ÉTUDE DE PHYSIQUE

Dynamique des Protons dans un Cyclotron

Dynamique des Protons dans un Cyclotron en Physique des Particules

Dynamique des Protons dans un Cyclotron

Comprendre le Fonctionnement d'un Cyclotron

Le cyclotron est un type d'accélérateur de particules inventé par Ernest Orlando Lawrence. Il utilise un champ magnétique pour confiner des particules chargées (comme des protons ou des deutons) sur une trajectoire spirale, et un champ électrique alternatif à haute fréquence pour les accélérer à chaque passage entre deux électrodes en forme de demi-cylindres creux appelées "dés" (ou "dees"). À mesure que les particules gagnent de l'énergie, le rayon de leur trajectoire augmente jusqu'à ce qu'elles atteignent la périphérie du dispositif, où elles peuvent être extraites pour être utilisées dans des expériences de physique nucléaire ou pour la production d'isotopes médicaux.

Données de l'étude : Accélération de Protons

Un cyclotron est utilisé pour accélérer des protons. Le champ magnétique uniforme à l'intérieur des dés est \(B = 1.50 \, \text{T}\). Le rayon maximal des dés (et donc de la trajectoire des protons avant extraction) est \(R_{\text{max}} = 0.50 \, \text{m}\).

Constantes et informations :

  • Masse du proton (\(m_p\)) : \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • Charge du proton (\(q_p\)) : \(+e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Conversion d'énergie : \(1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}\) et \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Schéma : Principe de Fonctionnement d'un Cyclotron
Champ Magnétique B (sortant/entrant) ⊗ ⊗ ⊗ Dée 1 Dée 2 Champ E Proton Trajectoire d'un proton dans un cyclotron.

Les protons sont accélérés dans l'espace entre les dés et courbés par le champ magnétique à l'intérieur des dés.

Questions à traiter

  1. Calculer la fréquence cyclotron (\(f_c\)) des protons dans ce champ magnétique.
  2. Calculer la vitesse maximale (\(v_{\text{max}}\)) que les protons peuvent atteindre juste avant d'être extraits du cyclotron.
  3. Calculer l'énergie cinétique maximale (\(E_{c, \text{max}}\)) des protons en Joules (J).
  4. Convertir cette énergie cinétique maximale en Mégaélectron-volts (MeV).
  5. Si la différence de potentiel alternative appliquée entre les dés a une amplitude de \(50 \, \text{kV}\), combien de passages complets (traversées de l'espace entre les dés) un proton doit-il effectuer pour atteindre cette énergie cinétique maximale, en supposant qu'il gagne \(q_p V_{D}\) d'énergie à chaque passage (où \(V_D\) est l'amplitude de la tension) ?

Correction : Dynamique des Protons dans un Cyclotron

Question 1 : Fréquence cyclotron (\(f_c\))

Principe :

Dans un cyclotron, la force magnétique (\(F_m = qvB\)) agissant sur une particule chargée la maintient sur une trajectoire circulaire. Cette force est la force centripète (\(F_c = mv^2/r\)). En égalant ces deux forces, on peut dériver la vitesse angulaire \(\omega = qB/m\) et la fréquence cyclotron \(f_c = \omega / (2\pi)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ qvB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow \frac{v}{r} = \omega = \frac{qB}{m} \] \[ f_c = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m} \]
Données spécifiques :
  • Charge du proton (\(q_p\)) : \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Champ magnétique (\(B\)) : \(1.50 \, \text{T}\)
  • Masse du proton (\(m_p\)) : \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_c &= \frac{(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (1.50 \, \text{T})}{2\pi \times (1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg})} \\ &= \frac{2.403 \times 10^{-19}}{1.0505 \times 10^{-26}} \, \text{Hz} \\ &\approx 0.22875 \times 10^7 \, \text{Hz} \\ &\approx 2.2875 \times 10^6 \, \text{Hz} \quad \text{ou} \quad 22.875 \, \text{MHz} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La fréquence cyclotron des protons est \(f_c \approx 22.9 \, \text{MHz}\).

Question 2 : Vitesse maximale (\(v_{\text{max}}\))

Principe :

La vitesse maximale est atteinte lorsque le proton atteint le rayon maximal des dés (\(R_{\text{max}}\)). À partir de la relation \(qvB = mv^2/r\), on a \(v = qBr/m\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_{\text{max}} = \frac{q_p B R_{\text{max}}}{m_p} \]
Données spécifiques :
  • \(q_p = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • \(B = 1.50 \, \text{T}\)
  • \(R_{\text{max}} = 0.50 \, \text{m}\)
  • \(m_p = 1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{\text{max}} &= \frac{(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (1.50 \, \text{T}) \times (0.50 \, \text{m})}{1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}} \\ &= \frac{1.2015 \times 10^{-19}}{1.672 \times 10^{-27}} \, \text{m/s} \\ &\approx 0.71859 \times 10^8 \, \text{m/s} \\ &\approx 7.19 \times 10^7 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse maximale des protons est \(v_{\text{max}} \approx 7.19 \times 10^7 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Énergie cinétique maximale (\(E_{c, \text{max}}\)) en Joules

Principe :

L'énergie cinétique est donnée par \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{c, \text{max}} = \frac{1}{2} m_p v_{\text{max}}^2 \]
Données spécifiques :
  • \(m_p = 1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • \(v_{\text{max}} \approx 7.1859 \times 10^7 \, \text{m/s}\) (valeur plus précise du calcul précédent)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{c, \text{max}} &= \frac{1}{2} (1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}) \times (7.1859 \times 10^7 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2} (1.672 \times 10^{-27}) \times (51.637 \times 10^{14}) \, \text{J} \\ &\approx 0.836 \times 10^{-27} \times 51.637 \times 10^{14} \, \text{J} \\ &\approx 43.168 \times 10^{-13} \, \text{J} \\ &\approx 4.317 \times 10^{-12} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie cinétique maximale des protons est \(E_{c, \text{max}} \approx 4.32 \times 10^{-12} \, \text{J}\).

