Calcul du Temps dans l’Espace en Relativité Restreinte
Comprendre la Dilatation du Temps en Relativité
La théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein a révolutionné notre compréhension de l'espace et du temps. L'un de ses concepts les plus fascinants est la dilatation du temps : le temps ne s'écoule pas de la même manière pour tous les observateurs. Pour un observateur en mouvement par rapport à une horloge, cette horloge semblera s'écouler plus lentement que si elle était au repos par rapport à lui. Cet effet devient significatif lorsque les vitesses approchent celle de la lumière. Le temps mesuré dans le référentiel propre d'un objet (où l'objet est au repos) est appelé "temps propre". Pour un observateur externe qui voit cet objet en mouvement, le temps mesuré sera plus long, dilaté par le facteur de Lorentz (\(\gamma\)).
Données de l'étude : Voyage Interstellaire
- Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)).
- Une année-lumière (al) est la distance parcourue par la lumière en une année.
Schéma : Voyage Spatial d'un Vaisseau
Un vaisseau spatial voyage de la Terre vers une exoplanète à une vitesse relativiste.
Questions à traiter
- Calculer le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) pour la vitesse du vaisseau spatial.
- Du point de vue d'un observateur sur Terre, combien de temps (\(\Delta t_{\text{Terre}}\)) dure le voyage du vaisseau vers l'exoplanète ?
- Du point de vue de l'astronaute à bord du vaisseau, combien de temps propre (\(\Delta \tau_{\text{astronaute}}\)) s'est écoulé pour lui pendant ce voyage ?
- Quel âge aura l'astronaute (selon sa propre horloge) lorsqu'il atteindra l'exoplanète ?
- Du point de vue de l'astronaute, quelle est la distance \(D'\) qu'il a parcourue entre la Terre et l'exoplanète (phénomène de contraction des longueurs) ?
Correction : Calcul du Temps dans l’Espace en Relativité
Question 1 : Calcul du facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Principe :
Le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) est défini par \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(v = 0.600c \Rightarrow v/c = 0.600\)
Calcul :
Question 2 : Temps du voyage pour un observateur terrestre (\(\Delta t_{\text{Terre}}\))
Principe :
Du point de vue terrestre, le temps de voyage est la distance \(D\) divisée par la vitesse \(v\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(D = 12.0 \, \text{al}\)
- \(v = 0.600c\)
Calcul :
Question 3 : Temps propre écoulé pour l'astronaute (\(\Delta \tau_{\text{astronaute}}\))
Principe :
Le temps propre mesuré par l'astronaute est relié au temps mesuré sur Terre par la formule de dilatation du temps : \(\Delta t_{\text{Terre}} = \gamma \Delta \tau_{\text{astronaute}}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(\Delta t_{\text{Terre}} = 20.0 \, \text{ans}\)
- \(\gamma = 1.25\)
Calcul :
Question 4 : Âge de l'astronaute à l'arrivée
Principe :
On ajoute le temps propre écoulé pour l'astronaute à son âge initial.
Données spécifiques :
- Âge initial de l'astronaute : \(25 \, \text{ans}\)
- \(\Delta \tau_{\text{astronaute}} = 16.0 \, \text{ans}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : Si la vitesse du vaisseau était de \(0.99c\) au lieu de \(0.6c\), le facteur de Lorentz \(\gamma\) serait :
Question 5 : Distance \(D'\) parcourue du point de vue de l'astronaute
Principe :
Du point de vue de l'astronaute, la distance \(D\) entre la Terre et l'exoplanète (qui est en mouvement par rapport à lui) subit une contraction des longueurs. La distance contractée \(D'\) est donnée par \(D' = D / \gamma\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(D = 12.0 \, \text{al}\) (distance propre mesurée dans le référentiel Terre-Étoile)
- \(\gamma = 1.25\)
Calcul :
Alternativement, du point de vue de l'astronaute, il voyage pendant \(\Delta \tau_{\text{astronaute}} = 16.0 \, \text{ans}\) à une vitesse \(v=0.600c\). La distance qu'il perçoit avoir parcourue est \(D' = v \times \Delta \tau_{\text{astronaute}} = 0.600c \times 16.0 \, \text{ans} = 9.60 \, (c \cdot \text{ans}) = 9.60 \, \text{al}\).
Quiz Intermédiaire 2 : La contraction des longueurs signifie qu'un objet en mouvement apparaît :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) :
2. Le temps propre (\(\Delta \tau\)) est le temps mesuré :
3. Si un astronaute voyage à \(v=0.999c\), le temps s'écoulera pour lui :
Glossaire
- Relativité Restreinte
- Théorie d'Einstein décrivant la physique du mouvement en l'absence de champs gravitationnels intenses, basée sur l'invariance des lois physiques dans les référentiels inertiels et la constance de la vitesse de la lumière.
- Dilatation du Temps
- Phénomène où le temps mesuré par une horloge en mouvement est plus long que le temps propre mesuré par une horloge au repos par rapport à l'observateur. \(\Delta t = \gamma \Delta \tau_0\).
- Temps Propre (\(\Delta \tau_0\))
- Intervalle de temps entre deux événements mesuré dans un référentiel où ces deux événements se produisent au même endroit. C'est le temps le plus court mesurable entre ces deux événements.
- Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
- Facteur \(\gamma = 1/\sqrt{1-(v/c)^2}\) qui apparaît dans les transformations de Lorentz et décrit l'ampleur des effets relativistes.
- Contraction des Longueurs
- Phénomène où la longueur d'un objet en mouvement est mesurée comme étant plus courte dans la direction de son mouvement que sa longueur propre (longueur au repos). \(L = L_0/\gamma\).
- Année-Lumière (al)
- Unité de distance : la distance que la lumière parcourt dans le vide en une année.
- Référentiel Inertiel
- Référentiel dans lequel un objet non soumis à des forces reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.
D’autres exercices de rélativité:
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