ÉTUDE DE PHYSIQUE

Détente adiabatique réversible d’un gaz parfait

Détente Adiabatique Réversible d’un Gaz Parfait en Thermodynamique

Détente Adiabatique Réversible d’un Gaz Parfait

Comprendre la Détente Adiabatique Réversible

Une transformation adiabatique est un processus thermodynamique au cours duquel il n'y a aucun échange de chaleur entre le système et son environnement (\(Q=0\)). Si cette transformation est également réversible (c'est-à-dire qu'elle se déroule de manière infiniment lente, sans création d'entropie), elle est dite isentropique (l'entropie du système reste constante). Pour un gaz parfait subissant une détente adiabatique réversible, le gaz effectue un travail sur l'extérieur, ce qui entraîne une diminution de son énergie interne et donc une baisse de sa température. Ces transformations sont décrites par les lois de Laplace (ou relations de Poisson) qui relient la pression, le volume et la température.

Données du Problème

\(1.00 \, \text{mole}\) d'un gaz parfait monoatomique subit une détente adiabatique réversible.

  • Nombre de moles (\(n\)) : \(1.00 \, \text{mol}\)
  • État initial :
    • Pression initiale (\(P_1\)) : \(5.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
    • Volume initial (\(V_1\)) : \(0.0100 \, \text{m}^3\)
  • État final :
    • Volume final (\(V_2\)) : \(0.0250 \, \text{m}^3\)

Constantes utiles pour un gaz parfait monoatomique :

  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant (\(C_{v,m}\)) : \(\frac{3}{2}R\)
  • Capacité thermique molaire à pression constante (\(C_{p,m}\)) : \(\frac{5}{2}R\)
  • Coefficient adiabatique (\(\gamma\)) : \(C_{p,m}/C_{v,m}\)
Schéma : Détente Adiabatique Réversible
État Initial (P₁, V₁, T₁) P₁ Parois Isolées (Q=0) État Final (P₂, V₂, T₂) P₂ Travail W < 0 Détente Adiabatique

Détente adiabatique réversible d'un gaz parfait dans un cylindre isolé avec un piston mobile.

Questions à traiter

  1. Calculer la température initiale (\(T_1\)) du gaz en Kelvins (K).
  2. Calculer le coefficient adiabatique (\(\gamma\)) pour ce gaz parfait monoatomique.
  3. En utilisant la loi de Laplace (\(P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma\)), calculer la pression finale (\(P_2\)) du gaz.
  4. Calculer la température finale (\(T_2\)) du gaz en Kelvins (K), en utilisant une autre forme de la loi de Laplace (\(T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}\)) ou l'équation d'état des gaz parfaits.
  5. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz lors de cette détente.
  6. Calculer le travail (\(W\)) effectué par le gaz lors de cette détente. (Rappel : pour une transformation adiabatique, \(Q=0\) et \(\Delta U = W\)).
  7. Calculer la variation d'enthalpie (\(\Delta H\)) du gaz.

Correction : Détente Adiabatique Réversible d’un Gaz Parfait

Question 1 : Température initiale (\(T_1\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits : \(PV = nRT\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_1 = \frac{P_1 V_1}{nR} \]
Données spécifiques :
  • \(P_1 = 5.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.0100 \, \text{m}^3\)
  • \(n = 1.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1 &= \frac{(5.00 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.0100 \, \text{m}^3)}{(1.00 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)})} \\ &= \frac{5000 \, \text{J}}{8.314 \, \text{J/K}} \\ &\approx 601.395 \, \text{K} \end{aligned} \]

En arrondissant à trois chiffres significatifs : \(T_1 \approx 601 \, \text{K}\).

Résultat Question 1 : La température initiale du gaz est \(T_1 \approx 601 \, \text{K}\).

Question 2 : Coefficient adiabatique (\(\gamma\))

Principe :

Le coefficient adiabatique \(\gamma\) (gamma), aussi appelé indice de Laplace, est le rapport des capacités thermiques molaires à pression constante (\(C_{p,m}\)) et à volume constant (\(C_{v,m}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{v,m}} \]

Pour un gaz parfait monoatomique : \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\) et \(C_{p,m} = C_{v,m} + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{3}{2}R} \\ &= \frac{5}{3} \\ &\approx 1.667 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le coefficient adiabatique est \(\gamma = 5/3 \approx 1.667\).

Question 3 : Pression finale (\(P_2\))

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, la loi de Laplace s'applique : \(P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma \]
Données spécifiques :
  • \(P_1 = 5.00 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.0100 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 = 0.0250 \, \text{m}^3\)
  • \(\gamma = 5/3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{V_1}{V_2} &= \frac{0.0100 \, \text{m}^3}{0.0250 \, \text{m}^3} = 0.400 \\ \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma &= (0.400)^{5/3} \approx (0.400)^{1.6667} \approx 0.2091 \\ P_2 &\approx (5.00 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times 0.2091 \\ &\approx 104550 \, \text{Pa} \\ &\approx 1.05 \times 10^5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La pression finale du gaz est \(P_2 \approx 1.05 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

Question 4 : Température finale (\(T_2\))

Principe :

On peut utiliser une autre forme de la loi de Laplace, \(T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}\), ou l'équation d'état des gaz parfaits \(P_2V_2 = nRT_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \quad \text{ou} \quad T_2 = \frac{P_2 V_2}{nR} \]

Ici, \(\gamma-1 = 5/3 - 1 = 2/3\).

