Diagramme d’Espace-Temps (Minkowski)
Contexte : La Relativité RestreinteThéorie physique proposée par Albert Einstein en 1905 qui décrit le mouvement à des vitesses proches de celle de la lumière..
Les diagrammes d'espace-temps, ou diagrammes de Minkowski, sont un outil graphique essentiel en relativité restreinte. Ils permettent de visualiser la structure géométrique de l'espace-temps et de comprendre des phénomènes contre-intuitifs comme la dilatation du temps, la contraction des longueurs et la relativité de la simultanéité. Cet exercice vous guidera dans la construction et l'interprétation d'un de ces diagrammes pour analyser des événements du point de vue de deux observateurs en mouvement relatif.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à développer une intuition géométrique des concepts de la relativité restreinte, qui sont souvent difficiles à appréhender par le seul biais des formules mathématiques.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et dessiner les axes d'un diagramme d'espace-temps pour des référentiels inertiels.
- Appliquer les transformations de Lorentz pour calculer les coordonnées d'un événement dans un autre référentiel.
- Représenter graphiquement des événements et des lignes d'univers sur un diagramme de Minkowski.
- Analyser et interpréter la relativité de la simultanéité à l'aide du diagramme.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse de la lumière dans le vide | \(c\) | \(3 \times 10^8 \text{ m/s}\) |
| Vitesse relative de R' par rapport à R | \(v\) | \(0,6c\) |
Schéma de la situation initiale
Événements étudiés
| Événement | Coordonnée temporelle (\(t\)) | Coordonnée spatiale (\(x\)) |
|---|---|---|
| E1 (Coïncidence des origines) | \(0 \text{ s}\) | \(0 \text{ m}\) |
| E2 (Émission d'un signal) | \(5 \text{ s}\) | \(0,9 \times 10^9 \text{ m}\) |
Questions à traiter
- Calculer la valeur du facteur de Lorentz, \(\gamma\), associé à la vitesse \(v=0,6c\).
- Déterminer les équations des axes de temps (\(ct'\)) et d'espace (\(x'\)) du référentiel mobile \(R'\) dans le repère (\(ct, x\)) d'Alice.
- Calculer les coordonnées de l'événement E2, \((t'_2, x'_2)\), dans le référentiel \(R'\) de Bob en utilisant les transformations de Lorentz.
- Sur un papier millimétré ou à l'aide d'un logiciel, dessiner le diagramme de Minkowski :
- Représenter les axes (\(ct, x\)) d'Alice et les axes (\(ct', x'\)) de Bob.
- Placer les événements E1 et E2.
- Tracer la ligne d'univers de Bob.
- Alice observe un troisième événement E3 qui est simultané à E2 dans son référentiel \(R\), mais se produit à la position \(x_3 = 2,1 \times 10^9 \text{ m}\). Ces deux événements (E2 et E3) sont-ils simultanés pour Bob ? Justifiez par le calcul.
Les bases de la Relativité Restreinte
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts fondamentaux de la relativité restreinte.
1. Les Postulats d'Einstein
La théorie repose sur deux principes :
- Principe de relativité : Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels.
- Constance de la vitesse de la lumière : La vitesse de la lumière dans le vide, \(c\), est la même pour tous les observateurs, quel que soit leur mouvement ou celui de la source lumineuse.
2. Les Transformations de Lorentz
Ces équations permettent de passer des coordonnées \((t, x)\) d'un événement dans un référentiel \(R\) aux coordonnées \((t', x')\) dans un référentiel \(R'\) en mouvement à la vitesse \(v\) par rapport à \(R\).
\[ x' = \gamma (x - vt) \]
\[ t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \]
Où \(\gamma\) est le facteur de Lorentz, défini par :
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
Correction : Diagramme d’Espace-Temps (Minkowski)
Question 1 : Calculer le facteur de Lorentz \(\gamma\)
Principe (le concept physique)
Le facteur de Lorentz \(\gamma\) est un nombre sans dimension qui quantifie l'intensité des effets relativistes prédits par Einstein. Il mesure à quel point les mesures de temps, de longueur et de masse d'un objet en mouvement diffèrent de celles du même objet au repos. C'est le cœur mathématique de la "distorsion" de l'espace-temps à grande vitesse.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le facteur \(\gamma\) apparaît dans toutes les formules clés de la relativité restreinte. Il est toujours supérieur ou égal à 1. Lorsque \(\gamma > 1\), on observe :
- La dilatation du temps : Une horloge en mouvement semble fonctionner plus lentement. Le temps mesuré par l'observateur mobile, \(\Delta t'\), est plus court que le temps mesuré par l'observateur fixe, \(\Delta t = \gamma \Delta t'\).
