Contraction des Longueurs pour un Objet
Contexte : La Relativité RestreinteThéorie élaborée par Albert Einstein en 1905 qui décrit la physique du mouvement en l'absence de gravité..
L'un des phénomènes les plus contre-intuitifs prédits par la théorie de la relativité restreinte d'Einstein est la contraction des longueurs. Un objet en mouvement apparaît plus court dans sa direction de mouvement pour un observateur fixe que lorsqu'il est mesuré au repos. Cet exercice a pour but de quantifier cet effet pour une navette spatiale lors d'un voyage interstellaire.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler les formules fondamentales de la relativité et de comprendre comment notre perception de l'espace est liée à notre vitesse de déplacement.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et calculer le facteur de Lorentz (γ)Un coefficient qui quantifie l'ampleur des effets relativistes comme la dilatation du temps et la contraction des longueurs..
- Appliquer la formule de la contraction des longueurs.
- Distinguer la longueur propre (L₀)La longueur d'un objet mesurée dans le référentiel où il est au repos. de la longueur contractée.
- Analyser comment les distances elles-mêmes sont affectées par cet effet relativiste.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Mission
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Modèle de la navette | Explorer-V |
| Mission | Voyage vers Proxima du Centaure |
| Type de propulsion | Fusion aneutronique avancée |
Schéma de la Mission
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur propre de la navette | \(L_0\) | 100 | m |
| Vitesse de la navette | \(v\) | 0.95c | (c = vitesse de la lumière) |
| Distance Terre-Proxima (référentiel Terre) | \(D_0\) | 4.24 | années-lumière |
Questions à traiter
- Calculer le facteur de Lorentz \(\gamma\) correspondant à la vitesse de la navette.
- Quelle est la longueur de la navette mesurée par un observateur sur Terre ?
- Quelle est la distance Terre-Proxima Centauri mesurée par un passager dans la navette ?
- Si le voyage dure 1.48 ans du point de vue de la navette (temps propre), quelle est la durée du voyage mesurée depuis la Terre (temps dilaté) ?
Les bases de la Relativité Restreinte
La théorie de la relativité restreinte repose sur deux postulats fondamentaux :
- Les lois de la physique sont les mêmes pour tous les observateurs dans un référentiel inertielUn système de coordonnées qui n'est pas en accélération. Un objet au repos y reste au repos si aucune force n'agit sur lui..
- La vitesse de la lumière (c)La vitesse de la lumière dans le vide, une constante universelle d'environ 299 792 458 m/s. dans le vide est la même pour tous les observateurs, quelle que soit leur vitesse ou celle de la source lumineuse.
La Contraction des Longueurs
Une conséquence directe de ces postulats est que la longueur d'un objet en mouvement, \(L\), est mesurée comme étant plus courte que sa longueur propre \(L_0\) (longueur au repos). La relation est donnée par la formule :
\[ L = \frac{L_0}{\gamma} \]
où \(\gamma\) est le facteur de Lorentz.
Le Facteur de Lorentz
Ce facteur dépend de la vitesse \(v\) de l'objet et est défini par :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Notez que si \(v\) est faible par rapport à \(c\), alors \(\gamma \approx 1\) et les effets relativistes sont négligeables.
Correction : Contraction des Longueurs pour un Objet
Question 1 : Calculer le facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Principe
Le facteur de Lorentz est un nombre sans dimension qui est crucial en relativité. Il décrit l'ampleur de la dilatation du temps, de la contraction des longueurs et de l'augmentation de la masse relativiste. Plus un objet s'approche de la vitesse de la lumière, plus son facteur de Lorentz augmente, et plus les effets relativistes deviennent prononcés.
Mini-Cours
Le facteur \(\gamma\) apparaît dans presque toutes les équations de la relativité restreinte. Il découle directement des transformations de Lorentz, qui remplacent les transformations de Galilée de la mécanique classique. Il vaut toujours 1 ou plus. Il vaut exactement 1 pour une vitesse nulle et tend vers l'infini lorsque la vitesse tend vers celle de la lumière.
