ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule

Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule en Relativité Restreinte

Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule

Comprendre l'Énergie Relativiste

La théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein a profondément modifié notre compréhension de l'énergie. Elle a introduit le concept d'équivalence masse-énergie, exprimé par la célèbre équation \(E=mc^2\), où \(E\) est l'énergie, \(m\) la masse, et \(c\) la vitesse de la lumière dans le vide. Pour une particule au repos, cette énergie est appelée énergie de masse au repos (\(E_0 = m_0 c^2\)). Lorsqu'une particule est en mouvement à une vitesse relativiste \(v\), son énergie totale (\(E\)) augmente et est donnée par \(E = \gamma m_0 c^2\), où \(\gamma\) est le facteur de Lorentz. L'énergie cinétique relativiste (\(K\)) est alors la différence entre l'énergie totale et l'énergie de masse au repos. Ces concepts sont cruciaux pour comprendre la physique des particules, l'astrophysique et les réactions nucléaires.

Données du Problème

On étudie un électron se déplaçant à une vitesse relativiste.

  • Masse au repos de l'électron (\(m_0\)) : \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
  • Vitesse de l'électron (\(v\)) : \(0.90c\) (où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide)

Constantes utiles :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Conversion d'énergie : \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
  • \(1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}\)
Schéma : Particule Relativiste et son Énergie
Au repos E₀ = m₀c² Accélération En mouvement E = γm₀c² v = 0.9c

Illustration d'une particule au repos avec son énergie de masse, et en mouvement avec son énergie relativiste totale.

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie de masse au repos (\(E_0\)) de l'électron en Joules (J).
  2. Convertir cette énergie de masse au repos en Mégaélectronvolts (MeV).
  3. Calculer le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) pour l'électron se déplaçant à \(v = 0.90c\).
  4. Calculer l'énergie relativiste totale (\(E\)) de l'électron en Joules (J).
  5. Calculer l'énergie cinétique relativiste (\(K\)) de l'électron en Joules (J).
  6. Calculer l'énergie cinétique classique (\(K_{\text{classique}}\)) de l'électron en utilisant la formule \(\frac{1}{2}m_0v^2\).
  7. Comparer l'énergie cinétique relativiste et l'énergie cinétique classique. Quel est l'écart relatif ? Commenter.

Correction : Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule

Question 1 : Énergie de masse au repos (\(E_0\)) en Joules

Principe :

L'énergie de masse au repos est donnée par la célèbre équation d'Einstein.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_0 = m_0 c^2 \]
Données spécifiques :
  • \(m_0 = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
  • \(c = 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} c^2 &= (2.998 \times 10^8 \, \text{m/s})^2 \\ &\approx 8.988004 \times 10^{16} \, \text{m}^2/\text{s}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_0 &= (9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}) \times (8.988004 \times 10^{16} \, \text{m}^2/\text{s}^2) \\ &\approx 8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie de masse au repos de l'électron est \(E_0 \approx 8.187 \times 10^{-14} \, \text{J}\).

Question 2 : Conversion de \(E_0\) en Mégaélectronvolts (MeV)

Principe :

On utilise les facteurs de conversion entre Joules et électronvolts, puis entre eV et MeV.

Données spécifiques :
  • \(E_0 \approx 8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J}\)
  • \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
  • \(1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_0 (\text{eV}) &\approx \frac{8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 5.11036 \times 10^5 \, \text{eV} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_0 (\text{MeV}) &\approx \frac{5.11036 \times 10^5 \, \text{eV}}{10^6 \, \text{eV/MeV}} \\ &\approx 0.511036 \, \text{MeV} \end{aligned} \]

En arrondissant : \(E_0 \approx 0.511 \, \text{MeV}\). C'est une valeur bien connue pour l'énergie de masse au repos de l'électron.

Résultat Question 2 : L'énergie de masse au repos de l'électron est \(E_0 \approx 0.511 \, \text{MeV}\).

Question 3 : Facteur de Lorentz (\(\gamma\))

Principe :

Le facteur de Lorentz dépend de la vitesse relative \(\beta = v/c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \quad \text{avec } \beta = \frac{v}{c} \]
Données spécifiques :
  • \(v = 0.90c \Rightarrow \beta = 0.90\)
Calcul :
\[ \beta^2 = (0.90)^2 = 0.81 \]
\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 - 0.81}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{0.19}} \\ &\approx \frac{1}{0.43589} \\ &\approx 2.29416 \end{aligned} \]

En arrondissant : \(\gamma \approx 2.294\).

Résultat Question 3 : Le facteur de Lorentz pour l'électron est \(\gamma \approx 2.294\).

Question 4 : Énergie relativiste totale (\(E\)) en Joules

Principe :

L'énergie relativiste totale est le produit du facteur de Lorentz et de l'énergie de masse au repos.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E = \gamma E_0 = \gamma m_0 c^2 \]
Données spécifiques :
  • \(\gamma \approx 2.29416\)
  • \(E_0 \approx 8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E &\approx 2.29416 \times (8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J}) \\ &\approx 1.8780 \times 10^{-13} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie relativiste totale de l'électron est \(E \approx 1.878 \times 10^{-13} \, \text{J}\).