- La contraction des longueurs : Un objet en mouvement paraît plus court dans la direction de son mouvement. La longueur mesurée par l'observateur fixe, \(L\), est plus courte que sa longueur propre, \(L = L_0 / \gamma\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à \(\gamma\) comme à un "facteur d'étonnement". Si un objet est immobile (\(v=0\)), alors \(\gamma=1\) et il n'y a pas d'effet relativiste, tout est "normal". Plus la vitesse \(v\) s'approche de celle de la lumière \(c\), plus \(\gamma\) augmente, et plus les effets (dilatation du temps, etc.) deviennent prononcés et "étonnants".
Normes (la référence réglementaire)
En physique fondamentale, la "norme" est la théorie elle-même. Le calcul du facteur de Lorentz est directement issu des postulats de la Relativité Restreinte d'Albert Einstein (1905). Il assure que les lois de l'électromagnétisme restent les mêmes pour tous les observateurs inertiels, ce qui n'était pas le cas avec la physique de Galilée.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Définition du facteur de Lorentz
Hypothèses (le cadre du calcul)
Ce calcul est valide dans le cadre de la relativité restreinte, ce qui suppose que :
- Le référentiel de l'observateur est inertiel (non accéléré).
- La vitesse \(v\) est constante.
- L'espace est considéré comme plat (pas d'effets de la relativité générale / gravitation).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
La seule donnée utile, tirée de l'énoncé de l'exercice, est la vitesse relative \(v\) exprimée comme une fraction de la vitesse de la lumière \(c\).
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse normalisée | \(\beta\) | 0,6 |
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour les vitesses courantes dans les examens (\(0,6c\) et \(0,8c\)), le calcul de \(\sqrt{1-\beta^2}\) est simple car il correspond à un triplet pythagoricien (3-4-5 ou 6-8-10). Pour \(v=0,6c\), on a \(1 - 0,6^2 = 1 - 0,36 = 0,64\), et \(\sqrt{0,64}=0,8\). Pour \(v=0,8c\), on a \(1 - 0,8^2 = 1 - 0,64 = 0,36\), et \(\sqrt{0,36}=0,6\).
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser la fonction \(\gamma(\beta)\) pour anticiper le résultat. On sait que pour \(\beta=0.6\), la valeur de \(\gamma\) sera supérieure à 1 mais pas encore très grande.
Allure de la fonction \(\gamma(\beta)\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Application de la formule
On remplace \(\beta\) par sa valeur 0,6 dans la formule du facteur de Lorentz.
Résultat du calcul
On effectue la division finale.
Schéma (Après les calculs)
Le résultat étant un scalaire, le meilleur "schéma" est de le positionner sur le graphe de la fonction \(\gamma(\beta)\).
Position du résultat sur la courbe
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un facteur de Lorentz de 1,25 signifie que les effets relativistes sont déjà notables. Pour Alice (l'observatrice "fixe"), le temps de Bob s'écoule 1,25 fois plus lentement que le sien. De même, si Bob tenait une règle d'un mètre dans la direction de son mouvement, Alice la mesurerait comme ayant une longueur de seulement \(1 / 1,25 = 0,8 \text{ m}\).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Les erreurs les plus communes sont :
- Oublier le carré sur le terme \(\beta\) à l'intérieur de la racine.
- Inverser la fraction, c'est-à-dire calculer \(\sqrt{1-\beta^2}\) au lieu de \(1/\sqrt{1-\beta^2}\).
- Faire une erreur de calcul avec la calculatrice sur la racine carrée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour maîtriser ce concept, retenez :
- Formule clé : \(\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\).
- Propriété essentielle : \(\gamma\) est toujours \(\ge 1\). Il vaut 1 pour \(v=0\) et tend vers l'infini quand \(v \to c\).