Remarque Pédagogique
Considérez \(\gamma\) comme un "facteur de bizarrerie". S'il est proche de 1, le monde se comporte comme Newton l'a décrit. S'il est bien plus grand que 1, attendez-vous à des résultats surprenants qui défient l'intuition quotidienne.
Normes
Il n'y a pas de "normes" ou de "réglementations" au sens de l'ingénierie pour ce calcul. Les lois de la relativité restreinte sont des principes fondamentaux de la physique, qui constituent le cadre théorique de référence.
Formule(s)
Définition du facteur de Lorentz
Hypothèses
Le calcul est effectué dans le cadre de la relativité restreinte, ce qui suppose que nous sommes dans un référentiel inertiel (non accéléré) et que les effets de la gravité (décrits par la relativité générale) sont négligeables.
Donnée(s)
Nous n'avons besoin que de la vitesse de la navette, qui est exprimée en fonction de c, ce qui simplifie le calcul.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse de la navette | v | 0.95c |
Astuces
Lorsque la vitesse est donnée comme une fraction de c (par exemple 0.95c), le terme \(c^2\) s'annule dans la formule, rendant le calcul plus direct. Il suffit de mettre au carré la fraction (0.95) et de poursuivre.
Schéma (Avant les calculs)
Un schéma n'est pas indispensable pour ce calcul direct, mais on peut visualiser la vitesse de la navette sur un axe.
Représentation de la vitesse relativiste
Calcul(s)
Application de la formule
Simplification et calcul
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est un nombre unique. Un graphique est plus parlant pour montrer comment \(\gamma\) explose à l'approche de c.
Évolution de \(\gamma\) en fonction de la vitesse
Réflexions
Un facteur de Lorentz de 3.20 est significatif. Il indique que les effets relativistes seront très marqués : le temps s'écoulera 3.2 fois plus lentement, et les longueurs seront contractées d'un facteur 3.2.
Points de vigilance
Une erreur courante est d'oublier de prendre la racine carrée du dénominateur avant de faire l'inversion. Assurez-vous de suivre l'ordre des opérations (PEMDAS/BODMAS).
Points à retenir
- Le facteur \(\gamma\) est la clé de tous les calculs de relativité restreinte.
- Il dépend uniquement du rapport \(v/c\).
- Il est toujours \(\ge 1\).
Le saviez-vous ?
Les satellites du système GPS se déplacent à environ 14 000 km/h. À cette vitesse, leurs horloges atomiques subissent des effets relativistes (à la fois restreinte et générale) qui, s'ils n'étaient pas corrigés, introduiraient une erreur de positionnement sur Terre d'environ 10 kilomètres par jour !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le facteur de Lorentz pour une particule se déplaçant à 99% de la vitesse de la lumière (v=0.99c).
Question 2 : Quelle est la longueur de la navette mesurée par un observateur sur Terre ?
Principe
Pour un observateur sur Terre, la navette est en mouvement rapide. Sa longueur dans la direction du mouvement semblera donc contractée. Nous utilisons la longueur propre (au repos) de la navette et le facteur de Lorentz calculé précédemment pour trouver cette nouvelle longueur apparente.
Mini-Cours
La contraction des longueurs est un phénomène réciproque. Pour les passagers de la navette, c'est la Terre et l'univers extérieur qui semblent contractés dans la direction du mouvement. Seule la dimension parallèle à la vitesse est affectée ; les dimensions perpendiculaires (hauteur, largeur de la navette) restent inchangées.
Remarque Pédagogique
Rappelez-vous toujours : la longueur "propre" \(L_0\) est la plus grande longueur possible. Toute longueur mesurée depuis un référentiel en mouvement par rapport à l'objet sera toujours plus courte.
Normes
Comme pour la question 1, ce calcul est basé sur les principes fondamentaux de la physique, non sur des normes d'ingénierie.
