lorentz \(\gamma\) est très grand, cela signifie que la vitesse de la particule est :

Glossaire

Relativité Restreinte
Théorie d'Albert Einstein décrivant la relation entre l'espace et le temps pour des objets se déplaçant à des vitesses constantes dans des référentiels inertiels.
Énergie de Masse au Repos (\(E_0\))
Énergie qu'une particule possède en vertu de sa masse (\(m_0\)) lorsqu'elle est au repos, donnée par \(E_0 = m_0c^2\).
Énergie Relativiste Totale (\(E\))
Somme de l'énergie de masse au repos et de l'énergie cinétique d'une particule en mouvement. \(E = \gamma m_0 c^2\).
Énergie Cinétique Relativiste (\(K\))
Énergie due au mouvement d'une particule, calculée comme \(K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0c^2\).
Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Facteur \(\gamma = 1 / \sqrt{1 - v^2/c^2}\) qui quantifie les effets relativistes tels que la dilatation du temps et la contraction des longueurs.
Masse au Repos (\(m_0\))
Masse d'une particule mesurée dans son propre référentiel inertiel (où elle est immobile).
Vitesse de la Lumière (\(c\))
Vitesse de la lumière dans le vide, une constante universelle.
Électronvolt (eV)
Unité d'énergie couramment utilisée en physique des particules. \(1 \, \text{eV} \approx 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\).
Téraélectronvolt (TeV)
\(1 \, \text{TeV} = 10^{12} \, \text{eV}\).
Mégaélectronvolt (MeV)
\(1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}\).
Quantité de Mouvement Relativiste (\(p\))
Momentum d'une particule en mouvement à des vitesses relativistes, donné par \(p = \gamma m_0 v\).
Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule - Exercice d'Application

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