Construction et Interprétation d'un Diagramme d'Espace-Temps (Minkowski)
Comprendre les Diagrammes d'Espace-Temps
Un diagramme d'espace-temps, ou diagramme de Minkowski, est une représentation graphique de l'espace-temps de la relativité restreinte. Il permet de visualiser les propriétés de l'espace et du temps et des concepts comme la simultanéité et la causalité. Typiquement, on représente une dimension spatiale (généralement \(x\)) sur l'axe horizontal et le temps (généralement multiplié par \(c\), soit \(ct\)) sur l'axe vertical. Cette normalisation donne à la vitesse de la lumière \(c\) une pente de \(\pm 1\).
Chaque point du diagramme est un événement, un point unique dans l'espace et le temps. La trajectoire d'un objet dans ce diagramme est appelée sa ligne d'univers. Pour un observateur dans un référentiel inertiel S, les axes \(x\) et \(ct\) sont orthogonaux. Pour un autre observateur dans un référentiel S' se déplaçant à une vitesse \(v\) par rapport à S, ses axes \(x'\) et \(ct'\) apparaîtront inclinés sur le diagramme de S.
Données de l'étude
- Vitesse du Vaisseau (S') par rapport à la Terre (S) : \(v = 0.6c\)
- On étudie trois événements notés A, B et C.
- Événement A : Départ du vaisseau de la Terre. Ses coordonnées sont \((ct=0, x=0)\) dans S.
- Événement B : Une balise sur Terre émet un flash à \((ct=3, x=0)\) dans S.
- Événement C : L'astronaute dans le vaisseau émet un flash à \((ct'=2, x'=0)\) dans S' (c'est-à-dire 2 unités de temps après le départ, selon sa propre horloge).
Schéma : Référentiels S et S' en Mouvement Relatif
Questions à traiter
- Calculer l'angle \(\alpha\) que font les axes \(ct'\) et \(x'\) du référentiel S' avec les axes \(ct\) et \(x\) du référentiel S. (Rappel : \(\tan\alpha = v/c\)).
- Dessiner le diagramme d'espace-temps pour le référentiel S en graduant les axes \(x\) et \(ct\). Y superposer les axes \(ct'\) et \(x'\) du référentiel S' en utilisant l'angle calculé.
- Tracer la ligne d'univers du vaisseau (qui correspond à l'axe \(ct'\)).
- Placer les événements A, B et C sur le diagramme. Pour l'événement C, il faudra d'abord calculer ses coordonnées \((ct, x)\) dans S à l'aide des transformations de Lorentz.
- Les événements B et C sont-ils simultanés dans l'un des deux référentiels ? Justifier à l'aide du diagramme.
Correction : Construction d'un Diagramme de Minkowski
Question 1 : Calcul de l'Angle d'Inclinaison des Axes
Principe :
Dans un diagramme de Minkowski, la ligne d'univers d'un objet se déplaçant à la vitesse \(v\) est une droite de pente \(c/v\). L'axe temporel \(ct'\) du référentiel mobile S' correspond à la ligne d'univers de son origine (\(x'=0\)), donc sa pente par rapport à l'axe \(ct\) est \(c/v\). L'angle \(\alpha\) avec l'axe vertical \(ct\) est donc tel que \(\tan\alpha = v/c\). L'axe spatial \(x'\) est incliné du même angle \(\alpha\) par rapport à l'axe horizontal \(x\).
Formule et Calcul :
Question 2 et 3 : Dessin du Diagramme et Ligne d'Univers
Principe :
On trace un repère orthonormé pour S (\(x, ct\)). On trace ensuite l'axe \(ct'\) comme une droite passant par l'origine et faisant un angle de \(31^\circ\) avec l'axe \(ct\). On trace l'axe \(x'\) comme une droite passant par l'origine et faisant le même angle de \(31^\circ\) avec l'axe \(x\). La ligne d'univers du vaisseau est l'axe \(ct'\) lui-même, car il correspond à la trajectoire de l'origine \(x'=0\) du référentiel du vaisseau.
Question 4 : Placement des Événements
Principe :
Les événements A et B sont donnés dans S et peuvent être placés directement. Pour placer C, il faut convertir ses coordonnées de S' vers S en utilisant les transformations de Lorentz.
Formules de Lorentz :
Calcul des coordonnées de C dans S :
D'abord, \(\gamma = 1 / \sqrt{1 - (0.6)^2} = 1 / \sqrt{1 - 0.36} = 1 / \sqrt{0.64} = 1/0.8 = 1.25\).
L'événement C a lieu à \((ct'=2, x'=0)\).
Les coordonnées de C dans S sont \((ct=2.5, x=1.5)\).
Diagramme Final :
Diagramme de Minkowski avec les Événements
Question 5 : Analyse de la Simultanéité
Principe :
En relativité, la simultanéité est relative. Deux événements sont simultanés dans un référentiel s'ils se trouvent sur une ligne parallèle à l'axe spatial de ce référentiel. Pour S, les lignes de simultanéité sont horizontales (parallèles à \(x\)). Pour S', elles sont parallèles à l'axe incliné \(x'\).
Analyse du Diagramme :
On observe l'événement B sur l'axe \(ct\) à \(ct=3\). L'événement C a une coordonnée temporelle \(ct=2.5\) dans S. Ils ne sont donc pas simultanés dans S. Pour vérifier la simultanéité dans S', on trace une ligne passant par C et parallèle à l'axe \(x'\). On voit clairement que cette ligne ne passe pas par l'événement B. Les événements B et C ne sont donc simultanés dans aucun des deux référentiels.
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Dans un diagramme de Minkowski, la ligne d'univers d'un photon (particule de lumière) est :
2. Si deux événements sont simultanés dans le référentiel S', sur le diagramme de S ils se trouvent :
3. L'inclinaison de l'axe \(ct'\) d'un référentiel mobile par rapport à l'axe \(ct\) du référentiel fixe...
Glossaire
- Diagramme d'Espace-Temps (de Minkowski)
- Représentation graphique de l'espace-temps à 1+1 dimensions (une dimension spatiale, une dimension temporelle) qui permet de visualiser les concepts de la relativité restreinte.
- Événement
- Un point unique dans l'espace-temps, défini par ses coordonnées spatiales et temporelles, par exemple \((ct, x)\).
- Ligne d'Univers (Worldline)
- La trajectoire d'un objet à travers l'espace-temps, représentée comme une courbe sur un diagramme de Minkowski.
- Cône de Lumière
- Structure dans l'espace-temps qui représente la trajectoire des rayons lumineux issus d'un événement. Il sépare le passé causal, le futur causal et la région "ailleurs" (inaccessible causalement).
- Relativité de la Simultanéité
- Concept fondamental selon lequel deux événements qui sont simultanés pour un observateur peuvent ne pas l'être pour un autre observateur en mouvement relatif par rapport au premier.
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