Formule(s)
Formule de la contraction des longueurs
Hypothèses
On suppose que la "longueur propre" de 100m est bien celle de la navette au repos. On suppose également que l'observateur sur Terre peut mesurer les deux extrémités de la navette simultanément dans son propre référentiel, ce qui est la définition d'une mesure de longueur en relativité.
Donnée(s)
Nous utilisons la longueur propre de la navette et le résultat de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur propre | \(L_0\) | 100 | m |
| Facteur de Lorentz | \(\gamma\) | 3.20 | - |
Astuces
Pour éviter les erreurs, identifiez toujours quelle est la longueur "au repos" (\(L_0\)) et quelle est la longueur "en mouvement" (\(L\)). Comme \(\gamma \ge 1\), la longueur en mouvement \(L\) doit toujours être inférieure ou égale à \(L_0\). Si votre résultat est plus grand, vous avez probablement multiplié au lieu de diviser.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser les deux référentiels : celui de la navette (où elle mesure 100m) et celui de la Terre (où elle paraît plus courte).
Comparaison des longueurs perçues
Calcul(s)
Calcul de la longueur contractée
Schéma (Après les calculs)
Maintenant que nous avons le résultat, nous pouvons compléter le schéma précédent.
Comparaison des longueurs calculées
Réflexions
La navette, qui mesure 100 mètres de long pour ses occupants, ne semble mesurer que 31.25 mètres pour un observateur terrestre. C'est une réduction de près de 70% de sa longueur ! Cela montre à quel point les effets relativistes sont importants à de telles vitesses.
Points de vigilance
Attention à ne contracter que la dimension parallèle au mouvement. Si la navette mesurait 20m de haut, elle mesurerait toujours 20m de haut pour l'observateur terrestre, mais seulement 31.25m de long.
Points à retenir
- La longueur d'un objet en mouvement est toujours perçue comme plus courte que sa longueur au repos.
- La formule est simple : \(L = L_0 / \gamma\).
- Seule la dimension dans l'axe du mouvement est affectée.
Le saviez-vous ?
Le phénomène de contraction des longueurs a été proposé pour la première fois par George FitzGerald en 1889 et Hendrik Lorentz en 1892 pour expliquer le résultat "nul" de l'expérience de Michelson-Morley, qui tentait de mesurer la vitesse de la Terre par rapport à un supposé "éther luminifère". Einstein l'a ensuite dérivé comme une conséquence naturelle de ses deux postulats.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Une autre navette de 200m de long se déplace avec un facteur de Lorentz \(\gamma = 5\). Quelle est sa longueur perçue ?
Question 3 : Quelle est la distance Terre-Proxima Centauri mesurée par un passager dans la navette ?
Principe
Tout comme la navette semble plus courte pour un observateur terrestre, la distance du voyage semble plus courte pour les passagers de la navette. Depuis leur référentiel inertielUn système de coordonnées qui n'est pas en accélération. Un objet au repos y reste au repos si aucune force n'agit sur lui., c'est l'espace lui-même (y compris la distance entre la Terre et Proxima Centauri) qui se déplace vers eux à 0.95c et qui est donc sujet à la contraction des longueurs.
Mini-Cours
La relativité de la simultanéité est au cœur de ce phénomène. Pour mesurer une longueur, il faut noter la position de ses deux extrémités "en même temps". Mais deux événements simultanés dans un référentiel ne le sont pas forcément dans un autre. C'est cette désynchronisation qui mène à la perception de longueurs différentes.
Remarque Pédagogique
C'est un point clé : non seulement les objets en mouvement se contractent, mais les distances elles-mêmes se contractent pour l'observateur en mouvement. C'est ce qui rend le voyage "faisable" du point de vue du voyageur.
Normes
Le cadre reste celui des principes de la relativité restreinte.