- Signification : \(\gamma\) est le facteur par lequel le temps se dilate et les longueurs se contractent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les équations contenant ce facteur ont été publiées pour la première fois par le physicien néerlandais Hendrik Lorentz en 1904, un an avant l'article d'Einstein. Cependant, Lorentz les avait développées dans le cadre de la théorie de l'éther et n'en avait pas saisi toute la signification physique sur la nature de l'espace et du temps, ce qui fut le génie d'Einstein.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Maintenant, testez votre compréhension. Calculez le facteur de Lorentz \(\gamma\) pour un vaisseau spatial se déplaçant à \(v=0,8c\).
Question 2 : Équations des axes de \(R'\) dans \(R\)
Principe (le concept physique)
Du point de vue d'un observateur fixe (Alice), l'espace et le temps de l'observateur mobile (Bob) sont "mélangés". Cette interdépendance se traduit graphiquement par le fait que les axes d'espace (\(x'\)) et de temps (\(ct'\)) de Bob ne sont plus perpendiculaires sur le diagramme d'Alice ; ils apparaissent "penchés" et se referment l'un sur l'autre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Axe \(ct'\) (Axe temporel de Bob) : C'est la collection de tous les événements qui se produisent à la position \(x'=0\) pour Bob. C'est donc sa propre ligne d'univers, la trajectoire de son origine dans le diagramme d'Alice.
Axe \(x'\) (Axe spatial de Bob) : C'est la collection de tous les événements qui se produisent à l'instant \(t'=0\) pour Bob. Cette ligne représente l'ensemble des points que Bob considère comme "maintenant" (à \(t'=0\)) dans tout l'univers. C'est sa "ligne de simultanéité".
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Un bon moyen de se souvenir de l'inclinaison des axes : les deux axes (\(ct'\) et \(x'\)) pivotent d'un même angle vers la ligne de lumière (la bissectrice à 45°). L'axe du temps \(ct'\) se penche dans la direction du mouvement, et l'axe de l'espace \(x'\) se relève vers l'axe du temps.
Normes (la référence réglementaire)
La construction des axes d'un référentiel mobile est une conséquence géométrique directe des transformations de Lorentz, qui sont le fondement mathématique de la Relativité Restreinte.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Transformation de Lorentz pour l'espace
Transformation de Lorentz pour le temps
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les origines des deux référentiels coïncident à \(t=t'=0\) et que le mouvement relatif ne s'effectue que le long de l'axe des \(x\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
La seule donnée nécessaire, issue de l'énoncé, est la vitesse normalisée.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse normalisée | \(\beta\) | 0,6 |
Astuces(Pour aller plus vite)
L'axe \(ct'\) a une pente de \(1/\beta\) et l'axe \(x'\) a une pente de \(\beta\) sur le diagramme \((x, ct)\). C'est une relation simple à mémoriser : l'axe du temps est "plus vertical" que la lumière (pente >1), l'axe de l'espace est "plus horizontal" (pente <1).
Schéma (Avant les calculs)
Avant de calculer les pentes, on peut esquisser le diagramme d'Alice avec ses axes orthogonaux, en se rappelant que les axes de Bob viendront se "pincer" autour de la première bissectrice.
Repère d'Alice (R) et Cône de Lumière
Calcul(s) (l'application numérique)
Équation de l'axe \(ct'\) (ligne où \(x'=0\))
On part de la transformation de Lorentz pour l'espace et on pose \(x'=0\), car l'axe du temps du référentiel mobile est l'ensemble des points où sa propre coordonnée d'espace est nulle.
Pente de l'axe \(ct'\) dans le repère \((x, ct)\)
Pour trouver la pente sur le diagramme \((x, ct)\), on réarrange l'équation précédente pour exprimer \(ct\) en fonction de \(x\).
Équation de l'axe \(x'\) (ligne où \(t'=0\))
On part de la transformation de Lorentz pour le temps et on pose \(t'=0\), car l'axe de l'espace du référentiel mobile est l'ensemble des événements qu'il perçoit comme simultanés à son origine temporelle.
Pente de l'axe \(x'\) dans le repère \((x, ct)\)
On multiplie par \(c\) pour obtenir l'équation de la droite dans le repère du diagramme.
