ÉTUDE DE PHYSIQUE

Conservation de l’énergie mécanique

Conservation de l'énergie mécanique

Conservation de l'énergie mécanique

Comprendre la Conservation de l'Énergie Mécanique

En mécanique classique, l'énergie mécanique (\(E_m\)) d'un système est la somme de son énergie cinétique (\(E_c\)) et de son énergie potentielle (\(E_p\)). Le principe de conservation de l'énergie mécanique stipule que si un système n'est soumis qu'à des forces conservatives (comme la gravité ou la force élastique d'un ressort parfait) et qu'aucune force non conservative (comme les frottements ou la résistance de l'air) n'effectue de travail, alors son énergie mécanique totale reste constante au cours du temps. Cet exercice explore l'application de ce principe fondamental.

Problème

Un chariot de masse \(m\) est initialement au repos au sommet (point A) d'un plan incliné lisse formant un angle \(\theta\) avec l'horizontale. La hauteur du point A par rapport au bas du plan (point B) est \(h_A\). Après avoir glissé le long du plan incliné, le chariot continue son mouvement sur un plan horizontal lisse et vient heurter un ressort horizontal de constante de raideur \(k\), initialement au repos.

Caractéristiques et Données :

  • Masse du chariot (\(m\)) : \(0.50 \, \text{kg}\)
  • Hauteur initiale (\(h_A\)) : \(1.25 \, \text{m}\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Constante de raideur du ressort (\(k\)) : \(200 \, \text{N/m}\)
  • On néglige les frottements et la résistance de l'air dans tout le problème, sauf indication contraire.
  • L'énergie potentielle de pesanteur est nulle au niveau du plan horizontal (point B).
Schéma du Système
A Plan incliné lisse h_A B Ressort (k) v_B Conservation de l'énergie mécanique

Schéma du chariot descendant un plan incliné et rencontrant un ressort.

Questions à traiter

  1. Partie A : Descente sur le plan incliné
    1. Définir le système et le référentiel. Choisir l'origine des énergies potentielles.
    2. Exprimer l'énergie mécanique du chariot au point A (\(E_{m,A}\)).
    3. Exprimer l'énergie mécanique du chariot au point B (\(E_{m,B}\)) en fonction de sa vitesse \(v_B\).
    4. En appliquant le principe de conservation de l'énergie mécanique entre A et B, déduire l'expression littérale de la vitesse \(v_B\) du chariot au point B.
    5. Calculer la valeur numérique de \(v_B\).

  2. Partie B : Compression du ressort
    1. Le chariot arrive au contact du ressort au point C (considéré confondu avec B pour l'énergie) avec la vitesse \(v_B\). Il comprime le ressort jusqu'à un point D où sa vitesse s'annule (compression maximale \(x_{\text{max}}\)). Exprimer l'énergie mécanique du système {chariot + ressort} au point C (\(E_{m,C}\)).
    2. Exprimer l'énergie mécanique du système {chariot + ressort} au point D (\(E_{m,D}\)) en fonction de la compression maximale \(x_{\text{max}}\).
    3. En appliquant le principe de conservation de l'énergie mécanique entre C et D, déduire l'expression littérale de la compression maximale \(x_{\text{max}}\) du ressort.
    4. Calculer la valeur numérique de \(x_{\text{max}}\).

Correction : Conservation de l'énergie mécanique

Partie A - Question a : Définition du système, référentiel et origine des énergies

Principe :

Pour appliquer les lois de la mécanique, il est essentiel de définir clairement le système étudié, le référentiel dans lequel le mouvement est décrit, et l'origine (niveau de référence) pour l'énergie potentielle de pesanteur.

Réponse :
  • Système : Le chariot de masse \(m\).
  • Référentiel : Terrestre, supposé galiléen pour la durée de l'expérience.
  • Origine de l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{pp}\)) : Le niveau du plan horizontal passant par le point B. Ainsi, au point B, \(E_{pp,B} = 0\).
Résultat A.a : Le système, le référentiel et l'origine des énergies sont définis ci-dessus.

Partie A - Question b : Énergie mécanique au point A (\(E_{m,A}\))

Principe :

L'énergie mécanique \(E_m\) est la somme de l'énergie cinétique \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) et de l'énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp} = mgh\).

Données spécifiques pour le point A :
  • Vitesse initiale en A : \(v_A = 0 \, \text{m/s}\) (lâché sans vitesse initiale)
  • Hauteur en A : \(h_A\)
Calcul :

Énergie cinétique en A :

\[E_{c,A} = \frac{1}{2}mv_A^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0 \, \text{J}\]

Énergie potentielle de pesanteur en A (par rapport au niveau de B) :

\[E_{pp,A} = mgh_A\]

Énergie mécanique en A :

\[E_{m,A} = E_{c,A} + E_{pp,A} = 0 + mgh_A = mgh_A\]
Résultat A.b : L'énergie mécanique au point A est \(E_{m,A} = mgh_A\).

