ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul du Rayon de Courbure pour un Pion

Calcul du Rayon de Courbure d'un Pion en Physique des Particules

Calcul du Rayon de Courbure d'un Pion dans un Champ Magnétique

Comprendre le Mouvement des Particules Chargées dans un Champ Magnétique

En physique des particules et en électromagnétisme, une particule chargée se déplaçant dans un champ magnétique uniforme subit une force appelée force de Lorentz. Si la vitesse initiale de la particule est perpendiculaire au champ magnétique, cette force est toujours perpendiculaire à la vitesse, agissant comme une force centripète. En conséquence, la particule décrit une trajectoire circulaire. Le rayon de cette trajectoire, appelé rayon de courbure ou rayon cyclotron, dépend de la masse de la particule, de sa charge, de sa vitesse et de l'intensité du champ magnétique. Ce principe est fondamental dans de nombreux dispositifs, tels que les spectromètres de masse, les cyclotrons et les détecteurs de particules.

Données de l'étude

Un pion chargé positivement (\(\pi^+\)) pénètre dans une région où règne un champ magnétique uniforme, avec une vitesse perpendiculaire aux lignes de champ.

Caractéristiques de la particule et du champ :

  • Particule : Pion positif (\(\pi^+\))
  • Charge du pion (\(q\)) : \(+e = +1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Masse du pion (\(m_{\pi}\)) : \(139.6 \, \text{MeV/c}^2\)
  • Vitesse du pion (\(v\)) : \(0.60c\) (où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide)
  • Intensité du champ magnétique uniforme (\(B\)) : \(1.20 \, \text{T}\) (Tesla)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(2.99792 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Conversion d'énergie : \(1 \, \text{MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \, \text{J}\)
Schéma d'un Pion dans un Champ Magnétique
B (entrant) × × × × × × × × × × × × π⁺ v F_L Trajectoire Circulaire

Un pion positif décrivant une trajectoire circulaire dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire à sa vitesse.

Questions à traiter

  1. Convertir la masse du pion (\(m_{\pi}\)) de MeV/c² en kilogrammes (kg).
  2. Calculer la vitesse du pion (\(v\)) en mètres par seconde (m/s).
  3. Calculer la magnitude de la force de Lorentz (\(F_L\)) agissant sur le pion.
  4. En considérant que la force de Lorentz est la force centripète, écrire l'équation reliant \(F_L\), \(m_{\pi}\), \(v\) et le rayon de courbure \(r\).
  5. Calculer le rayon de courbure (\(r\)) de la trajectoire du pion dans le champ magnétique.
  6. Calculer la période (\(T\)) et la fréquence cyclotron (\(f_c\)) du mouvement circulaire du pion.

Correction : Calcul du Rayon de Courbure d'un Pion

Question 1 : Conversion de la Masse du Pion en Kilogrammes

Principe :

La masse est donnée en unités d'énergie (MeV) divisées par \(c^2\). On utilise la relation \(E=mc^2\), donc \(m = E/c^2\). Il faut convertir les MeV en Joules.

Relations :
\[1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}\] \[1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\]
Données spécifiques :
  • Masse du pion (\(m_{\pi}\)) : \(139.6 \, \text{MeV/c}^2\)
  • \(c = 2.99792 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :

Énergie équivalente à la masse du pion en Joules :

\[ \begin{aligned} E_{\pi} &= 139.6 \, \text{MeV} \times (10^6 \, \text{eV/MeV}) \times (1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}) \\ &= 139.6 \times 1.602 \times 10^{-13} \, \text{J} \\ &\approx 223.6392 \times 10^{-13} \, \text{J} \\ &\approx 2.2364 \times 10^{-11} \, \text{J} \end{aligned} \]

Masse en kg :

\[ \begin{aligned} m_{\pi} &= \frac{E_{\pi}}{c^2} = \frac{2.2364 \times 10^{-11} \, \text{J}}{(2.99792 \times 10^8 \, \text{m/s})^2} \\ &= \frac{2.2364 \times 10^{-11}}{8.98752 \times 10^{16}} \, \text{kg} \\ &\approx 0.248829 \times 10^{-27} \, \text{kg} \\ &\approx 2.488 \times 10^{-28} \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La masse du pion est \(m_{\pi} \approx 2.488 \times 10^{-28} \, \text{kg}\).

Question 2 : Calcul de la Vitesse du Pion en m/s

Principe :

La vitesse est donnée comme une fraction de la vitesse de la lumière \(c\).

Données spécifiques :
  • \(v = 0.60c\)
  • \(c = 2.99792 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= 0.60 \times (2.99792 \times 10^8 \, \text{m/s}) \\ &= 1.798752 \times 10^8 \, \text{m/s} \\ &\approx 1.80 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse du pion est \(v \approx 1.80 \times 10^8 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Magnitude de la Force de Lorentz (\(F_L\))

Principe :

La force de Lorentz agissant sur une particule chargée \(q\) se déplaçant à une vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\) est \(\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})\). Puisque la vitesse est perpendiculaire au champ magnétique, la magnitude de la force est \(F_L = |q|vB\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_L = |q|vB\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(|q| = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • \(v \approx 1.798752 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(B = 1.20 \, \text{T}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_L &= (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (1.798752 \times 10^8 \, \text{m/s}) \times (1.20 \, \text{T}) \\ &\approx 3.458 \times 10^{-11} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La magnitude de la force de Lorentz est \(F_L \approx 3.46 \times 10^{-11} \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la vitesse d'une particule chargée dans un champ magnétique double (B constant), la force de Lorentz :

Question 4 : Équation reliant \(F_L\), \(m_{\pi}\), \(v\) et \(r\)

Principe :

La force de Lorentz, étant perpendiculaire à la vitesse, agit comme une force centripète (\(F_c\)) qui maintient la particule sur une trajectoire circulaire. La magnitude de la force centripète est donnée par \(F_c = \frac{m_{\pi}v^2}{r}\).

