ÉTUDE DE PHYSIQUE

Désintégration du pion chargé en repos

Désintégration du Pion Chargé au Repos en Physique des Particules

Désintégration du Pion Chargé au Repos

Comprendre la Désintégration des Particules

En physique des particules, de nombreuses particules subatomiques sont instables et se désintègrent en d'autres particules plus légères. Ces désintégrations sont régies par les lois fondamentales de la physique, notamment la conservation de l'énergie, de la quantité de mouvement et des nombres quantiques (comme la charge électrique et le nombre leptonique). Le pion chargé (\(\pi^+\) ou \(\pi^-\)) est un méson qui se désintègre principalement en un muon et un neutrino muonique (ou un antimuon et un antineutrino muonique). L'étude de la cinématique de ces désintégrations, en particulier lorsque la particule initiale est au repos, permet de déterminer les énergies et les quantités de mouvement des produits de désintégration, fournissant des informations précieuses sur les interactions fondamentales.

Données du Problème

On considère la désintégration d'un pion positif (\(\pi^+\)) au repos :

\[ \pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_{\mu} \]

Les masses au repos des particules impliquées sont :

  • Masse du pion chargé (\(m_{\pi}\)) : \(139.57 \, \text{MeV/c}^2\)
  • Masse du muon (\(m_{\mu}\)) : \(105.66 \, \text{MeV/c}^2\)
  • Masse du neutrino muonique (\(m_{\nu_{\mu}}\)) : On la considèrera comme négligeable (\(\approx 0 \, \text{MeV/c}^2\)) pour simplifier les calculs.

Constante utile :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\))
  • Demi-vie propre du pion chargé (\(\tau_{\pi}\)) : \(2.6033 \times 10^{-8} \, \text{s}\) (pour une question ultérieure)
Schéma : Désintégration du Pion Chargé au Repos
π⁺ (au repos) Désintégration µ⁺ pµ νµ pν

Un pion chargé (\(\pi^+\)) au repos se désintègre en un muon (\(\mu^+\)) et un neutrino muonique (\(\nu_{\mu}\)), qui s'éloignent dans des directions opposées.

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie libérée (valeur Q) lors de cette désintégration, en MeV.
  2. En appliquant les lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement (et en considérant \(m_{\nu_{\mu}} = 0\)), déterminer l'énergie cinétique du muon (\(K_{\mu}\)) en MeV.
  3. Déterminer l'énergie du neutrino muonique (\(E_{\nu_{\mu}}\)) en MeV.
  4. Calculer la magnitude de la quantité de mouvement du muon (\(p_{\mu}\)) et du neutrino muonique (\(p_{\nu_{\mu}}\)). Exprimer le résultat en \(\text{MeV/c}\).
  5. Calculer la vitesse du muon (\(v_{\mu}\)) comme une fraction de la vitesse de la lumière (\(c\)). (Utiliser \(E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\) et \(E = \gamma m_0c^2\)).
  6. Si un faisceau de pions \(\pi^+\) se déplace avec un facteur de Lorentz \(\gamma = 10\) par rapport au laboratoire, quelle serait la demi-vie de ces pions mesurée dans le référentiel du laboratoire ?

Correction : Désintégration du Pion Chargé au Repos

Question 1 : Énergie libérée (Valeur Q)

Principe :

L'énergie libérée (valeur Q) dans une désintégration est la différence entre la masse au repos de la particule initiale et la somme des masses au repos des particules finales, multipliée par \(c^2\). \(Q = (m_{\text{initiale}} - \sum m_{\text{finales}})c^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = (m_{\pi} - (m_{\mu} + m_{\nu_{\mu}}))c^2 \]

Puisque les masses sont données en \(\text{MeV/c}^2\) et que \(m_{\nu_{\mu}} \approx 0\):

\[ Q = m_{\pi}c^2 - m_{\mu}c^2 \]
Données spécifiques :
  • \(m_{\pi}c^2 = 139.57 \, \text{MeV}\)
  • \(m_{\mu}c^2 = 105.66 \, \text{MeV}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 139.57 \, \text{MeV} - 105.66 \, \text{MeV} \\ &= 33.91 \, \text{MeV} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie libérée (valeur Q) est de \(33.91 \, \text{MeV}\).

Question 2 : Énergie cinétique du muon (\(K_{\mu}\))

Principe :

Le pion est initialement au repos. Par conservation de l'énergie, l'énergie libérée Q se répartit en énergie cinétique des produits : \(Q = K_{\mu} + K_{\nu_{\mu}}\). Pour un neutrino de masse nulle, son énergie totale est égale à son énergie cinétique, \(E_{\nu_{\mu}} = K_{\nu_{\mu}} = p_{\nu_{\mu}}c\). Par conservation de la quantité de mouvement, \(p_{\mu} = p_{\nu_{\mu}}\) en magnitude. L'énergie totale du muon est \(E_{\mu} = m_{\mu}c^2 + K_{\mu}\). On a aussi la relation relativiste \(E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\).