Schéma (Après les calculs)
On peut maintenant tracer les axes de Bob (en rouge) sur le diagramme d'Alice, en respectant les pentes calculées.
Superposition des repères R et R'
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces équations montrent que l'espace pour un observateur est un mélange d'espace et de temps pour l'autre. La ligne \(ct=0,6x\) (l'axe \(x'\) de Bob) représente des événements qui pour Bob se passent tous "en même temps" (\(t'=0\)), mais qui pour Alice se déroulent à des instants \(t\) différents et croissants avec \(x\). C'est la base de la relativité de la simultanéité.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de confondre les deux pentes. Rappelez-vous que la ligne d'univers d'un objet matériel (comme l'axe \(ct'\)) doit avoir une pente supérieure à celle de la lumière (pente de 1), donc \(1/\beta > 1\). L'axe spatial \(x'\) a une pente inférieure à 1.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour maîtriser ce concept :
- L'axe \(ct'\) s'obtient avec \(x'=0\). Sa pente est \(1/\beta\).
- L'axe \(x'\) s'obtient avec \(t'=0\). Sa pente est \(\beta\).
- Les deux axes pivotent vers la ligne de lumière (\(ct=x\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Hermann Minkowski, ancien professeur d'Einstein, a été le premier à réaliser en 1908 que la relativité restreinte pouvait être comprise de manière beaucoup plus élégante en considérant l'espace et le temps comme les deux facettes d'une seule entité à quatre dimensions : l'espace-temps. Il aurait dit : "Désormais, l'espace en soi et le temps en soi sont condamnés à disparaître comme de simples ombres, et seule une sorte d'union des deux conservera une réalité indépendante."
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
- Axe \(ct'\) : \(ct = \frac{1}{0,6} x \approx 1,67 x\)
- Axe \(x'\) : \(ct = 0,6 x\)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait l'équation de l'axe \(x'\) si la vitesse de Bob était de \(v=0,8c\) ?
Question 3 : Coordonnées de l'événement E2 dans \(R'\)
Principe (le concept physique)
La physique fondamentale est que les coordonnées d'un "événement" (un point dans l'espace-temps défini par une position et un instant) ne sont pas absolues. Chaque observateur les mesure différemment. Les transformations de Lorentz sont la "traduction" mathématique permettant de passer d'un point de vue à l'autre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Appliquer les transformations de Lorentz n'est pas juste un exercice mathématique. Cela démontre que le temps et l'espace sont intrinsèquement liés. La coordonnée temporelle \(t'\) de Bob dépend à la fois du temps \(t\) et de l'espace \(x\) d'Alice. De même, la coordonnée spatiale \(x'\) de Bob dépend à la fois de \(x\) et de \(t\). Il n'y a plus de temps universel ni d'espace absolu.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour éviter les erreurs, soyez très méthodique. Listez clairement toutes les valeurs d'entrée (\(t_2, x_2, v, c, \gamma\)). Écrivez les formules littérales avant de faire l'application numérique. Portez une attention particulière aux unités et aux puissances de dix. Un calcul bien posé est à moitié résolu.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul est une application directe des transformations de Lorentz, qui sont un pilier de la cinématique relativiste enseignée dans tous les cursus de physique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Transformation pour la coordonnée spatiale
Transformation pour la coordonnée temporelle
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont celles de la relativité restreinte, assurant la validité des transformations de Lorentz.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les données pour l'événement E2 sont issues de l'énoncé, tandis que la valeur de \(\gamma\) a été calculée à la question 1 et la vitesse \(v = 0,6c\) est déduite de \(\beta\).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Facteur de Lorentz | \(\gamma\) | 1,25 | - |
| Vitesse relative | \(v\) | \(1,8 \times 10^8\) | m/s |
| Temps (Alice) | \(t_2\) | 5 | s |
| Position (Alice) | \(x_2\) | \(0,9 \times 10^9\) | m |
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de calculer, remarquez que \(x_2 / t_2 = (0,9 \times 10^9) / 5 = 1,8 \times 10^8\) m/s. C'est exactement la vitesse \(v\) de Bob ! Cela signifie que l'événement E2 se trouve sur la ligne d'univers de Bob. Par conséquent, sa coordonnée spatiale dans le référentiel de Bob, \(x'_2\), doit être nulle. Cela permet de vérifier rapidement une partie du calcul.