Partie A - Question c : Énergie mécanique au point B (\(E_{m,B}\))

Principe :

L'énergie mécanique \(E_m\) est la somme de l'énergie cinétique \(E_c\) et de l'énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp}\).

Données spécifiques pour le point B :
  • Vitesse en B : \(v_B\) (inconnue à ce stade)
  • Hauteur en B : \(h_B = 0\) (origine des énergies potentielles)
Calcul :

Énergie cinétique en B :

\[E_{c,B} = \frac{1}{2}mv_B^2\]

Énergie potentielle de pesanteur en B :

\[E_{pp,B} = mgh_B = mg(0) = 0 \, \text{J}\]

Énergie mécanique en B :

\[E_{m,B} = E_{c,B} + E_{pp,B} = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_B^2\]
Résultat A.c : L'énergie mécanique au point B est \(E_{m,B} = \frac{1}{2}mv_B^2\).

Partie A - Question d : Expression littérale de la vitesse \(v_B\)

Principe :

Le plan incliné est lisse, donc les frottements sont négligés. La seule force qui travaille est le poids (force conservative). L'énergie mécanique se conserve donc entre A et B.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{m,A} = E_{m,B}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} mgh_A &= \frac{1}{2}mv_B^2 \\ \text{En simplifiant par } m \text{ (si } m \neq 0 \text{) :} \\ gh_A &= \frac{1}{2}v_B^2 \\ 2gh_A &= v_B^2 \\ v_B &= \sqrt{2gh_A} \end{aligned} \]

On choisit la racine positive car la vitesse est une norme.

Résultat A.d : L'expression littérale de la vitesse au point B est \(v_B = \sqrt{2gh_A}\).

Partie A - Question e : Calcul numérique de \(v_B\)

Principe :

Application numérique de la formule trouvée précédemment.

Données spécifiques :
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(h_A = 1.25 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_B &= \sqrt{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.25 \, \text{m}} \\ &= \sqrt{2 \times 12.2625 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &= \sqrt{24.525 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &\approx 4.952 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat A.e : La vitesse du chariot au point B est \(v_B \approx 4.95 \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire A1 : Si la masse du chariot est doublée, comment la vitesse \(v_B\) en bas du plan incliné (sans frottement) est-elle affectée ?

Partie B - Question a : Énergie mécanique au point C (\(E_{m,C}\))

Principe :

Le point C est le point où le chariot entre en contact avec le ressort, avec la vitesse \(v_B\) calculée précédemment. Le ressort n'est pas encore comprimé à ce point. L'énergie potentielle de pesanteur est nulle (niveau de référence) et l'énergie potentielle élastique est nulle.

Données spécifiques pour le point C :
  • Vitesse en C : \(v_C = v_B \approx 4.95 \, \text{m/s}\)
  • Hauteur en C : \(h_C = 0\)
  • Compression du ressort en C : \(x_C = 0\)
Calcul :

Énergie cinétique en C :

\[E_{c,C} = \frac{1}{2}mv_B^2\]

Énergie potentielle de pesanteur en C :

\[E_{pp,C} = 0 \, \text{J}\]

Énergie potentielle élastique en C :

\[E_{pe,C} = \frac{1}{2}kx_C^2 = \frac{1}{2}k(0)^2 = 0 \, \text{J}\]

Énergie mécanique en C :

\[E_{m,C} = E_{c,C} + E_{pp,C} + E_{pe,C} = \frac{1}{2}mv_B^2\]

Note : Puisque l'énergie mécanique s'est conservée entre A et B, et que le plan horizontal est lisse jusqu'au ressort, \(E_{m,C} = E_{m,B} = E_{m,A} = mgh_A\).

Résultat B.a : L'énergie mécanique au point C est \(E_{m,C} = \frac{1}{2}mv_B^2 = mgh_A\).

Partie B - Question b : Énergie mécanique au point D (\(E_{m,D}\))

Principe :

Au point D, la compression du ressort est maximale (\(x_{\text{max}}\)), et la vitesse du chariot est nulle.

Données spécifiques pour le point D :
  • Vitesse en D : \(v_D = 0 \, \text{m/s}\)
  • Hauteur en D : \(h_D = 0\)
  • Compression du ressort en D : \(x_D = x_{\text{max}}\)
Calcul :

Énergie cinétique en D :

\[E_{c,D} = \frac{1}{2}mv_D^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0 \, \text{J}\]

Énergie potentielle de pesanteur en D :

\[E_{pp,D} = 0 \, \text{J}\]

Énergie potentielle élastique en D :

\[E_{pe,D} = \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2\]

Énergie mécanique en D :

\[E_{m,D} = E_{c,D} + E_{pp,D} + E_{pe,D} = 0 + 0 + \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2\]
Résultat B.b : L'énergie mécanique au point D est \(E_{m,D} = \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2\).