Question 4 : Conversion de \(E_{c, \text{max}}\) en Mégaélectron-volts (MeV)

Principe :

On utilise les facteurs de conversion \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\) et \(1 \, \text{MeV} = 10^6 \, \text{eV}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E (\text{eV}) = \frac{E (\text{J})}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \] \[ E (\text{MeV}) = \frac{E (\text{eV})}{10^6 \, \text{eV/MeV}} \]
Données spécifiques :
  • \(E_{c, \text{max}} \approx 4.317 \times 10^{-12} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{c, \text{max}} (\text{eV}) &= \frac{4.317 \times 10^{-12} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 2.6947 \times 10^7 \, \text{eV} \\ E_{c, \text{max}} (\text{MeV}) &= \frac{2.6947 \times 10^7 \, \text{eV}}{10^6 \, \text{eV/MeV}} \\ &\approx 26.947 \, \text{MeV} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie cinétique maximale des protons est \(E_{c, \text{max}} \approx 26.9 \, \text{MeV}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La force magnétique agissant sur une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique :

Question 5 : Nombre de passages pour atteindre \(E_{c, \text{max}}\)

Principe :

Un proton gagne une énergie \( \Delta E = q_p V_D \) à chaque traversée de l'espace entre les dés, où \(V_D\) est l'amplitude de la tension alternative. Un "passage complet" (d'un dé à l'autre et retour, ou plutôt deux accélérations par tour) correspond à un gain d'énergie de \(2 q_p V_D\) si l'on considère que le proton est accéléré deux fois par cycle de la tension alternative. Cependant, la question demande "combien de passages complets (traversées de l'espace entre les dés)". Si on considère qu'un passage est une traversée de l'interstice, alors le gain est \(q_p V_D\). Le nombre total de ces passages est \(N_p = E_{c, \text{max}} / (q_p V_D)\).

Convertissons d'abord \(V_D\) en Volts et \(E_{c, \text{max}}\) en Joules.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N_{\text{passages}} = \frac{E_{c, \text{max}}}{\Delta E_{\text{par passage}}} = \frac{E_{c, \text{max}}}{q_p V_D} \]
Données spécifiques :
  • \(E_{c, \text{max}} \approx 4.317 \times 10^{-12} \, \text{J}\)
  • \(q_p = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • \(V_D = 50 \, \text{kV} = 50 \times 10^3 \, \text{V}\)
Calcul :

Énergie gagnée par passage :

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\text{par passage}} &= (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (50 \times 10^3 \, \text{V}) \\ &= 8.01 \times 10^{-15} \, \text{J} \end{aligned} \]

Nombre de passages :

\[ \begin{aligned} N_{\text{passages}} &= \frac{4.317 \times 10^{-12} \, \text{J}}{8.01 \times 10^{-15} \, \text{J/passage}} \\ &\approx 0.5390 \times 10^3 \, \text{passages} \\ &\approx 539 \, \text{passages} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le proton doit effectuer environ 539 passages à travers l'espace entre les dés.

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un cyclotron, le champ électrique sert principalement à :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La fréquence cyclotron dépend de :

2. L'énergie cinétique maximale d'une particule dans un cyclotron est limitée par :

3. Pour qu'un cyclotron fonctionne correctement, la fréquence du champ électrique alternatif doit :

Glossaire

Cyclotron
Type d'accélérateur de particules qui utilise un champ magnétique pour confiner les particules chargées sur une trajectoire spirale et un champ électrique alternatif pour les accélérer.
Dés (Dees)
Électrodes métalliques creuses en forme de D dans un cyclotron, entre lesquelles un champ électrique alternatif est appliqué pour accélérer les particules.
Force Magnétique (Force de Lorentz)
Force exercée sur une particule chargée se déplaçant dans un champ magnétique. \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\).
Fréquence Cyclotron (\(f_c\))
Fréquence à laquelle une particule chargée orbite dans un champ magnétique uniforme. Elle est indépendante de la vitesse et du rayon de l'orbite (pour des vitesses non relativistes).
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie que possède un objet en raison de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
Proton
Particule subatomique avec une charge électrique positive (+e) et une masse d'environ \(1.672 \times 10^{-27} \, \text{kg}\).
Tesla (T)
Unité SI de l'intensité du champ magnétique (induction magnétique).
Électron-volt (eV)
Unité d'énergie couramment utilisée en physique atomique et nucléaire. \(1 \, \text{eV}\) est l'énergie acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel de 1 volt. \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\).
Dynamique des Protons dans un Cyclotron - Exercice d'Application

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