Question 5 : Énergie cinétique relativiste (\(K\)) en Joules

Principe :

L'énergie cinétique relativiste est la différence entre l'énergie totale et l'énergie de masse au repos.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0 c^2 = (\gamma - 1)E_0 \]
Données spécifiques :
  • \(E \approx 1.8780 \times 10^{-13} \, \text{J}\)
  • \(E_0 \approx 8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J}\)
  • Ou \(\gamma \approx 2.29416\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} K &\approx (1.8780 \times 10^{-13} \, \text{J}) - (8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J}) \\ &= (1.8780 - 0.81868) \times 10^{-13} \, \text{J} \\ &= 1.05932 \times 10^{-13} \, \text{J} \end{aligned} \]

Alternativement :

\[ \begin{aligned} K &\approx (2.29416 - 1) \times (8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J}) \\ &= 1.29416 \times 8.1868 \times 10^{-14} \, \text{J} \\ &\approx 1.0593 \times 10^{-13} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie cinétique relativiste de l'électron est \(K \approx 1.059 \times 10^{-13} \, \text{J}\).

Question 6 : Énergie cinétique classique (\(K_{\text{classique}}\))

Principe :

L'énergie cinétique classique est donnée par la formule \(\frac{1}{2}m_0v^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K_{\text{classique}} = \frac{1}{2}m_0 v^2 \]
Données spécifiques :
  • \(m_0 = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
  • \(v = 0.90c = 0.90 \times (2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}) \approx 2.6982 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v^2 &\approx (2.6982 \times 10^8 \, \text{m/s})^2 \approx 7.28028 \times 10^{16} \, \text{m}^2/\text{s}^2 \\ K_{\text{classique}} &\approx \frac{1}{2} \times (9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}) \times (7.28028 \times 10^{16} \, \text{m}^2/\text{s}^2) \\ &\approx 0.5 \times 6.6314 \times 10^{-14} \, \text{J} \\ &\approx 3.3157 \times 10^{-14} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'énergie cinétique classique de l'électron est \(K_{\text{classique}} \approx 3.316 \times 10^{-14} \, \text{J}\).

Question 7 : Comparaison des énergies cinétiques et écart relatif

Principe :

On compare \(K\) et \(K_{\text{classique}}\) et on calcule l'écart relatif : \(\text{Écart Relatif} = \frac{|K - K_{\text{classique}}|}{K}\).

Données spécifiques :
  • \(K \approx 1.05932 \times 10^{-13} \, \text{J}\)
  • \(K_{\text{classique}} \approx 0.33157 \times 10^{-13} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Écart Relatif} &= \frac{|1.05932 \times 10^{-13} - 0.33157 \times 10^{-13}|}{1.05932 \times 10^{-13}} \\ &= \frac{0.72775 \times 10^{-13}}{1.05932 \times 10^{-13}} \\ &\approx 0.6869 \end{aligned} \]

En pourcentage : \(0.6869 \times 100\% \approx 68.7\%\).

Commentaire :

L'énergie cinétique relativiste (\(1.059 \times 10^{-13} \, \text{J}\)) est significativement plus élevée que l'énergie cinétique classique (\(0.332 \times 10^{-13} \, \text{J}\)). L'écart relatif est d'environ 68.7%. Cela montre qu'à des vitesses proches de celle de la lumière (\(v=0.9c\)), la formule classique de l'énergie cinétique sous-estime considérablement l'énergie réelle de la particule. La formule relativiste est nécessaire pour décrire correctement l'énergie des particules à haute vitesse.

Résultat Question 7 : L'énergie cinétique relativiste est \(K \approx 1.059 \times 10^{-13} \, \text{J}\) et l'énergie cinétique classique est \(K_{\text{classique}} \approx 3.316 \times 10^{-14} \, \text{J}\). L'écart relatif est d'environ \(68.7\%\), indiquant que la mécanique classique n'est pas applicable à cette vitesse.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'énergie de masse au repos d'une particule est donnée par :

2. Le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) :

3. L'énergie cinétique relativiste \(K\) est définie comme :

4. À des vitesses très faibles par rapport à \(c\), l'énergie cinétique relativiste :

Glossaire

Relativité Restreinte
Théorie d'Albert Einstein qui décrit la physique du mouvement en l'absence de champs gravitationnels, basée sur la constance de la vitesse de la lumière et le principe de relativité.
Énergie de Masse au Repos (\(E_0\))
Énergie intrinsèque d'une particule due à sa masse au repos (\(m_0\)), donnée par \(E_0 = m_0c^2\).
Énergie Relativiste Totale (\(E\))
Énergie totale d'une particule en mouvement, incluant son énergie de masse au repos et son énergie cinétique. \(E = \gamma m_0 c^2\).
Énergie Cinétique Relativiste (\(K\))
Énergie associée au mouvement d'une particule, définie comme la différence entre son énergie totale et son énergie de masse au repos : \(K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0 c^2\).
Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Facteur \(\gamma = 1 / \sqrt{1 - v^2/c^2}\) qui décrit comment les mesures de temps, de longueur et de masse relativiste d'un objet changent lorsque l'objet est en mouvement.
Masse au Repos (\(m_0\))
Masse d'un objet mesurée dans un référentiel où l'objet est immobile.
Vitesse de la Lumière (\(c\))
Vitesse de la lumière dans le vide, une constante fondamentale de la nature (\(\approx 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)).
Électronvolt (eV)
Unité d'énergie utilisée en physique atomique et des particules. \(1 \, \text{eV} \approx 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\).
Mégaélectronvolt (MeV)
\(1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}\).
Principe d'Incertitude de Heisenberg
Principe fondamental de la mécanique quantique qui énonce qu'il existe des limites fondamentales à la précision avec laquelle certaines paires de propriétés physiques d'une particule, telles que la position et l'impulsion, peuvent être connues simultanément.
Calcul de l’Énergie Relativiste d’une Particule - Exercice d'Application

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