Pour une désintégration à deux corps d'une particule au repos de masse \(M\) en deux particules de masses \(m_1\) et \(m_2\) (ici \(m_1=m_\mu, m_2=m_\nu \approx 0\)), l'énergie cinétique de la particule 1 est donnée par :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K_1 = \frac{(Mc^2 - m_1c^2 - m_2c^2)(Mc^2 + m_1c^2 - m_2c^2)}{2Mc^2} \]

Avec \(M = m_{\pi}\), \(m_1 = m_{\mu}\), et \(m_2 = m_{\nu_{\mu}} \approx 0\), cela devient :

\[ K_{\mu} = \frac{(m_{\pi}c^2 - m_{\mu}c^2)(m_{\pi}c^2 + m_{\mu}c^2)}{2m_{\pi}c^2} = \frac{(m_{\pi}c^2)^2 - (m_{\mu}c^2)^2}{2m_{\pi}c^2} \]

Note : \(m_{\pi}c^2 - m_{\mu}c^2 = Q\). Donc \(K_{\mu} = \frac{Q(m_{\pi}c^2 + m_{\mu}c^2)}{2m_{\pi}c^2}\).

Données spécifiques :
  • \(m_{\pi}c^2 = 139.57 \, \text{MeV}\)
  • \(m_{\mu}c^2 = 105.66 \, \text{MeV}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} K_{\mu} &= \frac{(139.57 \, \text{MeV})^2 - (105.66 \, \text{MeV})^2}{2 \times 139.57 \, \text{MeV}} \\ &= \frac{19479.7249 - 11164.0356}{279.14} \, \text{MeV} \\ &= \frac{8315.6893}{279.14} \, \text{MeV} \\ &\approx 29.788 \, \text{MeV} \end{aligned} \]

En utilisant \(Q \approx 33.91 \, \text{MeV}\) :

\[ \begin{aligned} K_{\mu} &\approx \frac{33.91 \, \text{MeV} \times (139.57 \, \text{MeV} + 105.66 \, \text{MeV})}{2 \times 139.57 \, \text{MeV}} \\ &= \frac{33.91 \times 245.23}{279.14} \, \text{MeV} \\ &= \frac{8315.2093}{279.14} \, \text{MeV} \approx 29.785 \, \text{MeV} \end{aligned} \]

Les petites différences sont dues aux arrondis. On prendra \(K_{\mu} \approx 29.79 \, \text{MeV}\).

Résultat Question 2 : L'énergie cinétique du muon est \(K_{\mu} \approx 29.79 \, \text{MeV}\).

Question 3 : Énergie du neutrino muonique (\(E_{\nu_{\mu}}\))

Principe :

Par conservation de l'énergie, \(Q = K_{\mu} + K_{\nu_{\mu}}\). Puisque le neutrino est supposé de masse nulle, son énergie cinétique est égale à son énergie totale (\(E_{\nu_{\mu}} = K_{\nu_{\mu}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{\nu_{\mu}} = Q - K_{\mu} \]
Données spécifiques :
  • \(Q = 33.91 \, \text{MeV}\)
  • \(K_{\mu} \approx 29.788 \, \text{MeV}\) (valeur plus précise)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\nu_{\mu}} &\approx 33.91 \, \text{MeV} - 29.788 \, \text{MeV} \\ &= 4.122 \, \text{MeV} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie du neutrino muonique est \(E_{\nu_{\mu}} \approx 4.12 \, \text{MeV}\).

Question 4 : Quantité de mouvement du muon (\(p_{\mu}\)) et du neutrino (\(p_{\nu_{\mu}}\))

Principe :

Le pion est initialement au repos, donc sa quantité de mouvement totale est nulle. Par conservation de la quantité de mouvement, les quantités de mouvement du muon et du neutrino sont égales en magnitude et opposées en direction : \(|\vec{p}_{\mu}| = |\vec{p}_{\nu_{\mu}}|\). Pour un neutrino de masse nulle, \(E_{\nu_{\mu}} = p_{\nu_{\mu}}c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ p_{\nu_{\mu}} = \frac{E_{\nu_{\mu}}}{c} \] \[ p_{\mu} = p_{\nu_{\mu}} \]
Données spécifiques :
  • \(E_{\nu_{\mu}} \approx 4.122 \, \text{MeV}\)
Calcul :
\[ p_{\nu_{\mu}} \approx \frac{4.122 \, \text{MeV}}{c} = 4.122 \, \text{MeV/c} \]
\[ p_{\mu} = p_{\nu_{\mu}} \approx 4.122 \, \text{MeV/c} \]
Résultat Question 4 : La magnitude de la quantité de mouvement du muon et du neutrino est \(p_{\mu} = p_{\nu_{\mu}} \approx 4.12 \, \text{MeV/c}\).