Schéma (Avant les calculs)
On se représente le diagramme d'Alice et on y place l'événement E2 en utilisant ses coordonnées (\(x_2, ct_2\)). \(ct_2 = (3 \times 10^8) \times 5 = 1,5 \times 10^9\) m. On choisit une échelle où \(0,3 \times 10^9\) m correspond à une unité sur le graphique.
Position de E2 dans le repère d'Alice
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la coordonnée spatiale \(x'_2\)
On applique la transformation de Lorentz pour l'espace en utilisant les données du tableau.
Calcul de la coordonnée temporelle \(t'_2\)
On applique ensuite la transformation de Lorentz pour le temps.
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme complet permet de visualiser les projections de l'événement E2 sur les axes des deux référentiels pour lire graphiquement ses différentes coordonnées.
Projections de l'événement E2
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Pour Alice, le signal est émis à \(t=5 \text{ s}\). Pour Bob, qui se déplace, ce même événement se produit à \(t'=4 \text{ s}\) sur son horloge. C'est une manifestation directe de la dilatation du temps : l'intervalle de temps depuis l'origine (E1) est plus court pour l'observateur mobile. Le fait que \(x'_2=0\) confirme que l'événement E2 se trouve bien sur la ligne d'univers de Bob.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention au terme \(vx/c^2\) dans la transformation du temps. C'est ici que les erreurs d'unités sont les plus fréquentes. Il est souvent plus simple de calculer en utilisant \(\beta=v/c\), la formule devient \(t' = \gamma (t - \beta x/c)\). Vérifiez bien les puissances de 10.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour transformer les coordonnées d'un événement :
- Calculer \(\gamma\) en premier.
- Appliquer méthodiquement les deux formules de Lorentz.
- Vérifier la cohérence physique du résultat (par exemple, si un événement est sur la trajectoire d'un observateur, sa coordonnée spatiale doit être nulle pour cet observateur).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La dilatation du temps n'est pas une simple curiosité théorique. Les ingénieurs qui conçoivent les systèmes de positionnement par satellite (GPS) doivent en tenir compte. Les horloges atomiques des satellites GPS subissent des effets de relativité restreinte (car elles sont rapides) et de relativité générale (car la gravité est plus faible en orbite). Sans corrections relativistes, le GPS accumulerait une erreur de plusieurs kilomètres par jour !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Un autre événement E4 se produit pour Alice à \((t_4, x_4) = (5 \text{ s}, 1,5 \times 10^9 \text{ m})\). Quelle est la coordonnée temporelle \(t'_4\) mesurée par Bob ?
Question 4 : Représentation du diagramme de Minkowski
Principe
Le diagramme de Minkowski est une représentation graphique de l'espace-temps. L'axe vertical représente le temps (multiplié par \(c\) pour avoir une unité de longueur) et l'axe horizontal représente l'espace. Les trajectoires des objets sont des courbes appelées lignes d'univers.
Mini-cours
Le diagramme de Minkowski est la synthèse visuelle de tous les calculs précédents. Il permet de "voir" la géométrie de l'espace-temps. Pour le construire, on superpose le repère mobile (\(ct', x'\)) sur le repère fixe (\(ct, x\)). Les axes de Bob (\(ct', x'\)) sont tracés comme des droites obliques dont les pentes ont été calculées à la question 2. Les événements E1 et E2 sont placés comme des points en utilisant leurs coordonnées dans le repère d'Alice. La ligne d'univers de Bob n'est autre que son propre axe du temps \(ct'\), car il est toujours à la position \(x'=0\) dans son propre référentiel.
Schéma (Résultat)
Diagramme de Minkowski Complet
Réflexion
L'intérêt majeur de ce diagramme est de visualiser des concepts abstraits. On "voit" que l'axe du temps de Bob (\(ct'\)) est bien sa trajectoire, et que l'événement E2 se trouve sur cet axe. On peut aussi observer graphiquement que les projections de E2 sur les axes de Bob (\(ct', x'\)) sont différentes de ses projections sur les axes d'Alice (\(ct, x\)). Les axes obliques matérialisent la déformation de l'espace-temps.
