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ÉTUDE DE PHYSIQUE

Contraction des longueurs pour un objet

Calcul de la Contraction des Longueurs en Relativité Restreinte

Contraction des Longueurs en Relativité Restreinte

Comprendre la Contraction des Longueurs

La contraction des longueurs est l'un des phénomènes prédits par la théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein. Elle stipule que la longueur d'un objet en mouvement, mesurée par un observateur, est plus courte que sa longueur mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos (appelée longueur propre, L0). Cette contraction ne se produit que dans la direction du mouvement de l'objet. L'ampleur de la contraction dépend de la vitesse relative de l'objet par rapport à l'observateur, et est décrite par le facteur de Lorentz (γ). Plus la vitesse s'approche de celle de la lumière, plus la contraction est importante.

Données de l'étude

Un vaisseau spatial, dont la longueur propre est de 100m, se déplace à une vitesse relativiste par rapport à un observateur sur Terre.

Caractéristiques du vaisseau et conditions :

  • Longueur propre du vaisseau spatial (L0) : 100m
  • Vitesse du vaisseau spatial par rapport à la Terre (v) : 0.8c (où c est la vitesse de la lumière dans le vide)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (c) : 3.00×108m/s
Schéma de la Contraction des Longueurs d'un Vaisseau Spatial
Vaisseau au repos (L₀ = 100m) Vaisseau en mouvement (L) v = 0.8c

Un vaisseau spatial apparaît plus court dans sa direction de mouvement lorsqu'il est observé depuis un référentiel au repos.

Questions à traiter

  1. Calculer le facteur de Lorentz (γ) pour le vaisseau spatial.
  2. Calculer la longueur contractée (L) du vaisseau spatial mesurée par l'observateur sur Terre.
  3. Si le vaisseau se déplaçait à 0.99c, quelle serait sa longueur contractée ? Commenter.
  4. Si le vaisseau spatial, de longueur propre 100m, est orienté perpendiculairement à sa direction de mouvement (vitesse 0.8c), quelle sera sa longueur mesurée par l'observateur terrestre dans cette direction perpendiculaire ?

Correction : Contraction des Longueurs

Question 1 : Calcul du Facteur de Lorentz (γ)

Principe :

Le facteur de Lorentz (γ) est défini par la relation γ=11−v2/c2, où v est la vitesse relative entre les référentiels et c est la vitesse de la lumière.

Formule(s) utilisée(s) :
γ=11−v2c2
Données spécifiques :
  • v=0.8c
Calcul :
v2c2=(0.8c)2c2=0.64c2c2=0.641−v2c2=1−0.64=0.361−v2c2=0.36=0.6γ=10.6≈1.6666...≈1.67(arrondi à 3 chiffres significatifs)
Résultat Question 1 : Le facteur de Lorentz est γ≈1.67.

Question 2 : Calcul de la Longueur Contractée (L)

Principe :

La longueur contractée (L) est la longueur propre (L0) divisée par le facteur de Lorentz (γ).

Formule(s) utilisée(s) :
L=L0γ
Données spécifiques et calculées :
  • Longueur propre (L0) : 100m
  • Facteur de Lorentz (γ) : 10.6≈1.6666... (utilisation de la valeur non arrondie pour précision)
Calcul :
L=100m1/0.6=100m×0.6=60m

Ou avec la valeur arrondie de γ: L=100m1.6666...≈60.0m

Résultat Question 2 : La longueur contractée du vaisseau spatial mesurée par l'observateur sur Terre est L=60.0m.

Quiz Intermédiaire 1 : Si un objet se déplace à une vitesse très faible par rapport à c, le facteur de Lorentz γ est :

Question 3 : Longueur Contractée à v=0.99c

Principe :

Recalculer γ pour v=0.99c, puis calculer L.

Calcul de γ pour v=0.99c :
v2c2=(0.99)2=0.98011−v2c2=1−0.9801=0.01991−v2c2=0.0199≈0.141067...γ=10.141067...≈7.0888...
Calcul de la longueur contractée L′ :
L′=L0γ=100m7.0888...≈14.106...m≈14.1m(arrondi à 3 chiffres significatifs)
Commentaire :

À v=0.99c, le vaisseau apparaît beaucoup plus court (14.1m) qu'à v=0.8c (60.0m). Cela montre que l'effet de contraction des longueurs devient de plus en plus prononcé à mesure que la vitesse s'approche de celle de la lumière.

Résultat Question 3 : À v=0.99c, la longueur contractée serait d'environ 14.1m.

Question 4 : Longueur Perpendiculaire au Mouvement

Principe :

La contraction des longueurs ne se produit que dans la direction du mouvement relatif. Les dimensions perpendiculaires à la direction du mouvement ne sont pas affectées par la relativité restreinte.

Analyse :

Si le vaisseau de longueur propre 100m est orienté de manière à ce que cette longueur soit perpendiculaire à sa direction de mouvement (vitesse 0.8c), alors cette dimension de 100m n'est pas contractée pour l'observateur terrestre.

Résultat Question 4 : La longueur du vaisseau mesurée par l'observateur terrestre dans la direction perpendiculaire au mouvement serait de 100m (sa longueur propre dans cette dimension).

Quiz Intermédiaire 2 : Un observateur mesurant la hauteur d'une fusée se déplaçant horizontalement à une vitesse relativiste trouvera que sa hauteur est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La longueur propre d'un objet est sa longueur mesurée :

2. Si la vitesse d'un objet tend vers la vitesse de la lumière (v→c), sa longueur contractée L tend vers :

3. La contraction des longueurs affecte :

Glossaire

Relativité Restreinte
Théorie physique publiée par Albert Einstein en 1905, qui décrit la relation entre l'espace et le temps pour des objets se déplaçant à des vitesses constantes dans des référentiels inertiels.
Contraction des Longueurs
Phénomène prédit par la relativité restreinte selon lequel la longueur d'un objet en mouvement est mesurée comme étant plus courte que sa longueur propre, dans la direction de son mouvement.
Longueur Propre (L0)
Longueur d'un objet mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos.
Longueur Contractée (L)
Longueur d'un objet mesurée par un observateur qui est en mouvement relatif par rapport à l'objet. L=L0/γ.
Facteur de Lorentz (γ)
Facteur qui apparaît dans plusieurs équations de la relativité restreinte, défini par γ=1/1−v2/c2. Il est toujours supérieur ou égal à 1.
Vitesse de la Lumière (c)
Vitesse constante de la lumière dans le vide, approximativement 3.00×108m/s. C'est une constante fondamentale en physique.
Référentiel Inertiel
Système de coordonnées dans lequel les lois de Newton sont valides (un corps non soumis à des forces reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme).
Contraction des Longueurs - Exercice d'Application en Relativité

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