Équation :
\[F_L = F_c \quad \Rightarrow \quad |q|vB = \frac{m_{\pi}v^2}{r}\]
Résultat Question 4 : L'équation reliant les grandeurs est \(|q|vB = \frac{m_{\pi}v^2}{r}\).

Question 5 : Calcul du Rayon de Courbure (\(r\))

Principe :

On réarrange l'équation précédente pour isoler \(r\).

Formule(s) réarrangée(s) :
\[r = \frac{m_{\pi}v}{|q|B}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(m_{\pi} \approx 2.48829 \times 10^{-28} \, \text{kg}\)
  • \(v \approx 1.798752 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(|q| = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • \(B = 1.20 \, \text{T}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} r &= \frac{(2.48829 \times 10^{-28} \, \text{kg}) \times (1.798752 \times 10^8 \, \text{m/s})}{(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (1.20 \, \text{T})} \\ &= \frac{4.4759 \times 10^{-20} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{1.9224 \times 10^{-19} \, \text{C} \cdot \text{T}} \\ &\approx 0.23282... \, \text{m} \\ &\approx 0.233 \, \text{m} \quad (\text{ou } 23.3 \, \text{cm}) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le rayon de courbure de la trajectoire du pion est \(r \approx 0.233 \, \text{m}\).

Question 6 : Période (\(T\)) et Fréquence Cyclotron (\(f_c\))

Principe :

La période \(T\) est le temps pour un tour complet : \(T = \frac{2\pi r}{v}\). Elle peut aussi s'exprimer comme \(T = \frac{2\pi m}{|q|B}\). La fréquence cyclotron \(f_c\) est l'inverse de la période : \(f_c = 1/T = \frac{|q|B}{2\pi m}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T = \frac{2\pi m_{\pi}}{|q|B} \quad \text{et} \quad f_c = \frac{1}{T}\]
Données :
  • \(m_{\pi} \approx 2.48829 \times 10^{-28} \, \text{kg}\)
  • \(|q| = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • \(B = 1.20 \, \text{T}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul de la période \(T\) :
\[ \begin{aligned} T &= \frac{2\pi \times (2.48829 \times 10^{-28} \, \text{kg})}{(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (1.20 \, \text{T})} \\ &= \frac{1.5634 \times 10^{-27}}{1.9224 \times 10^{-19}} \, \text{s} \\ &\approx 0.81325 \times 10^{-8} \, \text{s} \\ &\approx 8.13 \times 10^{-9} \, \text{s} \quad (\text{ou } 8.13 \, \text{ns}) \end{aligned} \]
Calcul de la fréquence cyclotron \(f_c\) :
\[ \begin{aligned} f_c &= \frac{1}{T} = \frac{1}{8.1325 \times 10^{-9} \, \text{s}} \\ &\approx 0.12296 \times 10^9 \, \text{Hz} \\ &\approx 1.23 \times 10^8 \, \text{Hz} \quad (\text{ou } 123 \, \text{MHz}) \end{aligned} \]
Résultat Question 6 :
La période du mouvement est \(T \approx 8.13 \times 10^{-9} \, \text{s}\).
La fréquence cyclotron est \(f_c \approx 1.23 \times 10^8 \, \text{Hz}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le champ magnétique \(B\) est doublé, la période \(T\) du mouvement circulaire (pour \(m, q, v\) constants) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force de Lorentz sur une particule chargée est toujours :

2. Le rayon de la trajectoire circulaire d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme est :

3. L'unité de l'intensité du champ magnétique dans le Système International est :

Glossaire

Pion (\(\pi\))
Type de méson, une particule subatomique composite. Les pions chargés (\(\pi^+\), \(\pi^-\)) ont une charge élémentaire.
Force de Lorentz (\(\vec{F}_L\))
Force exercée par un champ électromagnétique (champ électrique \(\vec{E}\) et champ magnétique \(\vec{B}\)) sur une particule chargée \(q\) se déplaçant à une vitesse \(\vec{v}\). \(\vec{F}_L = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\).
Force Centripète (\(F_c\))
Force qui maintient un objet en mouvement sur une trajectoire circulaire, dirigée vers le centre de la courbure. \(F_c = mv^2/r\).
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique sur les charges électriques en mouvement, les courants électriques et les matériaux magnétiques. Unité SI : Tesla (T).
Rayon de Courbure (Rayon Cyclotron, \(r\))
Rayon de la trajectoire circulaire décrite par une particule chargée se déplaçant perpendiculairement à un champ magnétique uniforme.
MeV/c²
Unité de masse utilisée en physique des particules, où l'énergie (en MeV) est divisée par le carré de la vitesse de la lumière. Elle est équivalente à une unité de masse via \(E=mc^2\).
Période de Révolution (\(T\))
Temps nécessaire à une particule pour effectuer un tour complet sur sa trajectoire circulaire.
Fréquence Cyclotron (\(f_c\))
Nombre de révolutions effectuées par une particule chargée dans un champ magnétique par unité de temps. \(f_c = 1/T\).
Calcul du Rayon de Courbure - Exercice d'Application en Physique des Particules

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