Formule(s)
Formule de la contraction des longueurs (pour une distance)
Hypothèses
On suppose que la distance de 4.24 années-lumière est la distance propre, mesurée dans le référentiel quasi-inerte du système solaire et de Proxima Centauri.
Donnée(s)
Nous utilisons la distance propre de la mission et le facteur de Lorentz calculé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance propre (réf. Terre) | \(D_0\) | 4.24 | années-lumière |
| Facteur de Lorentz | \(\gamma\) | 3.20 | - |
Astuces
Le concept d'année-lumière peut être déroutant. Rappelez-vous que c'est une unité de distance, pas de temps. C'est la distance que la lumière parcourt en un an. L'utiliser ici est pratique car cela simplifie les relations avec le temps de voyage.
Schéma (Avant les calculs)
On peut représenter la distance perçue par l'équipage comme une version "compressée" de la distance mesurée depuis la Terre.
Contraction de la distance du voyage
Calcul(s)
Calcul de la distance contractée
Schéma (Après les calculs)
Le schéma est mis à jour avec la distance contractée calculée.
Distance du voyage calculée par la navette
Réflexions
Pour l'équipage, le voyage n'est pas de 4.24 années-lumière, mais seulement de 1.325 années-lomières. C'est cette contraction de la distance qui leur permet d'atteindre leur destination en un temps raisonnable (de leur point de vue), même sans dépasser la vitesse de la lumière.
Points de vigilance
Il est crucial de bien identifier quel référentiel mesure la longueur/distance propre. C'est toujours le référentiel dans lequel l'objet (ou les deux points de la distance) est immobile.
Points à retenir
La contraction des longueurs s'applique autant aux objets physiques qu'aux distances entre des points dans l'espace.
Le saviez-vous ?
Pour un photon voyageant à la vitesse de la lumière (\(v=c\)), le facteur de Lorentz est infini. Pour lui, n'importe quelle distance est contractée à zéro, et le temps ne s'écoule pas. Du point de vue d'un photon, son voyage de la source à la destination est instantané, quelle que soit la distance dans notre référentiel.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un voyageur se déplace vers Andromède, située à 2.5 millions d'années-lumière. Si son \(\gamma\) est de 1 million, quelle distance mesure-t-il ?
Question 4 : Quelle est la durée du voyage mesurée depuis la Terre ?
Principe
Cette question aborde le phénomène de la dilatation du tempsEffet prédit par la relativité où le temps s'écoule plus lentement pour un objet en mouvement par rapport à un observateur stationnaire.. C'est le corollaire de la contraction des longueurs. Pour un observateur sur Terre, le temps à bord de la navette en mouvement rapide semble s'écouler plus lentement. Par conséquent, la durée mesurée sur Terre sera plus longue que la durée vécue par l'équipage.
Mini-Cours
La Dilatation du Temps
Le temps mesuré dans le référentiel en mouvement (le temps propre, noté \(\Delta t_0\)) est toujours plus court que le temps mesuré par un observateur fixe (\(\Delta t\)). La formule qui les relie est : \[ \Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0 \] C'est l'une des prédictions les plus célèbres de la relativité, illustrée par le "paradoxe des jumeaux".
Remarque Pédagogique
Contrairement à la longueur qui est divisée par \(\gamma\), le temps est multiplié par \(\gamma\). Pensez-y ainsi : du point de vue de la Terre, les horloges de la navette "tictaquent" plus lentement, donc pour une seconde à bord, plus d'une seconde s'est écoulée sur Terre.
Normes
Le cadre reste celui des principes de la relativité restreinte.
Formule(s)
Formule de la dilatation du temps
Hypothèses
On suppose que le temps de 1.48 an est le temps propre mesuré par une horloge à bord de la navette. Les phases d'accélération et de décélération sont négligées.