Partie B - Question c : Expression littérale de la compression maximale \(x_{\text{max}}\)

Principe :

Entre le point C (contact avec le ressort, vitesse \(v_B\)) et le point D (compression maximale, vitesse nulle), les frottements sont négligés. Seules la force de rappel du ressort (conservative) et la réaction normale du support (ne travaille pas) agissent. L'énergie mécanique du système {chariot + ressort} se conserve donc entre C et D.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{m,C} = E_{m,D}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{1}{2}mv_B^2 &= \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 \\ \text{Puisque } v_B^2 = 2gh_A \text{ (d'après la Partie A) :} \\ \frac{1}{2}m(2gh_A) &= \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 \\ mgh_A &= \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 \\ 2mgh_A &= kx_{\text{max}}^2 \\ x_{\text{max}}^2 &= \frac{2mgh_A}{k} \\ x_{\text{max}} &= \sqrt{\frac{2mgh_A}{k}} \end{aligned} \]

On choisit la racine positive car \(x_{\text{max}}\) est une distance de compression.

Résultat B.c : L'expression littérale de la compression maximale est \(x_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2mgh_A}{k}}\).

Partie B - Question d : Calcul numérique de \(x_{\text{max}}\)

Principe :

Application numérique de la formule trouvée précédemment.

Données spécifiques :
  • \(m = 0.50 \, \text{kg}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(h_A = 1.25 \, \text{m}\)
  • \(k = 200 \, \text{N/m}\)
Calcul :

Calcul de l'énergie mécanique initiale (qui sera convertie en énergie potentielle élastique) :

\[ \begin{aligned} E_{m,A} &= mgh_A \\ &= 0.50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.25 \, \text{m} \\ &= 6.13125 \, \text{J} \end{aligned} \]

Utilisation de la formule de \(x_{\text{max}}\) :

\[ \begin{aligned} x_{\text{max}} &= \sqrt{\frac{2 \times E_{m,A}}{k}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 6.13125 \, \text{J}}{200 \, \text{N/m}}} \\ &= \sqrt{\frac{12.2625 \, \text{J}}{200 \, \text{N/m}}} \\ &= \sqrt{0.0613125 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0.2476 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en cm : \(x_{\text{max}} \approx 24.76 \, \text{cm}\)

Résultat B.d : La compression maximale du ressort est \(x_{\text{max}} \approx 0.248 \, \text{m}\) (ou \(24.8 \, \text{cm}\)).

Quiz Intermédiaire B1 : Si la constante de raideur \(k\) du ressort est augmentée (les autres paramètres restant inchangés), la compression maximale \(x_{\text{max}}\) du ressort :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'énergie cinétique d'un objet dépend de :

2. L'énergie potentielle de pesanteur est définie par \(E_{pp} = mgh\). Que représente \(h\) ?

3. L'énergie potentielle élastique stockée dans un ressort de constante de raideur \(k\) comprimé (ou étiré) d'une distance \(x\) est donnée par :

4. Quand l'énergie mécanique d'un système se conserve-t-elle ?

Glossaire

Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie associée au mouvement d'un objet. Pour un objet de masse \(m\) et de vitesse \(v\), \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_{pp}\))
Énergie associée à la position d'un objet dans un champ de gravité. Pour un objet de masse \(m\) à une hauteur \(h\) par rapport à une référence, \(E_{pp} = mgh\), où \(g\) est l'accélération due à la gravité.
Énergie Potentielle Élastique (\(E_{pe}\))
Énergie stockée dans un objet élastique (comme un ressort) lorsqu'il est déformé. Pour un ressort de constante de raideur \(k\) déformé d'une longueur \(x\), \(E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2\).
Énergie Mécanique (\(E_m\))
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle (de pesanteur, élastique, etc.) d'un système : \(E_m = E_c + E_p\).
Forces Conservatives
Forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée (ex: poids, force élastique). Le travail d'une force conservative sur un chemin fermé est nul. Elles dérivent d'une énergie potentielle.
Forces Non Conservatives
Forces dont le travail dépend du chemin suivi (ex: frottements, résistance de l'air). Le travail de ces forces modifie l'énergie mécanique du système.
Conservation de l'Énergie Mécanique
Principe selon lequel l'énergie mécanique totale d'un système isolé soumis uniquement à des forces conservatives reste constante au cours du temps.
Travail d'une Force (\(W\))
Transfert d'énergie qui se produit lorsqu'une force déplace son point d'application. Le travail des forces non conservatives est égal à la variation de l'énergie mécanique : \(W_{Fnc} = \Delta E_m\).
Conservation de l'énergie mécanique - Exercice d'Application

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