Question 5 : Vitesse du muon (\(v_{\mu}\))

Principe :

On utilise la relation relativiste entre l'énergie totale, la quantité de mouvement et la masse au repos : \(E_{\mu}^2 = (p_{\mu}c)^2 + (m_{\mu}c^2)^2\). L'énergie totale du muon est \(E_{\mu} = m_{\mu}c^2 + K_{\mu}\). On a aussi \(E_{\mu} = \gamma_{\mu} m_{\mu}c^2\), d'où l'on peut tirer \(\gamma_{\mu}\) puis \(v_{\mu}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{\mu} = m_{\mu}c^2 + K_{\mu} \] \[ E_{\mu} = \gamma_{\mu} m_{\mu}c^2 \Rightarrow \gamma_{\mu} = \frac{E_{\mu}}{m_{\mu}c^2} \] \[ \gamma_{\mu} = \frac{1}{\sqrt{1 - (v_{\mu}/c)^2}} \Rightarrow \beta_{\mu} = \frac{v_{\mu}}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma_{\mu}^2}} \]
Données spécifiques :
  • \(m_{\mu}c^2 = 105.66 \, \text{MeV}\)
  • \(K_{\mu} \approx 29.788 \, \text{MeV}\)
Calcul :

Énergie totale du muon \(E_{\mu}\) :

\[ E_{\mu} \approx 105.66 \, \text{MeV} + 29.788 \, \text{MeV} = 135.448 \, \text{MeV} \]

Facteur de Lorentz \(\gamma_{\mu}\) :

\[ \gamma_{\mu} \approx \frac{135.448 \, \text{MeV}}{105.66 \, \text{MeV}} \approx 1.2819 \]

Vitesse \(\beta_{\mu} = v_{\mu}/c\) :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\gamma_{\mu}^2} &\approx \frac{1}{(1.2819)^2} \approx \frac{1}{1.64327} \approx 0.60854 \\ \beta_{\mu} &= \sqrt{1 - 0.60854} = \sqrt{0.39146} \\ &\approx 0.62567 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La vitesse du muon est \(v_{\mu} \approx 0.626 c\).

Question 6 : Demi-vie observée du pion en mouvement

Principe :

La dilatation du temps en relativité restreinte stipule qu'un intervalle de temps propre \(\Delta t_0\) (mesuré dans le référentiel au repos de la particule) est perçu comme un intervalle de temps plus long \(\Delta t\) par un observateur par rapport auquel la particule est en mouvement. La demi-vie propre \(\tau_{\pi}\) est un temps propre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta t_{\text{lab}} = \gamma \cdot \tau_{\pi} \]
Données spécifiques :
  • \(\tau_{\pi} = 2.6033 \times 10^{-8} \, \text{s}\)
  • \(\gamma = 10\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta t_{\text{lab}} &= 10 \times (2.6033 \times 10^{-8} \, \text{s}) \\ &= 2.6033 \times 10^{-7} \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La demi-vie des pions mesurée dans le référentiel du laboratoire serait de \(2.6033 \times 10^{-7} \, \text{s}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La valeur Q d'une désintégration radioactive représente :

2. Dans la désintégration d'une particule au repos en deux corps, les quantités de mouvement des deux produits :

3. Pour une particule de masse nulle (comme un neutrino idéalisé), son énergie totale \(E\) est reliée à sa quantité de mouvement \(p\) par :

4. La dilatation du temps signifie qu'un observateur mesurera une durée plus longue pour un événement se produisant dans un référentiel en mouvement par rapport à lui, comparé à la durée mesurée dans le référentiel propre de l'événement. Ce facteur d'allongement est :

Glossaire

Pion (\(\pi\))
Type de méson, une particule subatomique composite. Les pions chargés (\(\pi^+\), \(\pi^-\)) sont instables.
Muon (\(\mu\))
Lepton élémentaire, similaire à l'électron mais environ 200 fois plus massif. Il est instable.
Neutrino (\(\nu\))
Particule élémentaire neutre et de masse très faible (ou nulle), interagissant faiblement avec la matière.
Désintégration Radioactive
Processus par lequel un noyau atomique instable ou une particule subatomique se transforme spontanément en d'autres particules, libérant de l'énergie.
Valeur Q (Énergie de Réaction)
Quantité d'énergie libérée ou absorbée lors d'une réaction nucléaire ou d'une désintégration. \(Q = (m_{\text{initiale}} - m_{\text{finale}})c^2\).
Conservation de l'Énergie-Impulsion
Principe fondamental stipulant que l'énergie totale et la quantité de mouvement totale d'un système isolé restent constantes.
Énergie Cinétique Relativiste (\(K\))
\(K = E - m_0c^2 = (\gamma - 1)m_0c^2\).
Quantité de Mouvement Relativiste (\(p\))
\(p = \gamma m_0 v\). La relation énergie-impulsion est \(E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\).
Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
\(\gamma = 1 / \sqrt{1 - v^2/c^2}\).
Demi-vie Propre (\(\tau_0\))
Demi-vie d'une particule mesurée dans son propre référentiel au repos.
Dilatation du Temps
Effet relativiste où le temps s'écoule différemment pour des observateurs en mouvement relatif. Un intervalle de temps propre \(\Delta t_0\) est mesuré comme \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\) par un observateur en mouvement relatif.
Désintégration du Pion Chargé au Repos - Exercice d'Application

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