Donnée(s)
On nous donne le temps propre (vécu par l'équipage) et on utilise notre facteur de Lorentz.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Temps propre (navette) | \(\Delta t_0\) | 1.48 | ans |
| Facteur de Lorentz | \(\gamma\) | 3.20 | - |
Astuces
Le "temps propre" \(\Delta t_0\) est toujours le temps le plus court. Si votre calcul donne une durée sur Terre plus courte que dans la navette, vous avez inversé la formule. Pour vérifier la cohérence, on peut calculer la durée du voyage du point de vue de la Terre en utilisant la distance propre :
Calcul de cohérence
La légère différence avec notre résultat (4.74 ans) vient du fait que le temps propre de 1.48 ans donné dans l'énoncé a été choisi pour l'exercice. Les deux résultats sont néanmoins du même ordre de grandeur, ce qui est rassurant.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser deux lignes de temps, une pour l'équipage et une pour la Terre, qui s'étire.
Comparaison des durées écoulées
Calcul(s)
Calcul de la durée dilatée
Schéma (Après les calculs)
Le schéma est mis à jour avec la durée dilatée calculée.
Durées écoulées calculées
Réflexions
Alors que seulement 1.48 an s'est écoulé pour l'équipage, presque 4.74 ans se sont passés sur Terre ! C'est ce qui rend les voyages interstellaires à vitesse relativiste si étranges : les astronautes vieilliraient beaucoup moins vite que les personnes restées sur leur planète d'origine.
Points de vigilance
Ne pas confondre la formule de la contraction (division par \(\gamma\)) et celle de la dilatation (multiplication par \(\gamma\)). Elles ont des effets opposés sur les mesures de l'observateur externe.
Points à retenir
- Le temps s'écoule plus lentement pour un observateur en mouvement (dilatation du temps).
- Le temps propre (\(\Delta t_0\)) est la durée la plus courte possible entre deux événements.
- La formule est : \(\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0\).
Le saviez-vous ?
La dilatation du temps a été vérifiée expérimentalement de nombreuses fois. L'une des plus célèbres est l'expérience de Hafele-Keating en 1971, où des horloges atomiques ont été embarquées dans des avions de ligne. Après un tour du monde, elles étaient légèrement désynchronisées par rapport aux horloges restées au sol, en accord avec les prédictions de la relativité.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un astronaute vit une mission de 2 ans (temps propre) avec un \(\gamma = 10\). Combien de temps s'est écoulé sur Terre ?
Outil Interactif : Simulation Relativiste
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier la vitesse de la navette. Observez en temps réel comment sa longueur perçue se contracte et comment le temps se dilate. La longueur propre de la navette est de 100m et la durée propre de référence est de 1 an.
Paramètres du Simulateur
Résultats Calculés
Visualisation
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon la relativité restreinte, que se passe-t-il pour la longueur d'un objet (mesurée dans la direction du mouvement) lorsque sa vitesse s'approche de celle de la lumière ?
2. La contraction des longueurs est un effet qui se manifeste...
Glossaire
- Relativité Restreinte
- Théorie publiée par Albert Einstein en 1905, décrivant la physique du mouvement dans des référentiels inertiels. Elle ne prend pas en compte la gravité.
- Facteur de Lorentz (γ)
- Un coefficient qui quantifie l'ampleur des effets relativistes comme la dilatation du temps et la contraction des longueurs. Il est toujours supérieur ou égal à 1.
- Longueur Propre (L₀)
- La longueur d'un objet mesurée dans le référentiel où il est immobile. C'est la plus grande longueur que l'objet puisse avoir.
- Référentiel Inertiel
- Un système de coordonnées qui n'est pas en accélération. Un objet au repos y reste au repos si aucune force n'agit sur lui (première loi de Newton).
- Vitesse de la lumière (c)
- La vitesse de la lumière dans le vide, une constante fondamentale de la physique valant environ 299 792 km/s. C'est la vitesse limite dans l'Univers.
- Dilatation du Temps
- Effet prédit par la relativité où le temps s'écoule plus lentement pour un objet en mouvement par rapport à un observateur stationnaire.
D’autres exercices de rélativité:
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