Point de vigilance
Lors de la construction manuelle, les erreurs les plus communes sont :
- Utiliser un angle en degrés au lieu de la pente pour tracer les axes. La pente \(\beta\) ne correspond pas à un angle de \(\beta\) degrés.
- Inverser les pentes des axes \(ct'\) (pente \(1/\beta\)) et \(x'\) (pente \(\beta\)).
- Ne pas choisir une échelle adaptée, ce qui rend le diagramme illisible.
Point à retenir
Ce qu'il faut absolument maîtriser :
- L'axe vertical est le temps, l'axe horizontal est l'espace.
- Les axes du référentiel mobile (\(R'\)) pivotent vers la ligne de lumière (bissectrice du repère fixe).
- La trajectoire d'un objet (sa "ligne d'univers") ne peut jamais avoir une pente inférieure à 1 (elle ne peut pas être plus horizontale que la lumière).
Question 5 : La relativité de la simultanéité
Principe (le concept physique)
Le concept de "maintenant" est l'un des plus grands bouleversements de la relativité. Deux événements qui se produisent "en même temps" pour un observateur ne se produisent généralement pas en même temps pour un autre observateur en mouvement. La simultanéité est relative, elle dépend du référentiel d'observation.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Géométriquement, dans le diagramme d'Alice, tous les événements simultanés se trouvent sur une ligne horizontale (ligne à \(t=\text{constante}\)). Cependant, nous avons vu que l'axe des \(x'\) de Bob (sa ligne de simultanéité pour \(t'=0\)) est une ligne oblique dans le diagramme d'Alice. De même, la ligne des événements simultanés à \(t'=\text{constante}\) pour Bob sera une ligne parallèle à son axe \(x'\). Comme cette ligne est oblique, elle coupe la ligne d'univers d'Alice (l'axe \(ct\)) et d'autres objets à des temps \(t\) différents.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour savoir si deux événements sont simultanés pour un observateur donné, il suffit de calculer leur coordonnée temporelle dans le référentiel de cet observateur. Si les temps sont égaux, ils sont simultanés. S'ils sont différents, ils ne le sont pas. C'est aussi simple que cela, il suffit d'appliquer la bonne transformation de Lorentz.
Normes (la référence réglementaire)
La relativité de la simultanéité est une conséquence directe et inévitable des transformations de Lorentz, qui découlent des postulats de la relativité restreinte.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Transformation de Lorentz pour le temps
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses standards de la relativité restreinte sont supposées valides.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les coordonnées des événements E2 et E3 sont fournies dans l'énoncé de l'exercice et le corps de la question.
| Événement | Temps \(t\) (\(\text{s}\)) | Position \(x\) (\(\text{m}\)) |
|---|---|---|
| E2 | 5 | \(0,9 \times 10^9\) |
| E3 | 5 | \(2,1 \times 10^9\) |
Astuces(Pour aller plus vite)
Si deux événements 1 et 2 sont simultanés dans le référentiel fixe (\(t_1=t_2\)), la différence de temps dans le référentiel mobile est \(\Delta t' = t'_2 - t'_1 = -\gamma \frac{v(x_2-x_1)}{c^2}\). On voit immédiatement que si les positions \(x_1\) et \(x_2\) sont différentes, alors \(\Delta t'\) ne sera pas nul. Les événements ne sont pas simultanés.
Schéma (Avant les calculs)
Dans le diagramme d'Alice, les événements E2 et E3 se trouvent sur la même ligne horizontale \(ct = 1,5 \times 10^9 \text{ m}\), ce qui confirme visuellement leur simultanéité pour elle.
Simultanéité pour Alice
Calcul(s) (l'application numérique)
E2 et E3 sont simultanés pour Alice car \(t_2 = t_3 = 5 \text{ s}\). Pour savoir s'ils le sont pour Bob, nous devons calculer leurs coordonnées temporelles \(t'_2\) et \(t'_3\) dans son référentiel \(R'\).
On a déjà calculé à la question 3 que \(\boldsymbol{t'_2 = 4 \text{ s}}\).