Données spécifiques :
  • \(T_1 \approx 601.395 \, \text{K}\)
  • \(V_1/V_2 = 0.400\)
  • \(P_2 \approx 1.0455 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (valeur plus précise)
  • \(V_2 = 0.0250 \, \text{m}^3\)
  • \(n = 1.00 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Calcul (avec loi de Laplace \(TV^{\gamma-1}\)) :
\[ \begin{aligned} (V_1/V_2)^{\gamma-1} &= (0.400)^{2/3} \approx (0.400)^{0.6667} \approx 0.5228 \\ T_2 &\approx (601.395 \, \text{K}) \times 0.5228 \\ &\approx 314.40 \, \text{K} \end{aligned} \]

Calcul (avec \(PV=nRT\)) :

\[ \begin{aligned} T_2 &\approx \frac{(1.0455 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.0250 \, \text{m}^3)}{(1.00 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)})} \\ &= \frac{2613.75 \, \text{J}}{8.314 \, \text{J/K}} \\ &\approx 314.37 \, \text{K} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis. On prendra \(T_2 \approx 314 \, \text{K}\).

Résultat Question 4 : La température finale du gaz est \(T_2 \approx 314 \, \text{K}\).

Question 5 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, \(\Delta U = n C_{v,m} (T_2 - T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = n C_{v,m} (T_2 - T_1) \]

Pour un gaz parfait monoatomique, \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\).

Données spécifiques :
  • \(n = 1.00 \, \text{mol}\)
  • \(C_{v,m} = \frac{3}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 \approx 601.395 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 314.37 \, \text{K}\)
  • \(\Delta T = T_2 - T_1 \approx 314.37 \, \text{K} - 601.395 \, \text{K} \approx -287.025 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &\approx (1.00 \, \text{mol}) \times (12.471 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}) \times (-287.025 \, \text{K}) \\ &\approx -3579.6 \, \text{J} \end{aligned} \]

On arrondit à \(\Delta U \approx -3580 \, \text{J}\) ou \(-3.58 \, \text{kJ}\).

Résultat Question 5 : La variation d'énergie interne est \(\Delta U \approx -3580 \, \text{J}\).

Question 6 : Travail (\(W\)) effectué par le gaz

Principe :

Pour une transformation adiabatique, il n'y a pas d'échange de chaleur (\(Q=0\)). Selon le premier principe de la thermodynamique, \(\Delta U = Q + W\). Donc, pour une transformation adiabatique, \(\Delta U = W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W = \Delta U \]

Alternativement, pour une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait : \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma} = \frac{nR(T_2-T_1)}{1-\gamma}\)

Données spécifiques :
  • \(\Delta U \approx -3579.6 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ W \approx -3579.6 \, \text{J} \]

Le travail est négatif, ce qui signifie qu'il est effectué par le système (le gaz) sur l'extérieur, ce qui est cohérent avec une détente.

Résultat Question 6 : Le travail effectué par le gaz est \(W \approx -3580 \, \text{J}\).

Question 7 : Variation d'enthalpie (\(\Delta H\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie est donnée par \(\Delta H = n C_{p,m} \Delta T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = n C_{p,m} (T_2 - T_1) \]

Pour un gaz parfait monoatomique, \(C_{p,m} = \frac{5}{2}R\).

Données spécifiques :
  • \(n = 1.00 \, \text{mol}\)
  • \(C_{p,m} = \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(\Delta T \approx -287.025 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta H &\approx (1.00 \, \text{mol}) \times (20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}) \times (-287.025 \, \text{K}) \\ &\approx -5966.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

On arrondit à \(\Delta H \approx -5970 \, \text{J}\) ou \(-5.97 \, \text{kJ}\).

Note : On peut aussi utiliser \(\Delta H = \gamma \Delta U = (5/3) \times (-3579.6 \, \text{J}) \approx -5966 \, \text{J}\).

Résultat Question 7 : La variation d'enthalpie est \(\Delta H \approx -5970 \, \text{J}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lors d'une transformation adiabatique :

2. Pour un gaz parfait subissant une détente adiabatique réversible, sa température :

3. La loi de Laplace pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait peut s'écrire :

4. Pour une transformation adiabatique, la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) est égale à :

Glossaire

Transformation Adiabatique
Processus thermodynamique au cours duquel aucun échange de chaleur n'a lieu entre le système et son milieu extérieur (\(Q=0\)).
Transformation Réversible
Processus thermodynamique qui peut être inversé sans laisser de trace sur le système ou son environnement. Il s'agit d'une idéalisation impliquant une succession d'états d'équilibre infiniment proches.
Gaz Parfait
Modèle de gaz idéal dont les molécules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, obéissant à l'équation \(PV=nRT\).
Lois de Laplace (ou Relations de Poisson)
Relations qui décrivent l'état d'un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible (ex: \(P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma\), \(T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}\)).
Coefficient Adiabatique (\(\gamma\))
Rapport des capacités thermiques molaires à pression constante et à volume constant (\(\gamma = C_{p,m}/C_{v,m}\)). Pour un gaz parfait monoatomique, \(\gamma = 5/3\). Pour un gaz parfait diatomique, \(\gamma = 7/5\).
Énergie Interne (\(U\))
Somme des énergies cinétiques et potentielles microscopiques d'un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
Travail (\(W\))
Énergie transférée lorsqu'une force provoque un déplacement. En thermodynamique, \(W = -\int P_{\text{ext}} dV\).
Chaleur (\(Q\))
Énergie transférée en raison d'une différence de température.
Enthalpie (\(H\))
Fonction d'état thermodynamique définie comme \(H = U + PV\).
Premier Principe de la Thermodynamique
La variation de l'énergie interne d'un système est égale à la somme du travail et de la chaleur échangés avec le milieu extérieur (\(\Delta U = Q + W\)).
Détente Adiabatique Réversible d’un Gaz Parfait - Exercice d'Application

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