Calcul de la coordonnée temporelle \(t'_3\)
On applique la transformation de Lorentz pour le temps à l'événement E3.
Schéma (Après les calculs)
En projetant E2 et E3 sur l'axe \(ct'\) de Bob (parallèlement à son axe \(x'\)), on voit que les points d'intersection ne sont pas les mêmes. La projection de E3 est plus proche de l'origine que celle de E2, ce qui confirme que \(t'_3 < t'_2\).
Non-simultanéité pour Bob
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous voyons que \(t'_2 = 4 \text{ s}\) et \(t'_3 = 1 \text{ s}\). Puisque \(t'_2 \neq t'_3\), les deux événements ne sont pas simultanés pour Bob. Pour lui, l'événement E3 se produit 3 secondes avant l'événement E2. Cela illustre de manière frappante que la notion de "en même temps" n'a de sens que si l'on précise pour quel observateur.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur principale est conceptuelle : c'est de supposer que la simultanéité est absolue. D'un point de vue calculatoire, il faut bien appliquer la transformation de Lorentz à chaque événement séparément et ne pas faire de conclusions hâtives.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Le point crucial à maîtriser est le suivant : si deux événements sont séparés dans l'espace (\(x_A \neq x_B\)) et simultanés pour un observateur (\(t_A = t_B\)), alors ils ne seront PAS simultanés pour tout observateur en mouvement par rapport au premier.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le paradoxe du train dans le tunnel (ou paradoxe de la perche et de la grange) est une célèbre expérience de pensée qui illustre la relativité de la simultanéité. Un train très rapide est plus long que le tunnel au repos. En raison de la contraction des longueurs, pour un observateur au sol, le train devient assez court pour tenir entièrement dans le tunnel. Mais pour le conducteur du train, c'est le tunnel qui est contracté et encore plus court ! La résolution du paradoxe réside dans le fait que la simultanéité des événements "l'avant du train entre" et "l'arrière du train sort" n'est pas la même pour les deux observateurs.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Alice observe deux événements simultanés à \(t=10 \text{ s}\), l'un à \(x_A=0\) et l'autre à \(x_B=3 \times 10^8 \text{ m}\). Quel est l'intervalle de temps \(\Delta t' = t'_B - t'_A\) mesuré par Bob (\(v=0,6c\)) ?
Outil Interactif : Visualiseur de Transformation
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier la vitesse relative \(v\) entre les référentiels. Observez comment le facteur de Lorentz \(\gamma\) et les coordonnées de l'événement E2 (fixé à \(t=5 \text{ s}\), \(x=0,9 \times 10^9 \text{ m}\)) changent pour l'observateur mobile. Le graphique montre comment les axes du référentiel mobile se "referment" vers la ligne de lumière à mesure que \(v\) approche \(c\).
Paramètres d'Entrée
Résultats pour l'observateur mobile
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Sur un diagramme de Minkowski, la ligne d'univers d'un photon (particule de lumière) est :
2. Que devient le facteur de Lorentz \(\gamma\) lorsque la vitesse \(v\) tend vers \(c\) ?
3. Deux événements se produisant en même temps mais à des endroits différents pour Alice sont-ils toujours simultanés pour Bob ?
4. L'axe de temps \(ct'\) d'un observateur mobile, dessiné sur le diagramme d'un observateur fixe, représente :
Glossaire
- Diagramme d'Espace-Temps (ou de Minkowski)
- Représentation graphique de l'espace-temps où une dimension spatiale et la dimension temporelle sont portées sur les axes.
- Ligne d'Univers
- La trajectoire d'un objet à travers l'espace-temps, représentée sur un diagramme de Minkowski.
- Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
- Un coefficient qui apparaît dans les équations de la relativité restreinte et qui mesure l'ampleur de la dilatation du temps, de la contraction des longueurs et de l'augmentation de la masse avec la vitesse.
- Transformations de Lorentz
- Ensemble d'équations qui permettent de relier les coordonnées d'espace et de temps d'un événement mesurées par deux observateurs différents en mouvement relatif uniforme.
- Relativité de la Simultanéité
- Principe selon lequel deux événements qui sont simultanés dans un référentiel inertiel ne le sont pas nécessairement dans un autre référentiel en mouvement par rapport au premier.
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